八年级数学因式分解2
八年级-人教版-数学-上册-第2课时-运用平方差公式因式分解
分析：（1）x4＝(x2)2，y4＝(y2)2，x4－y4＝(x2)2－(y2)2，这样 就可以利用平方差公式进行因式分解了．
解：（1）x4－y4＝(x2＋y2)(x2－y2) ＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；
例2 分解因式： （1）x4－y4；
（2）a3b－ab．
分析：（2）a3b－ab 有公因式 ab，应先提出公因式，再进一步 分解因式．
（4）1(p＋q)2－9； √
4
（5）－m4－n4； ×
（6）a＋(－b)2． ×
y2－49＝y2－72
1 4
(p＋q)2－9＝
1 2
(
p＋q)
2
－32
例1 分解因式： （1）4x2－9；
（2）(x＋p)2－(x＋q)2．
分析：（1）4x2＝(2x)2，9＝32，4x2－9＝(2x)2－32，即可用平 方差公式分解因式．
S阴影＝(a＋b)(a－b)；
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
思考 你能将多项式 x2－9 与多项式 y2－64 分解因式吗？
这两个多项式都是两个数的平方差的形式，由于整式的乘 法与因式分解是方向相反的变形，把 (x＋3)(x－3)＝x2－9 和 (y＋8)(y－8)＝y2－64 的等号两边互换位置，就得到
解：（2）a3b－ab ＝ab(a2－1) ＝a行因式分解，先看 有没有公因式，有公因式要先提公因 式；再看能不能用平方差公式分解因 式，注意必须进行到每个多项式因式 都不能再分解为止．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
运用平方差公式 分解因式
用平方差公式分解因式 的一般步骤
解：（1）4x2－9 ＝(2x)2－32 ＝(2x＋3)(2x－3)；
例1 分解因式： （1）4x2－9；
新北师大版八年级数学下册《四章因式分解2.提公因式法公因式为多项式的提公司因式法》教案_2
4.2提公因式法第1课时提单项式因式分解导学案学习目标：1.经历探索寻找多项式各项的公因式的过程，能确定多项式的公因式。
2.会用提取公因式法进行因式分解。
预习案：1、什么叫分解因式？2、整式乘法与分解因式之间的关系。
3、分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果：4、阅读教材P95～96内容问题1：多项式ma +mb +mc 有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？观察下列各式的结构有什么共同特点？①ax-ay ② ma +mb+mc③ 2πR + 2πr 归纳：多项式中都含有的，叫做这个多项式各项的公因式. 自学反馈：确定下列各多项式中的公因式1) a c+ b c 2)3 x2 +9xy 3) a 2 b – 2a b 2 + ab 4) 4xy2-6xy+8x 3y5、多项式中的公因式是如何确定的？探究案：例：找公因式： 3x 2y 2– 6xy 3 2 x2+ 6 x 3跟踪训练1：写出下列多项式各项的公因式：归纳总结：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个提出来，从而将多项式化成两个因式的形式，这种因式分解的方法叫做．3(2)x 7(3)x x 24(637)x x x 22(8121)ab a b b c 872x 222axy y x a 32224x x x 233642a b a b ab例1 ：将下列各式分解因式：例2 ：把9x 2－6xy+3xz 分解因式. 3a 2-9ab 用提公因式法分解因式的步骤跟踪训练2：把下列各式分解因式：例3：小颖解的有误吗？把8a 3b 2 –12ab 3 c + ab 分解因式.解：8 a 3b 2 –12ab 3c + ab= ab ·8a 2b - ab ·12b 2 c +ab ·１= ab(8a 2b - 12b 2c)跟踪训练3：把下列各式分解因式：例4：因式分解– 24x 3–12x 2+28x 跟踪训练4：把下列各式分解因式：5、提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？5、现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。
2019-2020年初中数学八年级下册第四章 因式分解2 提公因式法北师大版课后练习九
2019-2020年初中数学八年级下册第四章因式分解2 提公因式法北师大版课后练习九第1题【单选题】把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是( )A、8（7a－8b）（a－b）B、2（7a－8b）^2C、8（7a－8b）（b－a）D、－2（7a－8b）【答案】：【解析】：第2题【单选题】多项式x^3+x^2提取公因式后剩下的因式是( )A、x+1B、x^2C、xD、x^2+1【答案】：【解析】：第3题【单选题】下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是( )A、y^2﹣2xy﹣3x^2B、（y+1）^2﹣（y﹣1）^2C、（y+1）^2﹣（y^2﹣1）D、（y+1）^2+2（y+1）+1【答案】：【解析】：第4题【单选题】下列多项式应提取公因式5a^2b的是( )A、15a^2b-20a^2b^2B、30a^2b^3-15ab^4-10a^3b^2C、10a^2b-20a^2b^3+50a^4D、5a^2b^4-10a^3b^3+15a^4b^2【答案】：【解析】：第5题【单选题】下列分解因式正确的是( )A、x^3﹣x=x（x^2﹣1）B、m^2+m﹣6=（m﹣3）（m+2）C、1-a^2+2ab﹣b^2=（1-a+b）（1+a-b）D、x^2+y^2=（x+y）（x-y）【答案】：【解析】：第6题【单选题】将3a(x-y)-b(x-y)用提公因式法分解因式,应提出的公因式是( )A、3a-bB、3(x-y)C、x-yD、3a+b【答案】：【解析】：第7题【填空题】（﹣2）^2014+（﹣2）^2015=______．A、﹣2^2014<\/sup>【答案】：【解析】：第8题【填空题】因式分解：x﹣x^2=______．【答案】：【解析】：第9题【填空题】因式分解x^3-2x^2y+xy^2=______.【答案】：【解析】：第10题【填空题】多项式3a^2b^2﹣6a^3b^3﹣12a^2b^2c的公因式是______．A、3a^2<\/sup>b^2<\/sup>【答案】：【解析】：第11题【填空题】因式分解：a^3﹣9ab^2=______【答案】：【解析】：第12题【填空题】分解因式：a^2﹣6a=______．【答案】：【解析】：第13题【填空题】分解因式：ax^2+2ax﹣3a=______．【答案】：【解析】：第14题【填空题】分解因式：2a^2+ab=______．A、a（2a+b）【答案】：【解析】：第15题【综合题】用提公因式法分解因式:6m^2n-15n^2m+30m^2n^2;-4x^3+16x^2-26x;x(x+y)+y(x+y).【答案】：【解析】：。
专题14 因式分解(2)八年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)
专题14 因式分解（2）教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．例9 解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10，所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例14 解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例15 解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．五、课堂练习A卷：基础题A、选择题1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．a（a－b）=a2－ab B．a2－2a+1=a（a－2）+1C．x2－x=x（x－1） D．xy2－x2y=x（y2－xy）2．（x－5）（x－3）是多项式x2－px+15分解因式的结果，则p的值是（）1-2004 = 100123456689。
2020年八年级数学下册因式分解专题02 平方差公式(提升教师版)
专题02 平方差公式（提升版）【典型例题】类型一、公式法——平方差公式 例1、分解因式：（1）； （2）； （3）．【思路点拨】（1）把看做整体，变形为后分解．（2）可写成，可写成，和分别相当于公式里的和．（3）把、看作一个整体进行分解． 【答案与解析】解：（1）． （2）．（3）．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）； （2）（3）； （4）；【答案】解：（1）原式（2）原式＝2()4x y +-2216()25()a b a b --+22(2)(21)x x +--x y +22()2x y +-216()a b -2[4()]a b -225()a b +2[5()]a b +4()a b -5()a b +a b (2)x +(21)x -222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+--(9)(9)a b a b =-++22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-()()22259a b a b +--()22234x y x --33x y xy -+32436x xy -()()()()5353a b a b a b a b =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()8228444a b a b a b a b =++=++()()232232x y x x y x -+--＝ （3）原式 （4）原式例2、分解因式： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案与解析】 解：（1）． （2）．（3）． （4）．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解．（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止． 举一反三：【变式】先化简，再求值：（2a +3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a =．【答案】解：原式=（2a +3b +2a ﹣3b ）（2a +3b ﹣2a +3b ） =4a ×6b =24ab ，当a =，即ab =时，原式=24ab =4． 类型二、平方差公式的应用例3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x 4﹣y 4=（x ﹣y ）（x +y ）（x 2+y 2），当x =9，y =9时，x ﹣y =0，x +y =18，x 2+y 2=162，则密码018162．对于多项式4x 3﹣xy 2，取x =10，y =10，用上述方法产生密码是什么？【思路点拨】首先将多项式4x 3﹣xy 2进行因式分解，得到4x 3﹣xy 2=x （2x +y ）（2x ﹣y ），然后把x =10，y =10代入，分别计算出2x +y =及2x ﹣y 的值，从而得出密码． 【答案与解析】解：原式=x （4x 2﹣y 2）=x （2x +y ）（2x ﹣y ）， 当x =10，y =10时，x =10，2x +y =30，2x ﹣y =10，故密码为103010或101030或301010．【总结升华】本题是中考中的新题型，考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．()343y x y --()()()22xy x y xy x y x y =--=-+-()()()2249433x x y x x y x y =-=+-2128x -+33a b ab -516x x -2(1)(1)a b a -+-221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣=﹣．【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．同步练习一.选择题1．分解因式：16﹣x 2=（ ）A ．（4﹣x ）（4+x ）B ．（x ﹣4）（x +4）C ．（8+x ）（8﹣x ）D ．（4﹣x ）22.下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（ ） A.（﹣2y ﹣x ）（x +2y ） B.（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）C.（x ﹣2y ）（2y +x ）D.（2y ﹣x ）（﹣x ﹣2y ）3. 下列因式分解正确的是( ).A. B.C.D. 4. 下列各式，其中因式分解正确的是（ ） ①；② ③ ④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 若能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A ．61，63 B ．61，65 C ．63，65 D ．63，676. 乘积应等于（ ） A ．B ．C ．D ．二.填空题 7. ； .8. 若，将分解因式为__________.9. 分解因式：_________.10. 若，则是_________.11.若A =（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是 ． 12.已知|x ﹣y +2|+=0，则x 2﹣y 2的值为 ．三.解答题13. 用简便方法计算下列各式：（1） －1998×2000 （2） （3）()()2292323a b a b a b -+=+-()()5422228199a ab a a bab -=+-()()2112121222a a a -=+-()()22436223x y x y x y x y ---=-+-22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2933x x x -=-+()()()()2212121m n m n m n +--+=+-()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++4821-22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5121211202311_________m m aa +--=()2211x x x --+=)2|4|50m -+=22mx ny -2121()()=m m p q q p +--+-()()()216422nx xx x -=++-n 219992253566465⨯-⨯222222221009998979695......21-+-+-++-14.已知（2a +2b +3）（2a +2b ﹣3）=72，求a +b 的值．15.设，，……，（为大于0的自然数）.（1）探究是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出，，……，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】A ；【解析】16﹣x 2=（4﹣x ）（4+x ）．2. 【答案】A ；【解析】解：A 、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A ．3. 【答案】C ；【解析】；；. 4. 【答案】C ；【解析】①②③正确. . 5. 【答案】C ；【解析】6. 【答案】C ； 【解析】 22131a =-22253a =-()()222121n a n n =+--n n a 1a 2a n a n n a ()()22933a b b a b a -+=+-()()()()()542222228199933a ab a a bab a a b a b a b -=+-=++-()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212121216563=+++-=++⨯⨯22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭二.填空题 7. 【答案】；【解析】.8. 【答案】；【解析】.9. 【答案】；【解析】原式＝. 10.【答案】4； 【解析】.11.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1， =（24﹣1）（24+1）（28+1）+1， =（28﹣1）（28+1）+1， =216﹣1+1，=216因为216的末位数字是6， 所以原式末位数字是6．12. 【答案】-4；【解析】∵|x ﹣y +2|+=0，∴x ﹣y +2=0，x +y ﹣2=0，∴x ﹣y =﹣2，x +y =2，∴x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x +y ）=﹣4． 三.解答题 13.【解析】解：（1）－1998×2000 ＝（2）111111111111 (11112233991010314253108119) (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=()()111m aa a -+-()()211x x -+()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+()()2525x y x y +-4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-21()(1)(1)m p q p q p q ---+--()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦()()()()()22244224416x x x x x x++-=+-=-21999()()222199919991199911999199911--+=-+=()2222535664656535465⨯-⨯=-（3）14.【解析】解：已知等式变形得：[2（a +b ）+3][2（a +b ）﹣3]=72，即4（a +b ）2﹣9=72， 整理得：（a +b ）2=，开方得：a +b =±． 15.【解析】解：（1） 又为非零的自然数， ∴是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数. （2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．为一个完全平方数的2倍时，为完全平方数.()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n =+--=++-+-+=n n a n n a学法指导: 怎样学好数学☆人生是一种体验，一种经历，一种探索，一种生活，而人生目标，则是一种自我的设定。
八年级数学 因式分解的“小招数
因式分解的“小招数”不少同学在学习了因式分解的基本方法后，解题时还会遇到这样那样的一些小问题，而造成分解的思路不畅，或者分解不彻底.为了帮助同学们解决这些小问题，在此介绍几 种因式分解的“小招数”，希望对同学们有所帮助.一、符号变一变例1 分解因式221a a -+-.解 原式=22(21)(1)a a a --+=--评析 原式有三项，虽有完全平方的“形”却不能直接用公式，提取“一”号后，便能套用“完全平方公式”.二、位置动一动例2 分解因式224b a -+.解 原式=22224(2)(2)(2)a b a b a b a b -=-=+-评析 原式是两项式，无公因式可提，需将两项位置对调，才能化为“平方差公式”的形式.三、系数提一提例3 分解因式: 2114a a -+- 解 原式=2211(44)(2)44a a a --+=-- 评析 原式有三项，提取首项的系数14-后，括号内的因式便可套用“完全平方公式”分解.四、括号添一添例5 分解因式: 2(1)1a a a --+.解 原式=2(1)(1)a a a ---=2(1)(1)a a --=2(1)(1)a a -+. 评析 如果把原式不问青红皂白，直接去括号，便弄得越来越复杂，仔细观察原式特点，把1a -+添“一”括号，整个式子中便出现了公因式(1)a -，下面的分解就容易了.例6 分解因式2249a b -.解 原式= 22(2)(3)a b -=(23)(23)a b a b +-.评析 如果把原式直接套用“平方差公式” ，将出现错误的结果: (49)(49)a b a b +-, 添括号后整理成“平方差公式”的形式，便可以正确分解了.例7 分解因式224129a ab b ++.解 原式=22(2)223(3)a a b b +⋅⋅+=2(23)a b +评析 如果把原式直接套用“完全平方公式” ，将出现错误的结果: 249a b +，添括号后整理成“完全平方公式”的形式，便可以正确分解了.显而易见，文中提到的几种“小招数” ，在同学们的解题过程中经常会用到，这几种“小招数”的实质，是把比较乱的多项式整理成为我们熟悉的便于用“公式法”或用“提取公因式法”来分解的形式，从而达到化难为易、化繁为简的目的.“招数”虽小你可不要小觑，只有熟练掌握这些“小招数” ，你在解决因式分解问题时才能得心应手、顺风顺水!。
人教版八年级上册数学《公式法》整式的乘法与因式分解PPT课件(第2课时)
因此x=-5是原分式方程的解.
随堂练习
1.下列方程是分式方程的是（ B ）
A.
一元一次方程
B.
C. x2-1=0
D. 2x+1=3x 一元二次方程
一元一次方程
2.（2020·海南中考）分式方程 的解是（
A. x=-1
B. x=1 C. x=5
x-2=3
D. x=2
x=5
） C
解分式方程时，不要忘记检验哦.
用平方差公式分解因式 由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形，把整 式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位 置，就得到了 a2-b2=(a+b)(a-b)
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这 两个数的差的积.
用完全平方公式分解因式 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到 a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2. 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
分析：将b2看成一个整体a，则原式变形为(b2)2-b2-12，
可以看作a2-b-12.
1 -4
b4-b2-12 =(b2-4)(b2+3) =(b+2)(b-2)(b2+3).
13 1×3+1×(-4)=-1
2.（2020·乐山）已知y≠0，且x2-3xy-4y2=0，则 的值是
__4_或__-_1__.
分析：因为x2-3xy-4y2=0， 即(x-4y)(x+y)=0， 可得x=4y或x=-y， 所以 =4或 =−1.
因式分解(2)——公式法(人教版)八年级数学上册PPT课件
13. 分解因式：n2（m-2）+（2-m）.
解：原式＝（m-2）（n+1）（n-1）．
三级检测练
一级基础巩固练
14. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）
；
（2）4b2-a2=
（2b+a）（2b-a）
；
（3）9b2-4a2=
5. 分解因式：
（1）x2-25=
（x+5）（x-5）Biblioteka ；（2）x2-36=
（x+6）（x-6）
.
6. （例 2）分解因式：
（1）4x2-25=
（2x+5）（2x-5）
；
（2）9x2-16y2=
（3x+4y）（3x-4y）
.
7. 分解因式：
（1）16x2-1=
（4x+1）（4x-1）
；
（2）36x2-25y2=
）2.
知识点.公式法（平方差公式）
3. 平方差公式：
整式乘法：（a+b）（a-b）= a2-b2
；
分解因式：a2-b2=
（a+b）（a-b）
.
4. （例 1）分解因式：
（1）x2-4=
（x+2）（x-2）
；
（2）x2-9=
（x+3）（x-3）
.
总结：能用平方差公式分解因式的条件： ①二项式；②能化成两个平方相减.
（1）设 S1，S2 分别是图 1，图 2 的面积，若用
含 a，b 的代数式表示它们的面积，则
S1=
a2-b2
八年级数学因式分解
数学因式分解是将一个数或多项式分解成乘积的过程。
这种技能在代数和数学中很重要，因为它可以简化复杂的表达式，使它们更容易处理和理解。
以下是一些常见的因式分解方法：
整数因式分解：将一个整数分解成它的质因数乘积的形式。
例如，72可以分解为2^3 \times 3^2。
多项式因式分解：将一个多项式分解成它的不可约因子的乘积。
例如，x^2 - 4可以分解为(x-2)(x+2)。
完全平方数差分公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
完全立方数差分公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
公因式分解：找到多项式中的公共因子并将其提取。
例如，2x^3+4x^2可以分解为2x^2(x+2)。
分组分解：将多项式拆分为两个部分，并在每个部分中寻找公共因子，然后将这些因子提取出来。
例如，2x^3+3x^2+4x+6可以分解为(2x^3+3x^2)+(4x+6)=x^2(2x+3)+2(2x+3)=(x^2+2)(2x+3)。
以上是一些常见的因式分解方法，但还有许多其他技巧和公式可用于因式分解。
沪科版数学八年级下册《因式分解法》教学设计2
沪科版数学八年级下册《因式分解法》教学设计2一. 教材分析《因式分解法》是沪科版数学八年级下册的一章内容，主要介绍了因式分解的方法和应用。
本章内容是学生学习代数的重要基础，也是解决各种数学问题的有效工具。
教材通过丰富的实例和练习，帮助学生理解和掌握因式分解的方法，并能够灵活运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了整式的乘法、幂的运算等基础知识，具备一定的代数基础。
但部分学生对于因式分解的概念和方法可能还比较陌生，需要通过大量的练习和引导来逐步理解和掌握。
同时，学生对于解决实际问题的能力还有待提高，需要通过实例分析和练习来加强。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解因式分解的概念和方法，掌握常用的因式分解技巧，并能够灵活运用到实际问题中。
2.过程与方法：学生能够通过观察、分析和归纳，探索并发现因式分解的方法和规律。
3.情感态度与价值观：学生能够培养对数学的兴趣和自信心，培养合作和探究的精神，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：学生能够理解和掌握因式分解的概念和方法。
2.难点：学生能够灵活运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：通过问题和实例引导学生观察、分析和归纳，激发学生的思维和探索能力。
2.实践法：通过大量的练习和操作，让学生动手实践，巩固和加深对因式分解的理解和掌握。
3.合作法：学生分组讨论和合作，培养团队合作和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示问题和实例，引导学生观察和分析。
2.练习题：准备适量的练习题，让学生进行操练和巩固。
3.教学资源：准备相关的教学资源，如视频、文章等，供学生自主学习和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入实例或问题，激发学生的兴趣和好奇心，引导学生思考和探索因式分解的概念和方法。
2.呈现（15分钟）教师通过展示问题和实例，引导学生观察和分析，呈现因式分解的方法和步骤。
同时，教师进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握因式分解的概念和方法。
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把一个多项式的化成了几个整 式的积的形式，象这样的式子 变形叫做这个多项式因式分解
因式分解与整式乘法的关系：
m(a+b+c)
整式乘法 因式分解
ma+mb+mc
下列各式从左到右的变形，那些是因式分 解，那些不是？
A.( x 8)( x 1) x 2 7x 8 C.am bm c m(a b) c
（1）多项式是两项时，考虑用平方差公式分解因 式（两项为异号时） （2）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解 因式 强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再 分解为止。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10.x2+4x-21= (x-3)(x+7)
因式分解的一般步骤: 可归纳为一“提”、二“套”. (1) 一 “ 提 ” ： 先 看 多 项 式 的 各 项 是否有公因式，若有必须先提出来. (2) 二 “ 套 ” ： 若 多 项 式 的 各 项 无 公因式(或已提出公因式)，第二步 则看能不能用公式法或用 x2+(p+q)x+pq型分解.
B.a 2 2ab b2 (a b)2
D. 3 x 2 3 x 3 x 2 (1 1 ) x
因式分解的几种常用方法
(1)提公因式法 (2)运用公式法： ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 (3)二次三项式型：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
=(a+b)2+2(a+b)·3+32
=[(a+b)+3]2 =(a+b+3)2
利用十字交叉线来分解系数， 把二次三项式分解因式的方 法叫做十字相乘法.
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
用十字相乘法进行因式分解
1.x2-x- 6 = (x+2)(x-3)
2.x2+2x-15= (x-3)(x+5) 尝
(x2+2x)2+2(x2+2x)+1
=(x2+2x)2+2(x2+2x)·1+12 =(x2+2x+1)2 =[(x+1)2]2
=(x+1)4
(m2-6)2 -6(m2-6)+9 =(m2-6)2 -2·(m2-6)·3+32 =(m2-6-3)2
=(m2-9)2 =[(m-3)(m+3)]2 =(m-3)2(m+3)2
2、变形规律：
(1)x－y=－(y－x)
(2)(x－y)2= (y－x)2
(3)(x－y)3=－(y－x)3 (4)－x－y=－(x+y)
三．练习：(１)如果
(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式
(x+y)，那么另外的因式是( B )
(A)x2+y2 (B)(x-y)2
(C)(x+y)(x-y) (D)(x+y)2
– a4 + 16
=42- (a2)2
尝
试
=(4+a2)(4-a2) 练
习
= (4+a2)(2+a)(2-a)
例:(2) a3b-ab
如果多项式
解: a3b-ab
各项含有公 因式，则第
=ab(a2-1)
一步是提出 这个公因 式．
=ab(a+1)(a-1)
完全平方式应具备什么特征？
①它由三部分组成,
(2)81m4－72m2n2+16n4 =(9m2)2－2·9m2·4n2+(4n2)2 =(9m2－4n2)2 =[(3m)2－(2n)2]2 =[(3m+2n)(3m－2n)]2 =(3m+2n)2(3m－2n)2
七、你来小结
１、因式分解的两种基本方法
２、因式分解的一般步骤
３、按其项数试探分解方法：
(a2+b2)2-4a2b2 =(a2+b2)2-(2ab)2
= (a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab)
=(a+b)2(a-b)2
(a2+9)2-36a2 =(a2+9)2-(6a)2 = (a2+9+6a)(a2+9-6a) =(a2+6a+9)(a2-6a+9) =(a+3)2(a-3)2
3.x2-3x-10= (x+2)(x-5) 4.x2-9x+20= (x-5)(x-4)
试
5.x2-3x-28= (x-7)(x+4) 练
6.x2-2x-8= 7.x2-4x+3=
(x+2)(x-4) (x-1)(x-3)
习
8.x2+7x+12= (x+3)(x+4)
9.x2+5x+6= (x+2)(x+3)
十字相乘法
因式分解的一般思路 先看有没有公因式 有 提公因式
无
看项数
二项 三项
平方差公式 完全平方公式 十字相乘
检查
因式分解是否彻底
二、提公因式法
1、公因式的确定方法：
(1)系数：取各系数的最大公约数 (2)字母：取各项相同的字母 (3)相同字母指数：取最低指数
1. 如：多项式8a2b2-12ab3c的各项的公因式是( ) A.ab B.ab2 C.4ab2 D.8ab2
②两部分是两个式子的平方（或两个数 的平方），且符号都是正号。 ③第三部分是上面两个式子(或两个数） 积的二倍，符号可正可负。
•ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2； •ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ)2 .
ax2+2a2x+a3 =a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2
(a+b)2+6(a+b)+9