广东省佛山市南海区2014届高三8月质量检测数学文试题

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2014年广东省佛山市高考数学二模试卷(文科)

2014年广东省佛山市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设U=R，若集合M={x|-1＜x≤2}，则∁U M=（）A.（-∞，-1]B.（2，+∞）C.（-∞，-1]∪[2，+∞）D.（-∞，-1]∪（2，+∞）【答案】D【解析】解：∵U=R，集合M=（-1，2]，∴∁U M=（-∞，-1]∪（2，+∞）．故选：D．根据全集U=R，以及M，求出M的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.复数z=1+i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A.的实部为-1B.的虚部为1C.z•=2D.=i【答案】C【解析】解：∵z=1+i，∴，则．故选：C．直接利用求得，则答案可得．本题考查复数的基本概念，考查了公式，是基础题．3.命题：，：，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：要使x-1=成立，则x-1≥0且（x-1）2=x-1，解得x=1或x=2．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a4=6，则S5等于（）A.10B.12C.15D.30【答案】C【解析】解：a2+a4=a1+a5=6∴S5===15故选C先根据等差数列的性质可知a2+a4=a1+a5，代入等差数列的求和公式中求得答案．本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．5.若变量x，y满足约束条件，则z=3x+5y的取值范围是（）A.[3，+∞）B.[-8，3]C.（-∞，9]D.[-8，9]【答案】D【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x+5y，则可得y=，则z表示直线z=3x+5y在y轴上的截距，截距越大，z越大结合图象可知，当z=3x+5y经过点A时，z最小，当z=3x+5y经过点，C时，z最大由可得C（3，0），此时z=9由可得A（-1，-1），此时z=-8∴-8≤z≤9故选D先做出不等式组表示的平面区域，然后分析目标函数中z的几何意义，结合图象即可求解本题主要考查了线性规划在求解目标函数中的最值中的应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义6.执行如图所示的程序框图，若输出S=，则输入k（k∈N*）的值可以为（）A.8B.9C.10D.11【答案】D【解析】解：当i=1，S=0时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=2；当i=2，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=3；当i=3，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=4；当i=4，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=5；当i=5，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=6；当i=6，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=7；当i=7，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=8；当i=8，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=9；当i=9，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=10；当i=10，S=时，不满足退出循环的条件，执行循环体后S=，i=11；当i=11，S=时，满足退出循环的条件，故判断框中的条件应为：i＜11，故输入k（k∈N*）的值为11，故选：D由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析继续循环和退出循环的条件特征，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为45°，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为45°，∴a=b，∴c==，∴e==．故选：A．由双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为45°，知a=b，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的灵活运用．8.在圆0中，长度为的弦AB不经过圆心，则•的值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】解：取AB的中点为C，由圆的性质可得OC⊥AB，∴•=（+）•2=2+2=2×+0=1故选：C取AB的中点为C，可得OC⊥AB，可得•=（+）•2=2+2，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的加减运算，同时考查转化的思想，属基础题．9.已知函数f（x）=x2-cosx，x∈R，则（）A.f（）＞f（1）＞f（-）B.f（1）＞f（）＞f（-）C.f（-）＞f（1）＞f（）D.f （）＞f（-）＞f（1）【答案】A【解析】解：∵f′（x）=2x+sinx，∴当x∈（0，）时，f′（x）=2x+sinx＞0，∴函数f（x）=x2-cosx在（0，）上是增函数，又函数f（x）=x2-cosx，在R上是偶函数，故f（-）=f（），∵＞1＞，∴f（）＞f（1）＞f（-）故选A．由f（x）=x2-cosx得，f（x）为偶函数且在（0，）上是增函数，利用函数单调性及奇偶性的性质得出结论．考查学生利用函数的奇偶性、单调性比较大小的方法，关键是转化到同一单调区间上，利用单调性比较大小，属基础题．10.对于集合M，定义函数f M（x）=，，，对于两个集合M，N，定义集合M*N={x|f M（x）•f N（x）=-1}，已知A={2，4，6}，B={1，2，4}，则下列结论不正确的是（）A.1∈A*B B.2∈A*B C.4∉A*B D.A*B=B*A【答案】B【解析】解：由定义“对于集合M，定义函数f M（x）=，，”若A={2，4，6}，B={1，2，4}，则当x=2，4，6时f A（x）=-1，x=1时，f A（x）=1；当x=1，2，4时f B（x）=-1，当x=6时，f B（x）=1又由定义集合M*N={x|f M（x）•f N（x）=-1}，知f M（x）与f N（x）值必一为-1，一为1，由上列举知，x=2，4时f A（x）•f B（x）=1，故2，4∉A*B考查四个选项，B选项不正确故选B由定义得出两个集合A={2，4，6}，B={1，2，4}中不在A*B中的元素，再结合四个选项即可得出正确答案本题考查对新定义的理解及元素与集合关系的，此类题正确理解定义是解答的关键，考查了分析与理解的能力二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.记函数f（x）=x的反函数为g（x），则函数y=g（x）在区间[1，2]的值域为______ ．【答案】[，]【解析】解：可得f（x）=x的反函数为g（x）=，由指数函数的性质可知g（x）单调递减，当x=1时，g（x）取最大值，当x=2时，g（x）取最小值，故函数y=g（x）在区间[1，2]的值域为：[，]故答案为：[，]可得g（x）=，由指数函数的单调性可得．本题考查反函数，涉及指数函数的值域，属基础题．12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______ ．【答案】12π+24【解析】解三视图复原组合体下部是底面边长为2，高为3的正四棱柱，上部是半径为2的半球，它的表面积是：4×2×3+π22+2π22=12π+24，故答案为：12π+24．三视图复原组合体下部是正四棱柱，上部是半球，根据三视图数据，求出表面积．本题考查三视图求面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．13.设直线x-my-1=0与圆（x-1）2+（y-2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是______ ．【答案】【解析】解：由圆的方程（x-1）2+（y-2）2=4，得到圆心坐标为（1，2），半径r=2，∵圆心到直线x-my-1=0的距离d=，又|AB|=2，∴r2=d2+（）2，即4=+3，整理后得到3m2=1，解得：m=±．故答案为：±由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，再由弦AB的长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而再由弦心距，圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理解决问题．14.已知曲线C1：（θ为参数）与曲线C2：（t为参数）有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为______ ．【答案】±【解析】解：把曲线C1：（θ为参数）化为普通方程是+y2=1，把曲线C2（t为参数）代入C1中，得+（kt-2）2=1，即（2k2+1）t2-8kt+6=0；∵两曲线有且只有一个公共点，∴△=0；即64k2-24（2k2+1）=0，解得k=±．故答案为：±．把曲线C1化为普通方程，把曲线C2代入C1中，由两曲线有且只有一个公共点，△=0；求出k的值．本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，再结合题意进行解答问题，是基础题．15.如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，已知CD=2，AB=BC=3，则AC的长为______ ．【答案】【解析】解：∵CD是过点C圆的切线DBA为圆的割线由切割线定理得：CD2=DB•DA由CD=2，AB=BC=3解得BD=4∴DA=7由弦切角定理可得：∠DCB=∠A，又由∠D=∠D∴△DCB∽△DAC∴BC•DA=AC•CD由BC=3，DA=7，CD=2，得AC=故答案为：由已知CD是过点C圆的切线，根据切割线定理及已知中CD=2，AB=BC=3，易求出BD的长，进而求出AD的长，由弦切角定理可得：∠DCB=∠A，又由∠D是△DCB 与△DAC的公共角，我们易得△DCB∽△DAC根据三角形相似对应边成比例，我们即可求出AC的长．本题考查的知识点是切割线定理，弦切角定理，三角形相似的判定与性质，要求线段的长，我们一般要要先分析已知线段与未知线段的位置关系，再选择恰当的定理或性质进行解答．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数f（x）=sinx+sin（x+），x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期．（2）若f（θ+）=，θ∈（，），求sinθ．【答案】解：（1）f（x）=sinx+sin（x+）=sinx+sinx+cosx=（sinx+cosx）=sin（x+），∴函数f（x）的最小正周期T==2π．（2）若f（θ+）=sin（θ++）=sin（θ+）=，∴sin（θ+）=，∵θ∈（，），∴θ+∈（，π），∴cos（θ+）=-=-∴sinθ=sin[（θ+）-]=sin（θ+）cos-cos（θ+）sin=×-（-）×=．【解析】（1）对函数解析式化简，进而利用三角函数的性质求得函数的最小正周期．（2）利用（1）中的解析式，求得cos（θ+）的值，进而利用两角和公式求得sinθ．本题主要考查了三角函数图象及性质，两角和公式在恒等变换中的应用．考查了学生三角函数综合知识的灵活运用．17.“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动，每到这一天，家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利．为了了解不同年龄层次的人对这一传统习俗的参与度，现随机抽取年龄在20～80岁之间的60人，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80）绘制频率分布直方图如图所示，其中参与了2014年“行通济”活动的人数如下表．若规定年龄分布在[20，60）岁的为“中青年人”，60岁以上（含60岁）为“老年人”．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“老年人”（2）从上述2×2列联表“老年人”和“中青年人”两大组中，用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取两人，求恰好有一人是“老年人”的概率参考公式：k2=，其中n=a+b+c+d下面的临界值表供参考：【答案】8；12；20；4；36；40；12；48；60【解析】解：（1）2×2列联表（2）k2==7.5＞6.635，∴有99%的把握认为“老年人”比“中青年人”更认同“行通济”这一民俗；（2）∵60人的样本中有12位“老年人”，48位“中青年人”，∴抽取的5人中“老年人”1人，“中青年人”4人，5人中任意抽取两人，共有=10个基本事件；恰好有一人是“老年人”，有4个基本事件，∴恰好有一人是“老年人”的概率=．（1）根据中参与了2014年“行通济”活动的人数，可得2×2列联表，利用公式求出k2，与临界值比较，即可得出结论；（2）求出抽取的5人中“老年人”1人，“中青年人”4人，5人中任意抽取两人，共有=10个基本事件；恰好有一人是“老年人”，有4个基本事件，即可求出恰好有一人是“老年人”的概率．本题考查独立性检验的应用，考查概率的求解，正确运用公式是关键．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，AB⊥BC，E是A1C的中点，D在线段AC上，并且DE⊥A1C，已知A1A=AB=，BC=2．（1）求证：A1C⊥平面EDB．（2）求三棱锥E-BCD的体积．【答案】（1）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，R t△A1AB中，A1A=AB=，∴A1B=2，∴△A1BC是等腰三角形．∵E是等腰△A1BC底边A1C的中点，∴A1C⊥BE，又依条件知A1C⊥ED，且ED∩BE=E，∴A1C⊥平面EDB；（2）解：R t△A1AC中，A1A=，AC=，∴∠A1CA=30°，DE=CE tan∠A1CA=，CD=，AD=，在R t△ABC中，AB=，BC=2，cos∠CAB=，由余弦定理可得BD=，在等腰直角三角形A1BC中，BE=A1C=，在△BDE中，∵BD2+DE2=2=BE2，∴△BDE是直角三角形，由（1）知，A1C⊥平面EDB，∴三棱锥E-BCD的体积S△BDE•CE=．【解析】（1）利用已知可得A1A⊥AB，利用定义三角形的性质可得A1C⊥BE，又已知A1C⊥ED，利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）证明△BDE是直角三角形，利用S△BDE•CE，计算三棱锥E-BCD的体积．熟练掌握直三棱柱的性质、线面垂直的判定和性质定理、等腰三角形的性质等是解题的关键．19.已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过抛物线C：x2=4y的焦点F．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点F关于x轴的对称点为F′，过F′作两条直线l1和l2，其斜率分别为k、k′，满足k＞0，k+k′=0，它们分别是椭圆Γ的上半部分相交于G，H两点，与x轴相交于A，B两点，使得|GH|=，求证：△ABF′的外接圆过点F；（3）设抛物线C的准线为l，P，Q是抛物线上的两个动点，且满足∠PFQ=，线段PQ 的中点为M，点M在l上的投影为N，求的最大值．【答案】（1）解：由已知F（0，1），设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），则b=1，∵离心率为，∴，∴a=2，∴椭圆Γ的方程为；（2）证明：由题意，F′（0，-1），并且l1和l2，关于y轴对称，∴G与H，A与B也分别关于y轴对称，l1的方程y=kx-1代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2-8kx=0，∴x=0或x=，∴|GH|=2×||=，∴k=1或k=，∵直线是椭圆Γ的上半部分相交，∴k＞，∴k=1，∴l1和l2的方程分别为y=x-1或y=-x-1，令y=0，可得A（1，0），B（-1，0），∴|OA|=|OB|=|OF|=|OF′|，∴A，B，F，F′四点共圆，∴ABF′的外接圆过点F；（3）设∠PQF=θ（0＜θ＜），则|PF|=|PQ|sinθ，|QF|=|PQ|cosθ，∴|PF|+|QF|=|PQ|（sinθ+cosθ）=sin（θ+）由抛物线的定义及梯形的中位线定理可得|MN|=（|PF|+|QF|），∴=sin（θ+）∴θ=时，的最大值为．【解析】（1）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），利用离心率为，且过抛物线C：x2=4y的焦点F，求出a，b，即可求椭圆Γ的方程；（2）l1的方程y=kx-1代入椭圆方程，求出|GH|，可得k的值，可得l1和l2的方程，求出A，B的坐标，即可得出结论；（3）设∠PQF=θ（0＜θ＜），则|PF|=|PQ|sinθ，|QF|=|PQ|cosθ，由抛物线的定义及梯形的中位线定理可得|MN|=（|PF|+|QF|），从而可得=sin（θ+），即可求出的最大值．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查抛物线的定义及梯形的中位线定理，考查学生分析解决问题的能力，有难度．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n-1（n∈N*），数列{b n}满足b1=1，nb n+1=（n+1）b n，（n∈N*）（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式．（2）数列{b n}的前n项和为Q n，且T n=S n+Q n是否存在常数λ，使得对任意正整数n，不等式λT n≥T n+1恒成立？若存在，求λ的最小值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）令n=1，得a1=S1=2a1-1，解得a1=1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2（a n-a n-1），整理，得a n=2a n-1，∴．∵数列{b n}满足b1=1，nb n+1=（n+1）b n，∴，∴{}是首项为1的常数列，∴，∴b n=n．（2）∵数列{b n}的前n项和为Q n，∴，∵T n=S n+Q n，∴T n==，当n=1时，λT1≥T2，得λ≥3，当n=2时，λT2≥T3，得，猜想：当λ≥3时，3T n≥T n+1．证明：-=2n+n-3≥0．综上所述，λ存在最小值3，使不等式λT n≥T n+1成立．【解析】（1）令n=1，得a1=1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2（a n-a n-1），由此能求出．由，能求出b n=n．（2）由T n=S n+Q n，得T n==，由此能求出λ存在最小值3，使不等式λT n≥T n+1成立．本题考查数列的通项公式的求法，考查使得不等式成立的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．21.已知函数f（x）=alnx-，（其中a∈R）（1）设h（x）=f（x）+x，讨论h（x）的单调性．（2）若函数f（x）有唯一的零点，求a取值范围．【答案】解：（1）h（x）=alnx-+x，定义域为（0，+∞），----------1分h′（x）=++1=--------------------------------2分令g（x）=x2+ax+1，判别式△=a2-4，当△≤0即-2≤a≤2时，g（x）≥0，h′（x）≥0，此时h（x）在（0，+∞）上单调递增；-----4分当△＞0即a＜-2或a＞2时，由g（x）=0得x1=，x2=，------------5分若a＞2，则x1＜0，又x1x2=1＞0，所以x2＜0，故h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增；--------------------------------6分若a＜-2，则x2＞0，又x1x2=1＞0所以x1＞0，此时，当x∈（0，x1）时，h′（x）＞0，当x∈（x1，x2）时，h′（x）＜0，当x∈（x2，+∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；--------------7分综上所述，当a≥-2时，h（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜-2时，h（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减；--------------8分（2）f′（x）=+=（x＞0），当a=0时，f（x）=-=0无实数根，此时函数f（x）无零点；-----------------------------------9分当a＞0时，f′（x）＞0，f（1）=-1＜0，而f（）=1-＞0，根据零点的存在性定理，f（x）在（0，+∞）上只有唯一的零点，------------------------------11分当a＜0时，x∈（0，-）时，f′（x）＞0，x∈（-，+∞时，f′（x）＜0，故f（x）有极大值，也是最大值f（-），又x→0或x→+∞时，f（x）→-∞，因此f（x）有唯一零点等价于其最大值为f（-）=0，即aln（-）+a=0，解得a=-e．综上所述，若函数f（x）有唯一的零点则a的取值范围是a=-e或a＞0．----------------------------14分【解析】（1）由h′（x）=++1=，利用单调性与导数值的关系，通过讨论a的值得出函数的单调性；（2）利用根的存在性定理判断函数的零点以及利用导数判断函数的单调性及最值，通过分类讨论求出字母的取值范围．本题考查了函数导数与单调性、极值、最值、函数零点等基础知识，考查函数与方程的思想，数形结合思想，转化与化归思想以及考生的推理论证能力．。

广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测(一)数学(文)试卷Word版含答案

图1佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学文试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则AB =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A =4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1=a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π 5．给定命题p :若x R ∈,则12x x+≥；命题q :若0x ≥，则20x ≥. 则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为图2A ．3πB ．23πC ．πD ．2π7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5 8．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22B ．16C ．15 D ．11 9．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 A ．13 B ．12C D10．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.排球队篮球队图4(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17.(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、PF ,其中PF =.(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不A. .CDBEF图5图6ABCD PEF图7存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.19.(本题满分14分)如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 的最大值为,求t20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n .（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++<.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．18012．(,1]-∞ 13．3- 14．15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分) 【解析】(Ⅰ)因为B C=，所以c b =，……………………………………………………………………2分又a =，所以22co s 2a cb Bac +-===，……………………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==， ……………………………………………………………7分所以s i n 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭s i n c os c o s s i n33B B ππ=+ ………………………………………………10分12=+=. …………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5分(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自排球队,记为,,a b c ,2人来自篮球队,记为,A B ,则从5人中抽取3名同学的基本事件为:abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 8 93 2 9 1 0 8 8 3 2 8ABCD PE FQ 63105=.…………………………………………12分 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分在图1中,易得EF ==在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .…………………6分(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE .证明如下:因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP …………………………………………………………8分又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .…………………………………………10分(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ………………………………11分设点A 到平面PBE 的距离为h,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, ……………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=, 所以ABE PBE S PF h S ∆∆⋅===, 即点A 到平面PBE 的距离为.………………………14分 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>), 依题意,19242b -==,所以2b =…………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C的方程为22154x y +=. ……………………………………5分 (Ⅱ)设(),Q x y (其中22154x y +=),………………………………………………………………………6分圆P的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以Q M ==4t =+……………………9分当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值,且maxQM==,解得3182t =<(舍去). …………………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值,且maxQM==,解得218t =,又102t <<,所以t =………………………………13分综上,当t =时,QM的最大值为.………………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.………………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==.………………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①.………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②.…………………………………4分于是当2n ≥时，n a =…③.…………………………………………………………………5分将②、③代入①式，可得=+，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n =-=+，于是()241n b n =+.…………………………………………………6分则()41n a n n ===+.……………………………………………………………7分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………10分（Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………………………14分方法二:()()()()1111111111414122242n n n c a a n n n n n n n n +⎛⎫=+=+==- ⎪+++++⎝⎭.……………………12分于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =. 因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=,所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.……3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x+-'=+-=，令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），………………………………5分且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x 的极小值点为x =.……6分 ⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩.① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =2x a =-(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <<，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =.……………………………………………………14分。

2014年佛山市高中阶段学校招生考试数学试卷(完整版：杜绝电子或扫描版,题目有配图,答案很详细。)

2014年佛山市高中阶段学校招生考试数学试卷说明：本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟。

注意事项：1. 试卷的选择题和非选择题都在答题卡上作答，不能答在试卷上2. 要作图（含辅助线）或画表，先用铅笔进行画线、绘图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑3. 其余注意事项，见答题卡。

第I 卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出四个选项中只有一项是符合题目要求的，答案选项涂在答题卡上） 1． |﹣2|等于A.2B.﹣2C.21 D. 21- 2．一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是A.三棱柱B.三棱锥C.四棱柱D. 四棱锥 3．下列调查中，适合用普查方式的是A. 调查佛山市民的吸烟情况B. 调查佛山市电视台某节目的收视率 C ．调查佛山市市民家庭日常生活支出情况D ．调查佛山市某学校某班学生对“文明佛山”的知晓率 4．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为A ．1∶4 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 4∶1 5、若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是A ．15° B. 30° C. 45° D. 75° 6、下列函数中，当x >0时，y 值随x 值的增大而减小的是A ．x y = B. 12-=x y C. xy 1= D. 2x y =7、某佛山日报2014年4月4日报道，佛山市今年拟投入70亿人民币建设人民满意政府，其中民生项目资金占99%，用科学计数法表示民生项目资金是A ．81070⨯元 B. 9107⨯元 C. 8103.69⨯元 D. 91093.6⨯元 8、多项式ab b a b a --222的项数及次数分别是A. 3，3B. 3，2C. 2，3D. 2， 2 9、下列说法正确的是A. 10=aB. 夹在两条平行线间的线段相等C. 勾股定理是222c b a =+D. 若21--x x 有意义，则1≥x 且2≠x 10. 把24个边长为1的小正方体木块拼成一个长方体（要全部用完），则不同的拼法（不考虑放置的位置，形状和大小一样的拼法即为相同的拼法）的种数是A. 5B. 6C. 7D.8第II 卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

2014佛山一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

佛山市普通高中2014届高三教学质量检测（一）数学理试题一、选择题：1．已知函数lg y x =的定义域为A ，{}01B x x =≤≤，则AB =（）A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．设i 为虚数单位，若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数，则实数m =（）A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ，最大值为A ，则（）A ．T π=，A = B . T π=，2A = C ．2T π=，A = D ．2T π=，2A = 4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形，则该几何体的体积为（） A ．3π B ．23π C ．π D ．2π 5．给定命题p ：若20x ≥，则0x ≥；命题q ：已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件. 则下列各命题中，假命题的是（）A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是（）A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2- 7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22，则输出的s 的值为（） A ．232 B ．211 C ．210 D ．1918．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值a b，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时，数表的所有可能的“特征值”最大值为（） A ．3 B ．43C ．2D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分． (一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19，则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则k 的值为_____.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程)在极坐标系中，设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ，则AB = .15．(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知 3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且2a =，B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.17．(本题满分12分)佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高(单位：cm )分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高(单位：cm )分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)； (Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 排球队篮球队图4A..A C DB EF图5 图6 A BC D P EF18．(本题满分14分)如图5，矩形ABCD 中，12AB =，6AD =，E 、F 分别为CD 、AB 边上的点，且3DE =，4BF =，将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示)，连结AP 、EF 、PF ，其中PF =(Ⅰ)求证：PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19．(本题满分14分)如图7所示，已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >)，且经过1F 、2F ，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过Q 作圆P 的切线，切点为M，当QM 时，求t 的值.图720．(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，1,2,3,n =. （Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----.21．(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.解法二图ABCD PEFH2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：CABD DCBD二、填空题：9．180 10．,43⎛⎫-⎪⎝⎭11．8 12．24 13．3 14． 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．【解析】(Ⅰ)B C =，∴c b =，……2分,又a =，∴22223cos 2ba c bB ac +-===……5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==……7分，所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin 33B B ππ=+……10分12424=+⨯38=. …………………………………………………………12分 17．【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 (Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, 所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………6分203)0(15141311===C C C C X P ,()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,……………………………10分，所以X 的分布列为所以X 的数学期望202022012030=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分 18．(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==，在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==，所以PF BF ⊥…………2分，在图1中易得EF ==PEF ∆中，222612081EF PF PE +=+==，所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ………………6分(Ⅱ)方法一：以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P , 排球队篮球队1817 161510 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP =,(FP =,()6,5,0EF =, …………8分设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x yz ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,…………12分，设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===n n.所以直线AP 与平面PEF . ………14分方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ，由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥，又EFPF F =，EF ⊂平面PEF ，PF ⊂平面PEF ，所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. …………9分，在Rt APF∆中，AP =分，在AEF ∆中，由等面积公式得AF ADAH EF ⋅==…………13分，在RtAPH ∆中,sin AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF . ………………………………………………14分 19．【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>),依题意,19242b -==,所以2b = …………2分又1c =,所以2225a b c =+=,所以椭圆C 的方程为22154x y +=. …………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ………………6分，圆P 的方程为()2221x y t t +-=+………7分因为PM QM⊥，所以QM===分当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM取得最大值，且max2QM ==,解得3182t =<(舍去). ………11分，当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值，且max2QM ==,解得218t =,又102t <<,所以t =……13分，综上,当t =,QM . ……………14分 20．【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.……1分，由2212a b b =，可得222136a b b ==. ……2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因数列{}na 、{}nb 的每一项都是正数，所以1n a +=②......................4分，于是当2n ≥时，n a ③. (5)分将②、③代入①式，可得是首项为4，公差为2的等差数列，()122n d n -=+，于是()241n b n =+.………6分，由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n ==+.………7分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .…………………………9分方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>,所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分当1n =时，1277<.……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭. 当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭.…12分，当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=.…13分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<.………12分当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=.……13分综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 21．【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.…………………1分 (Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=，所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. …3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=，令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x 分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a ⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a =-(舍去).a -，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=，令()0f x '=，得24210x a x ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………9分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x 和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x的极小值点为x =………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.由()0f x >，可得ln 2xx a x+>…（*）（ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx<，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠；（ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x >-+恒成立.令()ln 2x g x x x =--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x xg x x --+'=<，因此()ln 2x g x x x =--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值，所以ln 2xa x x<--不可能恒成立. 令()ln 2xh x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数，所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.…………………………………………………………14分。

广东佛山南海普通高中2014届高三上学期8月质量检测理科数学试卷(解析版)

广东佛山南海普通高中2014届高三上学期8月质量检测理科数学试卷（解析版）一、选择题1）（A（B（C（D）【答案】B【解析】考点：交集运算.2）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】考点：纯虚数的概念与计算.3）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】考点：等差数列的概念与运算.4．用反证法证明命题：有有理实数根，）（A（B（C（D【答案】D【解析】试题分析：“至少有一个”的否定为“一个都没有”.考点：反证法，命题的否定.5）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】b a b=考点：向量运算，充分必要条件判断.6）（A）0 （B） 2 （C） 4 （D） 6【答案】B【解析】，2，∴项数为2.考点：二项式定理的运算.7．）（A） 4 （B）8 （C）16 （D）32【答案】D【解析】0），4,0），∴抛物线方程为，=（），设，，解得，与32.考点：抛物线的概念与运算.8．给出下列命题：个实数根，其中正确命题的个数为（）（A）（B）（C）（D【答案】C【解析】函数，错误；②如图的图像向右平移一个单位，得图像，对称中心为（1,0），正确；④或或或.考点：幂函数，对数函数，指数函数的图像与性质.二、填空题9【解析】考点：同角三角函数的关系.10【解析】考点：直线与圆的位置关系.11．一个几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为．4【答案】75+10【解析】试题分析：如图该几何体为四棱柱，上下底面为梯形，其表面积为考点：三视图的概念和运算.121的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，【解析】试题分析：表示事件“豆子落在内”，考点：几何概型，条件概率.13．【解析】试题分析：设公比14【答案】8 【解析】，连接，，，考点：圆周角定理，相似三角形.15是．【解析】1,1），考点：直线和圆的极坐标方程，两点间的距离公式.三、解答题16【答案】（Ⅰ）π；【解析】试题分析：（1）（2）.1分2分3分4分5分7分8分10分12分考点：二倍角公式，降次公式，三角函数的图像和性质.17．为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数。

2014年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学参考答案与评分标准(细则)

2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．11．18012．(,1]-∞ 13．3-14．15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又2a =，所以222cos 2a c b B ac +-=， …………………3分 23b=……4分,=……………………5分解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分 ∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分又2sin cos B B B =………………………………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos B =……………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==7分（注：直接得到sin B =不扣分）所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………8分 sin cos cossin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12=…………………………………………………………11分 =. …………………………………………………………12分 17.(本题满分12分)【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. …………………………………………………5分（注：写对茎叶图3分，方差结论正确2分）(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自ACD PEFQ排球队,记为,,a b c , ……………………………6分2人来自篮球队,记为,A B ,……………………………7分则从5人中抽取3名同学的基本事件为: abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有: abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63105P ==.………………………………………12分 18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分在图1中,易得EF ==……3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .…………………6分（注：学生不写BF EF F = 扣1分）(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE . ………………………………………………7分（注：只讲存在Q 满足条件1分）证明如下: 因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP ……………………………8分又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .…………………………………………10分（注：学生不写FQ ⊄平面PBE ,扣1分）(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ………………………………11分设点A 到平面PBE 的距离为h ,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, ……………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=, 所以36273ABE PBE S PF h S ∆∆⋅⨯===,即点A 到平面PBE 的距离为3.………………………14分（注：指出A PBE P ABE V V --=给1分，若能最终得到结果3给4分） 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ………1分,所以2b = ……………………2分又1c =, …………3分,所以2225a b c =+=, ……………………………4分排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8所以椭圆C 的方程为22154x y +=. ………………………………………………………………………5分(Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==…………………8分=……………………………9分当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且max2QM==,解得3182t =<(舍去). ………………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, …………………………………………12分且maxQM==解得218t =,又102t <<,所以t =………………………………13分综上,当t =,QM . ……………………………………………………………14分 20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=. 由2212a b b =，可得222136a b b ==.………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ………………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②. …………………………………4分于是当2n ≥时，n a .将②、③代入①式，可得6分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列， (7)分()122n d n -=+，于是()241n b n =+.则()41n a n n ==+9分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.…………………………10分（Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.……………………12分于是1231111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………………………14分 21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, …………………………………………………………………2分所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.………………………………………………………3分（注：有求导思想，虽然运算不对，给1分）（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=，令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），………………………………5分且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =.……6分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ………………………………7分当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a <-(舍去). 8分a ≤-，即2a ≤-，则()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分① 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， ……………………………………10分若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ………………12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当22a -≤≤时,()f x 的极小值点为x a =-；当2a >,()f x的极小值点为4a x -=.14分注：第二问：3大类，每类全正确给3分；（1）若步骤清晰（即求导，解方程，比较两根大小，明确单调区间，得到极值），但计算不全对，给2分；（2）有这个思路，但步骤不清晰，给1分；。

广东佛山南海普通高中2014届高三上学期8月质量检测文科数学试卷(解析版)

广东佛山南海普通高中2014届高三上学期8月质量检测文科数学试卷（解析版）一、选择题1）A【答案】D【解析】（2，4）考点：集合中的交集运算.2）A B C D【答案】B【解析】-1.考点：复数的概念和运算.3）A D【答案】C【解析】考点：向量平行的坐标运算.4）A B【答案】D【解析】∴，，试题分析：∵，，考点：同角三角函数的关系，两角差的正切公式.5图象可以为（）【答案】A【解析】A.考点：求导公式，函数的奇偶性和函数零点.6．一个正四棱锥的正(主)视图如右图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）AC【答案】B 【解析】考点：三视图，棱锥侧面积与体积公式.7．用反证法证明命题：有有理实数根，）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：试题分析：“至少有一个”的否定为“一个都没有”数.考点：反证法，命题的否定.8．下列说法中正确的有（）（1；（2）（3（4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】试题分析：（1）正确；（2）正确；（3错误；（4）正确.考点：四个命题，充分必要条件.9．已知为等差数列，则类比上述结论，，A【答案】C【解析】试题分析：考点：等差数列，等比数列的性质.10的距离，记为.已知集合）A【答案】D【解析】考点：线性规划，数形结合.二、填空题11．某公司有职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，则高级管理人员应抽取人.【答案】2.【解析】.考点：分层抽样.12．执行如图所示的程序框图, .【答案】94【解析】第四次，，，结束，输出考点：程序框图，裂项相消法求和. 13___________．【解析】考点：圆切线的性质.14【解析】考点：圆的参数方程和极坐标方程.三、解答题15（1（2.【答案】（12【解析】试题分析：对函数式进行化简，应用二倍角公式以及两角和与差公式化（1（2.试题解析：1分分分分分（1分（2分分分考点：二倍角公式，降次公式，两角和与差公式，周期公式，对称中心求法.16．某校高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：（1（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份样品中，求至多有一之间的概率．【答案】【解析】试题分析：(1)（2）列举出从甲班的5份试卷中任取2份的结果107试题解析：（1）依题意得2分解得4分（2）从甲班的5份试卷中任取2份的所有结果有：（88,89），（88,90），（88,91），（88,92），（89,90），（89,91），（89,92），（90,91），（90,92），（91,92） 6分共10种7分（88,91），（88,92），（89,91），（89,92），（90,91），（90,92），（91,92）9分共7种10分所以在抽取的样品中，至多有一份得分在0之间的概率11分答：在抽取的样品中，分考点：等可能事件，茎叶图.172（1（2.【答案】(1)略【解析】试题分析：试题分析：（1出结论；（2）应用等体积法，先求再根，以及.试题解析：（1）在正方形D 中，有E ，1分分A F A '=分⊥平面A EF '分⊂平面A EF '分（2）∵正方形ABCD 2分 BEF=分 DEF=分分A EF'=分由（1）得 A EFS A '分DEFh 分分分考点：线面垂直的判定及性质，等体积法求点到平面的距离.18（1（2【答案】略. 【解析】试题分析：（1（2.试题解析：（1）分分，即分分分分（2分分分12分分分.19．如图，在平面直角坐标，已直线（1（2?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.【答案】【解析】试题分析：(1)(2)①解法一：根据题意写坐标，线中垂线的交点就是圆心，将圆心坐标代入解；②根据①，写出圆系方联立方程. 试题解析：(1)分2分分 (Ⅱ)分分分分分经验证, 10分②由①可得圆C分分,分解法二分分分分分经验证, 10分②由①可得圆C分分,分考点：椭圆的定义及基本性质，三角形外接圆.20.（1（2）在.【答案】（1【解析】试题分析：(1)求出切线方程，与抛物线方程联立，可求解；(2)1，对曲线C求导，令导函数为1，得到方程.试题解析：（1），1分分分（2单调递减单调递增6分7分8分分， 11分故方程， 13分分考点：求导，函数单调性，函数最值，函数零点.。

佛山市2014年高三教学质量检测(一)文科数学试题

图12014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置处． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考公式：① 柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．② 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数ln y x =的定义域A ,{}01B x x =≤≤,则A B =A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．已知,a b R ∈，i 为虚数单位,若211ia bi i-+=+,则实数a b += A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 3．设函数2sin 21y x =-的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,1A =B . 2T π=,1A =C ．T π=,2A =D ．2T π=,2A = 4．已知1=a ,(0,2)=b ,且1= a b ,则向量a 与b 夹角的大小为A ．6π B ． 4π C ．3π D ．2π5．给定命题p :若x R ∈,则12x x+≥；命题q :若0x ≥，则20x ≥.则下列各命题中,假命题的是A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为A ．3π B ．23π C ．π D ．2π7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其那么方程220x x x +--=的一个最接近的近似根为A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5图28．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为A ．22B ．16C ．15D ．11 9．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为A ．13 B ．12C．3 D．210．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为A ． 32B ．43C ． 2D ． 3二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．(一)必做题(9～13题)11．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 12．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩.若()3f a ≤，则a 的取值范围是 .13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线)1(-=x k y 将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O 到AC 的距离为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.A..A CD B EF图5 图6A C D P E F 排球队篮球队图4 佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP、PF ,其中PF =(Ⅰ) 求证:PF ⊥平面ABED ；(Ⅱ) 在线段PA 上是否存在点Q 使得//FQ 平面PBE ?若存在,求出点Q 的位置；若不存在,请说明理由.(Ⅲ) 求点A 到平面PBE 的距离.图7如图7,椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P的切线,切点为M ,当QM,求t 的值.20.(本题满分14分)数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,,...3,2,1=n . （Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅲ）记1111n n n c a a +=+，证明：对一切正整数n ，有123111138n c c c c ++++< .已知函数()1ln 2f x x x a x =+-.（Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点.2014年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准11．180 12．(,1]-∞13．3- 14．15．2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又2a =，所以222cos 2a c b B ac +-=， ………………………3分23b =……………………………………………………………………4分=……………………………………………………………5分解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分 ∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分又2sin cos B B B =……………………………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos B =…………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==7分（注：直接得到sin B =不扣分）所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………………………8分sincos cossin 33B B ππ=+ ………………………………………………10分12424=+⨯ ……………………………………………………11分 38=. ………………………………………………………12分17.(本题满分12分) 【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ………………………………………………5分（注：写对茎叶图3分，方差结论正确2分）(Ⅱ) 两队所有身高超过178cm 的同学恰有5人,其中3人来自A B CDPEFQ2人来自篮球队,记为,A B ,……………………………7分则从5人中抽取3名同学的基本事件为:abc ,abA ,abB ,acA ,acB ,aAB ,bcA ,bcB ,bAB ,cAB 共10个；……………………………9分其中恰好两人来自排球队一人来自篮球队所含的事件有:abA ,abB ,acA ,acB ,bcA ,bcB 共6个, ………………11分所以,恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是63105P ==.…………………………………12分18.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)连结EF ,由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==, 在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==, 所以PF BF ⊥………………………………2分在图1中,易得EF ==……3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥………………………………………4分又BF EF F = ,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .……………6分（注：学生不写BF EF F = 扣1分）(Ⅱ) 当Q 为PA 的三等分点(靠近P )时,//FQ 平面PBE . ……………………………………7分（注：只讲存在Q 满足条件1分）证明如下:因为23AQ AP =,23AF AB =,所以//FQ BP ………………………………………………………8分又FQ ⊄平面PBE ,PB ⊂平面PBE ,所以//FQ 平面PBE .………………………………………10分（注：学生不写FQ ⊄平面PBE ,扣1分）(Ⅲ) 由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,所以PF 为三棱锥P ABE -的高. ……………………………11分设点A 到平面PBE 的距离为h ,由等体积法得A PBE P ABE V V --=, …………………………………12分即1133PBE ABE S h S PF ∆∆⨯=⨯⋅,又169272PBE S ∆=⨯⨯=,1126362ABE S ∆=⨯⨯=, 所以ABE PBE S PF h S ∆∆⋅===,即点A 到平面PBE 的距离为3.……………………14分（注：指出A PBE P ABE V V --=给1给4分） 19.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, ...........................................................................1分所以2b = ...............................................................2分又1c =, (3)分所以2225a b c =+=, (4)分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. ……………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), …………………………………………………………………6分圆P 的方程为()2221x y t t +-=+, ………………………………………………………………7分排球队篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 9 2 5 8 93 2 9 1 0 8 8 3 2 8因为PM QM ⊥,所以QM ==………………………………………………8分=………………………………………………9分当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, …………………………………………10分且max 2QM ==,解得3182t =<(舍去). ……………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, ………………………………………12分且max 2QM ==,解得218t =,又102t <<,所以4t =.……………………………13分综上,当t =,QM. …………………………………………………………14分20.(本题满分14分)【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=. ……………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. ……………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ……………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=，因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以1n a +=…②. ………………………………4分于是当2n≥时，n a =. ………………………………………………………5分将②、③代入①式，可得6分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列， (7)分()122n d n -=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………8分则()41n a n n ==+. …………………………………………………………9分当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………10分（Ⅲ）方法一:2111114441n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以111111142n n n c a a n n +⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭.…………………12分于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ………………………………………………………………14分方法二:()()()()1111111111414122242n n n c a a n n n n n n n n +⎛⎫=+=+==- ⎪+++++⎝⎭.…………………12分于是12311111111111114324112n c c c c n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 11113142128n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. ……………………………………………………………14分 21.(本题满分14分)【解析】()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, ………………………………………………………………2分所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=.……………………………………………………3分（注：有求导思想，虽然运算不对，给1分）（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=，令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），……………………………5分且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =.…6分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. ………………………………7分① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a -(舍去). …………………………8分a -，即2a ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即0a <，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………9分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， …………………………………10分若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ……………12分综上所述,当2a <-时,()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-； …………………………………………………13分当2a >,()f x的极小值点为x =…………………………………………………14分注：第二问：3大类，每类全正确给3分；（1）若步骤清晰（即求导，解方程，比较两根大小，明确单调区间，得到极值），但计算不全对，给2分；。

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佛山市南海区2014届高三数学（文）8月质量检测试题参考公式：13V Sh =锥（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．已知集合{}|3M x x =<，{}2|680N x x x =-+<，则M N = （）A ．∅B ．{}|03x x <<C ．{}|13x x <<D ．{}|23x x <<2．复数1ii+的虚部是（） A ．i - B ．1- C ．1 D ．i3．已知向量(1,)a m = ，(,2)b m =, 若a //b , 则实数m 等于（）A ．2-B ．2C ．2-或2D ．04．已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-=（）A ．17- B ．7- C ．71 D ．75．设曲线21y x =+在点(),()x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（）A B C D6．一个正四棱锥的正(主)视图如右图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）A ．45，8B ．45，83C ．4(51)+，83D ．8，87．用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 有有理实数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数Oxxx xy yy yOO O 22D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数8．下列说法中正确的有（）（1）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；（2）“2x >”是 “2320x x -+>”的充分不必要条件；（3）若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题；（4）对于命题p ：x R ∃∈，210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知数列{}n a 为等差数列，若m a a =，n a b =（1n m -≥，*,m n N ∈），则m n nb maa n m+-=-。

类比上述结论，对于等比数列{}n b （*0,n b n N >∈），若m b c =，n b d =（2n m -≥，*,m n N ∈），则可以得到m n b +=( )A．m n mn d c - B ．m m n n d c - C ．n n m m d c - D ．nm n md c -10．设集合M 和N 为平面中的两个点集，若存在点0A M ∈、0B N ∈，使得对任意的点A M ∈、B N ∈，均有00||||AB A B ≥，则称00||A B 为点集M 和N 的距离，记为(,)d M N = 00||A B .已知集合22{(,)|(2)1},M x y x y =+-≤{(,)N x y =1|4}1x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则(,)d M N = （）A ．322B ．3212- C ．5 D ．51-二、填空题（本题分必做题与选做题，每小题5分，共20分）（一）必做题（11-13题）11．某公司有职员150人，中级管理人员40人，高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，则高级管理人员应抽取人.12．执行如图所示的程序框图,若输入8,n S ==则输出的 .ABCOD13．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是 .（二）选做题（14～15题，考生只要从中任选一题完成即可） 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线，且3OC =，4AB =，延长AO 到D 点，则△ABD 的面积是___________． 15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程是sin 2cos y x θθ=-⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为________________.三、解答题（本题共6小题，共80分，要求写出必要的演算、推理、证明过程）16．（本题满分12分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的对称中心．17．（本题满分12分）某校高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：（1）求a ；（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份试卷中，求至多有一份得分在[]80,90之间的概率．18．（本题满分14分）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点A '，连接EF ，A B '．（1）求证：A D EF '⊥；（2）求点A '到平面BEDF 的距离．甲乙 9 8 8 4 8 9 2 1 09a 619．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<．20．(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(Ⅰ)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点Q 作直线1QR AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .① 求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；② 圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.21．（本题满分14分）已知函数(),()ln xxf x e axg x e x =+=（e 是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值；第20题PARO F 1Qxy F 2（2）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.2014届南海区高三数学（文）8月质量检测试题参考答案及评比细则一．选择题（每小题5分，共50分）12345678910D BCD A B BC CD二．填空题（每小题5分，共20分）11．2 12．49 13．512- 14．48515．24sin 30ρρθ++= 或22(cos )(sin 2)1ρθρθ++=三．解答题（本题共80分）16．（本题满分12分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+。

（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的对称中心。

【解析】2()2sin (sin cos )2sin 2sin cos f x x x x x x x =+=+ …………1分1cos2sin 2x x =-+ …………2分222(sin 2cos 2)122x x =-+ …………3分2(sin 2coscos 2sin )144x x ππ=-+ …………4分2sin(2)14x π=-+ …………5分（1）()f x 的最小正周期22T ππ== …………7分（2）令2()4x k k Zππ-=∈ …………8分解得()82k x k Z ππ=+∈ …………10分 ∴()f x 的对称中心为(82k ππ+，1)()k Z ∈ …………12分17．（本题满分12分）某校高三有甲、乙两个班，在某次数学测试中，每班各抽取5份试卷，所抽取的平均得分相等（测试满分为100分），成绩统计用茎叶图表示如下：（1）求a ；（2）学校从甲班的5份试卷中任取两份作进一步分析，在抽取的两份样品中，求至多有一份得分在[]80,90 之间的概率．17．解：（1）依题意得596)90(89888459291908988+++++=++++a …………2分解得3=a …………4分（2）从甲班的5份试卷中任取2份的所有结果有：（88,89），（88,90），（88,91），（88,92），（89,90），（89,91），（89,92），（90,91），（90,92），（91,92） …………6分共10种 …………7分其中至多有一份得分在[]80,90之间的所有结果有：（88,91），（88,92），（89,91），（89,92），（90,91），（90,92），（91,92） …………9分共7种 …………10分所以在抽取的样品中，至多有一份得分在[]80,90之间的概率甲乙 9 8 8 4 8 9 2 1 09a 6107=P …………11分答：在抽取的样品中，至多有一份得分在[]80,90之间的概率107=P …………12分18．（本题满分14分）如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点A '，连接EF ，A B '。

（1）求证：A D EF '⊥；（2）求点A '到平面BEDF 的距离。

【解析】（1）在正方形ABCD 中，有AD AE ⊥，CD CF ⊥ …………1分则A D A E''⊥，A D A F ''⊥ …………2分又A E A F A '''= …………3分∴A D '⊥平面A '…………4分而EF ⊂平面A '，∴A D EF '⊥ …………5分（2）∵正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点∴211=2=222ABCD BEDF S S =⨯正方形四边形 …………6分 ∵111122BEF S =⨯⨯= …………7分∴13222DEF S =-= …………8分在Rt △BEF 中，1BE BF ==，∴2EF =而1A E A F ''==，∴222A E A F EF ''+= …………9分∴111122A EF S '=⨯⨯= …………10分由（1）得A D '⊥平面A EF '，且2A D '=，∴111123323D A EF A EF V S A D ''-'==⨯⨯= …………11分设点A '到平面BEDF 的距离为h ，则11313323A D E F D E F V S h h '-==⋅⋅=…………12分∴23h =…………13分 ∴点A '到平面B E的距离为23…………14分 19．（本题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<. 19．解：（1）∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =- …………1分当1n =时，1121a S a ==-，∴11a = …………2分当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -= ，即12nn a a -= …………3分∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=，21n n S =- …………5分设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = …………7分∴1(1)221n b n n =+-⨯=- …………8分（2）111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+ …………9分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++ …………10分 ∵*n N ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ …………11分()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列 …………12分∴113n T T ≥=. …………13分综上所述，1132n T ≤< …………14分 20．(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .PAQ y（1）当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程；（2）过点Q 作直线1QR AF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .①求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；②圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.20．解:(1)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,当3t =时,PQ 的中点为(0,3)，则3b = …………1分而2216a b -=,所以225a =， …………2分故椭圆的标准方程为221259x y += …………3分 (Ⅱ)①解法一:易得直线1:28AF y x =+，直线2:28AF y x =-+可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1Q R A F ,得(4,0)R t - …………5分则线段1F R 的中垂线方程为2tx =-, …………6分线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+, …………7分由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, …………8分解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t-- …………9分经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 …………10分②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-= …………11分该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=,则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4x y =-⎧⎨=⎩, …………13分所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)1313…………14分解法二: 易得直线1:28A F y x =+，直线2:28AF y x =-+ …………5分所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, …………6分再由1Q R A F,得(4,0)R t - …………7分设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=, 则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩, …………8分解得圆心坐标为7(,2)28t t--, …………9分经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上 …………10分②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-= …………11分该方程可整理为227(216)(4)04x y y t x y ++-+-+=, 则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩,解得4133213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或4x y =-⎧⎨=⎩, …………13分所以圆C 恒过异于点1F 的一个定点,该点坐标为432(,)1313…………14分21．（本题满分14分）已知函数(),()ln xxf x e axg x e x =+=（e 是自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也是抛物线24(1)y x =-的切线，求a 的值；（2）当1a =-时，是否存在0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与()f x 在R 上的最小值相等？若存在，求符合条件的0x 的个数；若不存在，请说明理由.21．解：（1）11'()||xx x f x e a e a ===+=+， …………1分所以在1x =处的切线为()()(1)y e a e a x -+=+- 即：()y e a x =+ …………2分与24(1)y x =-联立，消去y 得22()440e a x x +-+=，由∆=知，1a e=-或1a e =--. …………4分（2）当1a =-时，令'()10xf x e =-= 得0x =x(,0)-∞0 (0,)+∞'()f x -+()f x单调递减极小值1单调递增则min ()1f x =…………6分设()()()ln xxh x g x f x e x e x =-=-+，则1'()ln 1(ln 1)1x xx x e h x e x e e x x x=+-+=+-+， …………7分假设存在实数0(0,)x ∈+∞，使曲线:()()C y g x f x =-在点0x x =处的切线斜率与 ()f x 在R 上的最小值相等，即0x 为方程的解， …………8分令'()1h x =得：1(ln 1)0xe x x +-=，因为0x e >，所以1ln 10x x+-=. …………10分令1()ln 1x x x ϕ=+-，则22111'()x x x x xϕ-=-= ， …………11分当01x <<是'()0x ϕ<，当1x >时'()0x ϕ>，所以1()ln 1x x xϕ=+-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0x ϕϕ∴>=,故方程 1(ln 1)0x e x x+-=有唯一解为1 ， …………13分所以存在符合条件的x ，且仅有一个01x =. …………14分。