双曲线几何性质 (1)
双曲线的几何性质(一)
x 2 2 2 1,即x a a x a, x a
2、对称性
2
y
(-x,y)
-a
(x,y)
o a
x
(-x,-y)
(x,-y)
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
x2 y 2 25 设双曲线方程为 2 2 1(b 0, ), 点C (13, y ). B/ 12 b 132 y 2 25 2 ( y 55) 2 则点B(25, y 55), 2 1或 2 1. 2 2 12 b 12 b
B
5b 联立方程组解得, y (负值舍去) 12
3 思考:一个双曲线的渐近线的方程为: y x ,它的 4
离心率为
.
例3 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转 所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m, 高55m,选择适当的坐标系,求出双曲线方程. y 13 建立如图直角坐标系,使小圆直径AA'在x 轴 C/ 解: C '， 上,圆心与原点重合,这时上、下口的直径CC 12 BB'平行于x轴。 A/ O A x 且 | CC'| 13 2(m), | BB'| 25 2(m).
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , 依题意 d a
( x c )2 y 2 a2 x c
c ①, a
x y 令 c a b ,方程②化为 2 2 1 这就是所求的轨迹方程. a b
2 2 2
2021年高二苏教版数学选修2-1名师导学：第2章 第7课时 双曲线的几何性质(1)
第7课时双曲线的几何性质(1)教学过程一、问题情境问题1前面的课依据椭圆的标准方程争辩了椭圆的哪几种性质?解范围、对称性、顶点、离心率.问题2椭圆+=1(a>b>0)的具体几何性质是什么?问题3现在能依据双曲线的标准方程争辩双曲线的几何性质吗?二、数学建构类比椭圆+=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程序是:同学:自我思考→得出初步结论→小组争辩→得出满足结论→回答所得结论(与大家沟通);老师:启发诱导→点拨释疑→补充完善)(1)范围:观看双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围.双曲线在两条直线x=±a的外侧.留意:从双曲线的方程如何验证?从标准方程-=1可知-1=,由此双曲线上点的坐标都适合不等式≥1,即x2≥a2,|x|≥a,即双曲线在两条直线x=±a的外侧.(2)对称性:双曲线-=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线-=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在双曲线-=1的方程中,对称轴是x轴、y轴,所以令y=0得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线-=1的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长.令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点.我们定义点(0,±b)为虚轴的端点B1,B2,它们的连线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的性质:①渐近线方程为y=±x;②渐近线相互垂直;③离心率e=.等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时焦点在x轴上,当λ<0时焦点在y轴上.列表:方程性质+=1(a>b>0)-=1(a>0,b>0)范围-a≤x≤a,-b≤y≤b x≥a或x≤-a,y∈R对称性关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)顶点四两个,A1(-a,0),A2(a,0)个,A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)离心率e=<1,反映椭圆圆扁程度e=>1留意:在作图时,我们经常把虚轴的两个端点画上(为确定渐近线),但要留意它们并非是双曲线的顶点.(图1)(4)渐近线的发觉与论证:依据双曲线的上述性质,能较为精确地把双曲线-=1画出来吗?(能)通过列表描点,能把双曲线的顶点及四周的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚.我们能较为精确地画出曲线y=,这是为什么?(由于当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线.(图2)对渐近线并不生疏,例如:直线x=kπ+(k∈Z)是正切函数y=tan x图象的渐近线.双曲线有没有渐近线呢?假如有,又该是怎样的直线呢?引导猜想:在争辩双曲线范围时,由双曲线的标准方程-=1可解出y=±=±x.当x无限增大时,就无限趋近于零,也就是说,这时双曲线y=±x与直线y=±x无限接近.[1]这使我们有理由猜想直线y=±x为双曲线的渐近线.直线y=±x恰好是过实轴端点A1,A2,虚轴端点B1,B2,作平行于坐标轴的直线x=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?明显,依据双曲线的对称性,只要考虑双曲线在第一象限就可以了.同学探讨证明方法,老师可赐予适当提示,查找不同的证明方法,找同学板演其推理过程,对于基础好一点的。
高中数学教程双曲线的几何性质
高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明； 3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义；4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程12222=-b y a x 可知22221b y a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122≥ax即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
2．对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
双曲线的简单几何性质 (一) - 浙江省桐乡
双曲线的简单几何性质 （一）高二数学 方蕾教学目标：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.2．用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题.2．通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心. 教学重点：双曲线的简单几何性质 教学难点：渐近线的求法及理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、三角板 内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质. 它是教学大纲中要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点 用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，这里主要是对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质解决相关数学问题.本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别.教学流程： (一)复习引入1. 双曲线的定义及其标准方程平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（大于0且小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=-（0<2a <21F F ）焦点在x 轴上时：()0,012222>>=-b a b y a x 焦点在y 轴上时：()0,012222>>=-b a b x a y(注：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)c b a ,,的关系：222b a c +=0>>a c ,c 最大，b a ,可以a =2.椭圆的简单几何性质以()012222>>=+b a bya x为例⑴范围： b y b a x a ≤≤-≤≤- ,⑵对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心⑶顶点坐标：()()()(),b ,B ,-b , B a,,A a,A 00002121-长轴：线段21A A 长为2a ，a 短轴：线段21B B 长为2b ，b ⑷离心率：()1,0 ,∈=e ac e探究：类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？ （二）新课讲解利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质以焦点坐标在x 轴上的标准方程为例，()0,012222>>=-b a by ax1．范围由标准方程12222=-b y a x 可得112222≥+=b y a x ，即22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值，这说明双曲线在不等式a x -≤与a x ≥所表示的区域内；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=和之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：类比研究椭圆对称性的研究方法，容易得到，双曲线关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 2．顶点在双曲线方程12222=-b y a x 中，令讲解：结合图形，讲解顶点和轴的概念，0=y 得a x ±=，故它与x 轴有两个交点),0,(1a A()0,2a A -，且x 轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -为其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交做双曲线12222=-by ax 的实轴，它点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫的长是2a .在方程12222=-by a x 中令0=x 得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点。
2020高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)
课时作业16 双曲线的简单几何性质（1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1。
若直线x＝a与双曲线错误!－y2＝1有两个交点,则a的值可以是( )A。
4 B.2C。
1 D.－2答案A解析∵双曲线错误!－y2＝1中，x≥2或x≤－2,∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意．2．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2错误!B.2C.错误!D。
1答案A解析不妨取焦点（4,0)和渐近线y＝3x，则所求距离d＝错误!＝2错误!。
故选A.3．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解把方程化为标准形式为错误!－错误!＝1，由此可知,实半轴长a＝1,虚半轴长b＝2。
顶点坐标是（－1,0),（1，0）．c＝错误!＝错误!＝错误!,∴焦点坐标是（－5，0)，（错误!,0)．离心率e＝错误!＝错误!，渐近线方程为错误!±错误!＝0，即y＝±2x。
知识点二求双曲线的离心率4。
下列方程表示的曲线中离心率为错误!的是（）A.错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!－错误!＝1答案B解析∵e＝ca，c2＝a2＋b2，∴e2＝错误!＝错误!＝1＋错误!＝错误!2＝错误!。
故错误!＝错误!，观察各曲线方程得B项系数符合,应选B。
5．已知F1，F2是双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解设F1（c,0），将x＝c代入双曲线的方程得错误!－错误!＝1，∴y ＝±错误!。
由｜PF2|＝｜QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝｜F1F2|，∴b2a＝2c.∴b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0.∴错误!2－2·错误!－1＝0.即e2－2e－1＝0。
双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系)
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 半焦距c=
42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e
4 渐近线方程: y x 3
c 5 a 4
5 例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e ， 4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方 程，并且求出它的渐近 线和焦点坐标 . 2 2
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F ， 0)，F （ ， 0） 1 (2 2 2 2 2
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
3 双曲线的渐近线方程为 y x 3 b 3 ，而c 2 a 2 b 2 ， a 2 b 2 8 a 3 解出 a 2 6，b 2 2 x2 y2 双曲线方程为 1 6 2
xa
x a
ya
或
或
y a
b c 关于 ( a,0) y x e 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 a 2 b2 ) 称 (0, a) y x b
例题讲解
例1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
பைடு நூலகம்
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
双曲线的简单几何性质(1)b
B2 A1
O
A2
x
B1
应用举例:
求双曲线9y 例1.求双曲线 2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴 求双曲线 的实半轴与虚半轴 焦点坐标,离心率及渐进线方程 长,焦点坐标 离心率及渐进线方程 焦点坐标 离心率及渐进线方程.
y 2 x2 解： 原方程可化为 : 2 − 2 = 1 4 3
∴ 实半轴长 a = 4 ，虚半轴长 b = 3 .
2
y2 − 2 =1 b
y
B2 A1
O
2、对称性： 关于 轴，y轴，原点对称. 、对称性： 关于x轴 轴 ），A ， ）， ， ） 3、顶点：A1（-a，0）， 2（a，0） 、顶点： 线段A 线段B 线段 1A2叫实轴 . 线段 1B2叫虚轴 . 实轴长|A 实轴长 1A2|=2a
，虚轴
A2
x
B1
A2
x
B1
y 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明。 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明。
x − y = 1 得 y = b x 2 − a 2 ( x > a) ， 由 2 2 a a b
2
2
Q M
B2 A1
O
设M(x，y) 是双曲线上的点，则 ， 是双曲线上的点， 它到渐近线 bx − ay = 0 的距离为： 的距离为：
A2
x
B1
| bx − b x 2 − a 2 | | MQ | = = 2 2 c a +b = b | x − x2 − a2 | c
| bx − ay |
| ( x − x 2 − a 2 )( x + x 2 − a 2 ) | ba 2 1 = ⋅ = b⋅ c x + x2 − a2 c x + x2 − a2
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
1、取值区域：
x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a
2、对称性：
关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：
A(-a,0)A’(a,0)AA’叫做双曲线的实轴，长2a；B(0,-b)B’(0,b)BB’叫做双曲线的虚轴，长2b。
4、渐近线：
横轴：y=±(b/a)x竖轴：y=±(a/b)x
5、离心率：
e=c/a取值范围：（1，+∞）
6、双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率。
7、双曲线焦半径公式：
圆锥曲线上任意一点到焦点距离。
过右焦点的半径r=|ex-a|；过左焦点的半径r=|ex+a|
8、等轴双曲线
双曲线的实轴与虚轴长相等，2a=2b e=√2
9、共轭双曲线
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1与(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1叫共轭双曲线
（1）共渐近线
（2）e1+e2>=2√2
10、准线：
x=±a^2/c,或者y=±a^2/c。
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1
双曲线的几何性质
学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想.
学习重点：双曲线的几何性质及其运用.
一、学习情境
类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？
二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完）
问题1: 画出
1
3
42
2
2
2
=
-
y
x
与
1
3
42
2
2
2
=
-
x
y
的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？
问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质.
标准方程
图象
范围
对称轴
对称中心
实虚轴
顶点
渐近线
离心率
a,b,c关系
A级理P61 (文P53) 1、2、3、4
B级习题理2.3 (文2.2) 3、4
选做题
1、已知椭圆方程
1
9
16
2
2
=
+
y
x
和双曲线方程
1
9
16
2
2
=
-
x
y
有下列说法：
①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上;
②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3
③它们的焦距都是10
其中说法正确的个数是（）
A、0
B、1
C、2
D、3个
2、根据下列条件，求双曲线方程
①与双曲线1
4
16
2
2
=
-
y
x
有公共焦点，且过点（2
3，2）
②与双曲线1
9
16
2
2
=
-
y
x
有共同的渐近线，且过点（3
2，-3）
三、归纳反思
椭圆和双曲线几何性质的比较：
椭圆双曲线定义
标准方程
图形
(顶点坐
标)
(焦点坐
标)
范围
轴
对称轴
(对称中
心)
离心率
及其范围
a,b,c关系
渐近线。