一阶系统的瞬态响应
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系统的瞬态响应分析
三峡大学机械与材料学院
第六章 系统的瞬态响应分析
一阶系统的单位斜坡响应
1 R(s) 2 s
C (s) 1 1 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
1 t T
c ( t) t T Te
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R(s) 1
1 R(s) s
1 T t c(t) e T
1
c(t) 1e
1 t T
1 R(s) 2 s
c ( t) t T Te
1 t T
闭环极点（特征根）：-1/T 衰减系数：1/T
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1 t T
输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10T=2.5度。
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第3章_时域瞬态响应分析_3.2一阶系统的瞬态响应
(t ≥ 0)
1 斜率 − 2 T
1 0.368 T
1 − t /T xo (t ) = e T
T
一阶系统三种典型输入信号及响应关系： 一阶系统三种典型输入信号及响应关系：
xi (t ) = t
输 入
xt (t ) = t − T + Te x1 (t ) = 1 − e 1 1 −T t xδ (t ) = e T
x0(t) 1
1/T
xo(t)=1-e-t/T
86.5%
0
63.2%
95.0%
98.2%
T
2T
3T
4T
t
特点 一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 （1）一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 曲线上升到0.632的高度 。 反过来 ， 的高度。 （ 2 ） 经过时间 T ， 曲线上升到 的高度 反过来， 如果用实验的方法测出响应曲线达到0.632的时间 ， 的时间， 如果用实验的方法测出响应曲线达到 的时间 即是惯性环节的时间常数。 即是惯性环节的时间常数。 经过时间3 响应曲线达稳定值的95 95％ （3）经过时间 3T～ 4T，响应曲线达稳定值的95％～ 98％ 可以认为其调整过程已经完成， 98 ％ ， 可以认为其调整过程已经完成 ， 故一般取调 整时间( 整时间(3～4)T。 响应曲线的切线斜率为1/T。 （4）在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 。
注意： 该性质只适用于线性定常系统， 注意 ： 该性质只适用于线性定常系统 ， 不适用于 线性时变系统和非线性系统。 线性时变系统和非线性系统。
1 T T = 2− + s s s+ 1 T
单位斜坡响应为 x0 (t ) = t − T + Te
Ch04 一阶过程和二阶过程的动态特性
峰值时间 最大超调nput Signals
Ramp function
xi
a
a=1 称为单位斜坡函数
0
1
t
Sinusoidal function
§4-1 Typical Input Signals
究竟采用哪种典型信号？
取决于系统在正常工况下最常见的输入信号形式 斜坡信号 阶跃信号 脉冲信号 正弦信号 随时间逐渐变化的输入 突然的扰动量、突变的输入 冲击输入 随时间往复变化的输入
1 0
5
wnt
10
15
阻尼系数、特征根与二阶系统单位阶跃响应
阻尼系数 特征根
[s]
二阶系统单位阶跃响应
[s]
[s]
阻尼系数、特征根与二阶系统单位阶跃响应
阻尼系数 特征根
[s]
二阶系统单位阶跃响应
[s]
[s]
§5-4 Time-domain Performance Specifications
时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应 形式给出的。
§4-3 Transient Response of Second-order Systems
二阶系统：
能够用二阶微分方程描述的系统。 它的典型形式是二阶振荡环节。
形式一：
形式二：
二阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入
则：
根据二阶系统的 极点分布特点， 分五种情况进行 讨论。
欠阻尼 临界阻尼 过阻尼 零阻尼 负阻尼
t
瞬态响应
稳态响应
——动态性能描述
——稳态性能描述
标准过程输入 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应
6.系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速， 系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越 好。
1 − t T
(t≥0)
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第六章 系统的瞬态响应分析
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
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c(t ) = t − T + Te
1 − t T
输入信号微分 响应微分 输入信号积分 响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10×T=2.5度。
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第六章 系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速， 系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越 好。
1 − t T
(t≥0)
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第六章 系统的瞬态响应分析
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
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c(t ) = t − T + Te
1 − t T
输入信号微分 响应微分 输入信号积分 响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10×T=2.5度。
一阶系统的瞬态响应(精)
12
R( s ) E (s)
K s
C (s)
K C ( s) 1 1 s 其闭环传递函数为： ( s) K s R( s ) 1 1 Ts 1 s K 1 式中，T ，称为时间常数。 K
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt
-
2
3.2 一阶系统的阶跃响应
32一阶系统的阶跃响应单位阶跃响应函数单位阶跃响应函数12一阶系统的单位阶跃响应单调上升曲线性能指标常用调整时间系统对输入信号导数的响应等于对输入信号响应的导数减小一阶系统时间常数的方法为什么要减小时间常数
3.2 一阶系统的瞬态响应
第二节 一阶系统的瞬态响应
1
3.2 一阶系统的数学模型
⒈一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为：
R s +
K s
Y s
K
( s) 1
7
s
K
s
1 1 s 1 K
1 ' T T s 1 s 1
1
T
'
T
3.2 一阶系统的阶跃响应
单位阶跃响应函数
例：已知一阶系统的结构图如图所示。①试求该系统单位阶跃 响应的调节时间ts；②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。 解：①由系统结构图求出闭环传递函数
5
3.2 一阶系统的阶跃响应
单位阶跃响应函数
一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢， 跟踪精度越低。 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。 [方法一] 通过负反馈减小时间常数 : 1 原系统为 : G ( s ) ，加入负反馈如下图： Ts 1 反馈后系统的闭环传递函数为： R s Y s 1
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
系统的稳定性要求。
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
一阶系统的瞬态响应
欠阻尼瞬态响应是介于无阻尼振荡和过阻尼瞬态响应之间的一种状态，系统在激励作用下做衰减振动 。
详细描述
在欠阻尼瞬态响应中，一阶系统的输出呈现衰减振荡的特点，其幅度随着时间的推移逐渐减小，直到 达到稳定状态。这种响应通常出现在系统具有一定的阻尼效应，但不足以阻止振动的发生。
过阻尼瞬态响应
总结词
过阻尼瞬态响应是一种一阶系统的瞬态响应形式，其特点是系统在激励作用下立即达到 稳态值，不发生振动。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在控制系统中的重要性
基础性
一阶系统作为最简单的动态系统，是 理解和分析更复杂系统的基础。
实际应用
在实际的工程系统中，许多实际系统 的动态行为可以用一阶系统近似描述 。
瞬态响应与稳态响应的区别
瞬态响应
描述系统在输入信号作用下的动态行为，包括过渡过程和达 到稳态所需的时间。
稳态响应
描述系统在输入信号的长期影响下达到的稳态输出，与时间 无关。
传递函数表示
01
02
03
传递函数定义
一阶系统可以用传递函数 表示，如 $G(s) = frac{b}{as + b}$，其中 $s$ 是复变量。
极点和零点
传递函数的极点和零点决 定了系统的动态响应特性。
稳定性分析
通过极点和零点分析系统 的稳定性。
动态响应分析
时间响应
根据系统的微分方程或传递函数，分析系统的动态响应过程。
02
一阶系统的数学模型
微分方程描述
微分方程描述
一阶系统通常由一个一阶微分方程描述，如 $frac{dx}{dt} = ax(t) + b$，其中 $x(t)$ 是系统状态，$a$ 和 $b$ 是系统参数。
详细描述
在欠阻尼瞬态响应中，一阶系统的输出呈现衰减振荡的特点，其幅度随着时间的推移逐渐减小，直到 达到稳定状态。这种响应通常出现在系统具有一定的阻尼效应，但不足以阻止振动的发生。
过阻尼瞬态响应
总结词
过阻尼瞬态响应是一种一阶系统的瞬态响应形式，其特点是系统在激励作用下立即达到 稳态值，不发生振动。
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在控制系统中的重要性
基础性
一阶系统作为最简单的动态系统，是 理解和分析更复杂系统的基础。
实际应用
在实际的工程系统中，许多实际系统 的动态行为可以用一阶系统近似描述 。
瞬态响应与稳态响应的区别
瞬态响应
描述系统在输入信号作用下的动态行为，包括过渡过程和达 到稳态所需的时间。
稳态响应
描述系统在输入信号的长期影响下达到的稳态输出，与时间 无关。
传递函数表示
01
02
03
传递函数定义
一阶系统可以用传递函数 表示，如 $G(s) = frac{b}{as + b}$，其中 $s$ 是复变量。
极点和零点
传递函数的极点和零点决 定了系统的动态响应特性。
稳定性分析
通过极点和零点分析系统 的稳定性。
动态响应分析
时间响应
根据系统的微分方程或传递函数，分析系统的动态响应过程。
02
一阶系统的数学模型
微分方程描述
微分方程描述
一阶系统通常由一个一阶微分方程描述，如 $frac{dx}{dt} = ax(t) + b$，其中 $x(t)$ 是系统状态，$a$ 和 $b$ 是系统参数。
3-2 第二节 阶跃输入的瞬态响应
)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
ξ =0
⋅
1 S
= wn2 ⋅ 1 = 1 − S S 2 + wn2 S S S 2 + wn2
推出：
Ch (t ) = A−1 ⎡⎣C (s)⎤⎦ = 1− cos wnt （t ≥ 0）
响应为等幅振荡，系统不稳定，不可控。
（3）当0 < ξ < 1（欠阻尼）
解为一对负等实根，系统在单位阶跃输
入作用下：
C(s)
=
G(s)R(S
)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
⋅
1 S
=
(S
wn 2 + wn
)2
⋅
1 S
=
1 S
−
S
1 + wn
−
(S
wn + wn
)2
Ch (t ) = A−1 ⎡⎣C ( s)⎦⎤ = 1− e−wnt (1+ wnt )
响应曲线如图： 曲线特点：
此时，特征方程有一对具有负实部的共 轭复根。
S1，2 = −ξ wn ± ξ 2wn2 − wn2 = −ξ wn ± wn ξ 2 −1
令： wd = wn ξ 2 −1（阻尼振荡频率）
C(s) = G(s)R(S)
=
wn 2
⋅1
S 2 + 2ξ wnS + wn2 S
= 1 − S + 2ξ wn S S 2 + 2ξ wnS + wn2
Ch (t )中后项的影响，得
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Ts 1
R s +
1 Ts 1
Y s
反馈后系统的闭环传递函数为：
1 (s) Ts 1 1 1
Ts 1
K 1 ' T T s 1 s 1 1
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信息学部
3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
[方法二] 在系统的前向通道上串联一个比例环节。
一阶系统跟踪单位阶跃信号时，输出量和输入量之间的位 置误差随时间减小，最后趋于零。 输出量和输入量之间的位置误差：
e ( t ) 1( t ) y ( t ) e
t T
稳态位置误差 ：
lim e ( t ) lim e
t t t T
0
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调整时间ts :假设系统的误差 带宽度为,则根据调整时间的 定义有: t
s
y ( ) %
( 2或5)
1 % 1 e
T
得：
4T ， 2 t s T ln % 3T ， 5
t
0 td
ts
峰值时间tp 和超调量d%： 一阶系统的单位阶跃响应曲线为单调上升的指数曲线， 没有振荡，所以峰值时间和超调量不存在。
时间t 输出量 斜率
0 0 1/T
T 2T
3T 0 . 950
… … …
0 . 632
0 . 865
1 .0 0 .0
0 . 368 / T 0 . 135 / T 0 . 050 / T
根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。
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信息学部
3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点
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3.2.5 一阶系统的单位加速度响应－－线性系统的特点
结论一：一阶系统对输入信号导数的响应，等于一阶系 统对该输入信号响应的导数。 结论二：这个性质是线性定常系统的一个重要特性，适 用于任何阶的线性定常系统，而线性时变系统和非线
性系统则不具有这个特性。
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3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，其拉氏变换 为R(s)=1/s2，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1 1 Ts 1 s
t T
1
2
1 s
2
T s
T s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位斜坡响应 ：
y ( t ) t T (1 e ), t 0
0 .1 1 e
t1 T
0 .9 1 e
t2 T
解得：t 1 0 . 10536 T
t 2 2 . 30259 T
所以上升时间tr为： t r t 2 t1 2 . 197 T
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3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标
信息学部
y (t )
y ()
t /T
1 e
，t 0
t /T
t
t /2
2
t T Te
2 2
，t 0
t /T
t / 2 Tt T (1 e
)， t 0
单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信 号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响 应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。
K s
1
K s
1
s K
1
1 Ts 1
式中， ，称为时间常数，开环放大系数越大，时间 T K 常数越小。
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信息学部
3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
当一阶系统的输入信号为单位脉冲信号r(t)=d(t)，其拉氏变 换为R(s)=1，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1
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3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢， 跟踪精度越低。 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。 [方法一] 通过负反馈减小时间常数 : 1 原系统为 : G ( s ) ，加入负反馈如下图：
0
t
单位阶跃响应曲线是单调上升的指数曲线，为非周期响 应； 时间常数T反映了系统的惯性，时间常数T越大，表示系 统的惯性越大，响应速度越慢，系统跟踪单位阶跃信号越慢， 单位阶跃响应曲线上升越平缓。反之，惯性越小，响应速度 越快，系统跟踪单位阶跃信号越快，单位阶跃响应曲线上升 越陡峭。由于一阶系统具有这个特点，工程上常称一阶系统 为惯性环节或非周期环节。
误差的大小与系统的时间常数T也有关，T越大，位置误差 越大，跟踪精度越低。反之，位置误差越小，跟踪精度越 高。
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信息学部
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点
系统的输入量和输出量之间的位置误差为：
e ( t ) r ( t ) y ( t ) T (1 e
t T
3.2.1 一阶系统的数学模型
信息学部
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数 是 s的一次有理分式。 一阶系统的微分方程为：
T dy ( t ) dt y (t ) r (t )
R(s ) E (s )
-
K s
Y (s )
典型的一阶系统的结构图如图所示。 其闭环传递函数为：
1
(s) Y (s) R (s)
y(t) 1 2 3 y(t)=t
一阶系统的单位斜坡响应曲线 ： 曲线1表示输入单位斜坡信号 r(t)=t，曲线2和曲线3分别表示系 统时间常数等于T和2T时的单位 斜坡响应曲线。
0
t
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y(t)
信息学部
1 2 3 y(t)=t
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点
0
t
一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，总是存在位置误差， 并且位置误差的大小随时间而增大，最后趋于常值T。位置
)
系统的稳态位置误差为 ：t
lim e ( t ) lim T (1 e
t t T
)T
单位斜坡响应曲线的斜率为：
y ( t ) 1 e
t T
显然在t=0时其斜率为零，并且随时间的增加斜率变大， 最大斜率为1。
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信息学部
3.2.5 一阶系统的单位加速度响应
t T
一阶系统的单位阶跃响应曲线 ：
y(t) 1 1 2 曲线1 曲线2 时间常数为T 时间常数为2T
0
t
显然一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始按指数 规律单调上升并最终趋于1的曲线。
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y(t) 1 1
信息学部
3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点
2
曲线1 曲线2
时间常数为T 时间常数为2T
由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒
所以：ts=3T=0.3秒（0.05）
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信息学部
R(s )
100 s
3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。 可设反馈系数为k
100 (s) Y (s) R (s) 1 s 100 s k 1 k 0 . 01 k
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3.2 一阶系统的瞬态响应
3.2.1
3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7
一阶系统的数学模型
一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位加速度响应 一阶系统的瞬态性能指标 减小一阶系统时间常数的措施
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信息学部
y (t )
y ()
延迟时间td ：延迟时间定义为 输出响应第一次达到稳态值的 50%所需的时间。 t 由： 0 .5 1 e T
d
y ( ) %
( 2或5)
得：
t d 0 . 693 T
t
0 td
ts
上升时间tr：设一阶系统输出响应达到10%稳态值的时间 为t1，达到90%稳态值的时间为t2，则有:
当一阶系统的输入信号为单位加速度信号r(t)=t2/2，其拉氏 变换为R(s)=1/s3，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1 1 Ts 1 s 1
3
1 s
3
T s
2
T s
2
T
2
s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位加速度响应 ：
y (t ) 1 2 t Tt T (1 e
t T
1 Ts 1
1/T s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位脉冲响应 ：
y (t ) 1 T
e
，t 0
y(t) T 1 1/2T 曲线1 曲线2 2 0 时间常数为T 时间常数为2T
一阶系统的单位脉冲响应曲线 ： 一阶系统的单位脉冲响应曲线为 单调下降的指数曲线，时间常数 T越大，响应曲线下降越慢，表 明系统受到脉冲输入信号后，恢 复到初始状态的时间越长。单位 脉冲响应的终值均为零 。
R s +
1 Ts 1
Y s
反馈后系统的闭环传递函数为：
1 (s) Ts 1 1 1
Ts 1
K 1 ' T T s 1 s 1 1
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3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
[方法二] 在系统的前向通道上串联一个比例环节。
一阶系统跟踪单位阶跃信号时，输出量和输入量之间的位 置误差随时间减小，最后趋于零。 输出量和输入量之间的位置误差：
e ( t ) 1( t ) y ( t ) e
t T
稳态位置误差 ：
lim e ( t ) lim e
t t t T
0
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调整时间ts :假设系统的误差 带宽度为,则根据调整时间的 定义有: t
s
y ( ) %
( 2或5)
1 % 1 e
T
得：
4T ， 2 t s T ln % 3T ， 5
t
0 td
ts
峰值时间tp 和超调量d%： 一阶系统的单位阶跃响应曲线为单调上升的指数曲线， 没有振荡，所以峰值时间和超调量不存在。
时间t 输出量 斜率
0 0 1/T
T 2T
3T 0 . 950
… … …
0 . 632
0 . 865
1 .0 0 .0
0 . 368 / T 0 . 135 / T 0 . 050 / T
根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。
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3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点
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3.2.5 一阶系统的单位加速度响应－－线性系统的特点
结论一：一阶系统对输入信号导数的响应，等于一阶系 统对该输入信号响应的导数。 结论二：这个性质是线性定常系统的一个重要特性，适 用于任何阶的线性定常系统，而线性时变系统和非线
性系统则不具有这个特性。
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3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应
当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，其拉氏变换 为R(s)=1/s2，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1 1 Ts 1 s
t T
1
2
1 s
2
T s
T s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位斜坡响应 ：
y ( t ) t T (1 e ), t 0
0 .1 1 e
t1 T
0 .9 1 e
t2 T
解得：t 1 0 . 10536 T
t 2 2 . 30259 T
所以上升时间tr为： t r t 2 t1 2 . 197 T
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3.2.6 一阶系统的瞬态性能指标
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y (t )
y ()
t /T
1 e
，t 0
t /T
t
t /2
2
t T Te
2 2
，t 0
t /T
t / 2 Tt T (1 e
)， t 0
单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数、单位斜坡信 号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等。 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数、单位斜坡响 应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等。
K s
1
K s
1
s K
1
1 Ts 1
式中， ，称为时间常数，开环放大系数越大，时间 T K 常数越小。
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3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应
当一阶系统的输入信号为单位脉冲信号r(t)=d(t)，其拉氏变 换为R(s)=1，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1
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3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
一阶系统的时间常数T对系统性能起着非常重要的作用，时 间常数不仅影响一阶系统的响应速度，还影响系统跟踪输入信 号的精度。 对于不同的输入信号，时间常数越大，系统的响应速度越慢， 跟踪精度越低。 对于大多数的实际工程系统，通常希望有较小的时间常数。 [方法一] 通过负反馈减小时间常数 : 1 原系统为 : G ( s ) ，加入负反馈如下图：
0
t
单位阶跃响应曲线是单调上升的指数曲线，为非周期响 应； 时间常数T反映了系统的惯性，时间常数T越大，表示系 统的惯性越大，响应速度越慢，系统跟踪单位阶跃信号越慢， 单位阶跃响应曲线上升越平缓。反之，惯性越小，响应速度 越快，系统跟踪单位阶跃信号越快，单位阶跃响应曲线上升 越陡峭。由于一阶系统具有这个特点，工程上常称一阶系统 为惯性环节或非周期环节。
误差的大小与系统的时间常数T也有关，T越大，位置误差 越大，跟踪精度越低。反之，位置误差越小，跟踪精度越 高。
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3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点
系统的输入量和输出量之间的位置误差为：
e ( t ) r ( t ) y ( t ) T (1 e
t T
3.2.1 一阶系统的数学模型
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由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数 是 s的一次有理分式。 一阶系统的微分方程为：
T dy ( t ) dt y (t ) r (t )
R(s ) E (s )
-
K s
Y (s )
典型的一阶系统的结构图如图所示。 其闭环传递函数为：
1
(s) Y (s) R (s)
y(t) 1 2 3 y(t)=t
一阶系统的单位斜坡响应曲线 ： 曲线1表示输入单位斜坡信号 r(t)=t，曲线2和曲线3分别表示系 统时间常数等于T和2T时的单位 斜坡响应曲线。
0
t
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y(t)
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1 2 3 y(t)=t
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应—特点
0
t
一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，总是存在位置误差， 并且位置误差的大小随时间而增大，最后趋于常值T。位置
)
系统的稳态位置误差为 ：t
lim e ( t ) lim T (1 e
t t T
)T
单位斜坡响应曲线的斜率为：
y ( t ) 1 e
t T
显然在t=0时其斜率为零，并且随时间的增加斜率变大， 最大斜率为1。
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3.2.5 一阶系统的单位加速度响应
t T
一阶系统的单位阶跃响应曲线 ：
y(t) 1 1 2 曲线1 曲线2 时间常数为T 时间常数为2T
0
t
显然一阶系统的单位阶跃响应是一条由零开始按指数 规律单调上升并最终趋于1的曲线。
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y(t) 1 1
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3.2.3 一阶系统的单位阶跃响应--特点
2
曲线1 曲线2
时间常数为T 时间常数为2T
由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒
所以：ts=3T=0.3秒（0.05）
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R(s )
100 s
3.2.7 减小一阶系统时间常数的措施
②若要求ts≤0.1秒，求此时的反馈系数。 可设反馈系数为k
100 (s) Y (s) R (s) 1 s 100 s k 1 k 0 . 01 k
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3.2 一阶系统的瞬态响应
3.2.1
3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.2.7
一阶系统的数学模型
一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位加速度响应 一阶系统的瞬态性能指标 减小一阶系统时间常数的措施
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y (t )
y ()
延迟时间td ：延迟时间定义为 输出响应第一次达到稳态值的 50%所需的时间。 t 由： 0 .5 1 e T
d
y ( ) %
( 2或5)
得：
t d 0 . 693 T
t
0 td
ts
上升时间tr：设一阶系统输出响应达到10%稳态值的时间 为t1，达到90%稳态值的时间为t2，则有:
当一阶系统的输入信号为单位加速度信号r(t)=t2/2，其拉氏 变换为R(s)=1/s3，则系统的输出为:
Y (s) R (s) Ts 1 1 Ts 1 s 1
3
1 s
3
T s
2
T s
2
T
2
s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位加速度响应 ：
y (t ) 1 2 t Tt T (1 e
t T
1 Ts 1
1/T s 1/T
上式的拉氏反变换称为一阶系统的单位脉冲响应 ：
y (t ) 1 T
e
，t 0
y(t) T 1 1/2T 曲线1 曲线2 2 0 时间常数为T 时间常数为2T
一阶系统的单位脉冲响应曲线 ： 一阶系统的单位脉冲响应曲线为 单调下降的指数曲线，时间常数 T越大，响应曲线下降越慢，表 明系统受到脉冲输入信号后，恢 复到初始状态的时间越长。单位 脉冲响应的终值均为零 。