必修一 指数函数图像及其性质 教案

个性化学科优化学案
辅导科目 数学 就读年级 高二
学生
教师姓名
徐亚
课 题 指数函数及其性质 授课时间 2015年12月10
备课时间
2015年12月12日
教 学 目 标
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
2.掌握指数函数图象：
(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；
(2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型
重、难
考 点
会绘制指数函数的图像，并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质。

教学内容
鹰击长空—基础不丢
要点一、指数函数的概念：
函数y=a x
(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=a x
(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23x
y =⋅，1
2x
y =，31x
y =+等
函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩x
x
时，a 恒等于，
时,a 无意义.
②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)x
y =-，当11
,,24
x x =
=⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ③如果1a =，则11x
y ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：
y=a x
0<a<1时图象
a>1时图象
图象
性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）
②a 0
=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a
④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x
>1
x>0时，0<a x
<1
⑤x<0时，0<a x
<1
x>0时，a x
>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。

（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。

当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。

当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。

（3）指数函数x
y a =与1x
y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象关于y 轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）
① x
y a = ②x
y b = ③x y c = ④x y d =
则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c
又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数
11
2,3,
(),
()23
x x x x y y y y ====的图像：
由底数变化引起指数函数图像变化的规律：在y 轴右侧，底大图高；在y 轴左侧，底大图低。

要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1A
B
<即可．
可以攻玉—经典题型
类型一、指数函数的概念
例1．函数2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，求a 的值．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）4x
y =；（2）4
y x =；（3）4x
y =-；（4）(4)x
y =-； （5）1
(21)(1)2
x
y a a a =->
≠且；（6）4x y -=．
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；21
139
x --
(4)211
x
x y a -+=(a 为大于1的常数)
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域： (1)2
-1
2x y = (2)3-3
x
y =(3)2-1x y =
1-(0,1)x y a a a =>≠
类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x x
f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
的单调性，并求其值域．
举一反三：
【变式1】求函数2
32
3x x y -+-=的单调区间及值域.
【总结升华】由本例可知，研究()
f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：
即当a ＞1时，()
f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()
f x y a =的单调与()y f x =的单调
性相反．
例4．证明函数1
()(1)1
x x
a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。

【解析】定义域为x ∈R ，任取x 1<x 2，
12121212121211(1)(1)(1)(1)
()()11(1)(1)x x x x x x x x x x a a a a a a f x f x a a a a ---+-+--=-=
++++ 121
22()
(1)(1)
x x x x a a a a -=++. ∵1210,10x x a a +>+>， ∴12(1)(1)0x x
a a ++>，
又a>1， x 1<x 2， ∴ 12x x a a <， ∴ 120x x
a a -<， ∴ f(x 1)<f(x 2)，
则 1
()(1)1x x
a f x a a -=>+在定义域上为增函数. 另：12121(1)x x x x x a a a a --=-， ∵10x
a >， a>1且x 2-x 1>0，
∴211x x a ->， ∴ 2110x x
a --<.
例5．判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a
与1.8a+1
； (2)2
4
-231(),3,()33
1
(3)22.5，(2.5)0
， 2.51()2
(4)230,1)a a a >≠与
【变式1】比较大小：
(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1
(4)0.90.3
与0.7
0.4
(5)11
0.2
33241.5
,(),()33
-.
【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.
类型四、判断函数的奇偶性
例7．判断下列函数的奇偶性：)()2
1
121()(x x f x ϕ+-= (()x ϕ为奇函数) 【答案】偶函数
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵()x ϕ定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是()x ϕ定义域除掉0这个
元素)，令2
1
121)(+-=x x g ，则211222*********)(+--=+-=+-=--x
x x x x
x g )()2
1
121(21121121121)12(x g x x x x -=+--=+---=+----=
∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ϕ为奇函数，∴ f(x)为偶函数.
举一反三：
【变式1】判断函数的奇偶性：()2
21x x x
f x =+
-.
类型五、指数函数的图象问题
例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x
y a =的图象，而12,
,3,22a π⎧⎫⎪⎪
∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，
则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【变式2】为了得到函数935x
y =⨯+的图象，可以把函数3x
y =的图象( ) A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度。