第一章 朴素集合论

•象、原象、复合、逆、定义域、值域 •常值映射、恒同映射
3、性质
① 映射的原象保持集合的并，交，差运算．
定理1.5.2 设X和Y是两个集合，f: X→Y． 如果A，B Y 则 1 1 1 （1） f （A∪B）＝ A）∪ f （ B）； f（ 1 1 1 f（ （2） f （A∩B）＝ A）∩ f （ B）； 1 1 1 （3 ） f （ A-B）＝ f （ A ）- f （ B）．
§1.2集合的基本运算
•一、并、交、补（差） •二、运算定律 （5）De Mongan律 A-（B∪C）＝（A-B）∩（A-C） A-（B∩C）＝（A-B）∪（A-C）
•基础集
定义1.2.2 设X是一个基础集．对于X的任何一 个子集A，我们称X－A为A（相对于基础集X而言） 的补集或余集，并且记作CA，为了方便起见有时 也记作 A ． 我们应当提醒读者，补集 A 的定义与基础集 的选取有关．
§1．5 映射
1、定义 定义1.5.1 设F是从集合X到集合Y的一个关 系．如果对于每一个x∈X存在唯一的一个y∈Y 使得xFy，则称F是从X到Y的一个映射，并且记 作F：X→Y．换言之，F是一个映射，如果对于 每一个x∈X： （1）存在y∈Y，使得xFy； （2）如果对于y1 , y2∈Y有 xFy1 和 xFy2，则 y1 y2 ．
② 映射的象的并，交，差运算． P23习题1，2.
A, B X （ 1 ）f ( A B ) f ( A) f ( B ) （ 2 ）f ( A B ) f ( A) f ( B )
定理1.3.2 P23习题2(2、4).
f ( A B) f ( A) f ( B) f是单射. f ( X B) f ( X ) f ( B) f是单射.
3、关系的运算 （1）、逆、原象 •定义1.3.5 设R是从集合X到集合Y的一个关系， 即R X×Y．这时笛卡儿积Y×X的子集 {（y，x）∈ Y×X | xRy} 是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R 的逆，并且记作 R 1 ．
即： R ( y, x) Y X xRy
A X 有 A f f ( A); 1 A＝f f ( A) f是单射.
1
P23习题1(1)、2(3).
B Y 有 B ff ( B); B ff 1 ( ③ 定理1.5.3 及 P26习题3、9
定理1.5.3 设X和Y是两个集合．又设f:X→Y． 如果f是一个一一映射，则 f 1 便是一个从 Y到X 1 f 的映射（因此我们可以写 ：Y→X），并且是 既单且满的．此外我们还有： f 1 f i X 和 f f 1 iY
前言
学习这门课程有两大任务：学习这门课程的 知识、学习逻辑推理的方法。
一、首先我们要明确：拓扑学研究的是什么？
拓扑学研究的对象就是高度抽象了的 这些数学空间的具有最基础结构的空间。 它们只具有最基本的数学要求：开集。我 们把这样的空间称为拓扑空间。
拓扑学以拓扑空间为基本研究对象，运用集 合运算的知识，延拓出闭集、导集、闭包、序列、 基、子基等概念。
第 1章
集合论初步
在这一章中我们介绍有关集合论的一些基 本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两 个概念出发给出集合运算，关系，映射以及集 合的基数等方面的知识．
§1．1集合的基本概念 一、集合的概念
集合指的是由某些具有某种共同特点的个体 构成的集体． 1.元素、空集、单点集 2.集合的表示法：
A1 , A2 , Lindeloff, T1 ,... T4
（2）熟练掌握各种定义、定理，因为证明某个 命题，往往是从定义出发去证明的。
（3） 证明某个命题，要证到什么程度才算证 完，要心中有数。证明的开头应如何写？ （4） 每一步推理均要有根有据，根据只能是 前面的定义、定理，有时也可参考一下集合的 文氏图。 （5） 证明时用到的根据切不可将数学分 析中的结论想当然地引入，因为数学分析中的 实数空间是非常完美的度量（拓扑）空间，既 是A1 , A2 的，又是 T4 的，…。而要证的命题不一 定具备这样的条件。
•限制
•定义1．5．4设X和Y是两个集合，A是X的一个 子集．映射f: X→Y和g：A→Y如果满足条件 g f 即对于任何a ∈ A有f（a）=g（a），则称g g f |A 是f的限制，也称f是g的一个扩张，记 iX 作 ． iX |A 特别地，恒同映射 ： X→X在 X的子集A上的 iX |A 限制 ：A→X称为内射．这时我们有对于任 何a ∈ A， (a)=a．
一 映 射 且 y Y , x X 使 得 f ( x) y f是
f:X→Y是一个单射
f是 一 映 射 且 x1 , x2 X， 如 果 x1 x2， 则 f ( x1 ) f ( x2 ) f是 一 映 射 且 x1 , x2 X， 如 果 f ( x1 )＝f ( x2 )， 则 x1＝x2。
1


如果B Y , R1 (B) 集合B的R原象
（2）复合
•设R X ×Y， S Y×Z．则 S R＝ {（x，z）∈X×Y|存在y∈Y使得xRy并且ySz}
（3）运算性质 •定理1.3.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系， S是从集合Y到集合Z的一个关系，T是从集合Z到 集合U的一个关系．则：
习题 3：f : X Y , 则下列条件等价 (1) f是一一映射； （ 2 ）f 1是满射； （ 3 ）f 1 f i X 和f f 1 iY .
习题9：设X , Y是两个集合， f : X Y , g : Y X , 证明： 如果f g iY , 则g是一个单射， f是满射。
二、其次，只有掌握了这门课程的证明方法（逻
辑推理的方法），才能称得上学好了这门课程。 学习这门课程，提醒大家注意以下几点： （1）熟练掌握证明集合运算的常用方法。 如：要证明A B，A=B，A为开集(A∈T)，f 连续，A为闭集，x∈d(A)，x∈ A,{xi } 收敛，X为 间，正则空间，正规空间，完全正则空间，X为 紧致空间等，应从哪儿入手？
(1)(R 1 ) 1 R (2)(S R) 1 R 1 S 1 (3)T ( S R) (T S ) R
•定理1.3.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S 是从集合Y到集合Z的一个关系．则对于X的任意两 个子集A和B，我们有： （1） R（A∪B）＝R（A）∪R（B）； （2） R（A∩B） R（A）∩R（B）； （3）（S R）（A）＝S(R(A))．
3、等价类、商集 •定义1.4.3设R是集合X中的一个等价关系．集 合X中的两个点x，y，如果满足条件：xRy，则 称x与y是R等价的，或简称为等价的；
•对于每一个x∈X，集合X的子集： {y∈X|yRx}称为x的R等价类或等价类，常记作[ x]R或[x]， 即：[x]= {y∈X|yRx}
•并且任何一个y∈ [ x]R 都称为R等价类[ x]R 的一个代表元素；
(3)( S R ) 1 (C ) R 1 ( S 1 (C ))
§1．4 等价关系
1、恒同关系 定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的 一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X 中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒 同，对角线，记作△（X）或△．
2、等价关系
•集合X中的一个关系如果同时是自反，对称，和传递的， 则称为集合X中的一个等价关系． i)关系R是自反的 △(X) R，
对于任何x∈X，有xRx；
ii)关系R是对称的
R=R-1
对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx；
iv)关系R是传递的 R R R，
任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz．
•2. 单射、满射、双射（一一映射） f：X→Y是一个映射 对于每一个x∈X存在唯一
的一个y∈Y使得xfy.
（ 1）x X , y Y，s.t. f ( x) y （ 2）x1 x2 X , 有f ( x1 ) f ( x2 )
f:X→Y是一个满射 f是一映射且f（X）=Y
二、集族
我们常常需要讨论以集合作为元素的集合， 这类集合常称为集族.例如，A={{1},{1,2},{1,2, 3}}是一个集族.它的三个元素分别为:{1},{1,2}, {1,2,3}
三、幂集
设X是一个集合，我们常用P(X)表示X的所有子 集构成的集族，称为集合X的幂集．例如，集 合{1,2}的幂集是P ={{1},{1,2},{2}, }
对于任何一个t∈ [ x]R ，有tRx，由上述xRy 和R的传递性可见tRy，即t∈ [ y] R ．这证明
[ x] R [ y ] R
同理可证 [ y] R [ x]R ．因此 [ x]R = [ y] R (注意:要证或者…或者…,应从以下入手:否 定掉一个,去证另一个) 在初等数论中我们早就知道整数模（素数） p的等价关系 p将整数集合Z分为互不相交的等价 类，每一个等价类记作 [ x] p ，称为整数x的模p同 余类． 作业:熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握 商集的概念.明确商集的构成
•3.常见的集合与元素关系的记号
,
, ,
注:
（ 1 ）集合A有， A.
(2)子集、真子集
设A，B是两个集合．如果，A B，我们则称 A为B的子集； 如果A是B的子集，但A又不等于B，即A B， A≠B，我们称A为B的真子集.
A B （3）A B . A B
[ x]R [ y ]R
证明（1）设x∈X，由于R是自反的，所以xRx，
因此x∈ [ x] R , ∴ [ x] R ≠ ．
（2）对于任意x，y∈X，如果 [ x]R [ y]R ，
设z∈[x]∩[y]. 此时有zRx,且zRy． 由于R是对称的，所以xRz． 又由于R是传递的，所以xRy．