七年级数学探索平行线的性质作业
【暑假分层作业】第02练 平行线的性质与判定-2022年七年级数学(人教版)(原卷)
第02练平行线的性质与判定知识点1 平行公理及推论1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.知识点2 平行线的判定1. 平行线的判定方法：判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.知识点3 平行线的性质平行线的性质：性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.如图3，∵a ∥b ，∴∠4+∠1=180°.知识点4 平行线的判定与性质的综合运用两直线平行⇔同位角相等.两直线平行⇔内错角相等.同旁内角互补⇔两直线平行.“⇔” 叫做“等价于”，即由左边能推出右边，由右边也能推出左边.知识点5 命题、定理、证明1. 命题：判断一件事情的语句叫做命题.数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.2. 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题.假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.3. 定理：经过推理证实的真命题叫做定理.判断一个命题正确性的推理过程叫做证明.4. 判断一个命题是真命题，需要进行证明；判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.1．如图所示．点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB //CD 的是（ ）A ．3A ∠=∠B ．12∠=∠C ．D DCE ∠=∠ D ．180D ACD ∠+∠=︒2．如图，AB //CD ，DB ⊥BC ，垂足为点B ，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°3．如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点G ，H ．GM 平分∠BGH ，且∠GHM =48°，那么∠GMD 的度数为（ ）A ．96°B ．104°C ．114°D ．124°4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF ＝∠GFE ＝45°，∠H ＝60°，∠EFH ＝30°），满足点E 在AB 上，点F 在CD 上，AB ∥CD ，∠AEG ＝20°，则∠HFD 的大小是（ ）A ．70°B ．40°C ．35D ．65°5．如图，点E 在AC 的延长线上，对于下列给出的四个条件：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠A =∠DCE ；④∠D ＋∠ABD =180°．能判断AB ∥CD 的是__________．（填正确条件的序号）6．如图，将木条a ，b 与c 钉在一起，250∠=︒，若要使木条a 与b 平行，则1∠的度数应为______．7．如图，AB ∥CD ，∠ABE =120°，∠DCE =110°，则∠BEC =______°．8．如图，a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，13625'∠=︒，那么2∠=______．9．如图，∠1＝30°，∠B ＝60°，AB ⊥AC ．试说明AD //BC ．10．如图，已知AC ⊥BC 于点C ，∠B ＝70º，∠ACD ＝20º．(1)求证：AB //CD ；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件________，使BC //AD ．11．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在AB上，点G在BC上，且EF∥CD，∠1+∠2＝180°．(1)求证：GD∥CA；(2)若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．∠=∠．12．如图，在△ABC中，40B∠=，D，E分别是边BC，CA上的点，A DEC(1)求∠BDE的大小；(2)DF AC∥交AB于点F，若DF平分∠BDE，求∠A的大小．1．如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠4=∠6；③∠4+∠5=180°；④∠2+∠3=180°.其中能判定a∥b的条件的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知AB∥CD，∠BAD＝40°，点M在直线AD上，N为线段CD上一点，若∠MNC＝α，则∠AMN＝_________．（用含α的式子表示）3．已知：直线MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，点C是线段AB上一定点，点D是射线AN上一动点，连接CD．(1)在图1中过点C作CE⊥CD，与射线BQ交于E点．①依题意补全图形；②求证：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如图2所示，点F是射线BQ上一动点，连接CF，∠DCF＝α，分别作∠NDC与∠CFQ 的角平分线交于点G，请用含有α的代数式来表示∠DGF，并说明理由．。
七年级下册数学同步练习题库：平行线的性质(简答题：较难)
平行线的性质（简答题：较难）1、阅读：如图1所示，因为CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，所以∠ACD＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B，这是一个有用的事实．请用这个结论在如图2所示的四边形ABCD内过点D引一条和边AB平行的直线，求∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC的度数．2、如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，D，C分别落在D′，C′的位置上，若∠EFG＝55°，求∠1与∠2的度数．3、平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D．得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．4、如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠ACB＝∠AED.5、如图，若AB∥CD，在下列三种情况下探究∠APC与∠PAB，∠PCD的数量关系．（1）图①中，∠APC+∠PAB+∠PCD=；（2）图②中，；（3）图③中，写出∠APC与∠PAB，∠PCD的三者数量关系，并说明理由6、如图，已知AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC =70°.（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC =n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，画出图形并判断∠BED的度数是否改变，若改变，求出它的度数（用含n的式子表示），不改变，请说明理由.7、(本题12分)如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由．8、课上教师呈现一个问题甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：甲同学辅助线的做法和分析思路如下：（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路.辅助线：___________________；分析思路：（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．9、如图所示，在△ABC中，AB =AC，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF．10、如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．11、（1）问题发现如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC∴∠C= ．∵EF∥AB，∴∠B= ，∴∠B+∠C= .即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°﹣∠BEC．（3）解决问题如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=．（直接写出结论，不用写计算过程）12、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AC=AD，∠DAC=∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠DAC=45°，OA=1，求OC的长．13、如图是小明设计的智力拼图玩具，现在小明遇到了下面两个问题，请你帮助解决.(1)如图⑴，∠D=,∠ACD=.为保证AB∥DE,∠A应等于多少度？(2)如图⑵，若GP∥HQ,则∠G,∠F, ∠H之间有什么样的关系？14、（8分）如图1，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处.⑴若∠PEF=48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，请直接写出∠EFP的度数.⑵若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数.15、如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．16、(1)如图1，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明理由吗？(2)反之，若∠B＋∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？(3)若将点E移至图2的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？(4)若将点E移至图3的位置，此时∠B，∠D，∠E之间的关系又如何？(5)在图4中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D之间有何关系？17、如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠ACB＝∠AED.18、如图1，已知：AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，且OE⊥OF．（1）求证：∠1＋∠2＝90°；（2）如图2，分别在OE，CD上取点G，H，使FO平分∠CFG，EO平分∠AEH，求证：FG∥EH．19、（1）如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．证明过程如下：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC，EF∥AB（辅助线的作法），∴EF∥DC∴∠C=∠CEF．∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF即∠B+∠C=∠BEC．（2）如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，∠B，∠C，∠BEC又有什么关系？并证明你的结论；（3）如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=．（写出结论，不用写计算过程）。
初一七年级下数学相交线与平行线探究题含答案详细解析v1
初一三线八角探究题V1一．解答题（共30小题）1．（2013春•海陵区期末）如图，已知平面内有两条直线AB 、CD ，且AB ∥CD ，P 为一动点．点．（1）当点P 移动到AB 、CD 之间时，如图（1），这时∠P 与∠A 、∠C 有怎样的关系？证明你的结论．明你的结论．（2）当点P 移动到AB 的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是的结论？如果不是 ，请写出你的猜想（不要求证明）．（3）当点P 移动到如图（3）的位置时，∠P 与∠A 、∠C 又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．2．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6cm ，CD=4cm ，BC=BD=10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ =S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；明理由；（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．的面积是否发生变化？说明理由．3．（2005•陕西）已知：直线a ∥b ，P 、Q 是直线a 上的两点，M 、N 是直线b 上两点．上两点． （1）如图①，线段PM 、QN 夹在平行直线a 和b 之间，四边形PMNQ 为等腰梯形，其两腰PM=QN ．请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条线段相等；之间的两条线段相等；（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a 、b 去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”．把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）．请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条曲线段相等；曲线段相等；（3）如图④，若梯形PMNQ 是一块绿化地，梯形的上底PQ=m ，下底MN=n ，且m ＜n ．现计划把价格不同的两种花草种植在S 1、S 2、S 3、S 4四块地里，使得价格相同的花草不相邻．为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由．4．（2016春•北流市校级期中）（1）如图甲，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么，为什么？为什么？一样大吗？为什么？（2）如图乙，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗？为什么？哪个大？为什么？（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大？为什么？你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．5．（2015•凉山州一模）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，…对．（1）10条直线交于一点，对顶角有条直线交于一点，对顶角有 对．）条直线交于一点，对顶角有 对．对．（2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有6．（2015•长春二模）探究：如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：BC⊥AD．应用：如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，交∠MAB 的平分线AD于点C；作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结BC、BE．若∠MAN=150°，则∠CBE的大小为的大小为度．7．（2015秋•东明县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°．的度数；（1）如图1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度数．的度数．8．（2015秋•麒麟区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．（1）若∠EON=18°，求∠AOC的度数．的度数．的数量关系，并说明理由．（2）试判断∠MON与∠AOE的数量关系，并说明理由．9．（2015春•苏州期末）如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON 的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．（1）填空：∠OBC+∠ODC=；（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：（3）如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．并说明理由．10．（2015秋•吴江区期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，（3）线段PH 的长度是点P 到 的距离，线段的距离，线段 是点C 到直线OB 的距离．的距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC 、PH 、OC 这三条线段大小关系是这三条线段大小关系是 （用“＜”号连接）号连接）11．（2015秋•内江期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB 的度数为的度数为 ；②若∠ACB=140°，求∠DCE 的度数；的度数；（2）由（1）猜想∠ACB 与∠DCE 的数量关系，并说明理由．的数量关系，并说明理由．（3）当∠ACE ＜180°且点E 在直线AC 的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE 角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．13．（2015秋•南岗区期末）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD 的度数；的度数；12．（2015秋•江西期末）如图，△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，F ，G 分别是AC ，BC 延长线上一点，且∠EOD+∠OBF=180°，∠DBC=∠G ，指出图中所有指出图中所有平行线平行线，并说明理由．（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．14．（2015秋•蓝田县期末）如图，已知∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC=∠F，求证：EC∥DF．15．（2015春•天河区期末）已知：如图，AD⊥BC，FG⊥BC．垂足分别为D，G．且∠ADE=∠CFG．求证：DE∥AC．16．（2015春•霸州市期末）如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠P AB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）17．（2015春•东莞校级期末）如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索之间的关系又是如何？∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？18．（2015春•荣昌县期末）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF 于O，AE∥OF，且∠A=30°．的度数；（1）求∠DOF的度数；（2）试说明OD平分∠AOG．19．（2015春•澧县期末）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：，试解决下列问题：（1）∠1+∠2=；（2）∠1+∠2+∠3=；（3）∠1+∠2+∠3+∠4=；（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=．20．（2015春•成都校级月考）如图：成都校级月考）如图：的度数；（1）已知AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°，求∠2和∠4的度数；）的结果进行归纳，试着用文字表述出来； （2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试着用文字表述出来；（3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一角是另一个角的两倍，求这两个角的大小．这两个角的大小．21．（2015春•晋安区期末）如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF 的度数；（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．度数；若不存在，说明理由．22．（2015春•微山县校级期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；之间的关系；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；之间的关系并给予证明；之间的关系．（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．23．（2015春•芦溪县期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合下图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：，理由：；（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：，理由：．，那么 ．（3）由（1）（2）你得出的结论是：如果）你得出的结论是：如果 ，那么（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角度数的分别是别是24．（2015春•垦利县校级期末）如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；之间的关系；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；之间的关系并给予证明．（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．25．（2015春•繁昌县期末）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°的位置关系并说明理由；（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；说明理由；（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．猜想结论并说明理由．26．（2015春•开江县期末）如图，已知直线m∥n，A、B是直线m上的任意两点，C、D 是直线n上的任意两点，连AD、BC，∠ABC与∠ADC的平分线相交于点E，若∠BAD=80°．（1）求∠EDC的度数；的度数；的度数．（2）若∠BCD=30°，试求∠BED的度数．27．（2015春•下城区期末）如图，已知AB∥DE∥MN，AD平分∠CAB，CD⊥DE．的度数；（1）∠DAB=15°，求∠ACD的度数；是否成立，并说明理由．（2）判断等式∠CDA=∠NCD+∠DAB是否成立，并说明理由．28．（2015秋•黄岛区期末）如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D﹣∠B．探究一：将点P移到AB，CD内部，如图②，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？并证明你的结论；并证明你的结论；探究二：在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，之间又有何数量关系？并证明你的结论；如图③，则∠BPD，∠B，∠PDQ，∠BQD之间又有何数量关系？并证明你的结论；的度数． 探究三：在图④中，直接根据探究二的结论，写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．29．（2015春•盐都区期末）（1）AB∥CD，如图1，点P在AB、CD外面时，由AB∥CD，有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．如图2，将点P移到AB、CD内部，以上结论是否成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．之间有何数量关系？请证明你的结论．（2）如图3，若AB、CD相交于点Q，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系（不需证明）？（不需证明）？（3）根据（2）的结论求图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．的度数．（4）若平面内有点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8，连结A1A3、A2A4、A3A5、A4A6、A5A7、A6A8、A7 A1、A8 A2，如图5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7+∠A8的度数是多少（直接写出结果）？的度数是多少（直接写出结果）？若平面内有n个点A1、A2、A3、A4、A5、…，A n，且这n个点能围成的多边形为凸多边形，连结A1A3、A2A4、A3A5、A4A6、A5A7，…，A n﹣1A1、A n A2，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+…+∠A n﹣1+∠A n的度数是多少（直接写出结果，用含n的代数式表示）？的代数式表示）？30．（2015春•高新区期末）已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点E 为平面内一点．为平面内一点．（1）如图1，∠BME，∠E，∠END的数量关系为的数量关系为 ；（直接写出答案）（直接写出答案） （2）如图2，∠BME=m°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ的度数．（用含m的式子表示）的式子表示）（3）如图3点G为CD上一点，∠BMN=n•∠EMN，∠GEK=n•∠GEM，EH∥MN交AB 于点H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含n的式子表示）的式子表示）初一三线八角探究题V1参考答案与试题解析一．解答题（共30小题） 1．（2013春•海陵区期末）如图，已知平面内有两条直线AB 、CD ，且AB ∥CD ，P 为一动点．点．（1）当点P 移动到AB 、CD 之间时，如图（1），这时∠P 与∠A 、∠C 有怎样的关系？证明你的结论．明你的结论．（2）当点P 移动到AB 的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是）的结论？如果不是 ∠P=∠C ﹣∠A 【解答】证明：（1）∠P=∠A+∠C ， 延长AP 交CD 与点E ．∵AB ∥CD ，∴∠A=∠AEC ． 又∵∠APC 是△PCE 的外角，的外角， ∴∠APC=∠C+∠AEC ． ∴∠APC=∠A+∠C ．（2）否；∠P=∠C ﹣∠A ． （3）∠P=360°﹣（∠A+∠C ）．①延长BA 到E ，延长DC 到F ， 由（1）得∠P=∠P AE+∠PCF ．∵∠PAE=180°﹣∠P AB ，∠PCF=180°﹣∠PCD ， ∴∠P=360°﹣（∠P AB+∠PCD ）． ②连接AC ．∵AB ∥CD ，∴∠CAB+∠ACD=180°． ∵∠P AC+∠PCA=180°﹣∠P ，∴∠CAB+∠ACD+∠P AC+∠PCA=360°﹣∠P ，，请写出你的猜想（不要求证明）． （3）当点P 移动到如图（3）的位置时，∠P 与∠A 、∠C 又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种． 【考点】平行线的性质；三角形的外角性质． 【专题】压轴题．压轴题． 【分析】（1）延长AP 后通过外角定理可得出结论．后通过外角定理可得出结论． （2）利用外角定理可直接得出答案．）利用外角定理可直接得出答案．（3）延长BA 到E ，延长DC 到F ，利用内角和定理解答．，利用内角和定理解答．=S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；明理由；（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．的面积是否发生变化？说明理由．【考点】平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 【专题】压轴题．压轴题． 【分析】（1）若要PE ∥AB ，则应有，故用t 表示DE 和DP 后，代入上式求得t 的值；值； （2）过B 作BM ⊥CD ，交CD 于M ，过P 作PN ⊥EF ，交EF 于N ．由题意知，四边形CDEF 是平行四边形，可证得△DEQ ∽△BCD ，得到，求得EQ 的值，再由△PNQ ∽△BMD ，得到，求得PN 的值，利用S △PEQ =EQ •PN 得到y 与t 之间的函数关系式；之间的函数关系式；（3）利用S △PEQ =S △BCD 建立方程，求得t 的值；的值；（4）易得△PDE ≌△FBP ，故有S 五边形PFCDE =S △PDE +S 四边形PFCD=S △FBP +S 四边形PFCD =S △BCD ，即五边形的面积不变．即五边形的面积不变． 【解答】解：（1）当PE ∥AB 时，时， ∴．而DE=t ，DP=10﹣t ， ∴， ∴，∴当（s ），PE ∥AB ．即∠P=360°﹣（∠P AB+∠PCD ）． 【点评】本题考查本题考查平行线平行线的性质，难度不大，注意图形的变化带来的影响，不要有惯性思维． 2．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=6cm ，CD=4cm ，BC=BD=10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥AB ；（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，方向匀速运动，∴EF平行且等于CD，是平行四边形．∴四边形CDEF是平行四边形．∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．∵BC=BD=10，∴△DEQ∽△BCD．∴．．∴．过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，∴CM=CD=2cm，∴cm，∵EF∥CD，∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，又∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∴∠BQF=∠BFG，∵ED∥BC，∴∠DEQ=∠QFB，又∵∠EQD=∠BQF，∴∠DEQ=∠DQE，∴DE=DQ，∴ED=DQ=BP=t，∴PQ=10﹣2t．又∵△PNQ∽△BMD，∴．∴．∴．∴S△PEQ=EQ•PN=××．（3）S△BCD=CD•BM=×4×4=8，若S△PEQ=S△BCD，则有﹣t 22+t=×8，解得t 1=1，t 2=4．（4）在△PDE 和△FBP 中，中，∵DE=BP=t ，PD=BF=10﹣t ，∠PDE=∠FBP ， ∴△PDE ≌△FBP （SAS ）．∴S 五边形PFCDE =S △PDE +S 四边形PFCD=S △FBP +S 四边形PFCD =S △BCD =8．∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．由．【考点】平行线的性质；梯形；相似三角形的应用． 【专题】压轴题．压轴题． 【分析】（1）根据夹在两条平行线间的线段相等，进行画图或构造等腰三角形等均可；）根据夹在两条平行线间的线段相等，进行画图或构造等腰三角形等均可； （2）只要画出一个轴对称图形和两条平行线相交形成一个轴对称图形即可；）只要画出一个轴对称图形和两条平行线相交形成一个轴对称图形即可；（3）根据题意，即是比较（S 1+S 2）和（S 3+S 4）的大小，根据平行得到相似三角形，进一步求得相似三角形的相似比，根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，运用其中一个三角形的面积表示出其它三个三角形的面积，再进一步运用求差法进行比较大小．较大小．【点评】本题利用了本题利用了平行线平行线的性质，的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．3．（2005•陕西）已知：直线a ∥b ，P 、Q 是直线a 上的两点，M 、N 是直线b 上两点．上两点． （1）如图①，线段PM 、QN 夹在平行直线a 和b 之间，四边形PMNQ 为等腰梯形，其两腰PM=QN ．请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条线段相等；之间的两条线段相等；（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a 、b 去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”．把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）．请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a 和b 之间的两条曲线段相等；曲线段相等；（3）如图④，若梯形PMNQ 是一块绿化地，梯形的上底PQ=m ，下底MN=n ，且m ＜n ．现计划把价格不同的两种花草种植在S 1、S 2、S 3、S 4四块地里，使得价格相同的花草不相邻．为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理【解答】解：（1）（3分）分）分）（2）（6分）同底等高，（3）∵△PMN和△QMN同底等高，∴S△PMN=S△QMN．∴S3+S2=S4+S2．分）∴S3=S4．（7分）∵△POQ∽△NOM，∴==，分）．（8分）∴S2=．∵，分）∴．（9分）分） ∴（S1+S2）﹣（S3+S4）=S1+S1﹣2•S1=S1（1+﹣2•）=S1（1﹣）2（10分）∵m＜n，∴（）2＞0．分）∴S1+S2＞S3+S4．（11分）故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的面积之和大于另两块分）地的面积之和．（12分）【点评】此题中能够根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比是相似比的平方找到三角形中的面积关系．形中的面积关系．4．（2016春•北流市校级期中）（1）如图甲，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么，为什么？为什么？一样大吗？为什么？（2）如图乙，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5一样大吗？为什么？哪个大？为什么？（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7哪个大？为什么？你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．你能将它们推广到一般情况吗？请写出你的结论．【考点】平行线的性质．【分析】（1）首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF，根据平行线的性质，易得∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；（2）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．（3）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．【解答】解：（1）∠2=∠1+∠3．过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=∠1，∠CEF=∠3，∴∠2=∠BEF+∠CEF=∠1+∠3；（2）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；（3）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7．归纳：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．归纳：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等．对．对． （2）n （n ≥2）条直线交于一点，对顶角有）条直线交于一点，对顶角有 n （n ﹣1） 对．对． 【考点】对顶角、邻补角；规律型：图形的变化类． 【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论；题结论；（2）利用（1）中规律得出答案即可．）中规律得出答案即可． 【解答】解：（1）如图①两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；对对顶角；…；按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90，故答案为：90；（2）由（1）得：n （n ≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n （n ﹣1）． 故答案为：n （n ﹣1）．【点评】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，本题是一个探索规律型的题目，本题是一个探索规律型的题目，解决时解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题．【点评】此题考查了此题考查了平行线平行线的性质．的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．结合思想的应用． 5．（2015•凉山州一模）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有条直线交于一点，对顶角有 906．（2015•长春二模）探究：如图①，点A 在直线MN 上，点B 在直线MN 外，连结AB ，过线段AB 的中点P 作PC ∥MN ，交∠MAB 的平分线AD 于点C ，连结BC ，求证：BC ⊥AD ． 应用：如图②，点B 在∠MAN 内部，连结AB ，过线段AB 的中点P 作PC ∥AM ，交∠MAB的平分线AD 于点C ；作PE ∥AN ，交∠NAB 的平分线AF 于点E ，连结BC 、BE ．若∠MAN=150°，则∠CBE 的大小为的大小为 105度． 【考点】平行线的性质；垂线．【分析】探究：根据角平分线的定义和平行线的性质得出∠PCA=∠P AC ，根据等角对等边得出PC=P A ，再得出PC=PB ，利用三角形的内角和证明即可；，利用三角形的内角和证明即可； 应用：根据探究中的证明得出∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，再由角平分线得出∠BAC+∠BAE=75°，最后得出答案即可．，最后得出答案即可． 【解答】解：探究：∵PC ∥MN ， ∴∠PCA=∠MAC ．∵AD 为∠MAB 的平分线，的平分线， ∴∠MAC=∠P AC ． ∴∠PCA=∠P AC ，∴PC=P A ． ∵P A=PB ， ∴PC=PB ，∴∠B=∠BCP ．∵∠B+∠BCP+∠PCA+∠PAC=180°， ∴∠BCA=90°，∴BC ⊥AD ；应用：∵∠MAB 的平分线AD ，∠NAB 的平分线AF ，∠MAN=150°， ∴∠BAC+∠BAE=75°，∵∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°， ∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=180°﹣75°=105° 故答案为：105．【点评】本题考查了平行线的性质，本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，角平分线的定义，是基础题，角平分线的定义，是基础题，熟记性质与概念并准确识熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．图是解题的关键． 7．（2015秋•东明县期末）如图，直线AB 与CD 相交于点O ，∠AOM=90°． （1）如图1，若OC 平分∠AOM ，求∠AOD 的度数；的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠NOB ，且OM 平分∠NOC ，求∠MON 的度数．的度数．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．，然后根据邻补角的定义求解即可； 【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；（2）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON，，然后求解即可．再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．【解答】解（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°，即∠AOD的度数为135°；（2）∵∠BOC=4∠NOB ∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，∴∠CON=∠COB﹣∠BON=4x°﹣x°=3x°，∵OM平分∠CON，∴∠COM=∠MON=∠CON=x°，∵∠BOM=x+x=90°，∴x=36°，∴∠MON=x°=×36°=54°，即∠MON的度数为54°．本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解此类题目熟记概念并准确识图是解【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，列出方程．题的关键，（2）难点在于根据∠BOM列出方程．8．（2015秋•麒麟区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OM平分∠AOD，ON平分∠DOE．（1）若∠EON=18°，求∠AOC的度数．的度数．的数量关系，并说明理由．（2）试判断∠MON与∠AOE的数量关系，并说明理由．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；垂线．【分析】（1）直接利用角平分线的性质得出∠DOE的度数，再求出∠DOB的度数，进而得出答案；出答案；进而求出答案．（2）直接利用未知数表示出∠AOD、∠MOD、∠MON进而求出答案．【解答】解：（1）∵ON平分∠DOE，∴∠DOE=2∠EON=36°，∵∠BOE=∠DOE+∠DOB=90°，∴∠DOB=∠BOE﹣∠DOE=54°，∴∠AOC=∠DOB=54°；（2）∠DON=∠AOE 理由：设∠DON=x°，∵ON平分∠DOE，∴∠DOE=2∠DON=2x°，∵∠AOE+∠BOE=180°，∠BOE=90°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=90°，∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=（90+2x）°，∵OM平分∠AOD，∴∠MOD=（90+2x）°=（45+x）°，∴∠MON=∠MOD﹣∠DON=45°，∴∠MON=∠AOE=45°．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及垂线定义和邻补角的定义，正确表示出∠AOD 的度数是解题关键．的度数是解题关键．9．（2015春•苏州期末）如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON 的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．（1）填空：∠OBC+∠ODC=180°；（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：（3）如图2：若BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．并说明理由．平行线的判定．垂线；平行线【考点】垂线；，然后利用四边形内角和求解；【分析】（1）先利用垂直定义得到∠MON=90°，然后利用四边形内角和求解；（2）延长DE交BF于H，如图，由于∠OBC+∠ODC=180°，∠OBC+∠CBM=180°，根据等角的补角相等得到∠ODC=∠CBM，由于DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，则∠CDE=∠FBE，然后根据三角形内角和可得∠BHE=∠C=90°，于是DE⊥BF；（3）作CQ∥BF，如图2，由于∠OBC+∠ODC=180°，则∠CBM+∠NDC=180°，再利用BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，则∠GDC+∠FBC=90°，根据平行线的性质，由CQ∥BF 得∠FBC=∠BCQ，加上∠BCQ+∠DCQ=90°，则∠DCQ=∠GDC，于是可判断CQ∥GD，所以BF∥DG．【解答】（1）解：∵OM⊥ON，∴∠MON=90°，在四边形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；故答案为180°；（2）证明：延长DE交BF于H，如图1，∵∠OBC+∠ODC=180°，而∠OBC+∠CBM=180°，∴∠ODC=∠CBM，∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，∴∠CDE=∠FBE，而∠DEC=∠BEH，∴∠BHE=∠C=90°，∴DE⊥BF；．理由如下：（3）解：DG∥BF．理由如下：作CQ∥BF，如图2，∵∠OBC+∠ODC=180°，∴∠CBM+∠NDC=180°，的外角，∵BF、DG分别平分∠OBC、∠ODC的外角，∴∠GDC+∠FBC=90°，∵CQ ∥BF ，∴∠FBC=∠BCQ ，而∠BCQ+∠DCQ=90°， ∴∠DCQ=∠GDC ，∴CQ ∥GD ，∴BF ∥DG． 的距离，线段的距离，线段 PC 的长的长 是点C 到直线OB 的距离．距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC 、PH 、OC 这三条线段大小关系是这三条线段大小关系是 PH ＜PC ＜OC （用“＜”号连接）号连接）【考点】垂线段最短；点到直线的距离；作图—基本作图．【专题】作图题．作图题．【分析】（1）（2）利用方格线画垂线；）利用方格线画垂线；（3）根据点到直线的距离的定义得到线段PH 的长度是点P 到OA 的距离，线段OP 的长是点C 到直线OB 的距离；的距离；（4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到PC ＞PH ，CO ＞CP ，即可得到线段PC 、PH 、OC 的大小关系．的大小关系．【解答】解：（1）如图：）如图：（2）如图：）如图：（3）直线0A 、PC 的长．的长．【点评】本题考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．它们的交点叫做垂足．它们的交点叫做垂足．也考也考查了查了平行线平行线的判定与性质．的判定与性质．10．（2015秋•吴江区期末）如图，点P 是∠AOB 的边OB 上的一点．上的一点．（1）过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C ，（2）过点P 画OA 的垂线，垂足为H ，（3）线段PH 的长度是点P 到 直线OA。
第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第3课时——平行线及其性质（答案卷）知识点一：平行线：1.平行线的定义：在同一平面内，的两条直线叫做平行线。
若直线a平行于直线b，则记作，读作。
注意：一定要在同一平面内。
且一定要时直线。
2.平行线的画法：过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤：①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。
③固定直尺不变，平移三角尺，使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。
④沿着三角尺该直角边画直线。
【类型一：确定平行线】1．在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．无法确定2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【类型二：作图】4．如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？5．在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1，再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2．知识点二：平行公理及其推论：1. 平行公理：经过直线外一点， 条直线与这条直线平行。
有且只有：存在且唯一。
2. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即若c b b a ∥，∥， 则a c 。
3. 垂直于同一直线的两直线平行：若c a b a ⊥⊥，，则b c 。
【类型一：对平行公理及其推论的判断理解】6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法正确的是（ ）A ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．a 、b 、c 是直线，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cC ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ⊥c ，则a ∥cD ．a 、b 、c 是直线，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c8．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．没有确定关系9．下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列说法不正确的是（）A．过马路的斑马线是平行线B．100米跑道的跑道线是平行线C．若a∥b，b∥d，则a⊥dD．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三：平行线的性质：1.两直线平行，同位角相等：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2021-2022学年苏科新版七年级数学下7.2探索平行线的性质最新试题同步练习课时作业含答案解析
2022年7.2探索平行线的性质一．选择题（共15小题）1．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（）A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°2．（2021春•南京期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°3．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）A．65°B．70°C．75°D．80°4．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（）A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠BC．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180°D．若∠1＝∠2，则AD∥BC5．（2021秋•东西湖区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠EFB+∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为（）A．129°B．128°C．127°D．126°6．（2021春•盐城期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（）A．30°B．60°C．50°D．40°7．（2021春•高新区月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝35°，则∠E的度数为（）A．75°B．35°C．110°D．40°8．（2021春•金乡县期末）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（）A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④9．（2021春•莱阳市期末）如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（）A．134°B．124°C．114°D．104°10．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D 分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（）A．45°B．36°C．72°D．18°11．（2021•金坛区模拟）如图，已知a∥b，m∥n，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°12．（2021•常州一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝44°时，∠1的大小为（）A．56°B．46°C．36°D．34°13．（2021•阜宁县二模）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（）A．45°B．60°C．40°D．30°14．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°15．（2021•建湖县二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE ＝γ，则（）A．β＜α＜γB．β＜γ＜αC．α＜γ＜βD．α＜β＜γ二．填空题（共18小题）16．（2020秋•滨海县期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝64°，则∠DEF＝°．17．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝°．18．（2021•阜宁县模拟）如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝．19．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝．20．（2021•常州二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是．21．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为．22．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是°．23．（2021春•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝°．24．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝°．25．（2021春•嘉兴期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝47°，则∠BGP＝．26．（2021春•无锡期末）已知AB∥CD，P是平面内一点，作PE⊥AB，垂足为E，F为CD 上一点，且∠PFD＝130°，则∠EPF的度数是．27．（2021春•东台市月考）平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝．28．（2021春•金坛区期末）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为．29．（2021春•玄武区校级期中）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．现有下列五个式子：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β，在这五个式子中，可以表示成∠AEC的度数的是．（请填序号）30．（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF ＝°．31．（2021春•天宁区校级月考）“浏阳河弯过九进有，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝6∠CDE，∠BCD＝4∠CDE，则∠CDE＝．32．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝．33．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动秒时，射线AM与射线BQ互相平行．三．解答题（共6小题）34．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．求证：∠F＝90°．证明：∵AG∥CD（已知）∴∠ABC＝∠BCD（）∵∠ABE＝∠FCB（已知）∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB即∠EBC＝∠FCD∵CF平分∠BCD（已知）∴∠BCF＝∠FCD（）∴＝∠BCF（等量代换）∴BE∥CF（）∴＝∠F（）∵BE⊥AF（已知）∴＝90°（）∴∠F＝90°．35．（2020秋•米易县期末）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学．王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．请你用所学知识证明：AD∥BC．36．（2021秋•农安县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．37．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．38．（2020秋•石狮市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（），∴∠BAE+∠DCE＝+（等式的性质）．即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是．（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．39．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到的距离，是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是（用“＜”号连接）2022年7.2探索平行线的性质参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2021春•澧县期末）如图，AF∥BE∥CD，若∠1＝40°，∠2＝50°，∠3＝120°，则下列说法正确的是（）A．∠F＝100°B．∠C＝140°C．∠A＝130°D．∠D＝60°【解答】解：∵BE∥CD，∴∠2+∠C＝180°，∠3+∠D＝180°，∵∠2＝50°，∠3＝120°，∴∠C＝130°，∠D＝60°，∵AF∥BE，∠1＝40°，∴∠A＝180°﹣∠1＝140°，∠F的值无法确定．故选：D．2．（2021春•南京期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．65°B．60°C．55°D．50°【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝65°，∴∠ABC＝∠1＝65°，∠ABD+∠BDC＝180°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABC＝130°，∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，∴∠2＝∠BDC＝50°．故选：D．3．（2021•庐阳区校级模拟）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝55°，则∠2的大小是（）A．65°B．70°C．75°D．80°【解答】解：∵∠3＝60°，∠1＝55°，∴∠1+∠3＝115°，∵AD∥BC，∴∠1+∠3+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣115°＝65°．故选：A．4．（2021春•醴陵市期末）如图，下列结论不正确的是（）A．若∠2＝∠C，则AE∥CD B．若AD∥BC，则∠1＝∠BC．若AE∥CD，则∠1+∠3＝180°D．若∠1＝∠2，则AD∥BC【解答】解：A：∵∠2＝∠C，由同位角相等两直线平行，可得AE∥CD，故A正确，B：∵AD∥BC，∴∠1＝∠2，而∠2和∠B不一定相等，故B错误，C：∵AE∥CD，由两直线平行同旁内角互补，可得：∠1+∠3＝180°，故C正确，D：∵∠1＝∠2，由内错角相等两直线平行，可得：AD∥BC，故D正确．故选：B．5．（2021秋•东西湖区期中）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠EFB+∠HGC＝116°，则∠IPK的度数为（）A．129°B．128°C．127°D．126°【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠可知：∠IPF＝∠B＝90°，∠KPG＝∠C＝90°，EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝116°，∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝232°，∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣232°＝128°，∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣128°＝52°，∴∠IPK＝360°﹣∠IPF﹣∠KPG﹣∠FPG＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°．故选：B．6．（2021春•盐城期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD∥BC，将长方形纸片沿BD折叠，点A落在点E处，DE交边BC于点F，若∠ADB＝20°，则∠DFC等于（）A．30°B．60°C．50°D．40°【解答】解：由折叠的性质得∠ADB＝∠EDB，∴∠ADF＝2∠ADB，∵∠ADB＝20°，∴∠ADF＝2×20°＝40°，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠ADF＝40°，故选：D．7．（2021春•高新区月考）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠D＝35°，则∠E的度数为（）A．75°B．35°C．110°D．40°【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠DEF＝180°，∵∠B＝75°，∠D＝35°，∴∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣75°＝105°，∠DEF＝180°﹣∠D＝180°﹣35°＝145°，∴∠BED＝∠DEF﹣∠BEF＝145°﹣105°＝40°，故选：D．8．（2021春•金乡县期末）如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD∥CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（）A．①②B．①③④C．①②④D．①②③④【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，∴AB∥CD且∠ACB＝∠CAD，∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴答案①正确；∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D，而∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠D＝∠ABC，∴答案②正确；又∵∠CEF+∠CBF＝90°，∠AFB+∠ABF＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∠AFB＝∠CFE，∴∠CEF＝∠AFB＝∠CFE，∴答案④正确；∵∠ECD＝∠CAD，∠EBC＝∠EBA，∴∠ECD+∠EBC＝∠CFE＝∠BEC，∴答案③正确．故选：D．9．（2021春•莱阳市期末）如图，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（）A．134°B．124°C．114°D．104°【解答】解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝34°，∵ED∥AC，∴∠CAE+∠AED＝180°，∴∠DEA＝180°﹣34°＝146°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠AEB+∠BED+∠AED＝360°，∴∠BED＝360°﹣146°﹣90°＝124°，故选：B．10．（2021春•工业园区校级月考）如图，将一张长方形的纸片沿折痕EF翻折，使点C、D 分别落在点M、N的位置，且∠BFM＝∠EFM，则∠AEN的度数为（）A．45°B．36°C．72°D．18°【解答】解：设∠MFB＝x°，则∠MFE＝∠CFE＝2x°，∵x+2x+2x＝180，∴x＝36，∴∠MFE＝72°＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE＝72°，又∵NE∥MF，∴∠AEN＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故选：B．11．（2021•金坛区模拟）如图，已知a∥b，m∥n，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：∵m∥n，∴∠1+∠3＝180°，∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣∠1＝110°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝110°，故选：B．12．（2021•常州一模）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝44°时，∠1的大小为（）A．56°B．46°C．36°D．34°【解答】解：∵直尺的对边互相平行，∠2＝44°，∴∠2＝∠3＝44°，∵∠1+∠3＝90°，∴∠1＝46°，故选：B．13．（2021•阜宁县二模）如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（）A．45°B．60°C．40°D．30°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，又∵∠A＝120°，∴∠ACD＝60°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝30°，∴∠1＝30°，故选：D．14．（2021•焦作模拟）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（）A．60°B．65°C．72°D．75°【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠AEF＝2x＝72°，故选：C．15．（2021•建湖县二模）如图，在4×4的正方形网格中，记∠ABF＝α，∠FCH＝β，∠DGE ＝γ，则（）A．β＜α＜γB．β＜γ＜αC．α＜γ＜βD．α＜β＜γ【解答】解：由图知，∠FBG＜45°，∴α＝∠ABF＝180°﹣45°﹣∠FBG＞90°；由图知，∠DGF＝45°，∠EGH＝45°，∴γ＝∠DGE＝180°﹣∠DGF﹣∠EGH＝180°﹣45°﹣45°＝90°，由图知，∠MCH＜45°，∠BCF＝45°，∴β＝∠FCH＝180°﹣∠BCF﹣∠MCH＝180°﹣45°﹣∠MCH＜90°，∴β＜γ＜α，故选：B．二．填空题（共18小题）16．（2020秋•滨海县期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝64°，则∠DEF＝58°．【解答】解：∵∠AEG＝64°，∴∠DEG＝180°﹣∠AEG＝116°，由折叠得：EF平分∠DEG，∴∠DEF＝∠DEG＝58°，故答案为：58°．17．（2021•射阳县二模）将一副直角三角板如图摆放，点D落在AC边上，BC∥DF，则∠1＝105°．【解答】解：如图，根据题意得，∠EDF＝45°，∵BC∥DF，∠B＝60°，∴∠2＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2+∠EDF＝60°+45°＝105°，故答案为：105．18．（2021•阜宁县模拟）如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝50°．【解答】解：如图：∵∠2＝130°，∴∠3＝180°﹣∠2＝50°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝50°．故答案为：50°．19．（2021•姑苏区校级二模）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，若∠A＝100°，则∠3＝40°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∠2＝∠3，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝40°，∴∠3＝∠2＝40°．故答案为：40°．20．（2021•常州二模）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是122°．【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故答案为：122°．21．（2021春•江宁区月考）如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，若∠BCD＝25°，则∠A的度数为130°．【解答】解：∵AB∥CD，∠BCD＝25°，∴∠ABC＝∠BCD＝25°，∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝130°，故答案为：130°．22．（2021春•常熟市期中）如图，直线a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数是70°．【解答】解：∵∠1＝110°，∴∠3＝180°﹣∠1＝70°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝70°，故答案为：70．23．（2021春•海淀区校级期末）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D落在BC上的点D'处，点C落在点C'处．若∠DEF＝62°，则∠C'FD'＝56°．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠EFB＝62°，∴∠EFC＝118°，由翻折可得：∠EFC′＝∠EFC＝118°，∴∠C'FD'＝118°﹣62°＝56°，故答案为：56．24．（2021•姑苏区校级一模）如图，直线a∥b，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝27°，则∠2＝117°．【解答】解：如图，∵∠1＝27°，∠CAB＝90°，∴∠BAD＝∠1+∠CAB＝117°，∵a∥b，∴∠2＝∠BAD＝117°．故答案为：117．25．（2021春•嘉兴期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠EFG＝47°，则∠BGP＝86°．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝47°，∠BGP＝∠AEP，由折叠的性质得到∠GEF＝∠DEF＝47°，∴∠AEP＝180°﹣∠DEF﹣∠GEF＝86°，∴∠BGP＝86°．故答案为：86°．26．（2021春•无锡期末）已知AB∥CD，P是平面内一点，作PE⊥AB，垂足为E，F为CD 上一点，且∠PFD＝130°，则∠EPF的度数是140°或40°．【解答】解：（1）点P在直线AB、CD之间，过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠FPM+∠PFD＝180°，∵∠PFD＝130°，∴∠FPM＝50°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∵PM∥AB，∴∠PEB+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝90°，∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝90°+50°＝140°；（2）点P在直线AB、CD外，延长PE交CD于点M，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠PMF＝∠PEB＝90°，∵∠PFD＝∠EPF+∠PMF，∠PFD＝130°，∴∠EPF＝∠PFD﹣∠PMF＝40°，故答案为：140°或40°．27．（2021春•东台市月考）平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝40°或140°．【解答】解：如图1所示，∵∠A和∠B的两边互相平行，∴∠A＝∠1，∠1＝∠B．∴∠B＝∠A＝40°；如图2所示，∵∠A和∠B的两边互相平行，∴∠A＝∠1，∠1+∠B＝180°．∴∠B＝140°；故答案为：40°或140°．28．（2021春•金坛区期末）若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A﹣2∠B＝15°，则∠B的度数为75°或25°．【解答】解：如图1：∵AE∥BF，∴∠A+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠A，∵∠A﹣2∠B＝15°，∴∠1＝180°﹣（2∠B+15°）＝165°﹣2∠B，∵AC⊥BC，∴∠1+∠B＝90°，∴165°﹣2∠B+∠B＝90°，∴∠B＝75°；如图2：∵AE∥BF，∴∠A＝∠1，∵∠A﹣2∠B＝15°，∴∠1＝2∠B+15°，∵AC⊥BC，∴∠1+∠B＝90°，∴2∠B+15°+∠B＝90°，∴∠B＝25°；综上，∠B的度数为75°或25°．故答案为：75°或25°．29．（2021春•玄武区校级期中）如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．现有下列五个式子：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④180°﹣α﹣β，⑤360°﹣α﹣β，在这五个式子中，可以表示成∠AEC的度数的是①②③⑤．（请填序号）【解答】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C＝β﹣α．（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，∴∠AE2C＝α+β．（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C＝α﹣β．（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC＝α﹣β或β﹣α．综上所述，∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β，一共4个．故答案为：①②③⑤．30．（2021春•大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF ＝61或119°．【解答】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝58°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF＝∠BEF＝29°，∴∠FGE＝29°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．则∠PGF的度数为61°或119°．故答案为：61或119．31．（2021春•天宁区校级月考）“浏阳河弯过九进有，五十里水路到湘江．”如图所示，某段河水流经B，C，D三点拐弯后与原来流向相同，若∠ABC＝6∠CDE，∠BCD＝4∠CDE，则∠CDE＝20°．【解答】解：由题意得，AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝6∠CDE，∴∠BCF＝180°﹣6∠CDE，∵∠CDE＝∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝180°﹣6∠CDE+∠CDE＝180°﹣5∠CDE，∵∠BCD＝∠4CDE，∴180°﹣5∠CDE＝4∠CDE，∴∠CDE＝20°．故答案为：20°．32．（2021秋•吴江区月考）如图把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'处，∠AED'＝40°，则∠BFC′＝40°．【解答】解：由题意得：∠D′EF＝∠DEF＝，∠EFC＝∠EFC′．∵∠AED'＝40°，∴∠DED′＝180°﹣∠AED'＝140°．∴∠DEF＝＝70°．∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC．∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∠EFC＝180°﹣∠DEF＝110°．∴∠EFC′＝110°．∴∠BFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝110°﹣70°＝40°．故答案为：40°．33．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣6|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动15秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动或18秒时，射线AM与射线BQ互相平行．【解答】解：∵|a﹣6|+（b﹣1）2＝0；∴a＝6，b＝1，设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．如图，射线AM绕点A顺时针先转动15秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝15×6°＝90°，分两种情况：①当＜t＜15时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝（6t）°，∵PQ∥MN，∠BAN＝45°＝∠ABQ，∵∠MAM'＝90°，∴∠M'AB＝45°，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝（6t）°﹣45°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝（6t）°﹣45°，解得t＝；②当15＜t＜时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝（6t）°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣[（6t）°﹣90°]＝135°﹣（6t）°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝135°﹣（6t）°，当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，此时，45°﹣t°＝135°﹣（6t）°，解得t＝18；综上所述，射线AM再转动秒或18秒时，射线AM、射线BQ互相平行．故答案为：或18．三．解答题（共6小题）34．（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．求证：∠F＝90°．证明：∵AG∥CD（已知）∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）∵∠ABE＝∠FCB（已知）∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB即∠EBC＝∠FCD∵CF平分∠BCD（已知）∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义）∴∠EBC＝∠BCF（等量代换）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等）∵BE⊥AF（已知）∴∠BEF＝90°（垂直的定义）∴∠F＝90°．【解答】证明：∵AG∥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∵∠ABE＝∠FCB（已知），∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，即∠EBC＝∠FCD，∵CF平分∠BCD（已知），∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），∵BE⊥AF（已知），∴∠BEF＝90°（垂直的定义），∴∠F＝90°．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．35．（2020秋•米易县期末）庚子年初，突如其来的疫情，给我们的生活按下了“暂停键”，春季开学延期．我市各学校积极响应教育局“停课不停学”的号召，实行线上教学．王老师发现他的电脑桌支架形状正好与他最近所讲授的数学知识有关，于是，数学课上王老师提出如下问题：如图是电脑桌支架的截面示意图，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．请你用所学知识证明：AD∥BC．【解答】证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠CFE，∵∠CFE＝∠E，∴∠BAE＝∠E，∴∠E＝∠DAE，∴AD∥BC．36．（2021秋•农安县期末）如图，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求证：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度数．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°37．（2021秋•农安县期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接P A、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为∠CDP+∠P AB﹣APD ＝180°．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠P AN+∠P AB＝∠APD，求∠AND的度数．【解答】解：（1）如图1，过点P作EF∥AB，∵∠A＝50°，∴∠APE＝∠A＝50°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CDP+∠EPD＝180°，∵∠D＝150°，∴∠EPD＝180°﹣150°＝30°，∴∠APD＝∠APE+∠EPD＝50°+30°＝80°；（2）如图2，过点P作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∴∠CDP＝∠DPF，∠FP A+∠P AB＝180°，∵∠FP A＝∠DPF﹣APD，∴∠DPF﹣APD+∠P AB＝180°，∴∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°，故答案为：∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°；（3）如图3，PD交AN于点O，∵AP⊥PD，∴∠APO＝90°，∵∠P AN+∠P AB＝∠APD，∴∠P AN+∠P AB＝90°，∵∠POA+∠P AN＝90°，∴∠POA＝∠P AB，∵∠POA＝∠NOD，∴∠NOD＝∠P AB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN＝∠PDC，∴∠AND＝180°﹣∠NOD﹣∠ODN＝180°﹣（∠P AB+∠PDC），由（2）得：∠CDP+∠P AB﹣APD＝180°，∴∠CDP+∠P AB＝180°+∠APD，∴∠AND＝180°﹣（∠P AB+∠PDC）＝180°﹣（180°+∠APD）＝180°﹣（180°+90°）＝45°．38．（2020秋•石狮市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（两直线平行，内错角相等），∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）．即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．【解答】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，（2）①由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF＝∠BAE+∠DCE＝∠AEC＝×74°＝37°；②由①得：∠AEC＝2∠AFC，∵∠AEC+∠AFC＝126°，∴∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，∵CG⊥AF，∴∠CGF＝90°，∴∠GCF＝48°，∵CE平分∠DCG，∴∠GCE＝∠ECD，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，∴∠GCF＝3∠DCF，∴∠DCF＝16°，∴∠DCE＝32°，∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．39．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC（用“＜”号连接）【解答】解：（1）如图：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．第41页（共41页）。
2.3.1 平行线的性质(作业)-2020-2021学年七年级数学下(北师大版)
2.3.1 平行线的性质一、选择题。
1．一副三角板如图摆放，且AB∥CD，则∥1的度数为（）A．80°B．60°C．105°D．75°2．如图，AB∥CD，∥1＝65°，∥2＝35°，则∥B＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°3．如图，将直尺与含30°角的直角三角板叠放在一起，若∥1＝140°，则∥2的度数是（）A．105°B．100°C．110°D．120°4．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B两点，AC∥AB于点A，交直线b于点C，如果∥1＝58°，那么∥2的度数为（）A．32°B．42°C．58°D．122°5．如图，已知直线AB∥CD，∥GEB的平分线EF交CD于点F，∥1＝30°，则∥2等于（）A．135°B．145°C．155°D．165°6．如图，AB∥DE，BC∥EF，∥B＝50°，则∥E的度数为（）A．50°B．120°C．130°D．150°二、填空题。
7．∥1的两边与∥2的两边分别平行，且∥2是∥1的余角的4倍，则∥1＝．8．如图，AB∥CD，∥A＝40°，∥C＝30°，则∥AEC的度数为°．9．如图，已知AB∥CD∥EF，∥1＝60°，∥3＝20°，则∥2＝．10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C'，D'的位置上，EC'交AD于点G．已知∥EFG＝58°，那么∥BEG＝度．11．已知∥MON＝40°，OE平分∥MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D，设∥OAC＝x°，若AB∥ON，当x＝时，使得∥ADB中有两个相等的角．三、解答题。
七年级数学下册《平行线的性质》练习题及答案解析
七年级数学下册《平行线的性质》练习题及答案解析一、选择题（共20小题）1. 如图，若l1∥l2，l3∥l4，则图中与∠1互补的角有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图，AB∥CD，∠B=75∘，∠E=27∘，则∠D的度数为( )A. 45∘B. 48∘C. 50∘D. 58∘3. 如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=60∘，下列结论一定成立的是( )A. ∠C=60∘B. ∠DAB=60∘C. ∠EAC=60∘D. ∠BAC=60∘4. 如图，已知AD∥BC，下列结论不一定正确的是( )A. ∠A+∠ABC=180∘B. ∠1=∠2C. ∠A=∠3D. ∠C=∠35. 如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1=50∘，则∠2的度数为( )A. 130∘B. 150∘C. 50∘D. 100∘6. 如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是( )A. 相等B. 互余或互补C. 互补D. 相等或互补7. 如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1=60∘，则下列结论错误的是( )A. ∠2=60∘B. ∠3=60∘C. ∠4=120∘D. ∠5=40∘8. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=50∘，则∠2的度数为( )A. 40∘B. 50∘C. 130∘D. 150∘9. 如图，已知AB∥CD，∠1=100∘，∠2=145∘，那么∠F=( )A. 55∘B. 65∘C. 75∘D. 85∘10. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1=30∘，则∠2的度数为( )A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 30∘11. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=25∘，那么∠2的度数为( )A. 25∘B. 30∘C. 45∘D. 65∘12. 如图，两直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1=65∘，则∠2的度数为( )A. 65∘B. 105∘C. 115∘D. 125∘13. 如图，直线AD∥BC，若∠1=74∘，∠BAC=56∘，则∠2的度数为( )A. 70∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘14. 如图所示，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a，b上，已知∠1=55∘，则∠2的度数为( )A. 45∘B. 125∘C. 55∘D. 35∘15. 如图，已知AB∥CD，∠1=100∘，∠2=145∘，那么∠F=( )A. 55∘B. 65∘C. 75∘D. 85∘16. 如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40∘，则∠BAE的度数是( )A. 40∘B. 70∘C. 80∘D. 140∘17. 如图，直线a∥b，直线c分别与直线a，b相交于点A，B，且AC垂直直线c于点A，若∠1=40∘，则∠2的度数为( )A. 140∘B. 90∘C. 50∘D. 40∘18. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180∘，这个多边形的边数是( )A. 5B. 6C. 7D. 819. 经过点P(−4,3)垂直于x轴的直线可以表示为( )A. 直线x=3B. 直线y=−4C. 直线x=−4D. 直线y=320. 如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC=40∘，则∠BCD的度数是( )A. 140∘B. 130∘C. 120∘D. 110∘二、填空题（共8小题）21. 如图，已知直线AB∥CD，∠1=50∘，则∠2=．22. 如图所示，一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，即拐弯前、后的两条路平行，若第—次拐角是150∘，则第二次拐角大小为度．23. 如图，l1∥l2，∠1=120∘，∠2=100∘，则∠3=．24. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=．25. 如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO=a∘．则下列结论：(180−a)∘；①∠BOE=12②OF平分∠BOD；③∠POE=∠BOF；④∠POB=2∠DOF．其中正确结论（填编号）．26. 小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，工人师傅告诉他：AB∥CD，∠A=40∘，∠1=70∘，小明马上运用已学的数学知识得出了∠C 的度数，聪明的你一定知道∠C=．27. 如图，AD∥CE，∠ABC=100∘，则∠2−∠1的度数是．28. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45∘角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75∘，则∠PNM等于度．三、解答题（共6小题）29. 如图，已知：点P在直线CD上，∠BAP+∠APD=180∘，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．30. 已知AB∥CD，E为AB，CD同侧上一点．（1）如图1，过点E作EF∥AB．求证：∠CEA=∠EAB−∠ECD．（2）如图2，E，B，D三点在一条直线上，EA平分∠CED，若∠C=50∘，∠EAB=80∘，求∠CED的度数；（3）如图3，CH，AH交于点H，∠BAH=2∠EAH，∠DCH=40∘，∠DCE=60∘，求∠H的值．∠E31. 如图，∠AOB=120∘，射线OC在∠AOB内，且∠AOC=30∘，OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．（1）依题意补全图形；（2）求∠EOC的度数．32. 复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零，这是一种常见的数学解题思想．（1）如图①，直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了对同旁内角；（2）如图②，平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A，B，C，图中一共有对同旁内角；（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角；（4）平面内n条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角．33. 如图，直线AB，CD被m，n所截，已知：∠1=110∘，∠2=70∘．（1）试判断AB，CD的位置关系，并说明理由．（2）已知AD平分∠BAC，若∠3=120∘，求∠BAD的度数．34. 如图，直线AB∥CD，DE∥BC．（1）判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由．（2）设∠B=(2x+15)∘，∠D=(65−3x)∘，求∠1的度数．参考答案与解析1. D2. B【解析】∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵∠1=∠D+∠E，∴∠D=∠B−∠E=75∘−27∘=48∘．3. B4. D5. A6. D7. D8. B 【解析】∵a∥b，∴∠2=∠1=50∘．9. B【解析】如图：∵AB∥CD，∠1=100∘，∠2=145∘，∴∠3=∠1=100∘，∠4=180∘−∠2=35∘，∵∠F+∠4=∠3，∴∠F=∠3−∠4=100∘−35∘=65∘．故选：B．10. B【解析】因为AB∥CD，所以∠1=∠ADC=30∘，又因为等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45∘，所以∠1=45∘−30∘=15∘．11. D12. C 【解析】∵a∥b，∴∠1=∠3，∵∠1=65∘，∴∠3=65∘，∵∠2+∠3=180∘，∴∠2=115∘．13. C14. D15. B【解析】如图：∵AB∥CD，∠1=100∘，∠2=145∘，∴∠3=∠1=100∘，∠4=180∘−∠2=35∘．∵∠F+∠4=∠3，∴∠F=∠3−∠4=100∘−35∘=65∘．16. B【解析】因为AB∥CD，所以∠ACD+∠BAC=180∘，因为∠ACD=40∘，所以∠BAC=180∘−40∘=140∘，因为AE平分∠CAB，×140∘=70∘．所以∠BAE=∠BAC=1217. C【解析】如图所示：∵直线a∥b，∠1=40∘，∴∠3=∠1=40∘．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90∘，∴∠2=90∘−∠1=90∘−40∘=50∘．故选C．18. C【解析】设这个多边形的边数为n，则(n−2)⋅180∘=360∘×3−180∘，解得n=7．19. C【解析】经过点P(−4,3)且垂直于x轴的直线可以表示为直线x=−4．故选：C．20. B【解析】如图，过点C作CG∥AB，由题意可得AB∥EF∥CG，故∠B=∠BCG，∠GCD+∠CDF=180∘．∵CD⊥EF，∴∠CDF=90∘．∴∠GCD=90∘．则∠BCD=40∘+90∘=130∘．21. 50∘22. 15023. 40∘24. 90∘25. ①②③【解析】①∵AB∥CD，∴∠BOD=∠ABO=a∘，∴∠COB=180∘−a∘=(180−a)∘，又∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠COB=12(180−a)∘．故①正确；②∵OF⊥OE，∴∠EOF=90∘，∴∠BOF=90∘−12(180−a)∘=12a∘，∴∠BOF=12∠BOD，∴OF平分∠BOD，∴②正确；③∵OP⊥CD，∴∠COP=90∘，∴∠POE=90∘−∠EOC=12a∘，∴∠POE=∠BOF；∴③正确；∴∠POB=90∘−a∘，而∠DOF=12a∘，∴④错误．26. 30∘27. 80∘【解析】作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1=∠3，∠4+∠2=180∘，∵∠ABC=100∘，∴∠3+∠4=100∘，∴∠1+∠4=100∘，∴∠2−∠1=80∘．28. 30【解析】因为AB∥CD，所以∠DNM=∠BME=75∘．因为∠PND=45∘，所以∠PNM=∠DNM−∠DNP=30∘．29. ∵∠BAP+∠APD=180∘，∴AB∥CD，∴∠BAP=∠APC．又∵∠1=∠2，∴∠BAP−∠1=∠APC−∠2，即∠EAP=∠APF，∴AE∥FP，∴∠E=∠F．30. （1）∵AB∥CD，EF∥AB，∴CD∥EF∥AB，∴∠FEA=∠EAB，∠FEC=∠ECD，∴∠CEA=∠FEA−∠FEC=∠EAB−∠ECD;（2）由（1）知∠CEA=∠EAB−∠ECD=30∘，∵EA平分∠CED，∴∠CED=2∠CEA=60∘;（3）设∠EAH=x，∠BAH=2x，由（1）可知∠E=∠EAB−∠ECD=3x−60∘，∠H=∠HAB−∠HCD=2x−40∘，∴∠H∠E =2x−40∘3x−60∘=23.31. （1）补全图形如图所示：（2）∵∠AOB=120∘，∠AOC=30∘，∴∠COB=∠AOB−∠AOC=90∘．∵OD平分∠BOC，∴∠DOC=12∠BOC=45∘．∴∠DOA=∠AOC+∠DOC=75∘．∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD=37.5∘．∴∠EOC=∠DOC−∠DOE=45∘−37.5∘=7.5∘．32. （1）2（2）6（3）24（4）n(n−1)(n−2)33. （1）AB∥CD．理由如下：∵∠1=110∘，∵∠2=70∘，∴∠2=∠4，∴AB∥CD．（2）∵∠3=120∘，∴∠5=60∘，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠5=60∘，∵AD平分∠BAC，∠BAC=30∘．∴∠BAD=1234. （1）∠B=∠D．∵AB∥CD，∴∠B=∠1 .∵DE∥BC，∴∠1=∠D .∴∠B=∠D .（2）由2x+15=65−3x，解得x=10，所以∠B=35∘ .。
七年级下册数学同步练习题库：平行线的性质(选择题：容易)
平行线的性质（选择题：容易）1、下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④2、如图，直线，被直线所截，，，若，则∠1等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°3、如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角是（）A．和 B．都是C．和或都是 D．以上都不对4、如图，B,＝20，则＝（）A．20 B．22 C．30 D．455、如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角是（）A．和 B．都是C．和或都是 D．以上都不对6、如图，B,＝20，则＝（）A．20 B．22 C．30 D．457、下列命题正确的是A．两直线与第三条直线相交，同位角相等B．两直线与第三条直线相交，内错角相等C．两直线平行，同旁内角相等D．两直线平行，内错角相等8、下列语句中，不是命题的是（）A．锐角小于钝角 B．作∠A的平分线C．对顶角相等 D．同角的补角相等9、如图，∠1=∠B，∠2=20°，则∠D=（）.A．20° B．22° C．30° D．45°10、如图，一块含30°角的直角三角板ABC的直角顶点A在直线DE上，且BC∥DE，则∠CAE等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°11、如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B=72°，则∠D的度数为（）A．36° B．72° C．108° D．118°12、如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（）A．65° B．70° C．75° D．80°13、如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52° B．38° C．42° D．60°14、过一点画已知直线的平行线（）A．有且只有一条 B．不存在C．有两条 D．不存在或有且只有一条15、下面3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，其中真命题为（）A．① B．③ C．②③ D．②16、如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠1=55°，则∠B等于（）A．35° B．45° C．55° D．65°17、已知下列命题：①相等的角是对顶角；②邻补角的平分线相互垂直；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两个直线平行．其中真命题的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个18、下列命题中，①对顶角相等．②等角的余角相等．③若，则．④同位角相等．其中真命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19、如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF的度数为（）.A．55° B．60° C．65° D．70°20、如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=（）A．25° B．30° C．35° D．45°21、下列命题中：①有理数和数轴上的点一一对应；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数．其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个22、如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°23、某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB=45°，则∠FDC的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°24、如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4等于（）A．40° B．20° C．80° D．60°25、如图：AB∥DE，∠B=30°，∠C=110°，∠D的度数为（）A．115° B．120° C．100° D．80°26、如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=110°，则∠2等于（）A．70° B．75° C．80° D．85°27、如图，直线a∥b，直线c分别与a、b相交于A、B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C．已知∠1=42°，则∠2的度数是（）A．38° B．42° C．48° D．58°28、如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°29、如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的关系是（）A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补30、如图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
七年级数学探索平行线的性质作业
1．如图，AB//CD. 根据________________________，可得∠1=∠CDE ；根据
________________________，可得∠1=∠BDF ；根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠1+∠______=180°.
（第4题） 2．如图，如果∠BAC=∠ACD ，那么_____//_____，∠BCD+∠_____=180°. 3．如图，直线a//b ，∠1=45°，则∠2=_____，∠3=_____.
4．如图，EG//AB ，FG//DC ，∠B=100°，∠C=120°，则∠EGF=_____.
5．如图，AB 、CD 被EF 所截，AB//CD ，∠1=∠BEG ，∠2=∠DFH.试判断EG 与FH 的位置关系.
解 EG//FH 因为∠1=∠BEG ，∠2=∠DFH （ ）， 所以，∠1=
12
_________，∠2=
12
_________.
又因为AB//CD （ ），
所以∠BEF=∠DFM （ ）. 所以∠1=∠2（ ），
所以EG//FH （ ）.
6．如图，AB//FD,ED//AC,D 是BC 上一点，∠A+∠B+∠C 等于180°吗？ 解 等于180°.因为ED//AC （ ），
所以∠A=_________（ ）， ∠C=_________（ ）. 因为AB//FD （ ），
所以∠B=_________（ ）. ∠4=∠2（ ），
所以∠A=∠2（ ）. 因为D 是BC 上一点（ ），
所以∠1+∠2+∠3=180°（ ）， 所以∠A+∠B+∠C=180°（ ）.
7．如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，EA ⊥AD ，FB ⊥AD ，垂足分别为A 、B ，∠E=∠F.CE 与DF 是否平行？为什么？
8．已知，如图所示，点E 在DF 上，点B 在AC 上，BD//CE ，∠C=∠D. ∠A 和∠F 相等吗？为什么？
9．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，求∠2的度数.
10．如图，E 是AB 上一点，DC//AB ，AD//CE ，∠A=70°，∠1=40°.求∠BCD 的度数.
11．如图，∠ABC=∠ADC ，AD//BC. 试说明∠A 与∠C 的关系.。