圆柱相贯线的投影
圆柱体的相贯线(V17版)
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1.分析确定采用表面取点法。 2.画出相贯立体的投影轮廓 。 3.求相贯线的投影
☆ 找特殊点 ☆ 补充中间点 ☆判别可见性、光滑连2 接
4.整理相贯立体在各 投影中的投影轮廓线
3
1.两圆柱正交相贯的基本形式及其投影特点
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
4
1.两圆柱正交相贯的基本形式及其投影特点
一、利用积聚性法求相贯线的投影
两相贯立体中只要有一正圆柱轴
线垂直于某一投影面，就可以利圆柱
面投影的积聚性得到相贯线的一个投
影。然后，用表面取点的方法求出相
贯线的其他投影。
确定交线
作图过程：
的范围
先找特殊点。 补充中间点。
确定交线的 弯曲趋势
圆柱与圆柱相贯
1. 两圆柱正交相贯
1
例 1 已知正交相贯两圆柱的水平投影和侧面 投影,求正面投影。
交线向大圆 柱一侧弯
交线为两条平面 曲线（椭圆）
5
相贯线投影的近似画法
当两正交圆柱直径不等时，其相贯线的投影可用圆弧近
似代替。 d/2
1′
2′
1〞(2〞)
d/2
4〞
3〞
1′′
2′
3′(4′)
d d
4
1
2
3
三点画圆弧
1
2
以大圆柱半径为半径画弧
6
两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们
直径的相对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱 面的直径相对小变化时对相贯线的影响。这里特别 指出的是，当相贯线（也可不垂直）的两圆柱面直径 相等，即公切一个球时，相贯线是相互垂直的两椭圆，
圆柱相贯线的投影
例1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
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●： 小圆柱轴线垂直于 H面，水平 利用积聚性，采用 投影积聚为圆，根据相贯线的共有 性，相贯线的水平投影积聚在该圆 表面取点法。 上。大圆柱轴线垂直于 ☆ 找特殊点 W面，侧面 投影积聚为圆，相贯线的侧面投影 ☆ 补充中间点 应积聚在该圆上，为两圆柱面共有 ☆ 光滑连接
二、圆柱与圆柱正交的相贯线投影
★ 相贯线一般为光滑封闭的空 间曲线，它是两回转体表面 的共有线。
★ 作图方法
表面取点法 辅助平面法
确定交线 的范围
★ 作图过程
先找特殊点。 补充中间点。
确定交线的 弯曲趋势
⒉ 两圆柱直径的变化对相贯线的影响
曲交 线线 （为 椭两 圆条 ）平 面
交线向大圆柱一侧弯
的一段圆弧。
例2：求主视图的相贯线
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2.穿孔的相贯线
讨论：
⒈ 相贯线的产生：
◆两外表 面相交 ◆一外表面与 一内表面相交 ◆两内表 面相交
两圆柱相贯研究最终版
α x
R
o
• 实际上，这个表示与1是等价的，z²=R²(1sin²α)=R²-r²sin²θ。 只是这种表达去了根号，对已知R,r问题很方便 解决。
• 表达方式3：
x ²+z ²=R ²
x ²+y ²=r ²
• 这两个式子的实现是基于前两种表示法中x，z的两种表示，消 去了α 、θ的参数后的实现。 • 这个式子更有力地表达了俯视和左视情况下相贯线的积聚性， 即相贯线积聚在两个圆周上。 • 因此这个是最容易理解也最简洁的数学方程，但另一方面，三 元二次也限制了的其在分析问题上的实用性。 z
z
O o
y
x
• 2 坐标化 设P（x,y,z）为相贯线上的一点，引入一个角θ 为过相贯线上的点的小圆柱上的半径于y-o-z 平面的夹角。 那么坐标为 x=rsin θ y=rcos θ
o θ x y
z
Z坐标
x o
R
• z的表示法2： z=Rcos α z rsinθ=Rsinα
• 原理：将图形投影到 x-o-z平面上，引入新的 角度α，将z轴坐标简化 表示。同时等式说明了 此时坐标表示时x轴坐 标的两种表达方式。
考虑第二种情况，我们得到的方程为 x= Δl+rsin θ y=rcos θ z=
问题导入
• 两圆柱相贯问题是立体图形组合的重点难 点。本次研究将就正交两圆柱的相贯线问 题加以分析与理论研究。
投影分析
• 为了分析问题，先从实际情况入手，并加 以适当的投影分析。 当圆柱体轴线垂直于投影面时，其圆柱表面 在该投影面上的投影有积聚性，所以两圆柱 轴线互相垂直的相贯线可利用积聚性投影取 点作图法求解。
积聚性
积聚性 o x o x R r y
圆柱与圆柱相贯
圆柱与圆柱相贯
1．表面取点法求作相贯线
两圆柱正交，且圆柱轴线为投影面垂直线时，在该投影面上，圆柱面投影是有积聚性的，相贯线在该投影面上的投影，就落在圆柱面有积聚性的投影上。
因此，可以在首先确定出相贯线的两面投影，在这些相贯线的已知投影上取一些点，再利用投影关系求作出相贯线的第三面投影上相应的点，这就是表面取点法。
例1：如图4-15所示，求作两正交圆柱的相贯线。
解：由图4-15b 可见，大、小圆柱的轴线分别垂直于侧立投影面和水平投影面，大圆柱的侧面投影积聚为圆，小圆柱的水平投影积聚为圆。
那么相贯线的侧面投影为圆弧（与大圆柱的部分积聚投影重合），相贯线的水平投影为圆（与小圆柱的水平积聚投影重合）。
相贯线的正面投影，可用已知点、线的两个投影求另外一个投影的方法来求得。
作图步骤如下（如图4-14c 所示）：
a) 立体图 b) 原题 c) 作图步骤
图4-15 圆柱与圆柱正交 l ）先求特殊点，即求相贯线上的最前、最后、最左、最右、最上、最下等点。
在水平投影的小圆周上直接确定出相贯线上最左、最右点的投影1、3和最前、最后点的投影2、4；对应在侧面投影中为1”、（3”）和2”、4”，也是相贯线上的最高、最低点的侧面投影；按投影关系可得出它们的正面投影1’、3’和2’、（4’）。
因为相贯两圆柱体前后对称，故最前、最后两点的正面投影重合。
2）求作一般位置点。
依连线光滑准确的需要，作出相贯线上若干个中间点的投影。
如在水平投影上取5、6点，其侧面投影为5”、6”，再求出其正面投影5’和6’。
3）依次光滑连接l’、5’、2’（4’）、6’、3’各点，即得相贯线的正面投影。
圆柱与圆锥正交及相贯的特殊情况
圆柱与圆锥正交及相贯的特殊情况1．圆柱与圆锥正交作圆柱与圆锥正交的相贯线的投影，通常要用辅助平面法作出一系列点的投影。
辅助平面法的原理是基于三面共点原理。
如图4-24，圆柱与圆锥台正交，作一水平面P ，平面P 与圆锥的截交线（圆）和平面P 与圆柱面的截交线（两平行直线）相交，交点Ⅱ、IV 、VI 、Ⅷ既是圆锥面上的点，也是圆柱面上的点，又是平面P 上的点（三面共点），即是相贯线上的点。
用来截切两相交立体的平面P ，叫做辅助平面。
图4-24 三面共点为了方便、准确地求得共有点，辅助平面的的选择原则是：辅助平面与两立体表面的交线的投影，为简单易画的图形（直线或圆）。
通常大多选用投影面平行面为辅助平面。
例1：如图4-25b 所示，圆锥台与圆柱轴线正交，求作相贯线的投影。
解：由于两轴线垂直相交，相贯线是一条前后、左右对称的封闭的空间曲线，其侧面投影为圆弧，重合在圆柱的侧面投影上，需作出的是其水平投影和正面投影。
作图步骤如下：1）作特殊点。
根据侧面投影1”、3”、（5”）、7”可作出正面投影l’、3’、5’、（7’）和水平投影1、3、5、7，如图4-25c 所示。
其中I 、V 点是相贯线上的最左、最右（也是最高）点，Ⅲ、Ⅶ点是相贯线上的最前、最后（也是最低）点。
2）求作一般位置点。
在最高点和最低点之间作辅助平面P （水平面），它与圆锥面的交线为圆，与圆柱面的交线为两平行直线，它们的交点Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ即为相贯线上的点。
先作出交线圆的水平投影，再由2”(4”)、8”(6”)作出2、4、6、8，进而作出2’(8’)和4’（6’）, 如图4-25d 所示。
3）判别可见性，光滑连线。
相贯线前后对称，前半相贯线的正面投影可见；相贯线的水。
相贯线
第二节相贯线的作图求解一、轴线互相垂直的两圆柱的相贯线当圆柱体轴线垂直于投影面时，其圆柱表面在该投影面上的投影有积聚性，所以两圆柱轴线互相垂直的相贯线可利用积聚性投影取点作图法求解。
1、轴线正交两圆柱的相贯线图10－2如图10-2所示两圆柱轴线垂直相交，且分别垂直于Ｈ面和Ｗ面，因此俯视图中相贯线的投影积聚在小圆柱的投影（圆）上；左视图中相贯线的投影积聚在小圆柱两条转向轮廓线之间的大圆柱面投影（圆）上。
这样由相贯线的两个已知投影，可作出它的Ｖ面投影。
利用积聚性投影取点作图求相贯线的作图步骤如图10-3所示：图10－3 柱－柱相交相贯线作图步骤（1）求特殊点图10-3.b所示相贯线上Ｉ、Ｖ两点分别位于两圆柱对Ｖ面的转向线上，是相贯线上的最高点，也分别是相贯线上的最左点和最右点。
Ⅲ、Ⅶ两点分别位于小圆柱对Ｗ面的转向线上，它们是相贯线上的最低点，也分别是相贯线上的最前点和最后点。
在投影图上可直接作投影连线求得1’、3’、5’、7’。
（2）求一般点先在俯视图中的小圆柱投影圆上，适当地确定出若干个一般点的投影，如图10-3.c所示中的2、4、6、8等点，再按点的三面投影规律，作出Ｗ面投影2"（4"）、8" （6"）和Ｖ面投影2’（8’）4’（6’）点。
（3）判断可见性及圆滑连接由于该相贯线前后前部分对称，且形状相同，所以在Ｖ面投影中可见与不可见部分重合，按1’-2’-3’-4’-5’顺序用粗实线圆滑地连接起来。
（4）按图线要求描深各图线，完成两圆柱正交立体的三视图（图10-3.d）。
2、轴线正交内、外圆柱面的相贯线由于圆柱有实体圆柱和空心圆柱之分，因此圆柱面又有外圆柱面和内圆柱面之别。
故两圆柱面相交会产生三种情况：(1）两外圆柱面相交，如图10-4.a所示；(2）外圆柱面与内圆柱面相交，即圆柱与圆孔相交，如图10-4.b所示；(3）两内圆柱面相交，即圆孔与圆孔相交，如图10-4.c所示。
3-4相贯线的投影作图
§3－3 相贯线的投影作图
01 预习检测
什么是相贯线？ 两回转体相交，常见的是圆柱与圆柱相交、圆锥与 圆柱相交以及圆柱与圆球相交，其交线称为交 *二、圆锥与圆柱相交 三、相贯线的特殊情况 四、综合举例
02 新课讲授 一、圆柱与圆柱相交
相交两圆锥共顶的相贯线——直线
03 巩固提高
四、综合举例 【例3－12】已知相贯体的俯、左视图，求作主视图。
图3－32 已知俯、左 视图，求作主视图
04 评价总结
在实例中，我们可看出无论是相贯还是穿孔， 相贯线的形式是一样的，求法也是一样的。
• 本节课的重点：两圆柱表面相交其交线的求法。 • 本节课的难点：相贯线上共有点的确定。
【例3－10】两个直径不等的圆柱正交，求作相贯 线的投影。
解题步骤
02 新课讲授
圆柱穿孔后相贯线的投影
02 新课讲授
两圆柱正交时相贯线的变化
02 新课讲授
国家标准规定，允许采用简化画法作出相贯线的投影，即以圆 弧代替非圆曲线。当轴线垂直相交且平行于正面的两个不等径圆柱 相交时，相贯线的正面投影以大圆柱的半径为半径画圆弧即可。
02 新课讲授 *二、圆锥与圆柱相交
【例3－11】求作圆台和圆柱轴线正交的相贯线投影。
解题步骤
02 新课讲授
三、相贯线的特殊情况
1．相贯线为平面曲线
同轴回转体的相贯线——圆
02 新课讲授
两回转体公切于一个球面的相贯线——椭圆
02 新课讲授
2．相贯线为直线
相交两圆柱轴线平行的相贯线——直线
02 新课讲授
05 任务布置
【例3－13】求作半球与两个圆柱三体相交的相贯线的投影。
圆柱相贯线三视图完分析
一、新课导入（5分钟）通过上一章节，组合体的组成是将基本基本集合体通过叠加、挖切或者平面相交（截交线）等方式组合在一起。
在组合体零件中会有这样的组合：两个立体相互贯穿，产生相贯线【分析】：相贯线是由两个立体相互贯穿而产生的，那么，在我们生活当中以哪些物体上会出现相贯线？它的形状是怎样的？【引导】：引导学生得到结论：★各种阀体、管件的三通、四通、各种栏杆、健身器材等，这些物体表面上都会有相贯线的存在。
★相贯线为一条封闭的空间曲线。
二、讲授新课（32分钟）1．相贯线的概念和性质两个几何体相交，其表面交线称为相贯线。
相贯线的性质：（1）相贯线是两相交立体表面共有点的集合，也是两相交立体表面的分界线；（2）一般情况下，相贯线是封闭的空间曲线，特殊时是平面曲线或直线。
2．不同直径两圆柱正交相贯的画法求相贯线的实质即是求它们表面的共有点，然后依次光滑地连接即为相贯线。
方法：积聚性和表面取点法。
作图方法（1）求特殊点；（2）求一般点；（3）顺次光滑连接各点，即得相贯线的正面投影。
阐明优缺点：画相贯线时取的点在其余两个视图上的位置比较精确，但是，因为是手工连接各点，使得相贯线不光滑、美观。
【任务一】：绘制圆柱正交相贯，按照刚教给同学们的方法学生自己做一下。
【巡视】：看学生们掌握得如何，在巡视的过程中加以指导。
【思考】：（约2分钟）如果两相贯的圆柱直径都较大时，我们该怎么办？在特殊点的基础上再取四个点。
3、简化画法：国家标准规定，允许采用简化画法作出相贯线的投影，即以圆弧代替非圆曲线。
注：仅限两圆柱直径相差较大，且正交情况阐明优缺点：相贯线非常光滑、美观，但是，相贯线的形状为近似画出。
【任务二】：按照任务书绘制任务二【引导】：引导学生得到以下规律：（2分钟）★画两不等经相贯线时，相贯线要向大圆柱方向弯曲，“小吃大”。
4、两等径圆柱的相贯线画法【引导】：家里的烟囱弯头的形状。
它具有典型的两等径圆柱正交时相贯线的形状。
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圆柱与圆柱相交
圆锥与圆柱相交
圆柱与圆球相交
知识回顾
2、正交圆柱体相贯线的投影描点画法 两个直径不等的圆柱正交，求作相贯线的投影。
一、相贯线的近似画法
相贯线的特点是总是弯向大圆柱的轴线。当 两圆柱垂直正交且直径有差异时，可采用圆弧相 贯线的近似画法：在非圆视图上相贯线的投影以 大圆弧的半径为半径、连接两端点，画圆弧即可。
二、圆柱穿孔后的相贯线
（
三、正交圆柱相贯线的变化趋势
变化趋势
(1)在非圆视图上,相贯线的的投影曲线 始终由小圆柱向大圆柱轴线弯曲凸进(吃 进)——以小“吃”大(小国侵略大国)。 (2)当两圆柱直径相等时，相贯线空间形 状为两个相交的椭圆，在非圆视图上的投 影为过两轴线交点的相交直线；在视图 上——“平分天下”。
两正交圆柱相贯线变化趋势
以小 “吃” 大
等径圆柱的相贯线
温岭市太平高级职业中学
郑建明.
平分 天下
等径圆柱相贯线的投影是直线
知识拓展：同轴回转体垂直相贯
特 殊 情 况
圆柱轴线通过球心，相贯线为与圆柱直 径相等的圆，主视图投影为直线。
知识拓展：同轴回转体垂直相贯 特 殊 情 况
圆柱轴线通过球心，相贯线为与圆柱直 径相等的圆，主视图投影为直线。
项目四:组合体的表达与识读
任务2 绘制两正交圆柱分组教学和分层教学。针对11机1班学 生素质较好的实际情况，进行知识拓展和能力提升的 教学尝试。
知识回顾 相 贯 线 的 形 成
知识回顾
1、相贯线的定义
即两回转体相互贯 穿时的表面交线。
两个回转体相交(或称相贯)，表面产生的交线 称为相贯线。
对应能力提升题： 习题集Ⅱ： P32 9
思考—难度提升题
可采用模 糊近似画法 表示相贯线。
（
思考—难度提升题
可采用模糊近似 画法表示相贯线。
等径圆柱或圆锥相贯线的投影是直线
课 后 作 业
作业Ⅰ： P76 P77 思考作业：习题集Ⅱ P31-P32 5、 6、7、8
相贯线的形成