小世界网络

4.2 小世界网络

4.2.1 小世界网络简介

1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念，并建立了WS模型。实证结果表明，大多数的真实网络都具有小世界特性（较小的最短路径）和聚类特性（较大的聚类系数）。传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性，但并不具有小世界特性；而随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。Watts和Strogatz建立的小世界网络模型就介于这两种网络之间，同时具有小世界特性和聚类特性，可以很好的来表示真实网络。

4.2.2 小世界模型构造算法

1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。

2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。

在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p 的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡。

相应程序代码（使用Matlab实现）

ws_net.m （位于“代码”文件夹内）

function ws_net()

disp('小世界网络模型')

N=input('请输入网络节点数');

K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数');

p=input('请输入随机重连的概率');

angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N;

x=100*cos(angle);

y=100*sin(angle);

plot(x,y,'r.','Markersize',30);

hold on;

%生成最近邻耦合网络；

A=zeros(N);

disp(A);

for i=1:N

if i+K<=N

for j=i+1:i+K

A(i,j)=1;

end

else

for j=i+1:N

A(i,j)=1; end

for j=1:((i+K)-N) A(i,j)=1; end

end

if K

for j=i-K:i-1 A(i,j)=1;

end

else

for j=1:i-1

A(i,j)=1; end

for j=N-K+i:N A(i,j)=1; end

end

end

disp(A);

%随机化重连

for i=1:N

for j=i+1:N

if A(i,j)==1

pp=unifrnd(0,1); if pp<=p

A(i,j)=0; A(j,i)=0;

b=unidrnd(N); while i==b

b=unidrnd(N); end

A(i,b)=1; A(b,i)=1; end

end

end

end

%根据邻接矩阵连线

for i=1:N

for j=1:N

if A(i,j)==1

plot([x(i),x(j)],[y(i),y(j)],'linewidth',1); hold on;

end

end

end

hold off

aver_path=aver_pathlength(A);

disp(aver_path);

4.2.3小世界网络模型平均路径长度与聚类系数

对于纯粹的规则网络，当其中连接数量接近饱和时，集聚系数很高，平均路径长度也十分短。例如完全耦合网络，每两个节点之间都相连，所以集聚系数是1，平均路径长度是1。然而，现实中的复杂网络是稀疏的，连接的个数只是节点数的若干倍，远远不到饱和。如果考虑将节点排列成正多边形，每个节点都只与距离它最近的 2K 个节点相连，那么在K比较大时，其集聚系数为：

()()()()1323

2214K K C i K K --=≈-

虽然能保持高集聚系数，但平均路径长度为： ()4N l O N K ≈

= 平均路径长度与节点数成正比。纯粹的随机网络有着很小的平均路径长度，但同时集聚系数也很小。可是现实中的不少网络虽然有很小的平均路径长度，但却也有着比随机网络高出相当多的集聚系数。因此瓦茨和斯特罗加茨认为，现实中的复杂网络是一种介于规则网络和随机网络之间的网络。他们把这种特性称为现实网络的小世界特性，就是：

1. 有很小的平均路径长度：在节点数N 很大时，平均路径长度近似于随机网络；

2. 有很高的集聚系数：集聚系数大约和规则网络在同一数量级，远大于随机网络的集聚系数。

相应程序代码（使用Matlab 实现）

ws.m （位于“代码”文件夹内）

clc;

clear all;

format long;

n=1000;

k=5;

L=zeros(14,20);

C=zeros(14,20);

for i=1:14

p(15-i,1)=1/2^(i-1);

end

% p=zeros(1,14);

% p1=zeros(14,20);

% LWS=zeros(14,1);

% CWS=zeros(14,1);

%%生成最近邻耦合网络

A=zeros(n);

for i=1:n

for j=i+1:i+k

jj=j;

if j>n

jj=mod(j,n);

end

A(i,jj)=1; A(jj,i)=1;

end