化工过程最优化 非线性规划

0.1 1.147269701 0.316227766 0.01 1.048808848 0.1
0.001 1.015688327 0.031622777 0.0001 1.004987562 0.01
6 0.00001 1.001579891 0.003162278 7 1E-06 1.000499875 0.001
min(
)
约束条件: PR=900
3.1 非线性规划基础
1、非线性规划问题
min
x∈Ω
f ( x) h( x ) = b
s.t. g ( x) ≤ c
g(x)称为不等式约束 h(x)称为等式约束 非线性规划问题的求解通常是转化为约束最优化问题，或 线性规划问题。
2 无约束非线性规划问题
对于一个非线性规划问题，如果没有约束条件，只有目标 函数 Min f(x) 无约束非线性规划问题的经典解法是通过求一阶导数和二 阶导数，确定最优解。
对于一个多元函数f(x1,x2,x3,…..xn)，如果所有的一阶 导数 的极小值的必要条件为： 都存在，则函数f（x）
对于满足以上方程的点成为极小值的充分条件是在这个点 上所有二阶偏导数都存在，而且其赫森矩阵为正定。
对于赫森矩阵
如果所有的Di行列式都大于0，则赫森矩阵为正定。
根据函数存在极小值的充分必要条件，将无约束最优化问 题的求解，转化为下面一组非线性方程的求解。
x1=2 x2=1
∂2 f ∂x12 赫森矩阵H= 2 ∂ f ∂x ∂x 正定 1 2
∂ f ∂x1 ∂x2 2 − 2 = 2 ∂ f 0 2 2 ∂x2
2
这种经典方法存在以下缺点： (1) 对较复杂的问题，一阶导数构成的非线性方程组的求 解是相当困难的。 (2)非线性方程组只满足极小值条件，而不是最小值。所以 找到的解可能是局部极值，而不是全局最优值。 (3) 只能用于导数连续的场合，当导数不连续时不能使用。 有时导数不连续之处可能正好是最小值或最大值所在之处。
将点（p=1000，R=4）代入赫森矩阵
250 2 H = 250 12500
此矩阵为正定矩阵，因此点(1000，4)为极小点。
例子：求min f(X)=(x1-2)2+(x1-2x2)2
∂f = 2( x1 − 2) + 2( x1 − 2 x2 ) = 0 ∂x1 ∂f = −4( x1 − 2 x2 ) = 0 ∂x2
k k
) < ε，则 ( x k , f ( x k ))就是所要求的最优值，否则转
4）置
µ k +1 = cµ k ; k = k + 1
，转至步骤2。
用外部函数法求
1 min f ( x) = ( x1 + 1) 2 + x2 3 s.t. g1 ( x) = x1 − 1 ≥ 0 g 2 ( x ) = x2 ≥ 0
例： 某化工厂采用烃类蒸汽重整制氢，其主要操作费用有 以下3个部分构成： 1）设原料加压所需的费用为每年1000P元 将原料和蒸汽 混合并送入反应器的输送费用为每年1/PR×4 ×109（其 中P 为操作压力，R为循环比； 2）设分离器将产物分离所需费用为每年105 × R 元； 3）未反应的原料进行再循环和压缩的费用每年为1 .5× 105 × R元
构造惩罚函数
P ( x, µ ) = f ( x) + µa( x) 1 2 = ( x1 + 1)3 + x2 + µ[( x1 − 1) 2 µ ( x1 − 1) + x2 µ ( x2 )] 3
根据阶越函数的定义有 1 P(x, µ) = (x1 + 1)3 + x 2 当x ∈ D 3 1 2 = ( x1 + 1) 3 + x2 + µ[( x1 − 1) 2 + x2 ] 当x ∉ D 3
上述例子： min( s.t. : PR=900
)
建立拉格朗日函数:
φ对p和R求导数,并令其为零, 得
求解以上三个方程得到, P=1500, R=6,λ=117.3
求φ在点(1500, 6)对p和R 二阶导数, 同样可以证明 赫森矩阵为正定,因而此点也为极小点。
2 罚函数法 罚函数法(Penalty Function Method)属于序列无约束 最优化方法。 其基本策略是，依据约束的特点构造某种“惩罚”函数， 并加到目标函数上，使得约束问题转化为一系列无约束问 题来求解。 对于在无约束问题求解过程中企图违反约束的那些迭代点 给于很的目标函数值，迫使该系列无约束问题的极小点或 者无限制地向可行域靠近，或者一直保持在可行域内移动， 直到收敛于原问题的极小点。
F1 设备1 F 设备2 F3 设备3 Fi=ai * F ∑ai=1 ai》0 F2
化工过程优化MIP问题的一般形式
min s.t
f ( x, y ) g ( x, y ) ≤ 0 h ( x, y ) = 0 x∈ X ⊂ R y ∈Y ⊂ N
多项式约束 多选一：若规定在上图中所示的设备中仅选择其中一个， 则就是约束方程 最多选一：如果规定在上图中所示的候选设备最多选一个
P( x, µ ) = f ( x) + µa( x) a ( x) = ∑ h j ( x) + ∑ [g i ( x) − ci ] µ ( g i ( x) − ci )jBiblioteka =1 i =1 l[]
2
m
2
求解步骤 1）选取初始点xk，初始惩罚因子μ1 ＞ 0及惩罚因子的放大系数c＞1 （c可取10），置k=1； 2）以xk-1为初始点，求解无约束问题min P(x,μ)，设其极小点为xk； 3）若 µ a ( x 制步骤4；
10000 100000
7 1000000
-0.0000005
极值点: 极值点 (1,0)
最小值f(x)=8/3 最小值
2.2 内部罚函数法 内部罚函数法的迭代点都是在可行域内移动的（初始点必须是可行 的）。对接近可行域边界的点施加障碍。 内部罚函数又称为障碍函数法， 内部罚函数仅适用于不等式约束
有无约束极值必要条件得 ∂P = ( x1 + 1) 2 + 2 µ ( x1 − 1) = 0 ∂x1 ∂P = 1 + 2 µx2 = 0 ∂x2 解上式方程组得 1 T x = ( x1 , x2 ) = (−1 − µ + µ + 4 µ ,− ) 2µ
T 2
若取
µ
=1，放大系数c=10，所得函数值随
构造内部惩罚函数
1 1 1 3 P( x, µ ) = ( x1 + 1) + x2 + µ ( + ) 3 x1 − 1 x2
根据阶越函数的定义有
1 P(x, µ) = (x1 + 1) 3 + x 2 当x ∈ D 3 1 1 1 3 = ( x1 + 1) + x2 + µ ( + ) 当x ∉ D 3 x1 − 1 x2
µ k β ( x k ) < ε，则 ( x k , f ( x k ))就是所要求的最优值，否则转 3）若
制步骤4；
4）置
µ k +1 = cµ k ; k = k + 1
，转至步骤2。
1 min f ( x) = ( x1 + 1) 2 + x2 3 s.t. g1 ( x) = x1 − 1 ≥ 0 g 2 ( x ) = x2 ≥ 0
第二部分 第三章 非线性规划
本章的重点 1) 掌握非线性优化模型的建立 2) 掌握非线性最优化问题的经典解法（拉格朗日法， 罚函数法）
氢气 是炼油化工企业提高原油加工深度、生产清洁燃料
以及生产合成氨不可缺少的重要原料,同时也是许多精 细化工生产过程的重要原料。 烃类蒸汽转化制氢技术是应用最广、效率最高的基本工 业制氢方法,占国内外制氢装置的主导地位。
∞
0
1
0
第二部分 第四章 混合整数规划
1 引言 在许多化工过陈设计、排产、操作控制等最优化问难题中， 都同时涉及两种决策，一种是可以用直接连续变量来表示 的，例如温度、压力、流量等，通常称为参数。另一种是 不方便直接用连续变量表示的，例如对于一个反应过程是 采用釜式反应器还是采用管式反应器，用精馏分离带侧采 分离多元组分还是用简单的串联式精馏塔分离。 这些决策主要是化工过程流程结构，与其对应的变量成为 结构变量。化工过程系统最优化实际上指的是这两种变量 同时优化问题，即在大量可行解流程结构中找出某结构流 程及其操作参数，使得一个指定经济指标达到最优。这个 优化问题有时简称结构与参数同时优化问题。
min f ( x ) s .t . g i ( x ) ≥ 0 构造如下的罚函数 P ( x , µ ) = f ( x ) + µβ ( x )
β (x) =
∑
1 gi (x)
求解步骤 1）选取初始点xk，初始惩罚因子μ1 ＞ 0及惩罚因子的缩小系数c＜1 （c可取10），置k=1； 2）以xk-1为初始点，求解无约束问题min P(x,μ)，设其极小点为xk；
上述例子: 上述例子 min
验证此解是否是极小值 将J对P和R求二阶导数
∂2 J ∂p2∂p ∂ J ∂p∂R ∂ 2 J 4 × 109 × 2 ∂p∂R Rp 3 = 2 9 ∂ J 4 ×10 ∂p∂p R 2 p 2 4 × 109 2 2 R p 9 4 ×10 × 2 R3 p
∑yi≤1
至少选一：候选设备中至少选一个
∑yi≥1
条件选择，若要表示一旦选择j必选选择k，则有 yi-yk≤1
某厂计划生产3种产品，3种产品的市场容量为每天5吨、7 吨和12吨；用于生产该3种产品的设计各有一台，可同时 生产，生产能力均为每批1.5吨；按生产各产品所需时间， 这3种产品每天最多安排的批次分别为2批、6批和10批； 这3种产品的配方中均需要同一种中间体，每吨产品所需 该中间体的量分别为0.44吨、0.55吨和0.5吨，该中间 体每天产量为10吨；3种产品的市场价格分别为0.32万 元/吨、0.5万元/吨和0.36万元/吨。问3种产品每天各生 产多少销售额最大。