矢量运算方法综述
矢量运算
4. 叉积运算规律
B A ( A B )
( A B) C A C 0
ij k
5. 微分运算
j k i
k i j
（顺序可更换） （顺序不可更换）
d dA dB ( A B) B A dt dt dt d dA dB ( A B) B A dt dt dt d dA dB ( A B) dt dt dt dA dA dS dt dS dt
m( nA) ( mn) A
( m n) A mA nA
m( A B ) mA mB
3. 点积运算规律
A B B A
i i j j k k 1
( A B) C A C B C
i j j k k i 0
D A B C
B A
A
B
5. 矢量加减法
A a x i a y j az k B bx i by j bz k A B (a x bx )i (a y by ) j (a z bz )k
三、标量积（点积、数量积） 设： A A, B B, AB
A B ABcos A B =a x bx a y by a z bz
四、矢量积（叉乘积）
A B AB sin
方向：右手螺旋法则
i A B ax bx
五、混合积
j ay by
k az bz
ay by
az
az i bz bz
ax ax j bx bx
ay by
k
C c x i c y j cz k
ax ( A B ) C bx cx
矢量的运算法则和公式
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
矢量运算法则
推论：三个非零矢量共面的条件。
vvv A(BC) 0
v vv
h BC v
A
v C
v B
在直角坐标系中：
vvv
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
v v v Ax Ay Az A (B C) Bx By Bz
•面元：
v dS1
h2h3du2du3aˆu1
v dS2 h1h3du1du3aˆu2
v dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
电磁场与电磁波
四、标量场的梯度
1. 标量场的等值面 以温度场为例：
第1章 矢量分析
等温面
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力
v F
、速度
vv
、电场
v E
等
vv 矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
动力学中的矢量分析与运算
动力学中的矢量分析与运算动力学是研究物体运动及运动规律的学科，而在研究物体运动时，矢量分析与运算是不可或缺的工具。
矢量分析与运算是一种描述运动状态和运动过程的有效方法，通过对物体运动的矢量特征进行分析和计算，可以深入理解和预测物体的运动行为。
本文将介绍动力学中常用的矢量分析与运算方法，以及其在运动学和动力学问题中的应用。
一、矢量的基本概念在物理学中，矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示。
矢量具有加法、减法和乘法等运算，并且遵循一定的运算规律。
在动力学中，常用的矢量包括位矢、速度矢量、加速度矢量等。
位矢描述物体在空间中的位置，速度矢量描述物体在单位时间内位移的快慢和方向，加速度矢量描述物体在单位时间内速度的变化率。
对这些矢量进行分析和运算，可以揭示物体运动的规律和特点。
二、矢量的表示与运算1. 矢量的表示矢量通常用粗体字母或带箭头的字母表示，如位矢用r表示，速度矢量用v表示，加速度矢量用a表示。
矢量的大小一般用斜体字母表示，并用绝对值或模表示，如|v|表示速度的大小，|a|表示加速度的大小。
矢量的方向可用箭头来表示，或用与某个参考方向的夹角来表示。
2. 矢量的运算(1) 矢量的加法与减法矢量的加法与减法是指将两个矢量的大小和方向相结合，得到一个新的矢量。
矢量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
矢量的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中-b表示b的反向矢量。
矢量的加、减法可以通过将矢量的坐标分量相加、相减来实现。
(2) 矢量的数量积与矢量积矢量的数量积又称点积，可以用来求两个矢量之间的夹角及其余弦值。
数量积的定义是：a·b = |a| |b| cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
矢量的数量积还可以用来计算矢量在某一方向上的分量。
矢量积又称叉积，可以用来求两个矢量的乘积及其方向。
矢量积的定义是：a×b =|a| |b| sinθ n，其中θ为a与b之间的夹角，n为满足右手法则的单位矢量。
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
矢量运算法则
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
(，R其,中,)均为 ,
h1 1, h2 R, h3 R sin
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量
不一(定u1都, u是2 ,长u度3 )，其线元必然
有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数
，就
可正确写出其线元、面元和体元。
h1, h2 , h3
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu 2
h3u3
aˆu3
五、矢量场的散度
1. 矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线
方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称
+
-
为矢线。
2. 通量：
h BC
A C
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
矢量的运算
得：
r • r r1 • r1 r1 • r2 r2 • r1 r2 • r2
r 2 r12 r22 2r1r2 cos
上式开方得： r r12 r22 2r1r2 cos
11
例3、设在直角坐标系中的两个矢量分别为：
矢量的运算运算矢量向量矢量运算矢量的矢量的运算向量的运算矢量的叉乘数的运算复数的运算
矢量基础
一、矢量与标量
标量：由大小及单位或量纲表示。运算服从普通 的代数运算法则。
矢量：由大小及方向表示，其合成服从平行 四边形法则。
二、矢量的基本概念
矢量的书写方法：印刷上用黑体字表示 r 。 r 手写时在字符上加一箭号 表示。
两矢量相互垂直时， 点积为0。
10
例2、设有两个矢量分别为：r1
、r2
他们间的夹角为θ。
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：
r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2
两边对自身点乘
r • r (r1 r2 ) • (r1 r2 )
A B A (B)
定义为：加上 B 矢量的负矢量。
A
AB
B
3
矢量与数量相乘：记为
C mA
定义为： C = | m | A （即C的模为A的m倍）
当m大于0时, C与A方向相同。 当m小于0时，C与A方向相反。
利用上述乘法的定义，任意一个矢量都可以表示为该矢量的
8
j )m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
6
Y
矢量的运算法则
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。