向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量在中学数学解题中的巧用
例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
．
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－ ｌ｝Ｉ 已 ∞ ６， ｌ ： ａ 知 ＝。 丽又 ０
Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
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在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ
中学数学认识向量与平面的位置关系
中学数学认识向量与平面的位置关系中学数学认识：向量与平面的位置关系一、向量的基本概念与性质在数学中，向量是用来表示大小和方向的量。
它由起点和终点两个点确定，在平面上可表示为有向线段。
向量的性质包括加法、数量乘法、共线性和平行等特征。
二、平面的基本概念与性质平面是二维几何空间中的一个基本概念，由无数个点构成。
平面上的点可通过坐标系表示。
平面的性质包括平行、垂直、共面等关系。
三、向量与平面的关系——共面性当三个或三个以上的向量共面时，它们所在的平面称为“共面向量组”。
共面向量组的特点是，其中某一个向量可被其他向量线性表示。
此时，向量组中的向量之间存在一定的关系，可以通过线性组合得到同一个平面上的任意点。
四、向量与平面的关系——垂直性若一个向量与其所在平面上的所有向量都垂直，则该向量垂直于平面。
垂直向量与平面的关系可以通过向量的数量积来判断：若一个向量与平面上的某个向量的数量积为零，则两向量垂直。
五、向量与平面的关系——平行性若一个向量与平面上的所有向量都平行，则该向量平行于平面。
平行向量与平面的关系可以通过向量的叉积来判断：若一个向量与平面上的两个非共线向量的叉积为零，则向量平行于该平面。
六、平面方程的表示使用数学表达式来表示平面的一种常见方式是平面方程。
一般情况下，平面方程可表示为Ax+By+Cz+D=0的形式，其中A、B和C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。
七、向量在平面内的投影向量在平面内的投影是指将该向量投影到该平面上的一条线段。
投影的计算可通过向量的数量积和法向量来实现，得到的投影线段与法向量垂直。
八、定点到平面的距离定点到平面的距离是指从给定点到平面上的点的最短距离。
根据向量的点乘和模运算可得到定点到平面的距离公式。
九、应用实例向量与平面的关系在实际问题中有许多应用，如力的合成、几何图形的相似性判定、立体图形的投影等。
了解向量与平面的关系有助于解决这些实际问题。
结论：中学数学中，向量与平面的位置关系是一种重要的数学概念，通过向量与平面的共面性、垂直性和平行性的关系，可以解决许多与平面相关的问题。
初中数学向量的运算与应用知识点
初中数学向量的运算与应用知识点提起初中数学的向量，那可真是一段让我又爱又恨的回忆。
还记得当初刚接触向量的时候，我整个人都是懵的。
看着那些带着箭头的线段，脑袋里就像一团乱麻。
老师在讲台上讲得口沫横飞，我在下面听得云里雾里。
向量的运算，什么加法、减法，还有数乘，一开始对我来说简直就是天书。
就拿向量的加法来说吧，两个向量相加，居然不是简单地把它们的长度相加，而是要遵循平行四边形法则或者三角形法则。
当时我就想，这数学怎么这么爱“刁难”人呐！比如说，有两个向量 a 和 b ，a 的坐标是（3，4），b 的坐标是（1，2），要计算它们的和。
按照三角形法则，得把 b 的起点平移到 a 的终点，然后连接 a 的起点和 b 的终点，得到的新向量就是 a ＋ b 。
这过程中，得仔细算坐标，可不能马虎。
就这一个简单的例子，我当时做练习的时候，那是算了一遍又一遍，草稿纸都用了好几张。
向量的减法也不简单。
它可不是直接把长度相减，而是要把减的那个向量取反，然后再做加法。
有一次做作业，遇到一个向量减法的题目，我想当然地就把长度一减，结果答案错得一塌糊涂。
被老师批改后，那一个个大红叉，真让我面红耳赤。
不过，向量的数乘倒是相对简单一些。
一个向量乘以一个实数，就是把向量的长度放大或者缩小，方向相同或者相反。
但这里也有容易出错的地方，比如符号问题，一不小心就会搞错方向。
在学习向量运算的过程中，我还闹过不少笑话。
有一次课堂小测验，有道题是计算两个向量相加的结果。
我信心满满地做完交了上去，结果老师发下来的时候，我发现自己居然把方向搞反了。
当时我那个懊恼啊，恨不得找个地缝钻进去。
随着不断地学习和练习，我渐渐摸到了向量运算的门道。
我发现，只要认真画图，按照法则一步一步来，其实也没有那么难。
向量的应用那也是相当广泛。
在物理学中，力、速度、位移这些都可以用向量来表示和计算。
就拿扔铅球来说吧。
铅球出手时的速度就是一个向量，它有大小和方向。
要计算铅球能扔多远，就得分析这个速度向量。
向量法在中学数学解题中
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。
高考数学中的线性代数及应用
高考数学中的线性代数及应用在高考数学中，线性代数是一个重要的考点，它是数学中的一个分支，讲究向量、矩阵、行列式等内容，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、向量向量是线性代数中的基础概念之一，是指同时具有大小和方向的量。
在高中数学课程中，我们已经学过向量的基本概念和运算。
在高考中，必须掌握向量的点乘、叉乘、平面方程以及向量组的线性相关、线性无关等重要概念。
这些知识点在高考数学中都有考查，同时也具有一定的应用意义。
在实际应用中，向量的应用广泛，如在工程测量中用于计算物体的位移、速度、加速度等，同时还可用于计算力的大小和方向。
在计算机图形学中，向量可用于表示三维空间中的点和对象，是计算机图形学中最重要的数据类型之一。
二、矩阵矩阵是一个方阵或非方阵，其中的元素可以是实数或复数。
在高考数学中，我们学过矩阵的基本概念、常见矩阵运算、矩阵的秩等知识点。
同时还要具备求解矩阵方程、解线性方程组、矩阵的转置、逆矩阵等重要概念。
在实际应用中，矩阵的应用非常广泛，如在物理学中用于解决运动问题、在经济学中用于计算供给和需求、在计算机科学中用于解决线性方程组或图像处理等。
可以说，矩阵在各个领域都发挥着重要作用。
三、行列式行列式是矩阵的一个重要概念，我们已经在高中数学中学过，它是用于计算面积、体积、求解未知量等方面的重要工具。
在高考数学中，行列式的基本概念和应用是必考内容之一，同时还需掌握行列式的基本性质和简化计算的技巧。
在实际应用中，行列式的应用也非常广泛，如在计算机编程中用于判断一个矩阵是否满足某些条件、在经济学中用于计算系统的可行性、在物理学中用于计算角动量和自旋等指标。
可以说，行列式在各个领域都有不同的应用。
总结高考数学中的线性代数及应用是一个非常重要的考点，它涵盖了向量、矩阵、行列式等重要概念，在实际应用中也发挥着重要的作用。
因此，我们必须掌握这些知识点，并注意学习它们的应用技巧和实际应用场景。
只有这样，我们才能在高考中取得优异的成绩，并将所学知识投入到实践中，为社会发展做出贡献。
人教版高中数学必修一 空间向量在立体几何中的应用小结-课件牛老师
原上，闪着寒冷的银光。
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠 叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶 上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
则
m m
BC CF
0, 0.
即 －x2＝0， －y2＋2z2＝0，
不妨令 z2＝1，可得 m＝(0,2,1)．
因此有
cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝3 1010，于是
sin〈m，n〉＝
10 10 .
所以，平面 EBC 与平面 FBC 所成角的正弦值为 1100.
(2)设线段 DP 的长为 h(h∈[0,2])，则点 P 的坐标为(0,0,h)， 可得B→P＝(－1,－2,h)． 易知，D→C＝(0,2,0)为平面 ADGE 的一个法向量，故
所以平面 PAD⊥平面 PCD．
应用 二：解决空间中的有关角的问题
= v,n或 = v,n .
2
2
应用 二：解决空间中的有关角的问题
解：依题意，以 D 为原点，分别以D→A，D→C，D→G的方向为 x 轴，y 轴，z 轴
的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)， C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)．
向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用向量是中学数学的重要概念之一，它兼有数和形的特征，因而它是数形结合的桥梁之一，是实现数形转换的一个重要工具。
许多数学问题用向量知识来解决显得格外简练。
一、证明两直线平行或垂直根据∥?圳=λ（λ≠0）将证两线平行转化为证两向量共线（平行）。
根据⊥?圳·=0，将垂直问题转化为证两向量的数量积等于0.例1.已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1，ab1=1，aa1=2点e为cc1的中点，点f为bd1的中点.求证：ef是bd1与cc1的公垂线。
证明：建立空间直角坐标系，则b（1，1，0），c（0，1，0），c1=（0，1，1），d1（0，0，1），e=（0，1，），f=（，，），=（，，0），=（0，0，1），=（-1，-1，1），所以·=0，·=0，即⊥，⊥.故ef是cc1与bd1的公垂线。
若用立体几何中的理论来证明这道题目则可以通过证明三角形ed1b和三角形fc1c为等腰三角形来达到目的。
证明过程中需利用已知边长，垂直等条件求出其他边长。
而用向量的性质来解则只需将各点坐标表示出来，再利用两向量的数量积是否等于0便可以得出结论。
相较而言，利用向量更为简便，计算量也相对较少。
二、证明线面平行或垂直证明线面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明线面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行，从而得出结论，达到解决问题的目的。
例2.已知正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2，e，f，g分别是bc，cd，cc1的中心，求证：（1）ad1∥平面efg.（2）a1c⊥平面efg.证明：以d为坐标原点建立空间直角坐标系d-xyz，则d（0，0，0），a（2，0，0），a1（1，1，0），d1（0，0，2），c（0，2，0），c1（0，2，2），e（1，2，0），g（0，2，1）所以=（-2，0，2），=（2，-2，2），=（-1，-1，0），=（-1，0，1）。
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2010、2011级高中数学教师培训第三阶段第3次作业
作业——试论述向量在中学数学中的应用
向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
请从上述几个方面“论述向量在中学数学中的应用”
一、向量在几何中的应用：
平行四边形性质的证明：
设四边形ABCD 是平行四边形，证明：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) 证明：∵+=，-= ∴2222+⋅+=，2222AD
AD AB AB BD +⋅-=
)(22222+=+ 即：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)
二、向量在不等式中的应用：
柯西不等式的证明：
设a,b,c,d ∈R ，证明:(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 证明：设向量m =(a,b),n =(c,d)的夹角θ， 由||||cos ||||≤=⋅θ得
ac+bd ≤2222d c b a ++
所以(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)。
三、向量在函数中的作用：
函数最值的计算：
求函数x x x f 4163)(-+=的最大值。
解：x x x f -+=423)(， 令向量)4,(,)2,3(x x -==,则 132413||||)(=-+=≤⋅=x x b a b a x f 其中等号在,同向，即x x -=432，1336=x 时成立， 所以函数x x x f 4163)(-+=的最大值为132。
四、向量在恒等式中的作用： 三角恒等式的证明：
求证：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明：设向量)sin ,(cos ,)sin ,(cos ββαα==，则
,1||,1||,sin sin cos cos ==+=⋅βαβα 另一方面，)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅ 所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。