高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.1
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高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 —矩阵1. 化下列矩阵成标准形1） 2）3） 4）5）6）解 1）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
2）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
3）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ，从而A= B，B即为所求。
4）因为的行列式因子为1=1, 2 =, 3 = , 4 = ，所以1 = 1,2 = = ,3 = = ,4 = = ，从而A= B，B即为所求。
5）对矩阵作初等变换,有A= B，B即为所求。
6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1, 4 =, 5 = ，所以1 =2 =3 =1,4 = =,5 = =。
故所求标准形为B= 。
2.求下列矩阵的不变因子:1） 2）3） 4）5）解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 = ，故该矩阵的不变因子为1 =2 =1,3 =。
2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3 =2 =1=1,4 =，故矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 =。
3）当时,有4 = = ，且在矩阵中有一个三阶子式= ，于是由,3 = 1，可得3 = 1，故该矩阵的不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
当时,由1=1, 2 =1, 3 = , 4 = ，从而1 =2 =1,3 = ,4 = = 。
4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1, 2 =1, 3 =1, 4 = ，从而所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3 =1,4 = ，故所求不变因子为1 =2 =3 =1,4 = 。
3.证明:的不变因子是，其中= 。
证因为n = ，按最后一列展开此行列式，得n == ，= ，因为矩阵左下角的阶子式= ,所以= 1,从而1=2 = … = = 1，故所给矩阵的不变因子为1 =2 = … = = 1，= = ，即证。
高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数课件(北大版)第八章 λ-矩阵§8.5
等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1 的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 , , r 作同样处理. 最后便得到与 D ( ) 等价的对角阵 D ( ).
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f 1 ( ), f 2 ( ) 都与 g 1 ( ), g 2 ( ) 互素，则
f 1 ( ) g 1 ( ),
2
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1) ( 2),
2
d 2 ( x ) d 1 ( x ) 1.
2012-9-22§8.5 初等因子
数学与计算科学学院
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
d 1 ( x ) ( 1 ) d 2 ( x ) ( 1 )
k 11
( 2 )
k 12
( r )
k1 r
, , .
k 21
( 2 )
k 22
( r )
k2 r
d n ( x ) ( 1 )
kn1
( 2 )
f ( ) | f 2 ( ) g 2 ( ),
高等代数课件 第八章
由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
第八章 二次型
f = ax2 + 2bxy + cy2
（1）
为了便于研究这个二次曲线的几何性质（例如判断是什么曲线）, 我们可以对它进行适 当的坐标变换
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
x′ cosθ x′ sin θ
− +
y′ sin θ y′ cos θ
,
（2）
将 f 化成标准方程.
(1)式的右端是一个二次齐次多项式. 从代数的观点看, 所谓化标准方程就是用变量的 线性替换(2)化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项.
一、配方法
配方法就是利用平方公式
(x1 + x2 +L + xn )2 = x12 + x22 +L + xn2 + 2x1x2 + 2x1x3 +L + 2x1xn + 2x2 x3 +L + +2x2 xn +L + 2xn−1xn
对已知二次型进行配方. 配方法主要有以下两种情形:
(1) 如果二次型中, 某个变量平方项的系数不为零, 如有 a11 ≠ 0 , 先将含 x1 的所有因
子都配成平方项, 然后再对其它含平方项的变量配方, 直到全配成平方和的形式.
(2) 如果二次型中没有平方项, 而有某个 aij ≠ 0(i ≠ j) , 则可作线性替换
⎧xi = yi + y j
⎪ ⎨
x
j
பைடு நூலகம்
=
yi
−
yj
⎪ ⎩
xk
=
yk ,
k ≠ i, j
化成含有平方项的二次型, 然后再配方.
例 1 将二次型
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等数学(高教版)第八章λ 矩阵第五节
所以
证毕
下面的定理给了我们一个求初等因子的方法，
它不必事先知道不变因子.
定理 9 首先用初等变换化特征矩阵 E - A
为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不
相同的一次因式方幂的乘积，
则所有这些一次因
式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 A 的全
部初等因子.
证明 设 E - A 已用初等变换化为对角形
如果多项式 f1()， f2() 都与 g1()， g2() 互
素，则
(f1()g1() , f2()g2())=(f1() , f2())(g1() , g2()).
事实上，令
( f1()g1() , f2()g2()) = d() , ( f1() , f2()) = d1() , ( g1() , g2()) = d2() .
因式的方幂
( j )k1 j , ( j )k2 j ,, ( j )knj
( j 1,2,, r)
在 D() 的主对角线上按递升幂次排列后，得到的
新对角矩阵 D () 与 D() 等价.
此时 D () 就是
E - A 的标准形而且所有不为 1 的
因子，因而它们相似.
反之，如果两个矩阵相似，
则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初
等因子.
综上所述，即得：
定理 8 两个同级复数矩阵相似的充分必要条
是它们有相同的初等因子.
三、初等因子的求法
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量. 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而 方便一些.
在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说明 关于多项式的最大公因式的一个性质：
(
j )kij
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
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A( )
1 d
A ( )
1 d
1
A ( ) A( ) E
A( )
可逆.
A
( )
1 d
A ( ).
2012-9-22§8.1 λ─矩阵
数学与计算科学学院
数学与计算科学学院
② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 n n 的 ―矩阵，同样有行列式 它是一个 的多项式，且有
| A ( ) B ( ) | | A ( ) || B ( ) | . | A ( ) |,
这里E是n级单位矩阵. 称 B ( ) 为 A ( ) 的逆矩阵(它是唯一的)，记作
A
1
( ).
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2012-9-22§8.1 λ─矩阵
判定：
（定理1） 一个 n n 的 ―矩阵
A( )
A ( )可逆
是一个非零常数. 若 A ( ) 可逆，则有 B ( ) ，使
第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 小结与习题
2012-9-22 数学与计算科学学院
§8.1 λ─矩阵
一、λ－矩阵的概念 二、λ－矩阵的秩 三、可逆λ－矩阵
2012-9-22§8.1 λ─矩阵
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一、λ－矩阵的概念
定义：
设P是一个数域， 是一个文字， P [ ] 是多项式环， 若矩阵A的元素是 的多项式，即 称A为 ―矩阵，并把A写成
P [ ]
的元素，则
A ( ).
注：
①
P P [ ],
∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也
是 ―矩阵.
2012-9-22§8.1 λ─矩阵
1
级的子式（若有的话）皆为零，则称
的秩为r .
零矩阵的秩规定为0.
2012-9-22§8.1 λ─矩阵
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三、可逆λ－矩阵
定义：
一个n n 的 ―矩阵 一个 n n 的 ―矩阵
A ( ) 称为可逆的，如果有一 B ( ) ，使
A( )B ( ) B ( ) A( ) E
A( )B ( ) E
证: “
”
两边取行列式，得
A( )B ( ) A( ) B ( ) E 1 A( ) , B ( )
都是零次多项式，即为非零常数.
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2012-9-22§8.1 λ─矩阵
“ ” 设
A( ) d
是一个非零常数.
A ( ) 为 A ( )的伴随矩阵，则
这里 A ( ), B ( ) 为同级 ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念.
―矩阵的各级子式是 的多项式.
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二、λ－矩阵的秩
定义：
若 ―矩阵 而所有 r
A( ) A( )
中有一个
r ( r 1 ) 级子式不为零，