第5讲 分式及其运算
分式及其运算
分式函数：解决实际问题中的函数关系
03
分式不等式：解决实际问题中的不等关系
04
分式数列：解决实际问题中的数列关系
05
分式极限：解决实际问题中的极限关系
06
分式积分：解决实际问题中的积分关系
数学公式的推导
分式的定义：形如A/B，其中A、B
01
是整式，B≠0 分式的运算：包括加法、减法、乘
03
法、除法、乘方、开方等 分式的应用：包括求解方程、不等
整式，分式的值不变
分式的通分：将两个或 多个分式的分母化为相 同，以便进行加减运算
分式的约分：将分式的 分子、分母同时除以它 们的最大公因式，以简
化分式
分式的加减法：将分式 的分子、分母分别相加 或相减，得到新的分式
分式的乘除法：将分式 的分子、分母分别相乘 或相除，得到新的分式
分式的幂运算：将分式 的分子、分母分别进行 幂运算，得到新的分式
乘方和开方：分式乘方，分式开 方
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分式除法：分子相除，分母相除
混合运算：分式乘法、除法、乘 方、开方混合运算
乘方和开方
01
乘方：分式乘方时，分子和 分母分别乘方，分母中如果 有平方项，需要先开方
03
运算顺序：先乘方，后开方， 遵循先乘除后加减的运算顺 序
开方：分式开方时，分子和 分母分别开方，分母中如果 有平方项，需要先开方
分式分解
01
分式分解的定义：将分式分解为两 个或多个分式的过程
02
分式分解的方法：提取公因式、分 组分解、公式分解等
03
分式分解的步骤：观察分式的结构， 选择合适的分解方法，进行分解
第4课 分式及其运算
x －3 －3 时，分式 (2)当x＝________ 的值为0. x－3 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，
而x－3≠0，x≠3，故x＝－3. (3)若分式 A．1
x－2 的值为0，则x的值为( D ) 2 x －1 B．－1 C．±1 D．2
解析：当x－2＝0，x＝2时，x2－1≠0，故选D.
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：a ＝－ a ＝ －a ＝－ －a ， b －b －b b － a ＝ a ＝ －a . b －b b (2)分式的加减法： a b a± b ± ＝ 同分母加减法： c c ； c b d bc± ad ± ＝ 异分母加减法： a c ac .
x－2 的值为0. x＋2 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.
2 时，分式 (2)(2011· 泉州)当x＝_______
知能迁移1
x 有意义的x的取值范围是________． x≠2 2x－4 解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，
(1)使分式
故x的取值范围是x≠2.
A．x＝－2 C．x＝1
2x－5 3 ＝ 的解是( C ) 2－x x－2 B．x＝2
D．x＝1或x＝2
1－5＝ －3＝3， 解析：当x＝1时，方程左边＝ 2× 1－2 －1 右边＝ 3 ＝3，∴x＝1是原方程的解. 2－1
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围 1 【例1】 (1)当x＝_______ 时，分式 2 无意义； x－1 解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．
这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性
北师版八年级下册第五章分式和分式方程复习课件(28张PPT)
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程4 第1课时 分式方程的概念及列分式方程
x x 20
1400 1400 9 1400 2.8 1400
x 2.8x
y
y9
4800 5000 x x 20
思考 由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有 什么共同特点？
分母中都含有未知数.
知识要点
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）方程中含有分式； （3）分母中含有未知数.
归纳总结
列分式方程的步骤： （1）审清题意，适当设出未知数； （2）根据题意找等量关系，列出分式方程.
概念
分母中含有未知数的方程叫做分式 方程
分式 方程
列方程 步骤
1. 审清题意，适当设出未知数； 2. 根据题意找等量关系，列出分式 方程
1. 下列属于分式方程的是（ A ）
A. 1 3 x2 x
___x ___x__3__.
3. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000 m 的管 道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际
施工时每天比原计划多铺设 20 m，结果提前 15 天 完成任务．设原计划每天铺设管道 x m，则可得方 程 5000 5000 15
____x____x___2_0______.
y9
1400 1400
关系式 高铁列车平均速度 = 2.8×特快列车平均速度
做一做 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校 团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数 比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等. 如果 设第一次捐款人数为 x 人， 那么 x 应满足怎样的方程？
典例精析
例1 下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？
分式及其运算
分式及其运算
一、分式的概念
分式是用一个数除以另一个非零数所得的商。
分式由分子和分母两部分组成,用斜线"/"或水平线"—"隔开,如3/5或3—5。
其中,分子是被除数,分母是除数。
二、分式的基本运算
1. 分式的加减法
- 同分母分式的加减法:只需将分子相加或相减,分母保持不变。
- 异分母分式的加减法:先通分,使分母相同,再将分子相加或相减。
2. 分式的乘法
- 分式相乘时,分子相乘,分母相乘。
3. 分式的除法
- 分式除法可以通过乘以另一个分式的倒数来实现。
4. 分式的化简
- 分子和分母都除以它们的最大公因数,可以化简分式。
三、分式的应用
分式在日常生活和学习中有广泛的应用,例如:
1. 计算比例和百分比
2. 表示概率
3. 解决实际问题(如分配任务、计算利息等)
通过掌握分式的运算规则和应用技巧,我们可以更好地理解和处理涉及分数的各种情况。
分式的基本性质及其运算(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：当_____________时，分式无意义？问题2：分式无意义与分式值为0有什么不同？问题3：分式的基本性质是什么？问题4：分式的乘除运算法则和加减运算法则分别是什么？问题5：在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________.分式的乘除要_______，加减要_________，最后的结果要化成_________.分式的基本性质及其运算（北师版）一、单选题(共18道，每道5分)1.要使分式有意义，则x的取值范围是( )A.x≠-1B.x≠3C.x≠-1且x≠3D.x≠-1或x≠3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式有意义的条件2.若分式的值为0，则x的值是( )A.1B.0C.-1D.±1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的值为零3.当a=-1时，分式( )A.没有意义B.等于零C.等于1D.等于-1答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的值为零4.不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项系数都化为整数，那么所得的正确结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质5.若分式（a，b均为正数）中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )A.扩大为原来3倍B.缩小为原来的C.不变D.缩小为原来的答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质6.将分式约分，其结果为( )A. B.C. D.解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的基本性质7.若使分式的值为0，则x=( )A.9B.±3C.-3D.3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的值为零8.下列选项错误的是( )A. B.C. D.答案：D试题难度：三颗星知识点：分式基本性质9.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算10.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算11.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的乘除运算12.的最简公分母是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：最简公分母13.化简的结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的加减运算14.( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的加减运算15.( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的混合运算16.( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的混合运算17.已知，分式的分子分母都加上1，所得分式的值相比( )A.增大B.减小C.不变D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式的加减运算18.先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入，所求结果为( )A. B.C. D.以上都对答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分式化简求值学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：分式的化简应遵循的运算顺序是什么？问题2：（第18题）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入，所求结果为( )这道题中如何从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入？问题3：当_____________时，分式无意义？问题4：分式无意义与分式值为0有什么不同？问题5：分式的基本性质是什么？问题6：分式的乘除运算法则和加减运算法则分别是什么？问题7：在进行分式的运算前，要先把分式的分子和分母__________.分式的乘除要_______，加减要_________，最后的结果要化成_________.。
初中数学分式 教案
初中数学分式教案一、教学目标：1. 让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质和运算法则。
2. 培养学生运用分式解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 分式的概念：分式是形如 a/b 的表达式，其中 a 和 b 是整式，b 不为零。
2. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。
3. 分式的运算法则：（1）分式的加减法：分母相同，分子相加（减）；分母不同，通分后相加（减）。
（2）分式的乘除法：分子乘（除）以分子，分母乘（除）以分母。
4. 分式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 重点：分式的概念，基本性质和运算法则。
2. 难点：分式的运算法则的应用，分式在实际问题中的解决。
四、教学过程：1. 导入：通过展示实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。
2. 新课讲解：（1）介绍分式的概念，通过示例让学生理解分式的含义。
（2）讲解分式的基本性质，让学生通过实际操作验证这些性质。
（3）讲解分式的运算法则，引导学生通过例子理解和掌握这些法则。
3. 课堂练习：布置一些简单的分式题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 应用拓展：展示一些实际问题，引导学生运用分式解决这些问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度，理解程度和表现。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，对学生的学习效果进行评估。
3. 实际问题解决能力：通过课后实践，观察学生运用分式解决实际问题的能力。
六、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握分式的基本性质和运算法则，通过实际例子让学生学会如何运用分式解决实际问题。
同时，要关注学生的学习进度，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。
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考点三 分式的运算 1．分式的加减法 a b a± b 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即 ± ＝ .异分母的分式相加减，先 c c c a c ad± bc 通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 ± ＝ . b d bd 2．分式的乘除法 a c ac 分式乘以分式， 用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母， ·＝ .分式除以分式， 即 b d bd a c a d ad 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ÷ ＝ ·＝ . b d b c bc 3．分式的乘方 n k nk 分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即( ) ＝ k (k 是正整数)． m m 4．分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，进行约分化简后，最后进行加减运算， 遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
mm＋n nm－n － ＋ m－nm＋n m－nm＋n m2＋2mn＋n2 m＋n 2 m＋n 2mn ＝ ＝ ＝ . m－nm＋n m－nm＋n m－nm＋n m－n a－1 a2 a (2)原式＝ × ＝ . a a＋1 a＋1a－1 －3 3 当 a＝－3 时，原式＝ ＝ . －3＋1 2 【解答】(1)原式＝
考点训练 5
分式及其运算
分式及其运算
训练时间：60分钟 分值：1 训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题 3 分，共 45 分)
2 1．(2010· 株洲)若分式 有意义，则 x 的取值范围是( ) x－5 A．x≠5 B．x≠－5 C．x>5 D．x>－5
【解析】分式若有意义，则分母不为 0，故 x－5≠0，得 x≠5. 【答案】A
【答案】A
b c a 15．(2011 中考预测题)分式 ， ， 3的最简公分母是( ax －3bx 5x A．5abx B．15abx5 C．15abx D．15abx3
)
【解析】分母 ax、－3bx、5x3 的最简公分母是 15abx3. 【答案】D
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
x＋1 16．(2010· 哈尔滨)当 x＝______时，分式 没有意义． x＋2
x－3 的自变量 x 的取值范围是( x＋1 A．x≥3 B．x≥3 且 x≠－1 C．x≠－1 D．x>3 2．(2010· 黄冈)函数 y＝ )
x－3≥0 【解析】 ，解得 x≥3. x＋1≠0
【答案】A
a2－b2 3．(2009 中考变式题)化简 2 的结果为( a ＋ab a－b a＋b b A. B. C. D．－b a a a
a＋2 有意义，a 的取值范围是( a B．a>－2 且 a≠0 D．a≥－2 且 a≠0
)
b b (2)(2009· 台州)化简(－ )÷ 2 的结果是( a a －a A．－a－1 B．－a＋1 C．－ab＋1 D．－ab＋b
)
(3)(2010· 黄冈)化简( 2 x－1 x－4 2 C. D. x－3 x－1 A．2 B.
【答案】A
11．(2009 中考变式题)学完分式运算后，老师出了一道题“化简
x＋3 2－x ＋ ”，小明的 x＋2 x2－4
x＋3x－2 x－2 x2＋x－6－x－2 x2－8 做法是：原式＝ － 2 ＝ ＝ 2 ；小亮的做法是：原式＝(x＋ x2－4 x －4 x2－4 x －4 x＋3 x－2 x＋3 3)(x－2)＋(2－x)＝x2＋x－6＋2－x＝x2－4； 小芳的做法是： 原式＝ － ＝ x＋2 x＋2x－2 x＋2 x＋3－1 1 － ＝ ＝1，其中正确的是( ) x＋2 x＋2 A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
【解析】x＋2＝0，则 x＝－2. 【答案】－2
1 a 1 17．(2010· 天津)若 a＝ ，则 ＋ 的值为________． 2 a＋1 2 a＋1 2
a＋1 1 【解析】原式＝ 2＝ a＋1 a＋1
【答案】
2 3
1 1 当 a＝ 时，原式＝ ＝ 2 1 ＋1 2
1 3 2
2 ＝ . 3
第 5 讲 分式及其运算
考点知识精讲
中考典型精析
举一反三
考点训练
考点一 分 式 A 形如 (A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． B (1)分式有无意义：B＝0 时，分式无意义；B≠0 时，分式有意义． (2)分式值为 0：A＝0 且 B≠0 时，分式的值为 0.
考点二 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． a· a a÷ m m a ① ＝ ， ＝ (m≠0)； b· b b÷ m m b －b b b ＝ ＝－ . a －a a ②通分的关键是确定 n 个分式的最简公分母确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多 项式时，先因式分解，再取系数的最小公倍数，所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简 公分母． ③约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式． 确定最大公因式的一般步骤是： 当分子、分母是多项式时，先因式分解，取系数的最大公约数，相同字母(因式)的最低次幂 的积为最大公因式．
)
a－1 a2 【解析】原式＝ · ＝a. a a－1
【答案】B
7．(2011 中考预测题)下列各式是最简分式的是( x2－4y2 x2＋y2 －2ab x2＋x A. B. C. D. 2 9a3 x＋y x －1 x＋2y 2
)Leabharlann 【解析】最简分式指的是分子、分母没有公因式的式子． 【答案】B
【解答】(1)D (2)B (3)B
计算： m n 2mn － ＋ 2 ； m－n m＋n m －n2 (2)(2010· 咸宁)先化简，再求值： 1 a (1＋ 2 )÷ ，其中 a＝－3. a －1 a－1 (1)(2010· 陕西)
【点拨】分式混合运算的顺序是先乘方、后乘除，最后加减，有括号先算括号内的．
2xy 中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值( x＋y A．扩大 3 倍 B．缩小 3 倍 C．扩大 9 倍 D．不变 5．如果把分式
A )
b2 a 6．化简(a－ ) 的结果是( a a－b A．a－b B．a＋b
B ) C. 1 a－b D. 1 a＋b
a2－4a＋4 1 7．先化简，再求值：(1－ )÷ 2 ，其中 a＝－1. a－1 a －a a 1 解：原式＝ 当 a＝－1，原式＝ 3 a－2
1 18．(2010· 昆明)化简：(1－ )÷ a＝________. a＋1
a＋1－1 1 a 1 1 【解析】原式＝ ·＝ ·＝ . a＋1 a a＋1 a a＋1
【答案】 1 a＋1
b a 19．(2010· 黄冈)已知 ab＝－1，a＋b＝2，则式子 ＋ ＝________. a b
a2＋b2 a＋b2－2ab 【解析】原式＝ ＝ ab ab 4＋2 ＝－6. －1 22－2×－1 当 ab＝－1，a＋b＝2 时，原式＝ ＝ －1
x＋1 有意义，x 的取值范围是( x A．x≠1 B．x≠0 C．x＞－1 且 x≠0 D．x≥－1 且 x≠0 1．要使式子
2．下列运算中，错误的是( D ) －a－b b bc A. ＝ (c≠0) B. ＝－1 a ac a＋b 0.5a＋b 5a＋10b x－y y－x C. ＝ D. ＝ 0.2a－0.3b 2a－3b x＋y y＋x
x＋3 x－2 x＋3 x＋2 1 【解析】原式＝ － ＝ － ＝ ＝1. x＋2 x＋2x－2 x＋2 x＋2 x＋2
【答案】C
12．(2011 中考预测题)下列等式中，不成立的是( x2－y2 x2－2xy＋y2 A. ＝x－y B. ＝x－y x－y x－y 2 2 xy y y x y －x C. 2 ＝ D. － ＝ x y xy x －xy x－y
a b a－b 8．(2009 中考变式题)计算：b－ a ÷ ＝( a a＋b a－b a－b a＋b A. B. C. D. b b a a )
a2－b2 a a＋ba－b a a＋b 【解析】原式＝ · ＝ · ＝ . ab a－b ab b a－b
【答案】A
a－2ab－b 1 1 9．(2009 中考变式题)已知 － ＝4，则 的值等于( a b 2a－2b＋7ab 2 2 A．6 B．－6 C. D．－ 15 7 1 1 －2－ b a －4－2 －6 【解析】原式＝ ＝ ＝ ＝6. 2 2 －4×2＋7 －1 － ＋7 b a
1 n n 【解析】1 米质量为 m 克，则每克长 米，n 克是 米，则原来这卷电线的总长度是( ＋ m m m 1)米．
【答案】B
a b2 14．(2011 中考预测题)化简 － 的结果是( a－b aa－b a＋b a－b b－a A. B. C. D．a＋b a a a
)
a2－b2 a＋ba－b a＋b 【解析】原式＝ ＝ ＝ . a aa－b aa－b
x＋yx－y 【解析】A 项中，原式＝ ＝x＋y. x－y
)
【答案】A
13．(2009 中考变式题)如果从一卷粗细均匀的电线上截取 1 米长的电线，称得它的质量 为 m 克，再称得剩余电线的质量为 n 克，那么原来这卷电线的总长度是( ) n＋1 n A. 米 B．( ＋1)米 m m m＋n m C．( ＋1)米 D．( ＋1)米 m n
x＋1 1 － 2 )· (x－3)的结果是( x－3 x －1
)
【点拨】(1)由题意得 a＋2≥0 且 a≠0，即有 a≥－2 且 a≠0. b aa－1 (2)原式＝－ · ＝－(a－1)＝－a＋1. a b x＋1 x－3 1 1 1 2 (3)原式＝[ － ]· (x－3)＝( － )· (x－3)＝1－ ＝ . x－3 x＋1x－1 x－3 x－1 x－1 x－1
)
【答案】B
b2－1 5．(2010· 玉溪)若分式 2 的值为 0，则 b 的值为( b －2b－3 A．1 B．－1 C．±1 D．2