立体表面上点线投影及相贯线投影习题
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第三章立体表面交线投影3-3
学习内容教学方法任务实施（一）相贯线的性质1、相贯线的概念两个基本体相交（或称相贯），表面产生的交线称为相贯线。
本节只讨论最为常见的两个曲面立体相交的问题。
2、相贯线的性质：（1）相贯线是两个曲面立体表面的共有线，也是两个曲面立体表面的分界线。
相贯线上的点是两个曲面立体表面的共有点。
（2）两个曲面立体的相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下可能是平面曲线或直线。
求两个曲面立体相贯线的实质就是求它们表面的共有点。
作图时，依次求出特殊点和一般点，判别其可见性，然后将各点光滑连接起来，即得相贯线。
（二）相贯线的画法两个相交的曲面立体中，如果其中一个是柱面立体（常见的是圆柱面），且其轴线垂直于某投影面时，相贯线在该投影面上的投影一定积聚在柱面投影上，相贯线的其余投影可用表面取点法求出。
1、讲解例题（例3－8）如图3－21（a）所示，求正交两圆柱体的相贯线。
分析：两圆柱体的轴线正交，且分别垂直于水平面和侧面。
相贯线在水平面上的投影积聚在小圆柱水平投影的圆周上，在侧面上的投影积聚在大圆柱侧面投影的圆周上,故只需求作相贯线的正面投影。
出示模型辅助讲解。
a）立体图（b）3－21正交两圆柱的相贯线讲授法演示法任务实施边画图边讲解作图方法与步骤。
2、相贯线的近似画法相贯线的作图步骤较多，如对相贯线的准确性无特殊要求，当两圆柱垂直正交且直径有相差时，可采用圆弧代替相贯线的近似画法。
如图3－22所示，垂直正交两圆柱的相贯线可用大圆柱的D/2为半径作圆弧来代替。
图3-22 相贯线的近似画法3、两圆柱正交的类型两圆柱正交有三种情况：（1）两外圆柱面相交；（2）外圆柱面与内圆柱面相交；（3）两内圆柱面相交。
这三种情况的相交形式虽然不同，但相贯线的性质和形状一样，求法也是一样的。
如图3－23所示。
出示模型辅助讲解。
（a）两外圆柱面相交（b）外圆柱面与内圆柱面相交讲授法演示法（c）两内圆柱面相交图3－23两正交圆柱相交的三种情况（三）相贯线的特殊情况两曲面立体相交，其相贯线一般为空间曲线，但在特殊情况下也可能是平面曲线或直线。
道路工程第七章立体的投影及其表面交线习题
•7-26作出两圆柱体 的相贯线
7-12作出直线AB与棱锥表面的交点。
7-13作出直线AB、CD与圆锥表面 的交点。
7-14作出直线AB、CD与球面的交 点。
•7-17作出两棱柱体 的交线。
•7-18作出三棱柱与 三棱锥的交线
•7-22作出带穿孔圆 柱体的W面投影。
•7-24作出四棱柱 与圆锥体的交线
•7-25作出三棱柱与 球的交线。
解题步骤
1 分析 截交线的正 面投影已知，水平投 影和侧面投影未知；
2 求出截交线上的折 点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
b" ；
3 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
7-8补全切口圆柱的三面投影图。
• 7-9作出半球被四个平 面截断后的V、W投影。
7-10补全切口圆锥的三面投影图。
7-1补全四棱柱及其表面上点的三面投影。
7-2补全三棱锥及其表面上点，线的 三面投影。
• 7-4求作P平面与棱柱补全切口四棱锥的三面投影图
求带切口三棱锥的投影
s'
s"
4'
1' a'
4"
2' 3'
b'c' c"
c 3
3" y
1" 2" a" y
第三章立体的投影4习题课
台湾 架设第一条电报线，成为中国自
出行 (1)新式交通促进了经济发展，改变了人们的通讯手段和 ， 方式 转变了人们的思想观念。
(2)交通近代化使中国同世界的联系大大增强，使异地传输更为便 捷。 (3)促进了中国的经济与社会发展，也使人们的生活
多姿多彩 。
[合作探究· 提认知]
电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
平行于轴线 θ = 0°
双曲线
平行于一条素线 过锥顶 θ =α 直线（三角形）
抛物线 直线
历史ⅱ岳麓版第13课交通与通讯 的变化资料
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[自读教材· 填要点] 一、铁路，更多的铁路 1．地位
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
一、近代交通业发展的原因、特点及影响 1．原因 (1)先进的中国人为救国救民，积极兴办近代交通业，促
进中国社会发展。
(2)列强侵华的需要。为扩大在华利益，加强控制、镇压
中国人民的反抗，控制和操纵中国交通建设。
(3)工业革命的成果传入中国，为近代交通业的发展提供 了物质条件。
2．特点 (1)近代中国交通业逐渐开始近代化的进程，铁路、水运和
报先后发明。
(3)近代以来，交通、通讯工具的进步，推 动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
第四章-立体的投影习题答案
4-5.1、补全侧面投影
y1
y1
4-5.2、补全水平投影
y1
y1
3. 补全正面投影。
P18-3 答案
第4章 立体的投影
P19-1 答案
第4章 立体的投影
2. 用 辅 助 平 面 法 求 作 相 贯 线 的 正 面 投 影
3. 补全三棱锥被截切后的水平投影，并求作侧面投影。
3. 补全三棱锥被截切后的水平投影，并求作侧面投影
4. 补全四棱台被截切后的水平投影，并求作正面投影。
2. 完成圆柱被截后的水平投影。
62.完成圆柱被截后的水平投影。
3′(4′) 9′(10′) 5′(6′) 7′(8′)
1′(2′)
11′(12′) 4″(12″)
第四章
立体的投影
4-1-1 完成下列立体及其表面上的各点三面投影
（1）
4-1-2 完成下列立体及其表面上的各点三面投影
(b)’ a'
b’’ a’’
b a
4-1-3 完成下列立体及其表面上的各点三面投影
※侧面投影必须做 （3）
（3）
4-1-4 完成下列立体及其表面上各点三面投影
a'
(e’) (b‘)
10″
6″ 8″
3″(11″) 9″ 5″
7″
2″ 1″
8 6 10 2
4 12
1
3 11
75 9
4-3-2 求作截交线的水平投影。
3. 求作侧面投影
P17-4 答案
第4章 立体的投影
4-4.3、完成半圆球被截后的水平和侧面投影。
4-4.4、画出顶尖的水平投影
y1
y2
y1 y2
4-4.*5、求组合回转体的水平投影
3-4.例题( 立体)
b´ a" b" o" c" 1" d" b
步骤： •找全特殊点 •适当的中间点 •光滑连线 •轮廓线 •可见性
1
例2：
c
若截切平面与 轴线成45°，则 椭圆的投影为圆！
45°
多平面截切圆柱体
例1：
p3´
p4´ p3 p2 p1 p4
•那些平面截切立体 •每个截断面的形状 （是否 45°？） •平面与平面的交线!
2. 必须熟悉交线的基本形式
3. 多形体相交
形体分析： 搞清哪些形体相交，交线是什么 两两求交 不完整的交线： 先整体求交，再取局部交线
3.表面交线分析
二次曲面交线的性质分析
一般为四次曲线，其 具有公共对称平面时 投影亦为四次曲线 交线在与对称平面 平行的投影面上的 投影为二次曲线
双曲线
圆球
交线分析 球心 投影分析 交线为空间曲线 投影作图 H、V面投影
求特殊点 均为未知 求中间点 光滑连接曲线 如何选择辅助面？ 交线的H投影
辅助球面
归纳 1. 求交线的基本方法
利用积聚性投影 用面上取点的方法求解 辅助面法
辅助平面法 辅助球面法
利用“三面共点”的原理
二回转面的 轴线必须相交
辅助面选择原则 辅助面与二回转面交线的投影 为直线或圆 在何处作辅助面 二回转面的共有部分—交线共有
例 :求八棱柱被平面P截切后的水平投影图。
作题步骤：
① ② ③ ④ ⑤ 例1：
想清形体的形状 确定形体是如何截切的 判断截交线的边数及形状 利用面形法画图（截切平面与各棱线的交点） 补全投影图，判断可见性 例2：
5´, 6´
2´ 3´, 4´ 2″ 1″ 2 6 3 4 3″ 4″ 6″ 5″ 7″ p0´ p1´ p2´ p3´ p3 ″
步骤： •找全特殊点 •适当的中间点 •光滑连线 •轮廓线 •可见性
1
例2：
c
若截切平面与 轴线成45°，则 椭圆的投影为圆！
45°
多平面截切圆柱体
例1：
p3´
p4´ p3 p2 p1 p4
•那些平面截切立体 •每个截断面的形状 （是否 45°？） •平面与平面的交线!
2. 必须熟悉交线的基本形式
3. 多形体相交
形体分析： 搞清哪些形体相交，交线是什么 两两求交 不完整的交线： 先整体求交，再取局部交线
3.表面交线分析
二次曲面交线的性质分析
一般为四次曲线，其 具有公共对称平面时 投影亦为四次曲线 交线在与对称平面 平行的投影面上的 投影为二次曲线
双曲线
圆球
交线分析 球心 投影分析 交线为空间曲线 投影作图 H、V面投影
求特殊点 均为未知 求中间点 光滑连接曲线 如何选择辅助面？ 交线的H投影
辅助球面
归纳 1. 求交线的基本方法
利用积聚性投影 用面上取点的方法求解 辅助面法
辅助平面法 辅助球面法
利用“三面共点”的原理
二回转面的 轴线必须相交
辅助面选择原则 辅助面与二回转面交线的投影 为直线或圆 在何处作辅助面 二回转面的共有部分—交线共有
例 :求八棱柱被平面P截切后的水平投影图。
作题步骤：
① ② ③ ④ ⑤ 例1：
想清形体的形状 确定形体是如何截切的 判断截交线的边数及形状 利用面形法画图（截切平面与各棱线的交点） 补全投影图，判断可见性 例2：
5´, 6´
2´ 3´, 4´ 2″ 1″ 2 6 3 4 3″ 4″ 6″ 5″ 7″ p0´ p1´ p2´ p3´ p3 ″
第六章 立体表面的相贯线
例6—3 补画俯视图上三棱柱与圆锥相交的相贯线。
三棱柱与圆锥相贯 a）两视图 b）立体图
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅰ和Ⅱ的投影
求点Ⅲ和Ⅳ的投影
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ的投影
三棱柱与圆锥相贯的投影图
第六章
第三节
立体表面的相贯线
两回转体相交时的相贯线
当两回转体相交时，其相贯线是封闭的空间曲线，特殊情 况下为平面曲线。
圆锥与棱柱相贯
第六章
第一节
立体表面的相贯线
两平面立体相交时的相贯线
平面立体与平面立体相交的相贯线是由若干段直线所围成的封 闭空间图形。 例6—1 作长方体与正三棱锥相交的相贯线。
长方体与正三棱锥相贯
对相贯体进行形体分析
第六章
立体表面的相贯线
求点Ⅰ和Ⅱ的投影
求点Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ的投影
第六章
立体表面的相贯线
两圆柱轴线垂直但不相交时相贯线的变化趋势
轴线垂直相交 轴线垂直但不相交
第六章
立体表面的相贯线
二、辅助平面法
三面共点
第六章
立体表面的相贯线
圆柱与圆锥的相贯线 a）圆柱穿过圆锥 b）圆柱与圆锥共切于一个球 c）圆锥穿过圆柱
第六章
立体表面的相贯线
例6—6 求圆柱与圆柱斜交时的相贯线。
第六章
立体表面的相贯线
第六章
立体表面的相贯线
三、圆柱、圆锥和球同轴（或轴线平行）时的 相贯线
圆柱、圆锥和球同轴或轴线平行时的相贯线
a）圆柱与球相贯b）圆柱与圆锥相贯c）圆锥与球相贯d）圆柱与圆柱相贯
第六章
第四节
立体表面的相贯线
组合相贯线
相贯线习题课
Ⅵ Ⅳ Ⅴ
交 线 是 圆
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化
（1）当圆锥向下延伸。
（2）当圆柱逐渐变小。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化：
（1）当圆锥向下延伸。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变 化（1）当圆锥成为孔。
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
54
例9：补全主视图
3 2
●
● ●
●
● ●
这是一个多体 相贯的例子，首先 分析它是由哪些基 本体组成的，这些 基本体是如何相贯 的，然后分别进行 相贯线的分析与作 图。
●
1
●
中英文日报导航站
55
三面共点
●
●
●
作图时要抓住 一个关键点，相贯 线汇交于这一点。
中英文日报导航站
辅助平面 辅助平面
A A
A
B B
B
甲立体表面 辅助平面 R
辅助平面法原理
截交线 甲面
两截交线的
交点即为 截交线
R面 乙面
共点
乙立体表面 为了作图简便和准确，在 选取辅助平面时，应尽量使 辅助平面与两曲面立体的截 交线的投影都是直线或圆。
Ⅶ
交 线 是 平 行 两 直 线
Ⅵ Ⅳ Ⅴ
常用的辅助平面 为投影面的平行面或 垂直面,要使辅助平面 与两立体表面交线的 投影为直线或圆。
最 左 最 高 点
1
2
最 前 最 低 点
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 1` 1` 2` 2``
（2）求一般点。
1``
2``
Ⅲ Ⅱ
2 1 2
曲面立体相贯线例题
2 5 3
1 4
退出
y
y
节目录
用辅助平面求共有点示意图
用水平面作为辅助平面求共有点
退出
节目录
[例题3] 例题3
PV1
3' 5' 2' 4' 1'
求圆球与圆锥的相贯线
PV2 PV3
2"
y y
解题步骤 1．分析 相贯 线的三个投影均 未知，可利用辅 助平面法求共有 点； 2 ． 求 出 相 贯线 上特殊点Ⅰ 、 Ⅱ 、Ⅲ； 3．求出若干个 一般点Ⅳ 、Ⅴ； 4 ． 光 滑 且 顺次 地连接各点，作 出相贯线，并且 判别可见性； 5 ． 整 理 轮 廓素 线。
曲面立体相贯线例题 曲面立体相贯线例题
例题1 例题2 例题3 例题4 求两圆柱的相贯线 求圆柱与圆锥的相贯线 求圆球与圆锥的相贯线 复合相贯线
退出
节目录
[例题1] 例题1
a' d' c'
求两圆柱的相贯线
b' e' a" b" d" e" c"
解题步骤 1 分析 相贯线的水平投影 和侧面投影已知，可利用表 面取点法求共有点； 2 求出相贯线上的特殊点A、 B、 C； 3 求出若干个一般点D、E； 4 光滑且顺次地连接各点， 作出相贯线，并且判别可见 性；
y
y
5 整理轮廓线。
a c
b y d e
退出 节目录
y
[例题2] 例题2
求圆柱与圆锥的相贯线
解题步骤
1' 4' 3' 5' 2'
y
1"
PV1 PV2 PV3
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3`(6`) 2`(7`) 1`
7 1
6 5
4 2
6" 3"
7" 2"
1"
12. 完成圆柱体被截切后的侧面投影。
d"
f' c'
e' b' a'
(c")
(f")
b" e" a"
d
a
c
e bf
9. 求圆锥体表面上点、线的其余两个投影。
d'
a'
b' c'
(e' )
d"
a"
( c") b"
(e")
e
ad
bcΒιβλιοθήκη 10. 补画圆锥被截切后的水平投影和侧面投影 。
11. 补画圆柱体被截切后的水平投影。
4`(5`)
5"
4"
1.作出三棱台的侧面投影及其表面上折线ABC和点D 所缺的投影。
b’
c’
a’
d
2. 求立体表面上的点、线的其余两个投影。
e
g f
e" f"
(g")
(c”)
3.完成三棱柱被截后的水平投影，并作出其侧面投影。
4.完成三棱锥被截后的水平投影，并作出其侧面投影。
5.三棱柱与三棱锥相贯，完成其水平投影，并作出 其侧面投影。
6.三棱柱与四棱台相贯，完成其水平投影，并作出其 侧面投影。
7. 求作圆柱体的另一投影，并完成其表面上点、线的其 余投影。
e' a'
b'
(f’) (c’)
(d' )
f" b" c"
e" a"
d"
d
b e a
c f
8. 画出圆柱体的侧面投影，并作出立体表面上 曲线ABC及点D的另两个投影。
(d')