新课标高考数学(文)一轮复习讲义(带详细解析)第三编 三角函数

§3.1 任意角及任意角的三角函数 一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2009·江苏常州一模)已知角α是第三象限角，则角－α的终边在第________象限． 解析 ∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k ∈Z ，则－k ·360°－270°< －α<－k ·360°－180°，k ∈Z ，则－α的终边在第二象限． 答案 二 2．(2010·连云港模拟)与610°角终边相同的角表示为______________． 解析 与610°角终边相同的角为n ·360°＋610°＝n ·360°＋360°＋250°＝(n ＋1)·360°＋250°＝k ·360°＋250° (k ∈Z ，n ∈Z )． 答案 k ·360°＋250°(k ∈Z )3．(2010·浙江潮州月考)已知⎝⎛⎭⎫12sin 2θ<1，则θ所在象限为第________象限．解析 ∵⎝⎛⎭⎫12sin 2θ<1＝⎝⎛⎭⎫120，∴sin 2θ>0， ∴2k π<2θ<π＋2k π (k ∈Z )，∴k π<θ<π2＋k π (k ∈Z )．∴θ表示第一或第三象限的角． 答案 一或三4．(2010·南通模拟)已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)(π2<α<3π2)，则sin θ＋cos θ＝________.解析 ∵r ＝(－4cos α)2＋(3cos α)2 ＝5|cos α|＝－5cos α，∴sin θ＝3cos α－5cos α＝－35，cos θ＝－4cos α－5cos α＝45.∴sin θ＋cos θ＝45－35＝15.答案 155．(2010·福州调研)已知θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值， 以下四个答案中，可能正确的是________(填序号)．①－3 ②3或13 ③－13 ④－3或－13解析 在单位圆中，由三角函数线可知a <1，∴θ不在第一象限，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 又∵a >0，∴sin θ＋cos θ>0，∴θ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，∴tan θ∈(－1,0)． 答案 ③ 6．(2009·江西九江模拟)若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.第三编 三角函数解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10. 解得m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3，又sin α<0，∴α的终边在第三象限， ∴n <0，∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 答案 27．(2010·山东济南月考)已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.解析 ∵角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上， 在角α的终边上取一点P (x 0，－3x 0)(x 0<0)， ∴－3x 0>0，∴P 在第二象限， ∴|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 答案 2 8．(2010·南京模拟)某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋 转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．将A 、B 两点间的距离d (cm)表示 成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]．解析 将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)的形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，故d ＝10sin πt60.答案 10sin πt609．(2010·泰州模拟)若0<x <π2，则sin x ______4π2x 2(用“>”，“<”或“＝”填空)．解析 利用数形结合，作出22π4x y =在 )2π,0(k 的图象，同时作出 )2π,0(∈x 内的正弦线，由图象易得答案．答案 >二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·镇江模拟)已知角θ的终边上一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值．解 ∵r ＝m 2＋3，∴m m 2＋3＝24m ， 若m ＝0，则cos θ＝－1，tan θ＝0. 若m ≠0，则m ＝±5.当m ＝5时，cos θ＝－38＝－64，tan θ＝－153，当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153， 综上可知，当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153；当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153.11．(16分)(2010·江苏南京模拟)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.解 (1) 作直线23=y 交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则 OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的 集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .(2)作直线21-=x 交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角 α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .12．(16分)(2010·佳木斯模拟)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ≠0)，角β终边上 的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 解 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－2a5a 2，cos α＝a a 2＋(－2a )2＝a5a 2，tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝a5a 2，cos β＝2a (2a )2＋a 2＝2a5a 2，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－2a 5a 2·a 5a 2＋a 5a 2·2a 5a 2＋(－2)×12＝－1.§3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·南通模拟)cos(－174π)－sin(－174π)的值为___________________________．解析 cos(－17π4)－sin(－17π4)＝cos 174π＋sin 17π4＝cos(4π＋π4)＋sin(4π＋π4)＝cos π4＋sin π4＝22＋22＝ 2. 答案 22．(2010·江苏镇江一模)设tan(5π＋α)＝m ，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)的值为__________．解析 sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)＝sin(－4π＋π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝sin(π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1. 又tan(5π＋α)＝m ，∴tan(π＋α)＝m ，tan α＝m ，∴原式＝m ＋1m －1.答案 m ＋1m －13．(2009·辽宁沈阳四校联考)已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α＝________.解析 由已知得：sin α＋cos α＝2(sin α－cos α)，平方得：1＋2sin αcos α＝4－8sin αcos α，∴sin αcos α＝310.答案 3104．(2008·浙江理，8)若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝__________.解析 由已知得5sin(α＋φ)＝－5(其中tan φ＝12)，即有sin(α＋φ)＝－1，所以α＋φ＝2k π－π2，α＝2k π－π2－φ(k ∈Z )，所以tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫－π2－φ＝1tan φ＝2. 答案 2 5．(2008·四川理，5)设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是____________． 解析 由sin α>3cos α且0≤α<2π，当cos α>0时，tan α>3，∴π3<α<π2；当cos α<0时，tan α<3，∴π2<α<4π3；当cos α＝0时，sin α＝1满足条件，此时α＝π2.答案 ⎝⎛⎭⎫π3，4π36．(2010·吉林长春调研)若sin α＋cos α＝tan α ⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则α的取值范围是__________． 解析 由sin α＋cos α＝tan α，0<α<π2，∴tan 2α＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α，∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴0<sin2α≤1，∴1<tan 2α≤2，∵0<α<π2，∴tan α>0，∴1<tan α≤2，而2<3，∴π4<α<π3.答案 ⎝⎛⎭⎫π4，π37．(2009·苏州二模)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________. 解析 sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 245°＋…＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋…＋(22)2＋…＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝44＋12＝892.答案 8928．(2010·浙江嘉兴月考)已知f (x )＝ 1－x 1＋x ，若α∈(π2，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)＝________.解析 f (cos α)＋f (－cos α)＝ 1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α| ∵α∈(π2，π)，∴sin α>0，∴f (cos α)＋f (－cos α)＝2sin α.答案 2sin α9．(2009·北京)若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝____________________________________.解析 ∵sin θ＝－45，tan θ>0，∴cos θ<0，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.答案 －35二、解答题(本大题共3小题，共46分) 10．(14分)(2010·泰州模拟)化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α； (2)2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )．解 (1)方法一 原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 方法二 原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝22[12sin(π4－x )＋32·cos(π4－x )]＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )]＝22cos(π6－π4＋x )＝22cos(x －π12)．11．(16分)(2010·盐城模拟)已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α、tan α的值．解 由sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，得 4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0 2cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0 2cos 2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.因为α∈(0，π2)，所以sin α＋1≠0，且cos α≠0，所以2sin α－1＝0，即sin α＝12，所以α＝π6，即tan α＝33.12．(16分)(2009·福建宁德模拟)已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解 ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin α·cos α＝15，∴2sin α·cos α＝45，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0<α<π2，∴sin α＋cos α＝355，与cos α－sin α＝－55联立解得：cos α＝55，sin α＝255.∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝cos α(2sin αcos α－cos α＋1)cos α－sin α＝55×⎝⎛⎭⎫45－55＋1－55＝55－95.§3.3 和差倍角的三角函数一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2010·山东青岛模拟)cos 43°cos 77°＋sin 43°·cos 167°的值为________． 解析 原式＝cos 43°cos 77°＋sin 43°cos(90°＋77°) ＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77°＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－12.答案 －122．(2010·南京模拟)已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 即cos β(sin α－cos α)＋sin β(sin α－cos α)＝0， ∴(sin α－cos α)(cos β＋sin β)＝0， ∵α、β均为锐角，∴cos β＋sin β>0，∴sin α－cos α＝0， ∴tan α＝1. 答案 1 3．(2009·湖北四校联考)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则∠C 的大小为________．解析 两式平方相加可得9＋16＋24sin(A ＋B )＝37，sin(A ＋B )＝sin C ＝12，所以C ＝π6或56π.如果C ＝56π，则0<A <π6，从而cos A >32，3cos A >1与4sin B ＋3cos A ＝1矛盾(因为4sin B >0恒成立)，故C ＝π6.答案 π64．(2009·湖南长沙调研)在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是________．解析 方法一 ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，即cos A cos B －sin A sin B <0， ∴cos A cos B <sin A sin B ，即y <x . 方法二 特殊值法 令A ＝60°，B ＝45°x ＝32×22＝64y ＝12×22＝24 ∴x >y . 答案 y <x5．(2009·广东韶关模拟)已知tan α＝2，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.解析 原式＝2sin αcos α－(cos 2α－sin 2α)(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α＋sin 2αsin 2α＋2cos 2α＝2tan α－1＋tan 2αtan 2α＋2＝2×2－1＋44＋2＝76.答案 766．(2010·无锡模拟)若1＋tan x 1－tan x＝2 010，则1cos 2x ＋tan 2x 的值为________．解析 1cos 2x ＋tan 2x ＝1＋sin 2x cos 2x ＝(sin x ＋cos x )2cos 2x －sin 2x＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝2 010. 答案 2 010 7．(2010·苏州调研)若锐角α、β满足(1＋3tan α)·(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案 π38．(2009·江苏南通二模)已知sin αcos β＝12，则cos αsin β的取值范围是____________．解析 方法一 设x ＝cos αsin β，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12＋x ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝12－x .∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴⎩⎨⎧－1≤12＋x ≤1－1≤12－x ≤1∴⎩⎨⎧－32≤x ≤12－12≤x ≤32∴－12≤x ≤12.方法二 设x ＝cos αsin β，则sin αcos βcos αsin β＝12x .即sin 2αsin 2β＝2x .由|sin 2αsin 2β|≤1，得|2x |≤1，∴－12≤x ≤12.答案 [－12，12]9．(2010·苏、锡、常、镇四市调研)若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝________.解析 tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝25－141＋25×14＝322. 答案 322二、解答题(本大题共3小题，共46分) 10．(14分)(2008·广东)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ) (A >0,0<φ<π) (x ∈R )的最大值是1，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12. (1)求f (x )的解析式；(2)已知α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值． 解 (1)依题意知A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)．将点M ⎝⎛⎭⎫π3，12代入得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝12， 而0<φ<π，∴π3＋φ＝56π.∴φ＝π2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin β＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，∴f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋45×513＝5665. 11．(16分)(2010·宿迁模拟)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－45，求sin α的值．解 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． |a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2 ＝2－2cos(α－β)， ∴1613＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝513. (2)∵0<α<π2，－π2<β<0且sin β＝－45，∴cos β＝35，且0<α－β<π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝1213×35＋513×(－45)＝1665. 12．(16分)(2010·常州模拟)求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.证明 方法一 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin2α2＝cos 2αsin α2cosα2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．方法二 左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2αsin α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边． ∴原式成立．方法三 左边＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α ＝14sin 2α＝右边． ∴原式成立．§3.4 三角函数的图象与性质一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·大连一模)y ＝sin(2x ＋π6)的最小正周期是_____________________________．解析 ∵y ＝sin x 的周期为2π，∴y ＝sin(2x ＋π6)的周期为2π2＝π.答案 π2．(2010·扬州模拟)y ＝2－cos x3的最大值为__________，此时x ＝________.解析 y ＝2－cos x 3的最大值为3，此时cos x3＝－1，∴x3＝2k π＋π，k ∈Z ，∴x ＝6k π＋3π(k ∈Z )． 答案 3 6k π＋3π(k ∈Z )3．(2010·盐城模拟)函数y ＝tan(π4－x )的定义域是________________．解析 y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)．要使y ＝tan(π4－x )有意义，即y ＝－tan(x －π4)有意义，则x －π4≠k π＋π2，∴x ≠k π＋3π4(k ∈Z )．答案 {x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R } 4．(2009·牡丹江调研)已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤1 000π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．解析 如图，y ＝2cos x 的图象在[0,2π]上与直线y ＝2围成封闭图形的面积为S ＝4π，所以 在[0,1 000π]上封闭图形的面积为4π×500＝2 000π.答案 2 000π5．(2010·江苏盐城月考)已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的取值范围是________________．解析 由已知条件ω<0，又π|ω|≥π，∴－1≤ω<0. 答案 －1≤ω<06．(2008·辽宁理，16)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最 小值，无最大值，则ω＝________.解析 如图所示，∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值，∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值．∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )． ∴ω＝8k －103(k ∈Z )．∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值．故ω＝143. 答案 1437．(2009·浙江宁波检测)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎫5π3的值为________． 解析 由已知得：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 答案 328．(2010·连云港模拟)sin 2，cos 1，tan 2的大小顺序是________________． 解析 sin 2>0，cos 1>0，tan 2<0.∵cos 1＝sin(π2－1)，sin 2＝sin(π－2)，又0<π2－1<π－2<π2且y ＝sin x 在(0，π2)上是增函数，从而sin(π2－1)<sin(π－2)，即cos 1<sin 2.故tan 2<cos 1<sin 2. 答案 tan 2<cos 1<sin 2 9．(2008·全国Ⅱ理)若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两 点，则|MN |的最大值为________．解析 设x ＝a 与f (x )＝sin x 的交点为M (a ，y 1)， x ＝a 与g (x )＝cos x 的交点为N (a ，y 2)， 则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫a －π4≤ 2. 答案 2二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2009·福建莆田模拟)是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由． 解 y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎫cos x －a 22＋a 24＋5a 8－12当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，若a2>1，即a >2，则当cos x ＝1时 y max ＝a ＋58a －32＝1，∴a ＝2013<2(舍去)．若0≤a 2≤1即0≤a ≤2，则当cos x ＝a2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1，∴a ＝32或a ＝－4(舍去)．若a2<0，即a <0时，则当cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，∴a ＝125>0(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题设．11．(16分)(2008·陕西)已知函数f (x )＝2sin x 4·cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝sin x 2＋3cos x2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2；当sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)g (x )是偶函数．理由如下：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2＝2cos x 2. ∵g (－x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＝2cos x2＝g (x )， ∴函数g (x )是偶函数．12．(16分)(2010·山东济宁第一次月考)设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cos x ＋sin x ，b ＝(4sin x ，cos x － sin x )，f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知常数ω>0，若y ＝f (ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围； (3)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π6≤x ≤2π3，B ＝{x ||f (x )－m |<2}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝sin 2π＋2x4·4sin x ＋(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＝4sin x ·1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 2＋cos 2x＝2sin x (1＋sin x )＋1－2sin 2x ＝2sin x ＋1， ∴f (x )＝2sin x ＋1.(2)∵f (ωx )＝2sin ωx ＋1，ω>0.由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，得f (ωx )的增区间是⎣⎡⎦⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z .∵f (ωx )在⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数， ∴⎣⎡⎦⎤－π2，2π3⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω. ∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，∴ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. (3)由|f (x )－m |<2，得－2<f (x )－m <2， 即f (x )－2<m <f (x )＋2.∵A ⊆B ，∴当π6≤x ≤23π时，不等式f (x )－2<m <f (x )＋2恒成立． ∴f (x )max －2<m <f (x )min ＋2，∵f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝3，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，∴m ∈(1,4)．§3.5 三角函数的最值及应用一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·连云港模拟)函数y ＝3sin(π3－2x )－cos 2x 的最小值为________．解析 y ＝3sin(π3－2x )－cos 2x ＝12cos 2x －32sin 2x ＝cos(2x ＋π3)，其最小值为－1.答案 －12．(2010·泰州模拟)若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是________．解析 由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f (23π)＝1，即2×cos(ω×23π)＝1，即cos 2π3ω＝12，23πω＝π3，即ω＝12.答案 123．(2010·湖北黄石调研)设函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)．若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析 f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝T2＝2.答案 2 4．(2009·湖南株州模拟)函数y ＝sin 2x 按向量a 平移后，所得函数的解析式是y ＝cos 2x ＋1， 则模最小的一个向量a ＝________.解析 ∵y ＝sin2(x ＋π4)＝cos 2x ，∴a ＝(－π4，1)．答案 (－π4，1)5．(2009·广东惠州二模)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在同一单调区间内的x ＝π9处取得最大值12，在x ＝4π9处取得最小值－12，则函数的解析式是________________________．解析 由函数最大值可知A ＝12，由于函数值当x ＝π9时最大，当x ＝4π9时最小，可知T ＝2π3，则ω＝3，再由x ＝π9时，y ＝12可确定φ＝π6.答案 y ＝12sin(3x ＋π6)6．(2010·广西南宁检测)定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ， ab ≤0，a b ， ab >0，则函数f (x )＝(sin x )*(cos x )的最小值为________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ， sin x cos x ≤0sin xcos x ， sin x cos x >0＝⎩⎨⎧2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z ，tan x ，k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，可得最小值为－1.答案 －1 7．(2010·苏州调研)一半径为10的水轮，水轮的圆心距水面7，已知水轮每分钟旋转4圈， 水轮上点P 到水面距离y 与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ω＋φ)＋7(A >0，ω>0)，则A ＝ ________，ω＝________.解析 由已知P 点离水面的距离的最大值为17， ∴A ＝10，又水轮每分钟旋转4圈，∴T ＝604＝15，∴ω＝2π15.答案 10 2π158．(2009·徐州二模)函数y ＝(sin x －a )2＋1，当sin x ＝a 时有最小值，当sin x ＝1时有最大值， 则a 的取值范围是________________．解析 ∵函数y ＝(sin x －a )2＋1当sin x ＝a 时有最小值， ∴－1≤a ≤1，∵当sin x ＝1时有最大值， ∴a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0] 9．(2009·江苏)函数y =A sin(ωx +φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[-π，0]上的图象如图所示，则ω= . 解析 由函数y =A sin(ωx +φ)的图象可知,3ππ)32()3π(2=---=T .π32=∴T .3π,32π2=∴==ωωT答案 3二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·镇江模拟)已知函数f (x )＝A 2－A 2cos(2ωx ＋2φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)，且y ＝f (x )的最大值为2，其图象上相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2)． (1)求φ；(2)计算f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)．解 (1)∵y ＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)，且y ＝f (x )的最大值为2，A >0，∴A 2＋A2＝2，A ＝2.又∵其图象上相邻两对称轴间的距离为2，ω>0， ∴12⎝⎛⎭⎫2π2ω＝2，ω＝π4. ∴f (x )＝22－22cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋2φ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋2φ. ∵y ＝f (x )过(1,2)点，∴cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ＝－1.∴π2＋2φ＝2k π＋π，k ∈Z . 即φ＝k π＋π4，k ∈Z .又∵0<φ<π2，∴φ＝π4.(2)∵φ＝π4，∴f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2＝1＋sin π2x . ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋1＋0＋1＝4. 又∵y ＝f (x )的周期为4,2 008＝4×502， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008)＝4×502＝2 008. 11．(16分)(2010·辽宁瓦房店月考)如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b . (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．解 (1)由图知，这段时间的最大温差是 30℃-10℃=20℃.(2)图中从6时到14时的图象是函数 y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象．,614π221-=⋅∴ω解得,8π=ω 由图知，,20)1030(21,10)1030(21=+⨯==-⨯=b A这时,20)8πsin(10++=ϕx y将x =6，y =10代入上式，可取φ=.4π3 综上，所求的解析式为].14,6[,20)4π38πsin(10∈++=x x y12．(16分)(2010·吉林延吉模拟)如图，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为 3 m的球形工件吊起平放到6 m 高的平台上，工地上有一个吊臂长DF ＝12 m 的吊车，吊车底 座FG 高1.5 m ．当物件与吊臂接触后，钢索CD 的长可通过顶点D 处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触．求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？解 吊车能把球形工件吊上的高度y 取决于吊臂的张角θ，由图可知， y =AB +1.5=AD -OD -OB +1.5=DF sin θ.1.53cos 3sin 121053cos 3+--=+--θθθ 所以y ′=,cos sin 312cos 2θθθ⋅-由y ′=0，得,cos sin 312cos 2θθθ=.60,3tan ),tan 1(tan 34,sin cos 3423︒==∴+==θθθθθθ当0°<θ<60°时，y ′>0，y 单调递增，同理，当60°<θ<90°时，y ′<0，y 单调递减， 所以θ=60°时，y 取最大值．).m (7.65.1335.13cos 312sin y max ≈+=+--=θθ 所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6 m 高的桥墩上．§3.6解三角形一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2010·江苏靖江调研)在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则A ＝________. 解析 ∵(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π3.答案 π32．(2010·宿迁模拟)在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状为____________．解析 由已知a cos A ＝b cos B 得cos A cos B ＝ba，又由正弦定理，得b a ＝sin B sin A ，所以cos A cos B ＝sin Bsin A，整理得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 因为A 、B 为三角形内角， 所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，即△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形 3．(2010·江苏淮阴模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为_____________________________________________________．解析 设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c 2＝a 2＋b 2，a ＋b >c .新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最大边，其对应角最大． 而(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝x 2＋2(a ＋b －c )x >0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角， 那么它为锐角三角形． 答案 锐角三角形 4．(2010·浙江绍兴模拟)△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝__________.解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 平方得a 2＋c 2＝4b 2－2ac .又△ABC 的面积为32，且∠B ＝30°，故由S △＝12ac sin B ＝12ac ·sin 30°＝14ac ＝32，得ac ＝6，∴a 2＋c 2＝4b 2－12. 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4b 2－12－b 22×6＝b 2－44＝32.解得b 2＝4＋2 3.又∵b 为边长，∴b ＝1＋ 3. 答案 1＋ 35．(2008·四川，7)△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ， 则cos B ＝________.解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.答案 546．(2010·南通模拟)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏 东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析 如图，由已知AB =60 km ∠MAB =30°，∠AMB =45°， 在△AMB 中，由正弦定理得)km (230BM 45sin 6030sin BM =∴︒=︒ 答案 237．(2009·福建泉州二模)如图所示，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察 所分别位于地面C 处和D 处，已知CD ＝6 000 m ，∠ACD ＝45°， ∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°， 则炮兵阵地到目标的距离是________________(结果保留根号)． 解析 ∵∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°， ∴∠CAD ＝60°.在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin 45°＝CDsin 60°，∴AD ＝6 000×2232＝2 000 6. 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin 30°＝CDsin 135°，∴BD ＝12×6 00022＝3 000 2在Rt △ABD 中，由勾股定可得AB 2＝BD 2＋AD 2，∴|AB |＝(3 0002)2＋(2 0006)2＝1 00042(m)． 答案 1 00042 m 8．(2009·江西宜泰模拟)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始____ h 后，两车的距离最小．解析 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶 到E ，则AD =80t ，BE =50t .因为AB =200，所以BD =200-80t ，问题就 是求DE 最小时t 的值．由余弦定理：DE 2=BD 2+BE 2-2BD ·BE cos 60° =(200-80t )2+2 500t 2-(200-80t )·50t=12 900t 2-42 000t +40 000.当4370t时，DE 最小． 答案 43709．(2009·广东改编)已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝________.解析 sin A ＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋sin 45°·cos 30°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12.由正弦定理得b ＝asin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2.答案 2二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2009·安徽)在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B,0<A <π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63.又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin B·AC ＝3 2.∵C －A ＝π2，∴C ＝π2＋A ，sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A＝12×6×32×63＝3 2. 11．(16分)(2009·山东泰安第二次月考)在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间． 解 如图所示，设缉私船追上走私船需t 小时， 则有CD =,t 310，BD =10t. 在△ABC 中，∵AB =3-1，AC =2， ∠BAC =45°+75°=120°. 根据余弦定理可求得BC =6. ∠CBD =90°+30°=120°.在△BCD 中，根据正弦定理可得 sin ∠BCD =,21310120sin 10sin BD =︒⋅=∠⋅tt CD CBD∴∠BCD =30°，∠BDC =30°， ∴BD =BC =6，则有 10t =6，t =106=0.245(小时)=14.7(分钟)． 所以缉私船沿北偏东60°方向， 需14.7分钟才能追上走私船． 12．(16分)(2010·淮安模拟)在2008年北京奥运会垒球比赛前，中国教练布置战术时，要求击球手与连接本垒游击手的直线成15°的方向把球击出．根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍．问按这样的布置，游击手能不能接着球？解 如图，设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点 A 跑出，本垒为O 点．设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB =15°， OB =vt ，AB ≤tv ·t.在△AOB 中，由正弦定理，得,15sin sin ︒=∠AB OAB OB ， sin ∠OAB =,2642615sin -=-≥︒AB OB ， 而348)26(2-=->8-4×1.74>1，即sin ∠OAB >1，∴这样的∠OAB 不存在，因此游击手不能接着球．§3.7 三角函数的综合应用一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·济宁期末)已知a ＝(cos 2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈(π2，π)，若a ·b ＝25，则 tan(α＋π4)的值为________． 解析 a ·b ＝cos 2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25， ∴sin α＝35，又α∈(π2，π)， ∴cos α＝－45，tan α＝－34， ∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－(－34)＝17. 答案 172．(2008·江苏)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ， 根据余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－(2x )24x ＝4－x 24x，将其代入上式得 S △ABC ＝x 1－⎝⎛⎭⎫4－x 24x 2＝ 128－(x 2－12)216， 由三角形三边关系有⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，即x 2－12＝0时，S △ABC 取得最大值2 2.答案 2 23．(2009·肇庆期末)定义运算a *b ＝a 2－ab －b 2，则sin π12*cos π12＝________. 解析 sin π12*cos π12＝sin 2π12－sin π12cos π12－cos 2π12＝－(cos 2π12－sin 2π12)－12×2sin π12cos π12＝－cos π6－12sin π6＝－1＋234. 答案 －1＋2344．(2009·广州第二次联考)已知a ，b ，x ，y ∈R ，a 2＋b 2＝4，ax ＋by ＝6，则x 2＋y 2的最小值 为________．解析 因为a 2＋b 2＝4，可设a ＝2sin α，b ＝2cos α， 则x sin α＋y cos α＝3.故x 2＋y 2sin(α＋φ)＝3(其中tan φ＝y x) 即x 2＋y 2＝3sin(α＋φ)， 故x 2＋y 2的最小值为3.即x 2＋y 2的最小值为9.答案 95．(2010·宿州模拟)若函数f (x )＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)是偶函数，则cos 2α＝________. 解析 ∵f (x )＝(cos α－2sin α)sin x ＋(sin α－2cos α)cos x 是偶函数，故cos α－2sin α＝0，cos α＝2sin α，∴cos 2α＋sin 2α＝5sin 2α＝1，即sin 2α＝15，cos 2α＝1－2sin 2α＝35. 答案 356．(2010·泰州调研)函数f (x )＝(sin 2x ＋12 009sin 2x )·(cos 2x ＋12 009cos 2x)的最小值是________． 解析 f (x )＝(2 009sin 4x ＋1)(2 009cos 4x ＋1)2 0092sin 2x cos 2x＝2 0092sin 4x cos 4x ＋2 009(sin 4x ＋cos 4x )＋12 0092sin 2x cos 2x＝sin 2x cos 2x ＋ 2 0102 0092sin 2x cos 2x －22 009≥22 009( 2 010－1)． 答案 22 009( 2 010－1) 7．(2009·福建文)已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为________．解析 由题知，12×4×3×sin C ＝33， ∴sin C ＝32. 又∵0<C <π2，∴C ＝π3. 答案 60°8．(2010·苏南四市模拟)俗话说“一石激起千层浪”，小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧．现在一个圆形波浪实验水池的中心已有两个振动源，在t 秒内，它们引发的水面波动可分别由函数y 1＝sin t 和y 2＝sin(t ＋2π3)来描述，当这两个振动源同时开始工作时，要使原本平静的水面保持平静，则需再增加一个振动源(假设不计其他因素，则水面波动由几个函数的和表达)，请你写出这个新增振动源的函数解析式______________．解析 因为y 1＋y 2＋y 3＝sin t ＋sin(t ＋2π3)＋y 3＝0 即12sin t ＋32cos t ＋y 3＝0， 所以y 3＝sin(t ＋4π3)时符合题意． 本题也可为y 3＝sin(t －2π3)(答案不惟一)． 答案 y 3＝sin(t ＋4π3) 9．(2010·南通模拟)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的 弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____________．解析 ∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴大正方形边长为5，小正方形的边长为1.∴5cos θ-5sin θ=1，∴cos θ-sin θ=51. ∴1-sin 2θ=251，∴sin 2θ=2524. ∵θ是直角三角形中较小的锐角，∴0<θ<.2π20,4π<<θ ∴cos 2θ=.2572sin 12=-θ 答案 257 二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2008·福建)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R )的值域．解 (1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12， 所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32. 因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32； 当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3.所以所求函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－3，32.11．(16分)(2010·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32(ω∈R ，x ∈R )的最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π6对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数y ＝1－f (x )的图象与直线y ＝a 在[0，π2]上只有一个交点，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32＝32sin 2ωx －12(1＋cos 2ωx )＋32＝sin(2ωx －π6)＋1， ∵函数f (x )的最小正周期为π，∴2π|2ω|＝π，即ω＝±1， ∴f (x )＝sin(±2x －π6)＋1. ①当ω＝1时，f (x )＝sin(2x －π6)＋1， ∴f (π6)＝sin π6＋1不是函数的最大值或最小值， ∴其图象不关于x ＝π6对称，舍去． ②当ω＝－1时，f (x )＝－sin(2x ＋π6)＋1， ∴f (π6)＝－sin π2＋1＝0是最小值， ∴其图象关于x ＝π6对称． 故f (x )的解析式为f (x )＝1－sin(2x ＋π6)． (2)∵y ＝1－f (x )＝sin(2x ＋π6)在同一坐标系中作出 y ＝sin(2x ＋π6)和y ＝a 的图象：由图可知，直线y =a 在a ∈)21,21[-或a =1时，两曲线只有一个交点，。