立体几何基本概念题
高中立体几何知识点及经典题型
高中立体几何知识点及经典题型立体几何是高中数学中的重要部分，它研究了在三维空间内的几何形体。
本文将介绍高中立体几何的主要知识点和经典题型。
知识点以下是高中立体几何的主要知识点：1. 空间几何基础：点、线、面的概念及性质。
2. 参数方程和一般式方程：用参数或方程表示几何体的方法。
3. 立体图形的投影：点、直线、平面在投影中的表现形式。
4. 空间几何中的平行与垂直：直线、平面之间的平行关系及垂直关系。
5. 直线与面的位置关系：直线与平面之间的交点、垂线、倾斜角等概念。
6. 空间角的性质：二面角、棱锥、棱台等形体的角度关系。
7. 空间几何中的直线及曲线：空间中直线与曲线的方程及性质。
8. 空间立体角：球、球台、球扇等形体的角度关系。
9. 空间的切线：曲线在空间中的切线方程及其性质。
10. 空间的幂：圆、球及其他形体的幂的概念和性质。
经典题型以下是高中立体几何的经典题型：1. 求直线与平面的位置关系问题：例如，给定一直线和一个平面，求它们之间的交点、垂直线、倾斜角等。
2. 求空间角的问题：例如，给定两个平面的交线，求二面角的度数。
3. 求直线与曲线的位置关系问题：例如，给定一条直线和一个曲面，求它们之间的位置关系。
4. 求切线和法平面的问题：例如，给定一个曲线和一个点，求曲线在该点处的切线方程及法平面方程。
5. 求空间形体的幂问题：例如，给定一个球和一个平面，求平面关于球的幂及其性质。
以上只是一些经典的立体几何题型，通过解答这些题目，可以加深对立体几何知识的理解和运用。
希望本文对高中立体几何知识点和题型的介绍能够帮助到你。
祝你在学习立体几何时取得好成绩！。
高中立体几何练习题
高中立体几何练习题几何学是数学中非常重要的一个分支，而立体几何则是其中的一个重要部分。
在高中阶段，学生需要掌握各种与立体几何相关的概念和定理，并且能够运用这些知识解决实际问题。
本文将为大家提供一些高中立体几何的练习题，以帮助大家巩固知识和提高解题能力。
练习题一：三棱柱1. 一个三棱柱的底面是一个等边三角形，边长为8cm，高度为10cm。
求该三棱柱的体积和表面积。
2. 一个三棱柱的体积是72cm³，底面边长为6cm。
求该三棱柱的高度和表面积。
练习题二：四棱柱和四棱锥1. 一个正四棱柱的底面是一个边长为4cm的正方形，高度为6cm。
求该四棱柱和与之相似的正四棱锥的体积比值。
2. 一个四棱柱的底面是一个边长为10cm的正方形，高度为8cm。
求该四棱柱和与之相似的四棱锥的表面积比值。
练习题三：球体和圆柱1. 一个半径为4cm的球从中间切割，得到两个半球。
求这两个半球的表面积之和。
2. 一个圆柱的底面半径为3cm，高度为10cm。
在底面上画一个直径，求这个直径与圆柱的侧面交点处的高度和侧面的面积。
练习题四：棱台和棱锥1. 一个棱台的上底是一个边长为6cm的正三角形，下底是一个边长为12cm的正六边形，高度为8cm。
求该棱台的体积和表面积之和。
2. 一个棱台的上底是一个边长为8cm的正方形，下底是一个边长为12cm的正六边形，高度为10cm。
求该棱台的体积和表面积的比值。
以上仅为一些高中立体几何的练习题，希望能够帮助大家巩固知识并提高解题能力。
在解答这些题目时，可以根据已学习的定理和公式进行计算，并注意单位和精度的问题。
同时也要灵活运用几何思维和建模能力，将实际问题转化为几何图形，从而更好地解决问题。
祝各位同学在立体几何学习中取得好成绩！。
立体几何专题专练100题(含详解)
1.（本题满分15分）如图，在三棱锥D -ABC 中，DA =DB =DC ,D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F ．（Ⅰ）求证：平面ABD ⊥平面DEF ；（Ⅱ）若AD ⊥DC ，AC =4，∠BAC =60°，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值.答案及解析：1.（Ⅰ）如图，由题意知⊥DE 平面ABC所以DE AB ⊥，又DFAB ⊥所以⊥AB 平面DEF ，………………3分又⊂AB 平面ABD 所以平面⊥ABD 平面DEF…………………6分（Ⅱ）解法一：由DC DB DA ==知ECEB EA ==所以E 是ABC ∆的外心又BC AB ⊥所以E 为AC 的中点…………………………………9分过E 作DF EH ⊥于H ，则由（Ⅰ）知⊥EH 平面DAB所以EBH ∠即为BE 与平面DAB 所成的角…………………………………12分由4=AC ， 60=∠BAC 得2=DE ，3=EF 所以7=DF ，732=EH 所以721sin ==∠BE EH EBH …………………………………15分解法二：如图建系，则)0,2,0(-A ，)2,0,0(D ，)0,1,3(-B 所以)2,2,0(--=DA ，)2,1,3(--=DB ……………………………………9分设平面DAB 的法向量为),,(z y x n =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DB n DA n 得⎩⎨⎧=--=--023022z y x z y ，取)1,1,33(-=n ………………12分设EB 与n 的夹角为θ所以7213722||||cos ==⋅=n EB nEB θ所以BE 与平面DAB 所成的角的正弦值为721………………………………15分2.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=AC=2AB=2，且BC 1⊥A 1C ．（1）求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；（2）设D是线段BB1的中点，求三棱锥D﹣ABC1的体积．答案及解析：2.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（1）证明A1C⊥面ABC1，即可证明：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）证明AC⊥面ABB1A1，利用等体积转换，即可求三棱锥D﹣ABC1的体积．【解答】（1）证明：在直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而AB⊂面ABC，∴A1A⊥AB，∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1，又BC1⊥A1C，BC1⊂面ABC1，AC1⊂面ABC1，BC1∩AC1=C1∴A1C⊥面ABC1，而A1C⊂面A1ACC1，则面ABC1⊥面A1ACC1…（2）解：由（1）知A1A⊥AB，A1C⊥面ABC1，A1C⊥AB，故AB⊥面A1ACC1，∴AB⊥AC，则有AC⊥面ABB1A1，∵D是线段BB1的中点，∴．…【点评】本题考查线面垂直、平面与平面垂直的判定，考查三棱锥D﹣ABC1的体积，考查学生分析解决问题的能力，正确运用定理是关键．3.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．（1）求证：CD⊥PD；（2）求证：EF∥平面PAD．答案及解析：3.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】本题是高考的重要内容，几乎年年考，次次有：（1）的关键是找出直角三角形，也就是找出图中的线线垂直．（2）的关键是找出平面PAD中可能与EF平行的直线．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，而CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD、（2）取CD的中点G，连接EG、FG．∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD，∴平面EFG∥平面PAD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面PAD．【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a∥α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．4.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．答案及解析：4.【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1，再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．5.已知在三棱锥S﹣ABC中，∠ACB=90°，又SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC．答案及解析：5.【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】证明题．【分析】要证明AD⊥平面SBC，只要证明AD⊥SC（已知），AD⊥BC，而结合已知∠ACB=90°，又SA⊥平面ABC，及线面垂直的判定定理及性质即可证明【解答】证明：∵SA⊥面ABC，∴BC⊥SA；∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC、SA是面SAC内的两相交线，∴BC⊥面SAC；又AD⊂面SAC，∴BC⊥AD，又∵SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内两相交线，∴AD⊥面SBC．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直，平面与平面垂直的相互转化，线面垂直的判定定理的应用，属于基础试题6.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AB=，点E 是棱PB的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若AD=1，求二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．答案及解析：6.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，从而AE⊥PB．由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，由此能证明AE⊥平面PBC．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，AD⊥AE．取CE的中点F，连结DF，连结BF，则∠BFD为所求的二面角的平面角，由此能求出二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形，而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB．由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE．因为AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE．在Rt△PAB中，PA=AB=，AE=PB==1．从而在Rt△DAE中，DE==．在Rt△CBE中，CE==，又CD=，所以△CED为等边三角形，取CE的中点F，连结DF，则DF⊥CE，∵BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形，连结BF，则BF⊥CE，所以∠BFD为所求的二面角的平面角，连结BD，在△BFD中，DF=CD=，BF=，BD==，所以cos∠BFD==﹣，∴二面角B﹣EC﹣D的平面角的余弦值为﹣．【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．7.如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点，二面角PADB为60°．（1）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（2）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．答案及解析：7.证明：（1）连接PE，BE，∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60˚，由余弦定理，解得PB==，∴∠PBE=90˚，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．解：（2）连接BF，由（1）知，BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．∵PB=，∠ABP为直角，MB=PB=，∴AM=，∴EF=．又BE=1，∴在直角三角形EBF中，sin∠EFB==．∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接PE，BE，由已知推导出∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，推导出BE⊥PB，BE⊥BC，由此能证明平面PBC⊥平面ABCD．（2）连接BF，由BE⊥平面PBC，得∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由此能求出直线EF与平面PBC所成角的正弦值．解答：证明：（1）连接PE，BE，∵PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，∴PE⊥AD，BE⊥AD，∴∠PEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角．在△PAD中，由PA=PD=，AD=2，解得PE=2．在△ABD中，由BA=BD=，AD=2，解得BE=1．在△PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60˚，由余弦定理，解得PB==，∴∠PBE=90˚，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，∴BE⊥BC，∴BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD．解：（2）连接BF，由（1）知，BE⊥平面PBC，∴∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．∵PB=，∠ABP为直角，MB=PB=，∴AM=，∴EF=．又BE=1，∴在直角三角形EBF中，sin∠EFB==．∴直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．点评：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8.（15分）（2010秋•杭州校级期末）如图，已知△BCD中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，BC=CD=1，分别为AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．答案及解析：8.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）通过证明CD⊥平面ABC，CD∥EF，说明EF⊂平面BEF，即可证明平面BEF⊥平面ABC；（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，可得AH⊥平面BEF，推出∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△AFH中，求直线AD与平面BEF所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD．又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC，∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）过A作AH⊥BE于H，连接HF，由（1）可得AH⊥平面BEF，∴∠AFH为直线AD与平面BEF所成角．在Rt△ABC中，为AC中点，∴∠ABE=30°，∴．在Rt△BCD中，BC=CD=1，∴．∴在Rt△ABD中，∴．∴在Rt△AFH中，，∴AD与平面BEF所成角的正弦值为．【点评】证明两个平面垂直，关键在一个面内找到一条直线和另一个平面垂直；利用三垂线定理找出二面角的平面角，解三角形求出此角，是常用方法．9.答案及解析：9.10.（12分）（2015秋•拉萨校级期末）如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF（2）当BE=BF=BC时，求三棱锥A′﹣EFD的体积．答案及解析：10.【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．结合EF⊂平面A'EF，得A'D⊥EF；（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF为斜边的直角三角形，而A'D是三棱锥D﹣A'EF的高线，可以算出三棱锥D﹣A'EF的体积，即为三棱锥A'﹣DEF的体积．【解答】解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F⊆平面A'EF．∴A'D⊥平面A'EF．又∵EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF．（2）由四边形ABCD为边长为2的正方形故折叠后A′D=2，A′E=A′F=，EF=则cos∠EA′F==则sin∠EA′F==•A′E•A′F•sin∠EA′F=故△EA′F的面积S△EA′F由（1）中A′D⊥平面A′EF可得三棱锥A'﹣EFD的体积V=××2=．【点评】本题以正方形的翻折为载体，证明两直线异面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查空间垂直关系的证明和锥体体积公式等知识，属于中档题．11.（12分）（2015秋•沧州月考）如图，在△ABC中，AO⊥BC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将△ABO 沿OA折起，使二面角B﹣OA﹣C为直二面角．（Ⅰ）在底面△BOC的边BC上是否存在一点P，使得OP⊥GH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣D的余弦值．答案及解析：11.【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据条件便知H，G分别为△AOB，△AOC的重心，从而有GH∥EF∥BC，并可说明∠BOC为直角，过O作OP⊥BC，从而有OP⊥GH，而根据摄影定理便有，这样即可求出BP的长度；（Ⅱ）根据上面知OB，OC，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可以根据条件求出图形上一些点的坐标，从而可以得到向量的坐标，可设平面AGH的法向量为，而根据即可求出，同样的方法可以求出平面DGH的一个法向量，根据cos=即可得出二面角A﹣GH﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）H，G分别为△AOB和△AOC的重心；∴；连接EF，则GH∥EF；由已知，EF∥BC，∴GH∥BC；∵OA⊥OB，OA⊥OC，二面角B﹣OA﹣C为直二面角；∴∠BOC为直角；∴在Rt△BOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OP⊥BC，又BC∥GH；∴OP⊥GH，则由摄影定理得：OB2=BP•BC；∴；（Ⅱ）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（），；∴，；设为平面AGH的法向量，则：；取x1=1，则y1=2，z1=1，∴；设为平面DGH的法向量，则：；取x2=1，则；∴；∴由图可知二面角A﹣GH﹣D为锐角，∴该二面角的余弦值为．【点评】考查三角形重心的概念及其性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，以及二面角的平面角的定义，直角三角形的摄影定理的内容，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角问题的方法，平面的法向量的概念及求法，能求空间点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的余弦公式，清楚两平面所成二面角的大小和两平面的法向量夹角的关系．12.（12分）（2014•芜湖模拟）如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．（1）求证：EA⊥EC；（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．①试证：EF∥AB；②若EF=1，求三棱锥E﹣ADF的体积．答案及解析：12.【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；（2）①先证明AB∥面CED，再利用线面平行的性质，即可证得结论；②取AB中点O，EF的中点O′，证明AD⊥平面ABE，利用等体积，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ABE∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE∵BE∩BC=B，BC，BE⊂面BCE∴AE⊥面BCE∵CE⊂面BCE，∴EA⊥EC；（2）①证明：设面ABE∩面CED=EF∵AB∥CD，AB⊄面CED，CD⊂面CED，∴AB∥面CED，∵AB⊂面ABE，面ABE∩面CED=EF∴AB∥EF；②取AB中点O，EF的中点O′，在Rt△OO′F中，OF=1，O′F=，∴OO′=∵BC⊥面ABE，AD∥BC∴AD⊥平面ABE∴V E﹣ADF =V D﹣AEF===【点评】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.（12分）（2014•浙江模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．答案及解析：13.【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1，再利用线面平行的判定定理即可证明结论【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定和性质定理、直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．14.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E 分别是SA、SC的中点．（I）求证：平面ACD⊥平面BCD；（II）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．答案及解析：14.【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的判定定理证明AD⊥平面BCD即可证明平面ACD⊥平面BCD．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角S﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）∵∠ABC=，∴BA⊥BC，建立如图所示的坐标系，则C（0，，0），A（2，0，0），D（1，0，1），E（0，，1），S（0，0，2），则=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（1，0，1），则•=（﹣1，0，1）•（0，，0）=0，•=（﹣1，0，1）•（1，0，1）=﹣1+1=0，则⊥，⊥，即AD⊥BC，AD⊥BD，∵BC∩BD=B，∴AD⊥平面BCD；∵AD⊂平面BCD；∴平面ACD⊥平面BCD；（II）=（0，，1），则设平面BDE的法向量=（x，y，1），则，即，解得x=﹣1，y=，即=（﹣1，，1），又平面SBD的法向量=（0，，0），∴cos＜，＞==，则＜，＞=，即二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小为．【点评】本题主要考查空间面面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．15.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．答案及解析：15.【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…（2分）可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．（4分）∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）（8分）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）（10分）∴cos＜，（11分）由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．（12分）【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC ﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．16.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．答案及解析：16.（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．考点：直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角．专题：计算题；证明题；综合题；数形结合；转化思想．分析：（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．解答：（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．17.如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，E，F分别为PB，PC的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面PAB．答案及解析：17.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）根据三角形中位线定理可得EF∥BC，进而根据线面平行的判定定理可得EF∥平面ABC；（2）根据PA⊥平面ABC，可得PA⊥BC，结合∠ABC=90°，及线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，进而由线面垂直的第二判定定理可得EF平面PAB，最后由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）∵E，F分别为PB，PC的中点．∴EF∥BC，又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC；（2）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，又∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，由（1）中EF∥BC，∴EF⊥平面PAB，又∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAB．【点评】本题考查的知识点是线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，是空间线面关系的简单综合应用，难度中档．18.（14分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=2，AB=4．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDE的体积；（Ⅲ）线段EF上是否存在一点M，使得BM⊥CE？若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由．答案及解析：18.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）如图所示，取AB的中点N，连接CN，可得四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，可得AC⊥CB，利用AF⊥平面ABCD，AF∥BE，可得BE⊥平面ABCD，即可证明．=V三棱锥E﹣ACD=即可得出．（II）利用V三棱锥A﹣CDE（III）线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，可得BM⊥EN，利用线面面面垂直的判定与性质定理可得：CN⊥平面ABEF，可得CN⊥BM，又BM⊥CE．即可证明BM⊥平面CEN．【解答】（I）证明：如图所示，取AB的中点N，连接CN，则四边形ADCN是正方形，可得NA=NB=NC，∴AC⊥CB，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BE∩BC=B，∴AC⊥平面BCE．=V三棱锥E﹣ACD===．（II）解：V三棱锥A﹣CDE（III）解：线段EF上存在一点M为线段EF的中点，使得BM⊥CE．连接MN，BM，EN，则四边形BEMN为正方形，∴BM⊥EN，∵CN⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴CN⊥平面ABEF，∴CN⊥BM，又CN∩EN=N，∴BM⊥平面CEN，∴BM⊥CE．【点评】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、正方形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（13分）如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，（1）在正方体的12条棱中，与棱AA1是异面直线的有几条（只要写出结果）（2）证明：AC∥平面A1BC1；（3）证明：AC⊥平面BDD1B1．答案及解析：19.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，根据异面直线的概念即可找出与棱AA1异面的棱．（2）连接AC，A1C1，则A1C1∥AC，利用线面平行的判定定理即可证明；（3）由DD1⊥面AC，知DD1⊥AC，由DD1⊥BD，能够证明AC⊥平面BDD1B1．【解答】解：（1）与棱AA1异面的棱为：CD，C1D1，BC，B1C1，共4条．（2）证明：连接AC，A1C1，则A1C1∥AC，∵AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，∴AC∥平面A1BC1；（3）证明：∵DD1⊥面AC，AC⊂平面AC，∴DD1⊥AC，∵AC⊥BD，DD1∩BD=D，BD⊂平面BDD1B1，DD1⊂平面BDD1B1∴AC⊥平面BDD1B1．【点评】考查异面直线的概念，直线与平面垂直的证明，直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．20.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．答案及解析：20.【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）要证BC1⊥面A1B1CD；应通过证明A1B1⊥BC1．BC1⊥B1C两个关系来实现，两关系容易证明．（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O 为A1B与平面A1B1CD所成的角．在RT△A1BO中求解即可．【解答】解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1．所以A1B1⊥BC1．又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O 为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．【点评】本题考查空间直线与平面垂直关系的判断，线面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：平面PAC⊥平面PDB．答案及解析：21.【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证PA∥平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行，连接AC，交BD于O，连接EO，根据中位线定理可知EO∥PA，PA⊄平面EDB，EO⊂平面EDB，满足定理所需条件；（2）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PDB．【解答】证明：（1）设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点．∵E是P的中点，∴EO∥PA又∵EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB；（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PD⊥AC又∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD从而AC⊥平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．22.如图，在直三棱柱ABC=A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．（1）求证：BC⊥A1B；（2）若AD=，AB=BC=2，P为AC的中点，求二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．答案及解析：22.【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由已知得A1A⊥平面ABC，A1A⊥BC，AD⊥BC．由此能证明BC⊥A1B．（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，从而BC⊥AB，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC，∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，∴BC⊥平面A1AB，又A1B⊂平面A1BC，∴BC⊥A1B．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB，从而BC⊥AB，如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，∴AD⊥A1B．在Rt△ABD中，AD=，AB=2，sin∠ABD==，∠ABD=60°，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥AB．在Rt△ABA1中，AA1=AB•tan60°=2，则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），P（1，1，0），A 1（0，2，2），，=（0，2，2），，设平面PA1B的一个法向量，则，即，得，设平面CA1B的一个法向量，则，即，得，，∴二面角P﹣A1B﹣C平面角的余弦值是．…【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．23.（16分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E为棱AB上的一动点．（1）若E为棱AB的中点，①求四棱锥B1﹣BCDE的体积②求证：面B1DC⊥面B1DE（2）若BC1∥面B1DE，求证：E为棱AB的中点．答案及解析：23.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）①四棱锥B1﹣BCDE的底面为直角梯形BEDC，棱锥的高为B1B，代入体积公式即可；②面B1DC∩面B1DE=B1D，故只需在平面B1DE找到垂直于交线B1D的直线即可，由DE=B1E=a可易知所找直线为等腰△EB1D底边中线；（2）辅助线同上，由中位线定理可得OF∥DC，且OF=DC，从而得出OF∥EB，由BC1∥面B1DE可得EO∥B1C，故四边形OEBF是平行四边形，得出结论．【解答】证明：（1）①∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1∴B1B平面BEDC，•B1B=•（a+）•a•a=．∴V=•S梯形BCDE②取B1D的中点O，设BC1∩B1C=F，连接OF，∵O，F分别是B1D与B1C的中点，∴OF∥DC，且OF=DC，又∵E为AB中点，∴EB∥DC，且EB=DC，∴OF∥EB，OF=EB，即四边形OEBF是平行四边形，∴OE∥BF，∵DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥DC，∴OE⊥DC．又BC1⊥B1C，∴OE⊥B1C，又∵DC⊂平面B1DC，B1C⊂平面B1DC，DC∩B1C=C，∴OE⊥平面B1DC，。
立体几何基础题题库(360道附详细答案)
S P
S
SS
S
PP
P
R
RR
Pபைடு நூலகம்
Q
R Q
QR
R
P
QR P PQ
Q
R
P
R
Q
QS
R
SS
Q
R
S
SQ R
Q
Q
RP
Q
P
R
S SQ R
P S
R Q
（A）
（B）
（C）
（D）
D
解析： A 项： PS 底面对应的中线，中线平行 QS，PQRS 是个梯形
D'
P
A'
S
C'
B'
R
D
A
B 项： 如图
Q
C B
C 项：是个平行四边形
EG2 FH 2 =2 (EF 2 FG2 ) = 1 ( AC2 BD2 ) 1 (a2 2b)
2
2
27. 如图，在三角形⊿ABC 中，∠ACB=90º， AC=b,BC=a,P 是⊿ABC 所在平面外一点，PB⊥AB， 点，AB⊥MC，求异面直 MC 与 PB 间的距离.
M 是 PA 的中
四边形矛盾。∴EF 和 AD 为异面直线．
26. 在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F，G 分别是 CB，CD 的中点，若 AC + BD
= a ，AC BD =b，求 EG2 FH 2 . A
解析：四边形 EFGH 是平行四边形，…………（4 分）
E H
B F
D
G C
得 OX2+OY2+OZ2=37，OP= 37 ．
立体几何知识点和例题(含有答案)
【考点梳理】一、考试内容1.平面。
平面的基本性质。
平面图形直观图的画法。
2.两条直线的位置关系。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
对应边分别平行的角。
异面直线所成的角。
两条异面直线互相垂直的概念。
异面直线的公垂线及距离。
3.直线和平面的位置关系。
直线和平面平行的判定与性质。
直线和平面垂直的判定与性质。
点到平面的距离。
斜线在平面上的射影。
直线和平面所成的角。
三垂线定理及其逆定理。
4.两个平面的位置关系。
平面平行的判定与性质。
平行平面间的距离。
二面角及其平面角。
两个平面垂直的判定与性质。
二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。
对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。
能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。
（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。
立体几何题目集(基础)
立体几何题目集(基础)
1.两个正方体
两个正方体A和B的边长分别为$a$和$b$，它们的体积比为$4:1$，求正方体A的边长$a$与正方体B的边长$b$的比值。
2.圆柱体的体积
一个圆柱体的高度为$h$，半径为$r$，求它的体积$V$。
3.球体的表面积
一个球体的半径为$r$，求它的表面积$S$。
4.直方体的长、宽和高
一个直方体的表面积为$S$，它的长、宽和高的比为$a:b:c$，求直方体的长、宽和高分别是多少。
5.正方体的对角线
一个正方体的边长为$a$，求它的对角线的长度。
6.锥形的体积
一个圆锥的底面半径为$r$，高度为$h$，求它的体积$V$。
7.棱柱体和棱锥体的体积
一个棱柱体和一个棱锥体的高度都为$h$，棱柱体的底面积为$A$，棱锥体的底面积为$B$，求棱柱体的体积$V_1$与棱锥体的体积$V_2$的比值。
8.圆台的体积
一个圆台的底面半径为$r_1$，顶面半径为$r_2$，高度为$h$，求它的体积$V$。
9.正方体的表面积
一个正方体的边长为$a$，求它的总表面积$S$。
10.球体的体积
一个球体的半径为$r$，求它的体积$V$。
以上是立体几何题目集(基础)，共包含10道题目。
希望对您的学习有帮助！。
立体几何概念及辨析练习
立体几何复习资料判断下列命题是否正确。
（1）有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱；（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；（3）棱柱的侧面一定是平行四边形；（4）有两个侧面都垂直于底面的棱柱是直棱柱；（5）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台；（6）有一个面是多边形，其余各面都是三角，这些面围成的几何体是棱锥；（7）用一个平面去截四棱锥，截面可以是一个五边形；（8）用一个平面去截正方体，截面不可能是五边形；（9）棱台侧棱所在的直线一定交于同一点；（10）正六棱锥侧面三角形的顶角一定小于60°；（11）用平行于棱台底面的平面截棱台，截面与两个底面是相似多边形；（12）直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所得曲面围成的几何体是圆锥；（13）用一个平面去截圆锥，截面可以是等腰三角形；（14）A、B是棱长为1的正方体表面上两个动点，则线段AB长度的最大值为2；（15）用一个平面去截圆台，截面是等腰梯形，则截面一定过圆台的轴或与轴平行；（16）空间三个点确定一个平面；（17）有无数个公共点的两个平面重合；（18）两两相交的三条直线必共面；（19）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（20）不共面的四点可以确定4个平面；（21）如果一条直线m在平面α外，那么m上有无数个点在α外；（22）三条平行的直线必共面；（23）直线a、b共面，直线b、c共面，那么直线a、c也共面；（24）三个两两相交的平面，可以有一条或三条交线；（25）分别在两个平面内的两条直线是异面直线；（26）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线相交；（27）空间三条直线a、b、c，如果a⊥b，b⊥c，则a//c；（28）过空间一点可以作一条直线和两条异面直线都平行；（29）正方体12条棱中，组成异面直线的有24对；（30）同时垂直于两条异面直线的直线有且只有一条；（31）直线a上有两个不同的点到直线b的距离相等，那么a//b；（32）有三个角是直角的四边形是平面图形；（33）一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也和另一条垂直；（34）和两条异面直线分别平行的两条直线仍是异面直线；（35）过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行；（36）过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直；（37）两条直线如果不平行，就一定相交；（38）如果两条直线平行，它们和第三条直线所成的角相等；（39）一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相反，那么这两个角相等；（40）若直线a//平面α，且直线b⊂平面α，则a//b；（41）若直线a//b，且直线a//平面α，则b//α；（42）若直线a//平面α，且直线b//平面α，则a//b；（43）如果平面α∩β=a，直线b⊂β，且直线b和a没有公共点，那么b//a；（44）如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都不相交；（45）若A、B分别是直线a上的点，A和B到平面α的距离为d（d>0），则a//α；（46）如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和此平面相交；（47）一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；（48）经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；（49）空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面；（50）如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线平行于两平面的交线；（51）如果在平面内有无数条直线和此平面外的一条直线垂直，那么这个平面和该直线垂直；（52）如果一条直线和平面相交但不垂直，那么在此平面内不存在和这条直线垂直的直线；（53）若一条直线同时垂直于一个三角形的两边，则此直线垂直于三角形的第三边；（54）若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则此直线与这个平面垂直；（55）直线a⊥平面α，直线b⊥a，则b//α；（56）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；（57）若一条直线l和一个平面α平行，那么直线l 上的各点到α的距离相等；（58）如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面；（59）如果一条直线垂直于梯形的任意两边，那么此直线垂直于梯形所在的平面；（60）直线l和平面α都与平面β垂直，则直线l//α；（61）如果直线a//平面α，直线b⊂α，那么有且只有一个平面β，使得b⊂β且a⊥β；（62）如果两条直线a和b在平面α内的射影互相平行，那么a//b；（63）如果两条直线a和b与平面α所成的角相等，那么这两条直线互相平行；（64）一条直线在一个平面内的射影可能是一个点；（65）两条线段在同一个平面内的射影长相等，那么这两条线段长也相等；（66）在一个平面内的射影是线段的图形是一条线段；（67）平面ABC外一点P到A、B和C的距离相等，则P在此平面内射影为△ABC的外心；（68）三棱锥的侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影为底面三角形的垂心；（69）若两条直线a和b在平面α内的射影是同一条直线，则a//b或a与b相交；（70）若两条直线a和b在平面α内的射影是两条相交直线，则a与b相交或异面；（71）如果两个平面平行于同一条直线，那么这两个平面平行；（72）如果两条直线平行于同一个平面，那么这两条直线平行；（73）如果两个平面同时垂直于第三个平面，那么这两个平面平行；（74）如果两个不同的平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行；（75）如果平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，那么平面α//平面γ；（76）若存在无数条直线都与平面α、β平行，则α//β；（77）若a//α，a⊂β，则α//β；（78）过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行；（79）过平面外的一条直线，有且只有一个平面与该平面平行；（80）过平面外一点，和这个平面平行的直线所确定的平面，和这个平面平行；（81）一条直线和两个平行平面所成的角相等；（82）平面α//平面β，a⊂α，b⊂β，则a//b；（83）平面α内两条直线和平面β平行，那么α//β；（84）若α//β，则α内任意一条都平行于β；（85）若直线a//平面α，则a与α内的所有直线都平行；（86）若直线a//平面α，则a与α内的无数条直线都平行；（87）若平面α//β，直线a//α，则a//β；（88）平面α内有不共线三点到平面β的距离相等，则α//β；（89）若a//b，a⊥平面α，b⊥平面β，则α//β；（90）a、b是异面直线，a⊂α，b⊂β，若a//β，b//α，则α//β；（91）若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；（92）平行于同一平面的两个平面互相平行；（93）两个平行平面中的一个与直线a垂直，则另一个平面也与直线a垂直；（94）一条直线和两个平行平面所成的角相等；（95）一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行；（96）夹在两个平行平面间的平行线段长相等；（97）过平面外一点有且只有一个平面与此平面平行；（98）平行于两条异面直线的两个平面必平行；（99）过平面外一点，有且只有一个平面与此平面垂直；（100）若a⊥b，a⊂平面α，b⊂平面β，则α⊥β；（101）三条共点的直线两两垂直，所得的三个平面也两两垂直；（102）过平面α外的两个点A和B与平面α垂直的平面有且只有一个；（103）如果一个平面与另一个平面的平行线垂直，那么这两个平面垂直；（104）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的直线与另一个平面一定不平行；（105）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；（106）平面α⊥β，a⊂α，b⊂β且a⊥b，则a⊥β；（107）已知平面α、β、γ，若α⊥γ，β//α，则β⊥γ；（108）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ；。
立体几何知识点大题总结
立体几何知识点大题总结一、空间几何基本概念1. 点、线、面、立体的概念在空间几何中，点是不占据空间但确定位置的；线是由无数的点连成的，具有长度、无宽度；面是由无数的线连成的，具有长度和宽度但无高度；立体是由无数的面组成的，具有长度、宽度和高度。
这些基本概念是进行空间几何研究的基础。
2. 空间直角坐标系空间直角坐标系是在三维空间中建立的坐标系。
它由三个互相垂直的坐标轴构成，分别记作x轴、y轴和z轴。
在空间直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y, z)表示，其中x、y、z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的坐标。
二、立体图形的基本元素1. 立体图形的概念立体图形是由面围成的有一定空间形状的图形。
在立体几何中，常见的立体图形包括立方体、长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
这些立体图形在现实生活中都有着广泛的应用，因此对于这些立体图形的性质和运算规律进行研究具有重要的意义。
2. 立体图形的基本元素立体图形的基本元素包括面、棱和顶点。
面是立体图形的表面，由线段围成的部分就是面；棱是面的交线，是两个面的交线段；顶点是多个面的交汇点，是立体图形的角的顶点。
其中，面、棱和顶点是立体图形的基本组成要素，了解它们的性质和相互关系对于进行立体几何的研究是至关重要的。
三、立体图形的表面积和体积1. 立体图形的表面积立体图形的表面积是指立体图形外表面的总面积。
不同形状的立体图形其表面积的计算方法也不同。
比如，对于立方体，它的表面积等于六个面的面积之和；对于球体，它的表面积等于球面积的计算公式S=4πr^2。
因此，对于不同的立体图形，了解其表面积的计算方法是十分重要的。
2. 立体图形的体积立体图形的体积是指立体图形所包含的空间大小。
与表面积不同的是，立体图形的体积计算方法各不相同。
比如，对于立方体，它的体积等于底面积乘以高；对于球体，它的体积等于球的体积计算公式V=4/3πr^3。
因此，对于不同形状的立体图形，了解其体积的计算方法是非常重要的。
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立体几何练习题
一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）
1.列命题是真命题的是( )
A.空间不同三点确定一个平面
B.空间两两相交的三条直线确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内
2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )
A.30°
B.30°或150°
C.150°
D.以上结论都不对
3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线AB
D.直线CD
4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是( )
5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是( )
①a∩b=∅且a不平行于b ②a⊂平面α,b⊂平面β且α∩β=∅③a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂平面α且b⊂平面α成立
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为…( )
A.180°
B.90°
C.60°
D.45°
7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是( )
A.MN>a
B.MN=a
C.MN<a
D.不能确定
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )
A.
510 B.5
15
C.54
D.32
9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P 在线段AB 上,动点Q 在线段CD 上,则
P,Q 两点之间的最小距离为( ) A.1 B.
2
3
C.2
D.3 1． 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；
②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；
④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则
n m ||其中真命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个
命题：
①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；
③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；
④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。
其中真命题是
A ．①和②
B ．①和③
C ．③和④
D ．①和④
4．已知直线n m l 、、
及平面α，下列命题中的假命题是 A ．若//l m ，//m n ，则//l n . B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.
C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.
D ．若//l α，//n α，则//l n .
5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成
立的是
A ．BC ∥平面PDF
B ．DF ⊥平面PAE
C ．平面PDF ⊥平面ABC
D ．平面PA
E ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；
③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D ．垂直于同一个平面的两个平面平行 8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：
①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m
其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；
④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；
⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
A ．18对
B ．24对
C ．30对
D ．36对
11．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C
的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有
A ．3个
B ．4个
C ．6个
D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是
A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα
B ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,m
C ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,
D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,
14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的
两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么 A ．①是真命题，②是假命题 B ． ①是假命题，②是真命题 C ． ①②都是真命题 D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
三、计算题
1． 如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，3417
15
=
CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.
如图1
P
A
C
B F E
2. 已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60。
（1）证明：BC PA ⊥；
（2）求底面中心O 到侧面的距离.
3 如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点
(Ⅰ)求证1AC BC ⊥; (Ⅱ) 求证11AC CDB 平面;
(Ⅲ)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值
P
B
C
A
O
C 1B 1
A 1
A
B
C D
4．如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.
5． 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小
F
E
D C B
A A B
C
D
P
M。