第五章 相似矩阵及二次型

第五章 相似矩阵及二次型§1 向量的内积、长度及正交性 １、向量的内积引例：几何中，两个向量,x y的数量积定义为：,x y是,x y的长度，θ 是,x y 的夹角。

如果在直角坐标系下，向量,x y表示为则的长度为：，向量,x y的夹角为：维向量称[]1122,T n n x y x y x y x y x =++= y为向量,x y 的内积.例5.1.1 . []1224,,12243643648αβαβ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⇒=×+×+×+×=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠860（2）向量内积的性质①[][],,x y y x =；②[][],,x y x λλ=y ；③[][][],,,x y z x y x z +=+；④[]0,xx x =⇒=0[，]0,x x x ≠⇒>0.⑤不等式 Schwarz [][][],,,x y x y y y ≤例5.1.212002400,36004800αγ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠[⇒][](),,100122436486000αγγα==×+×+×+×=2、向量的长度 夹角（1）定义5.1.2 维向量的长度(范数) 单位向量n称为向量 x 的长度，特别，当x 时，称x 为单位向量。

例5.1.3α====（2）向量长度的性质①0x ≥,仅当时0x =0x =；②x xλλ=;③x y x y+≤+例5.1.4 36912αβαβ⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=⇒+===⎜⎟⎜⎟⎝⎠αβ+=+=（3）向量的夹角①定义5.1.3 [],0,0arccos x y x y x yθ≠≠=时例5.1.5 [],arccos0αβθαβ===②向量正交[],0,x y x =⇒y 正交注：零向量与任何向量正交.2、 正交向量组（1） 正交向量组：一组两两正交的非零向量.（2） 定理5.1.1 两两正交线性无关. 12,,,r a a a 12,,,r a a a ⇒ （3）定义5.1.4 规范正交基①正交基设 V 是向量空间， 是V 的一组基，且 是正交向量组，则称12,,,r a a a12,,,r a a a 是的一个正交基。

②规范正交基如果 既是V 的一组正交基，又是单位向量，则称 是V 的一个规范正交基或单位正交基。

12,,,r e e e 12,,,r e e e （4）把基规范正交化12,,,r a a a ①Schimidt 正交化过程11b a =;[][]12221b 12,,b a b a b b =−; ;[][][][][][]12112112211,,,,,,r r r r r rr r r b a b a b a b a b b b b b b b b b −−−−=−−−− 1.注：可以用三维向量来演示几何意义.②单位化121212,,,r r rb b e e e b b === b b ⎟⎟ 例5.1.6试用施密特正交化过程把向量组规范正交化. 123111(, , )124139a a a ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠解 根据施密特正交化方法,, 11111b a ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠12221111[,]0[,]1b a b a b b b −⎛⎞⎜⎟=−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠,1323331211221[,][,]12[,][,]31b a b a b a b b b b b b ⎛⎞⎜⎟=−−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠.单位化1211231211111,0,22111b b b e e e b b b −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎟⎟⎟⎟======−=−⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎠⎠⎠11⎟. 123,,e e e 即合所求.3、 正交矩阵（1） 定义5.1.5 正交矩阵 T n n A A E =（2） n A 为正交矩阵⇔n A 的列向量组为单位正交向量组.例5.1.7 已知()()1219,89,4,89,19,4TTa a =−−=−−求列向量使3a (123,,A a a a =)是正交矩阵.解 设，由[()3123,,T a x x x =][]1323,0,,0a a a a ==⇒1231231840,9998140,999x x x x x x ⎧−−=⎪⎪⇒⎨⎪−+−=⎪⎩13244,773x x x x =−=−，又222231233719a x x x x =++=⇒=±⇒33447447,,,,999999TTa ora ⎛⎞⎛′=−−=−⇒⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠ ()()123123,,,,A a a a andA a a a ′′均是正交矩阵.（3） 正交矩阵的性质①为正交矩阵⇒为正交矩阵，且n A -1=T n n A A 1A =±； ②为正交矩阵⇒,n A B n AB 为正交矩阵.例5.1.8 均是阶正交矩阵，且,A B n A B =−，求.A B + 解 22,1,TTA A EB B E A B ==⇒==1⇒()10A B TTT TT T A B A A BB AA BBA B A B A B =−+=+=+−+=+⇒+=.例5.1.9 设为正交矩阵，证明()ijm nA a ×=ij ij A a =±.证明 A 为正交矩阵⇒211TA A E A A =⇒=⇒=±又()1**1**1.TT ij ij A A A A A A A A A A−−==±⇒==±⇒=⇒=±a4、 正交变换（1） 定义5.1.6 正交变换 P 为正交矩阵⇒y Px =为正交变换.（2） y Px =为正交变换⇒y ====x =例5．1.9 1,1x P ⎛⎞⎛⎞==⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝，则110y Px x ⎛⎞⎛⎞====⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎠⎝,x y ==即该正交变换作用只是把向量x 沿逆时针方向旋转了4π.§2 方阵的特征值与特征向量1、定义5.2.1 特征值 特征向量设 A 是n 阶方阵，若有数λ和非零向量x ，使得n A x x λ=称数λ是 的特征值，非零向量A x 是 对应于特征值A λ 的特征向量.例如 对，有1221A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠3λ=及向量，使得 ，这说明11x ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠121132111⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠3λ=是 的特征值， 是 对应于A 11⎛⎞⎟⎝⎠x =⎜A 3λ= 的特征向量.例 5.2.1 设方阵的每一行元素之和均为a ,则必有一个特征值是________A A 解 设ξ为分量全为1的列向量,0A a a ξξξ⇒=≠⇒为的一个特征值A 2、特征值和特征向量的求法（1）计算特征值Ax x λ=()0=A E x A E λλ⇔−=⇒−有非零解0⇒1112121222120n nn n nn a a a a a a a a a λλλ−−=−特征方程()f λ=111212122212n nn n nn a a a a a a a a a λλ−−−由此可以解出特征方程或特征多项式的各根n 12,,,n λλ λ，这就是相应的特征值. （3） 计算特征向量根据某个特征值i λ，由线性方程组()0i A E x λ−=解出非零解i x p =，这就是对应于特征值A i λ 的特征向量.例5.2.2 求 的特征值与特征向量．122212221A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟ 解 ()2122212(5)(1)221f λλλλλ−=−=−−λ+()0f λ=⇒1235,1λλλ===−求15λ=的特征向量：4225242224A E −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠101011000r−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠∼, 取 则 1111p ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 就是对应于111(0k p k ≠)51=λ的全部特征向量.求231λλ==−的特征向量：,取 222(1)222222A E ⎛⎞⎜⎟−−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠111000000r⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∼2110p −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则3101p −⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟ （不同时为0）就是对应于2233k p k p +23,k k 231λλ==−的全部特征向量例5.2.3 求 的特征值与特征向量．110430102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟⎝⎠⎟ 解 2110()430(2)(1)12f λλλλλ−−=−−=−−−λ()0f λ=⇒1232,1λλλ===求12λ=的特征向量：, 取 则310241100A E −⎛⎞⎜⎟−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠010*******r⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∼1001p ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠就是对应于111(0k p k ≠)12λ=的全部特征向量.求231λλ==的特征向量：, 取210101142001101000rA E −⎛⎞⎛⎜⎟⎜−=−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝∼2⎞⎟⎟⎟⎠2121p −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠就是对应于222(0k p k ≠)231λλ==的全部特征向量.注：提醒学生观察这两题的异同.例5.2.4 求矩阵的特征值与特征向量.212533102−⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟解 由3212||533(12A E λλλλ−−−=−−=−+−−−1)λ,故A 的特征值为1231λλλ===−.对于特征值λ=−1, 由,得方程的基础解系, 向量312101523011101000~A E −⎛⎞⎛⎜⎟⎜+=−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝()1,1T=−⎞⎟⎟⎟⎠()0A E x +=1,p ()0kp k ≠就是对应于特征值λ=−1的特征值全部特征向量.（2）的特征值为n A 12,,,n λλ λ⇒(i)11n ni i i i aλ===i∑∑;(ii)1nini A λ==∏.例5.2.5 设,A B 都是n 阶矩阵，证明AB 与BA 有相同的特征值.证 设λ为AB 的任一特征值，ξ为AB 与λ对应的特征向量()AB BA B B BAB ξλξξξλξ⇒===⇒，若0B ξλ≠⇒为BA 的特征值，B ξ为为与之对应得特征向量；若0B ξ=AB ，又,00AB ξλξξλ=≠⇒=⇒有特征值0⇒0000AB BA AB BA E =⇒==⇒−=⇒BA 也有特征值0.综上所述，与AB BA 有相同的特征值. （3）λ是的特征值⇒n A ①k λ为kn A 的特征值,为整数k ②()01++mm a a a ϕλλ=+ λ为()01++mn m n A a E a A a A ϕ=+ 的特征值；③nA λ为的特征多项式(A ∗0n A ≠).例5.2.6已知3阶矩阵的特征值为1, 2, −3, 求A *32A A E ++. 解 因为|A |=1×2×(−3)=−6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A −1=−6A −1,A *+3A +2E =−6A −1+3A +2E .令ϕ(λ)=−6λ−1+3λ2+2, 则ϕ(1)=−1, ϕ(2)=5, ϕ(−3)=−5是ϕ(A )的特征值, 故|A *+3A +2E |=|−6A −1+3A +2E |=|ϕ(A )|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(−3)=−1×5×(−5)=25.4、定理5.2.1设12,,,m λλλ 为的特征值，m A 12,,,m p p p 依次是与之对应的特征向量，若12,,,m λλ λ各不相等⇒12,,,m p p p 线性无关.例 5.2.5 设矩阵有三个线性无关的特征向量，则应满足的条件为( D )0011100A a b ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟,a b ()1,()1,()0,()0.A a b B a b C a b D a b ====−−≠+=解()001011111110010A a b A E a b λλλλλλλ−⎛⎞−⎜⎟=⇒−=−=−=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠0⇒1231, 1.λλλ===−又有三个线性无关的特征向量⇒对应于A 121λλ==有两个线性无关的特征向量的解空间维数为2()0A E x ⇒−=()1E =R A ⇒−.又1011011010000101000000A E a b a b a b a b −−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=+⇒+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠∼∼0.§3 相似矩阵1、定义5.3.1 相似矩阵设 为阶方阵，若有阶可逆方阵，使得,A B n n P 1P AP B −=称 B 是的相似矩阵，或者说与 相似，称 为对进行相似变换. A A 1P AP −A 注：相似是一种矩阵的等价关系，满足反身性、对称性、传递性.2、（1）定理5.3.1 与n A n B 相似与⇒n A n B 特征多项式相同，特征值相同.（2）若与对角阵n A 12n λλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 相似⇒12,,,n λλλ 为的n 个特征值. nA （3）()f λ为的特征多项式n A ()n f A O =.3、方阵的相似对角化（1）定理5.3.2 与（即能对角化）相似 n A n Λn A ⇔n A 有n 个线性无关的特征向量.推论 的n 个特征值互不相等与n A ⇒n A n Λ相似.（提醒学生注意这只是充分条件）例 5.3.1 设矩阵问当为何值时，存在可逆矩阵，使为对角矩阵？并求出和相应的对角阵. 3221,423A kk −⎛⎞⎜=−−⎜⎜⎟−⎝⎠P ⎟⎟k P 1P AP −解()32212212101101423123123A E kk k kλλλλλλλ2λλλ−−−−−=−−−=−−=−−−−−−−−−−()λ−()()21231221011101, 1.001k λλλλλλλλ−=−−−=−+=⇒==−=−−又A Λ⇔∼A 有3个线性无关的特征向量对应于特征值⇒121λλ==−有两线性无关的特征向量，对于()1R A E ⇒+=121λλ==−有42242200422000A E kk kk k −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=−−⇒=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠∼0时，()1R A E +=.⇒对应于 121λλ==−1,2,=−的两个线性无关的特征向量可取为()(120,1,0,2T Tξξ=)对应于特征值31,λ=在时有0k =2222221112020010424424000A E kk −−⎛⎞⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜−=−−−⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎠⎝∼∼−⎞⎟⎟⎟⎠对应于31λ=的特征向量可取为()31,0,1Tξ=.因此，当时，令0k =()11231111,,20010211P P AP ξξξ−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⇒=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟.−⎝⎠⎝⎠注：当有重根时，它不一定有个线性无关的特征向量，从而不一定能对角化.n A n 例5.3.2 问矩阵能否对角化？212533102A −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟−−⎝⎠⎟解 A 的特征多项式()3123212533112A E λλλλλλλ−−−=−−=−+⇒===−−−−1λ，又 ()()232(1)(2)31231215230002101101r r r A E A E R A E +−+−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−=+=−⇒+=⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−⎝⎠⎝⎠∼()0A E x +=的解空间维数为1⇒只有一个线性无关的特征向量⇒不能对角化.A A 4、对称矩阵的对角化（1）定理5.3.3 对称矩阵的特征值为实数. （2）定理5.3.4设 12,λλ是对称阵A 的两个特征值，1,2p p 是对应的特征向量，若12λλ≠⇒,12p p 正交.（3）定理5.3.5n A 为对称阵存在正交阵，使⇒P 1T P AP P AP −==Λ， 其中是以的个特征值为对角元的对角阵.Λn A n 例3.3.3试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:220212020−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠解 将所给矩阵记为. 由A 2221202A E λλ0λλ−−−=−−−−−=(1−λ)(λ−4)(λ+2), 得矩阵A 的特征值为λ1=−2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=−2, 解方程(A +2E )x =0, 即1234202320022x x x −⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝⎞⎟=⎟⎟⎠, 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得1122(, , )333T =p .对于λ2=1, 解方程(A −E )x =0, 即123120202021x x x −⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝0⎞⎟=⎟⎟⎠, 得特征向量(2, 1, −2)T , 单位化得2212(, , )333T p =−.对于λ3=4, 解方程(A −4E )x =0, 即123220232024x x x −−⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−=⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝0⎞⎟⎟⎟⎠, 得特征向量(2, −2, 1)T , 单位化得3221(, , )333T p =−.于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P −1AP =diag(−2, 1, 4).推论 为对称阵，n A λ为的特征方程的k 重根n A ()n R A E n k λ⇒−=−，对应于特征值λ恰有k 个线性无关的特征向量.例 3.3.4设3阶实对称矩阵A 的特征值是1231,1λλλ=−==,对应于11λ=−的特征向量，求矩阵(10,1,1Tξ=)A .解 A 为 实对称矩阵对应于⇒231λλ==有2个线性无关的特征向量23,ξξ与1λ对应的特征向量1ξ正交，故1213T T ξξξξ0==，求解线性方程组()112230,1,100T x x x x x x ξ⎛⎞⎜⎟==⇒+⎜⎟⎜⎟⎝⎠3=⇒基础解系22100,101ξξ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠取 ()1112311,,1111P P AP A P ξξξ−−−−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⇒=Λ=⇒=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠P10101010010101212101110110111001011101101101212−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟−⎠) 100001010⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. （4） 把对称阵对角化的步骤①1122(),(),,(n A k k k s s λλλ→ 重重重，12s k k k n ++= ，1,,s λλ 互不相等； ②的基础解系个线性无关的特征向量()()0i i n i k A E x λλ→−=重i k i k →⎯⎯⎯⎯⎯→正交化、单位化个两两正交的单位特征向量12k k s k n +++=⎯⎯⎯⎯⎯→ n 个两两正交的单位特征向量；③ 个两两正交的单位特征向量→正交阵. n P 1TP AP P AP −→==Λ注意：中对角元的排列次序应予正交阵中列向量的排列次序相对应.ΛP§5 二次型及其标准型1、二次型（1）定义5.5.1 二次型称含有个变量n 12,,,n x x x n n n n的二次齐次函数22212111222121213131,1(,,,)222n nn n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x −−=+++++++ 为二次型例如：常见的二次曲面. 注：实二次型 复二次型（3）二次型与对称阵222111222121213131,1222nn n n n n n f a x a x a x a x x a x x a x x −−=+++++++令ijji a a =⇒2ij i j ij i j ji i j a x x a x x a x x =+⇒22111121211212122222n n n n f a x a x x a x x a x x a x a x x =++++++21122,1.nn n n n nn n ij iji j a x x a x x a x a x x =+++++=∑()()1111122122112222n n n n x a x a x a x x a x a x a x =++++++()1122n n n nn n x a x a x a x +++++()()111122111121121122222122221212112212,,,,,,n n n n n n n nn n nn n n n nn a x a x a x a a a x a x a x a x a a a x x x x x x x a x a x a x a a a x +++⎛⎞⎛⎜⎟⎜+++⎜⎟⎜==⎜⎟⎜⎜⎟⎜+++⎝⎠⎝ T n ⎞⎛⎞⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎠⎝⎠x Ax =⇒A f ↔ ：二次型A f 的矩阵；f ：对称阵的二次型；A ()R A :二次型的秩.例 5.5.1 写出下列二次型的矩阵(1)()2221234123121323,,,3223f x x x x x x x x x x x x x =+−++−;(2)()123135,,246785T .f x x x X X ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠解 (1)112233441221133114411,3,1,0,1,1,0a a a a a a a a a a ===−=======2332244234433,0,02a a a a a a ==−====⇒f 的矩阵为111013320132101000⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎝⎠（2）()222123123121323135,,246.4551214785T f x x x X X x x x x x x x x x ⎛⎞⎜⎟==++++⎜⎟⎜⎟⎝⎠+f ⇒的矩阵为152********⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠例 5.5.2 已知二次型22212312132552663f x x cx x x x x x =+++−+−x 的秩为2，则常数等于__________________. c 解二次型f =的矩阵为51315333A c −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎜⎟−⎝⎠−⎟,由()511533−−−320302472R A A c c=⇒=⇒−=⇒−20 3.c =⇒= 2、二次型的标准形 二次型的规范形（1）二次型的标准形称只含有平方项的二次型为二次型的标准形（或法式）.它的一般形式可记为：221122n nf k y k y k y =+++ 例如：空间中的抛物面方程2232f x y =+就是一二次型的标准形.（2）二次型的规范形若二次型的标准形的系数只在1,1,0−中取值，如2222112p p 2r f y y y y y +=+++−−− ，则称其为二次型的规范形.3、化二次型为标准形（1）化二次型为标准型()()x cyTTf x AxCy A Cy ===可逆()=T C AC TTT yCAC yy y Λ==Λ（2）定义5.5.2 矩阵合同设,A B 使n 阶方阵，若存在可逆方阵C 满足T B C AC =则称与A B 合同，称为对做合同变换.TC AC A （3）定理5.5.1 对于任意 (),1nij ijijji i j f a x x aa ===⇒∑存在正交变换x Py =，使f 化为标准形 2222n n 112f y y λλ=+y λ++ 12,,,n ，λλλ 是f 的矩阵()ij A a =的特征值.例 5.5.3 已知二次型通过正交变换化为标准形()(22212312323,,23320f x x x x x x ax x a =+++>22212325,)f y y y =++__________.a 则=解 f 的矩阵正交相似为的特征值为2000303A a ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠3 5.a ⎟⎟125A ⎛⎞⎜⎟Λ=⇒⎜⎟⎜⎟⎝⎠122,1,λλλ===1将1λ=代入A 的特征方程21001024202a a a a a >−==−=±⇒0=⇒ 2.a =A E推论 (TT)f x Ax A A ==⇒存在可逆变换x Cz =，使()f Cz 为规范形.例 5.5.4 二次型121323f x x x x x x =++的规范形为_____________________________. 解 由于f 没有平方项，故令()()()()11221212121231233,,,x y y 3x y y f y y y y y y y y y y x y =−⎧⎪=+⇒=−++−++⎨⎪=⎩ ()2221223y y y y =+−−令221122233123,,z y y z y z y f z z z =+==⇒=−−2.所用的变换为112233110110101111110110010111001001001001y z 123.z x y z y z −−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠z Cz z =§7 正定二次型1、惯性定理（1）定理5.7.1设二次型T f x Ax =的秩为，有两个可逆变换r x Cy = 和 x Pz =使()22211220r r i f k y k y k y k =+++≠ 及()22211220r r i f z z z λλλλ=+++≠⇒12,,,r k k k 与12,,,r λλ λ3中正数个数相等.（2）正惯性指数 负惯性指数二次型标准形中正系数个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.例 5.5.5 二次型2221231213244448f x x x x x x x x =++−+−x 的规范形为_____________________________.解 判断一个二次型的规范形只需确定此二次型的秩和正、负惯性指数即可。