四维空间形式中Monge-Ampère方程解的微分不等式
向Aubin致敬
向Aubin致敬曲率和拓扑的制约关系一直是我非常喜爱的一个几何问题，一个基本的提问是典则度量的存在性，著名的Yamabe问题就问：是否一个紧致黎曼流形M可以形等价于一个常数量曲率的黎曼流形？现在我们知道，Yamabe提出这个问题是针对Poincare猜想的。
大约在上世纪70和80年代，这个问题曾经引起紧张的研究，最后，Schoen运用一系列复杂的技巧肯定的回答了这个问题，圆满的结束了这一探索。
我因为读Yau的《微分几何讲义》，自然不能放过其中专门讲这个问题的第五章，于是顺便重温了这个动人的故事。
尽管问题的最后解决是有几何分析的开创者Yau的弟子Schoen完成的，Thierry Aubin仍然是无法回避的一个。
Thierry Aubin (1942—)虽然称不上大家，但好歹也算是法国在世界上比较有名的几何分析学家，1990年当选法国科学院通讯院士。
七、八十年代正是几何分析发展的黄金时代，法国数学家中和他同时代的代表人物还有Burguignnon，现在的巴黎高等研究所所长。
不过，因为Yau的缘故，那时候几何分析的中心无疑是在伟大的美国。
Aubin最著名的工作应该是解决了第一陈类为负的情形“Calabi猜测“。
50年代的时候，Calabi提出了Kahler几何的一系列基本猜测，其中最著名无疑也是最困难的一个，也就是我们通常所称的Calabi猜测：一个紧致Kahler流形M上的实的闭(1,1)形式，如果它所属上同调类表示第一陈类，则该(1,1)外形式是M的某个Kahler度量的Ricci张量形式。
这个猜测等价于解一个Kahler流形上的Monge-Ampere方程，一类完全非线性的方程。
Calabi仅仅证明了解的唯一性。
这个方程的解的存在性还和Kahler流形上Kahler-Einstein度量的存在性有关。
这个方程带了一个参数k，k>0，k=0，k<0时方程的解分别给出第一陈类为正，零，负的Kahler流形上的一个Kahler-Einstein度量。
将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束的整形镜组设计方法[发明专利]
![将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束的整形镜组设计方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/e48bdb1eec630b1c59eef8c75fbfc77da26997c5.png)
(10)申请公布号 (43)申请公布日 2013.05.08C N 103091842 A (21)申请号 201310037285.1(22)申请日 2013.01.30G02B 27/00(2006.01)G02B 27/09(2006.01)(71)申请人中国科学院长春光学精密机械与物理研究所地址130033 吉林省长春市东南湖大路3888号(72)发明人刘伟奇 孟祥翔 柳华 魏忠伦张大亮 吕伟振(74)专利代理机构长春菁华专利商标代理事务所 22210代理人南小平(54)发明名称将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束的整形镜组设计方法(57)摘要将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束的整形镜组设计方法，属于激光整形技术领域，本发明整形镜组设计方法包括：第一步、求解坐标关系：根据椭圆高斯光束的非旋转对称的光束形状，利用能量守恒定律，推导入射椭圆高斯光束和出射圆形平顶光束在x-y 平面内的坐标关系；第二步、求解整形镜组的面形表达式：第一反射镜和第二反射镜的面形方程分别为z ＝G(x,y)和Z=F(X,Y)；经过求导、求积分，推导出第一反射镜和第二反射镜的面形方程式，将第一步由输入坐标r 0和θ求出的对应输出坐标ρ和的数值解，一起代入面形方程式，求出两反射镜面形方程的数值解；第三步、软件模拟：将第二步中计算出的面形数据数值解输入到光学设计软件中模拟，可显示椭圆高斯光束到圆形平顶光束的转换。
(51)Int.Cl.权利要求书3页 说明书9页 附图3页(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请权利要求书3页 说明书9页 附图3页(10)申请公布号CN 103091842 A*CN103091842A*1.将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束的整形镜组设计方法，其特征是，包括以下步骤：第一步、求解坐标关系：根据椭圆高斯光束的非旋转对称的光束形状，利用能量守恒定律，推导入射椭圆高斯光束和出射圆形平顶光束在x-y 平面内的坐标关系；假设入射椭圆高斯光束和出射圆形平顶光束都平行于光轴，(r,θ)为入射椭圆高斯光束的极坐标，为出射圆形平顶光束的极坐标；椭圆高斯光束光强分布表达式为：其中ωx0和ωy0分别为椭圆高斯光束x 和y 方向上的束腰，定义ωy0/ωx0＝m ；为便于以后的积分运算选择积分路径，对椭圆高斯光束的光强分布形式进行化简；将椭圆方程的标准方程转化为如下形式:其中a 、b 分别为椭圆的短轴半径和长轴半径，且a ＝r 0,b/a ＝n ；当n 一定时，入射椭圆高斯光束由(r,θ)转化为(r 0,θ)表示；令n ＝m ，则入射椭圆光束光强分布可化简为：采用匀化洛伦兹函数作为出射光强分布：式中R FL 为出射平顶光强分布的半高宽，q 为决定着匀化洛伦兹函数的形状，选择合适的q 值，可得到目标出射平顶分布；利用能量守恒定律，坐标(r,θ)所包含的能量等于坐标所包含的能量，可以推导出入射椭圆高斯光束和出射圆形平顶光束之间的坐标关系为其中ρ与r 0的关系中取正号代表系统无实焦点，取负号代表系统有实焦点，在设计中选择代表无实焦点的坐标关系；给定入射光束各点坐标值(r 0,θ)，根据公式(2)、(5)，采用数值解法求出入射光束各点在出射面对应点的坐标值的数值解；第二步、求解整形镜组的面形表达式：第一反射镜和第二反射镜的面形分别在局部坐标系(x,y,z)和(X,Y,Z)中描述，两局部坐标系均以对应反射镜的轴上中心为原点，面形方程分别为z ＝G(x,y)和Z=F(X,Y)；设局部坐标系(X,Y,Z)的原点在局部坐标系(x,y,z)中的坐标为(X 0,Y 0,Z 0)；G(x,y)对x 和y 的偏导方程为其中设两反射镜的中心在同一y-z 平面内，则X 0＝0；对于入射光束为椭圆高斯光束的情况，根据式（6）、（7）做进一步推导，根据x ＝rcos θ，y ＝rsin θ，可求出G(r,θ)对r 和θ的偏导；根据已将椭圆高斯光束化为r 0和θ的函数，再根据式（2）求出G(r 0,θ)对r 0和θ的偏导为最后通过积分可求出第一反射镜的面形方程为要求出射光束准直出射，则有所有光线经过整形系统时的光程长度相等，根据等光程长度条件，代入x＝rcosθ，y＝rsinθ，以及式(2),可求出第二反射镜的面形方程为将第一步由输入坐标r和θ求出的对应输出坐标ρ和的数值解，一起代入式(10)、(11)，采用数值解法求出两反射镜面形方程的数值解；第三步、软件模拟：将第二步中计算出的面形数据数值解输入到光学设计软件中模拟，可显示椭圆高斯光束到圆形平顶光束的转换，实现将椭圆高斯光束转化为圆形平顶光束的整形镜组的设计。
monge—ampére方程边值问题的多解
monge—ampére方程边值问题的多解Monge—Ampère方程是一个非线性偏微分方程，常用于描述凸函数的性质。
它的边值问题是一个经典的数学问题，研究了其中的多解性质。
在本文中，我们将探讨Monge—Ampère方程边值问题的多解性质。
首先，我们来定义Monge—Ampère方程的边值问题。
假设Ω是一个有界开集，u是定义在Ω上的一个二次连续可微函数。
我们考虑下面的非线性偏微分方程：det(D^2u) = f(x), x ∈Ω,u = g(x), x ∈∂Ω,其中D^2u是Hessian矩阵，det(D^2u)是其行列式，f(x)是已知函数，g(x)是边界条件。
这个方程描述了u的Hessian矩阵的行列式等于给定函数f(x)，同时边界上的值等于给定函数g(x)。
首先，我们考虑方程的存在性。
对于一般的函数f(x)和g(x)，Monge—Ampère方程的边值问题可能没有解。
这是由于方程的非线性性质导致的。
然而，当f(x)和g(x)满足一定的条件时，方程的解是存在的。
具体的存在性定理可以通过正则化方法证明。
接下来，我们来讨论方程的唯一性。
对于一般的函数f(x)和g(x)，Monge—Ampère方程的边值问题可能有多个解。
这是由于方程的非线性性质导致的。
事实上，我们可以构造出一些例子来说明这一点。
例如，考虑一个二维平面上的圆形区域Ω，边界条件为u(x,y) = x^2 + y^2。
我们可以选择不同的函数f(x)来满足边界条件。
对于f(x) = 4，方程的解是唯一的，即u(x,y) = x^2 + y^2。
然而，对于f(x) = 8，方程的解不再唯一。
事实上，我们可以构造出无穷多个解，如u(x,y) = x^2 + y^2 + h(x,y)，其中h(x,y)是任意的二次连续可微函数。
这个例子表明，Monge—Ampère方程边值问题可以有多个解。
【国家自然科学基金】_光滑解_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
科研热词 推荐指数 整体光滑解 4 解的大时间行为 2 热力学能量 2 流体动力学模型 2 指数稳定性 2 光滑解的整体存在性 2 非线性梁 1 非相对论极限 1 长短波相互作用方程 1 部分粘性 1 边界输入输出 1 辐射流体动力学 1 等离子体物理 1 特征法 1 爆破准则 1 渐近解 1 渐近行为 1 极值原理 1 拟线性双曲型方程组 1 微分差分方程 1 局部存在性 1 对角化方法 1 存在性 1 奇摄动 1 唯一性 1 可压的euler-poisson方程 1 可压 navier-stokes-poisson 方程 1 发展方程 1 双色谱 1 双极euler-maxwell方程组 1 光滑解 1 maxwell方程 1 landau-lifshitz方程 1 cauchy问题 1 brezis-gallouet不等式 1 boussinesq方程 1 bernoulli-euler梁 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
2011年 科研热词 推荐指数 整体光滑解 4 非线性边界条件 1 非线性梁 1 非线性拟抛物方程 1 非线性双曲方程 1 表面微坑 1 精确解 1 空间衰减 1 空间爆破 1 特征函数法 1 爆破解 1 爆破 1 渐开线直齿圆柱齿轮 1 构造性方法 1 推广后的feigenbaum 1 形貌 1 弹流润滑 1 广义navier-stokes方程 1 周期初边值问题 1 发展方程 1 单峰光滑偶解 1 初边值问题 1 初始函数 1 分离变量方法 1 1 分数阶非线性schr(o)dinger方程 1 分布阻尼 1 函数方程 1 凸性方法 1 先验估计 1 严格递减光滑解 1 imbq方程 1 hasegawa mima方程 1 gal(e)rkin方法 1 faedo-galё rkin方法 1 faedo-gal(e)rkin方法 1 besov空间 1
mongeampere方程
mongeampere方程
蒙氏-阿姆佩尔（Monge-Ampère）方程是初等单元计算和几何增长领域广泛应用的基本方程之一，其解决的问题都是由于流体压力，电学场强或其它各种形式的力而产生的。
它是一个关于梯度的非线性非均匀偏微分方程，用于描述梯度在实数上的变化率。
蒙氏-阿姆佩尔方程具有重要的应用，包括不可压缩流体力学、电荷分布及湍流。
它可以用来求解关于振幅和角速度的本征方程，还可以求解电磁场和声场方程。
此外，在拓扑学中，它有着重要的应用，用于确定等高线之间的关系，也可以用来研究物体变形的问题。
蒙氏-阿姆佩尔方程展现了它在这个领域中的重要作用，它不仅可以求解复杂的非线性方程，而且可以用于计算流体力学中的大量参数，也可以检测电磁和声学场的特征参数。
这些特性使得蒙氏-阿姆佩尔方程在物理和数学界非常热门，而且其理论研究和应用也被广泛应用和探讨。
18 中国著名几何学家(下)汇总
课题：【教学目标】了解近代中国著名几何学家【教学重点】近代中国著名几何学家的数学成就【教学过程】二、陈省身陈省身，美籍华裔数学大师，20世纪伟大的几何学家。
在其数学生涯中，几经抉择，努力攀登，终成辉煌。
他用内蕴的方法证明了高维的高斯-博内公式，定义了陈省身示性类，在整体微分几何的领域做出了卓越贡献，影响了整个数学的发展，被誉为“现代微分几何之父”。
杨振宁赞誉他为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后几何学又一里程碑式的人物。
曾先后主持、创办了三个数学研究所，培养了一批世界知名的数学家。
晚年定居南开大学，对中国数学的复兴做出了不可磨灭的贡献。
陈省身曾出任美国数学学会副主席。
他也是第三世界科学院的创始发起者。
曾经三次应邀在国际数学家大会上作演讲：1950年在美国波士顿的剑桥，1958年在苏格兰的爱丁堡，1970年在法国的尼斯。
1950年和1970年都是一小时报告，这是国际数学家大会上最高规格的学术演讲。
他曾被瑞士联邦理工学院、柏林工业大学、香港科技大学等多所著名大学授予荣誉博士学位。
1985年，南开大学授予他名誉博士学位。
陈省身是20世纪重要的微分几何学家，被誉为“微分几何之父”。
早在40年代，陈省身他结合微分几何与拓扑学的方法，完成了两项划时代的重要工作：高斯-博内-陈定理和Hermitian流形的示性类理论，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具。
这些概念和工具，已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分。
陈省身重要的数学工作还有：·陈-西蒙斯微分形式是量子力学反常现象的基本工具。
·紧浸入与紧逼浸入，由他和R.莱雪夫开始，历30余年，其成就已汇成专著。
·复变函数值分布的复几何化，其中一著名结果是陈-博特定理。
·积分几何的运动公式，其超曲面的情形系同严志达合作。
·复流形上实超曲面的陈-莫泽理论，是多复变函数论的一项基本工作。
·极小曲面和调和映射的工作。
monge—ampére方程边值问题的多解
monge—ampére方程边值问题的多解由于其复杂性以及和数学物理学家们最喜爱的特性，蒙芝-安佩尔方程边值问题已经被广泛研究，并且发现了真正的多解性解决方案。
这篇文章旨在讨论这样的多解性解法，以及如何有效地求解它们。
蒙芝-安佩尔方程主要是一类非线性双曲型偏微分方程，它描述的是一类带有奇异终端约束的力学系统。
它的主要优点在于其定义可以被精确表达，并且它可以表示未知的物理过程及其非线性相互作用，这些相互作用求解困难但又非常重要。
蒙芝-安佩尔方程可以在物理上得到准确的描述，因此其应用广泛，常见的例子包括金属扩散以及流体动力学等研究领域。
蒙芝-安佩尔方程边值问题涉及求解边界条件作用下的方程组，这些边界条件有可能被定义在空间的不同范围，因此可能存在多个解决方案。
例如，针对某个定义在某一空间内的力学系统，可能会存在一系列可行的最优状态或动态的解，它们可能具有不同的性质和功能，也可能存在不可表达的解。
解决蒙芝-安佩尔方程边值问题的不同方法有不同的优缺点，这与数学模型中使用的算法有关。
其中，最常用的方法包括隐式迭代法、显式迭代法、贝尔斯坦（Bellman）迭代法、局部逼近法（Local Approximation）和径向基函数（Radial Basis Function）等。
其中，隐式迭代法可以有效地解决多项式外推、全局最优解和突变模型等求解困难的问题；而显式迭代法可以有效解决分支定界问题和数值最优化问题；贝尔斯坦（Bellman）迭代法可以有效解决求解动态蒙芝安佩尔方程，同时可以有效解决边界条件问题；局部逼近法和径向基函数法，可以有效解决近似问题，它们可以在低消耗的情况下求解边界问题。
虽然传统的求解方法能够有效的解决蒙芝-安佩尔方程边值问题，但是在一定的情况下，它们也可能出现分支定界问题，从而影响上述求解方法的效率。
此外，蒙芝-安佩尔方程边值问题可能存在不可表达的多解，这一点对实际应用具有重要的意义。
微分几何中的曲率流方程求解思路探讨途径
微分几何中的曲率流方程求解思路探讨途径在微分几何中，曲率流方程是一个重要的求解问题。
本文将探讨曲率流方程的求解思路和途径。
1. 引言在微分几何中，曲率是研究曲线和曲面性质的一个重要指标。
曲率流方程是描述曲面在时间演化中曲率变化的方程。
求解曲率流方程可以帮助我们更好地理解曲面的几何性质。
2. 曲率流方程的描述曲率流方程描述了曲面上的点在时间演化中曲率的变化情况。
常用的曲率流方程包括Monge-Ampère方程、均匀曲率流方程等。
这些方程在不同的问题中有着广泛的应用。
3. 求解思路曲率流方程的求解思路通常可以分为以下几个步骤：(1) 初始曲面设定：首先需要确定初始曲面，即初始时刻曲面的形状。
根据问题的具体要求，可以通过给定初始曲面的参数方程或使用已知的曲面形状。
(2) 曲率计算：在曲面上的每个点，需要计算其曲率和曲率变化率。
曲率的计算通常根据曲线的定义来进行，而曲率变化率可以通过偏导数或其他几何量的计算得到。
(3) 曲率流方程的建立：根据曲率的计算结果，可以建立相应的曲率流方程。
不同的曲率流方程对应着不同的曲面性质演化情况，需要根据具体问题选取适合的曲率流方程。
(4) 数值解法：曲率流方程通常很难得到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
(5) 求解结果的分析和验证：通过数值求解得到的曲面形状，需要进行分析和验证。
这包括与理论结果的对比、稳定性和收敛性等方面的评估。
4. 求解途径在求解曲率流方程时，可以借助各种数学工具和数值方法。
常用的求解途径包括：(1) 偏微分方程理论方法：利用偏微分方程的理论和方法，对曲率流方程进行分析和求解。
这种方法通常适用于简单的曲率流方程或有特殊结构的方程。
(2) 数值方法：通过离散化的方法，将曲率流方程转化为一组代数方程，并借助数值方法进行求解。
这种方法适用于复杂的曲率流方程和边界条件。
(3) 数学建模方法：利用数学建模的方法，将实际问题转化为曲率流方程的求解问题。
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（ Ａ ）：
１≤ Ｉ １＜ｔ ２＜ … ＜ ｔ ｋ≤ ｎ
∑ Ａ Ａ … Ａ Ｖ Ａ＝
Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 问题全 局光 滑解 的存 在性 ，引入 由 的 水 平 集 的 曲率 ， ｃ 和ｌ Ｄｕ Ｉ 。 产 生 的辅助 函数 日， 并
且 得到 了 Ｈ 的一 致下 界． 最 近 ，Ｃ ｈ ｅ ｎ ，Ｍａ和 Ｓ ｈ ｉ ＿ １ 研 究 了 欧 氏空 间 中满 足齐 次 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边 值 条件 的椭 圆型 Ｍｏ ｎ ｇ ｅ—
ａ “ 肼 ’
０ ｏ － ４ （ Ｄ Ｈ ）
有 ｅ ＝０， Ｆ ＝０ ．接下 来 的计算 均 在 固定 点
‰ 处进 行．
０
西 ＝
— 面
４
ｋ． Ｚ ＝１
４
∑
ｋ， ｌ ＝１
０ ｏ － ２ （ Ｄ２ ｕ ）
“ ｆ一 ６ ，
对 西求 一 阶导有
定理 １ 的证 明 由于 是严格 凸的 ， 那么其 Ｈ ｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ 矩阵 Ｄ 是正 定 的 ， Ｄ ＞０ ．为 了证 明
（ ２ ）式在 任 意 ∈ 处 成立 ，可 以在 处 选取 光 滑 的标 准 正交标 架 ｅ 一， ｅ 使得 Ｈ ｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵
中图 分 类 号 ： Ｏ １ ８ ６ ． １ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ： １ ０ ０ ０— ５ ６ １ ７ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ３— ０ ０ ０ １— ０ ３
０ 引 言
Ｍｏ ｎ ｇ ｅ—Ａ ｍｐ ｅ ｒ ｅ方程 是 最 重 要 的完 全非 线 性偏微分方 程 ， 它具有 一般形式 ｄ ｅ ｔ ＝ｆ（ ） ， 其中 ｄ ｅ ｔ Ｄ 代表 Ｈｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ 矩阵 Ｄ “的行列 式．当
ａ （ Ｄ Ｍ ）
—
其中 代表 黎曼流形上 的黎曼联络．令 ｅ ，
…
，
ｅ 是 上局 部标架 ， 记ｇ ＝ｇ （ ｅ ， ｅ ） ， ＝ ＝（ Ｒ（ ｅ ， ｅ １ ） ｅ Ｊ ，
ｌ
ｅ ） ， ｅ ＝ ｅ ．
微分不等式∑ １ 预 备 知 识
≥０ 成立．
首先 ， 定 义基 本初 等对 称 函数 ： 对 Ｖ ｋ＝ １ ，
２， … ， ．
维 欧 氏空 间 中光 滑 有 界 严 格 凸 区域 上 一 类 退 化
的椭 圆 型 Ｍｏ ｎ ｇ ｅ— Ａ ｍ ｐ ｅ ｒ ｅ方 程 ，得 到 了齐 次
Ｈｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩 阵 Ｄ 是正 定 的时 候 ，即 Ｍ是 严格 凸
＝
塞 皇 “ 一 ２ （ ｎ 一 １ ） ，
建立微分不等式∑ ｕ ｉ ｊ ≥ｏ ； ∑ｕ ０ ０ ≥０ 来证
明结 论．该 文 将 这 种 方 法 推 广 到 四维 常 曲率 黎
曼 流形 上 ， 证 明关 于 问题 （ １ ） 解产 生 的函数 西的
Ｍ （ 。 ） （ １≤ ｉ ， ≤ ４ ）是对 角 的且 ｇ ：６ ， 此 时
阵， ｕ＝ （ ｕ ） 一 Ｆ ： ｕ ． 为方便计算简记
Ｖ ， ｕ＝ ， 类 似 的有 ＝ 州， 接下 来 定义 ：
“
＝“ ， Ｍ＝ｕ 舭，
０ ｏ ＂ ２ （ Ｄ “ ）
第３ １ 卷
哈尔滨师范大学 自然科学学报
ＮＡＴ ＵＲ ＡＬ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ ＮＣＥ Ｓ Ｊ ０ＵＲ ＮＡＬ ０Ｆ ＨＡＲＢ Ｉ Ｎ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮ Ｉ ＶＥＲ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
第 ３期
四 维 空 间 形 式 中 Ｍｏ ｎ ｇ ｅ —Ａ ｍ ｐ ｅ ｒ ｅ 方 程解 的微 分 不等 式 术
（ Ａ（ ） ） ，特 别 的，ｏ ｒ （ Ｗ ） ＝
［ ｄ ｅ ｔ Ｄ ＝１ ｉ ｎ ，
：
， １ 、
设（ ， ｇ ）是 黎曼 流形 ，定义 曲率张 量 ：
（ ， Ｙ ） Ｚ＝ Ｚ— ｚ一
］ ｚ，
．
０ ｏ ｎ ａ
解ｕ 的水平集的曲率估计． 主要是通过对给定辅 助 函数
Ａｍ ｐ ｂ ｒ ｅ方程
（ Ａ １ ， Ａ ２ ， …， Ａ ） ∈Ｒ ，
令 Ｗ ＝（ ） 是 一个 ｒ ｔ ×１ １ ， 阶对 称矩 阵 ， Ａ（ Ｗ）＝ （ Ａ。 （ ） ， Ａ ： （ ） ， …， Ａ （ Ｗ） ）是 （ Ｗ） ＝
ｄｅ ｔ ｗ ．
的特 征 值．
时， 它是 椭 圆型 的．而一个 区域 称作 严格 凸 的
是指在边界 ａ 上任意点的所有主曲率是严格正 的．有 关 Ｍｏ ｎ ｇ ｅ—Ａ ｍ ｐ ｅ ｒ ｅ方程 的研 究具 有 大 量 文献 ， 参见 文 献 ［ ３ ］ ．
２ ０ １ １ 年， Ｈｏ ｎ ｇ ，Ｈ ｕ ａ ｎ ｇ 和 Ｗａ ｎ ｇ 研 究 了二
收稿 日期 ： ２ ０ １ ４一ｌ １ — ２ ２ 国家 自然科学基 金数学天元基金 资助 （ １ １ ３ ２ ６ １ ４ ４ ）
２
哈尔滨师范大学 自然科 学学 报
２ ０ １ ５年 第 ３ １ 卷
设（ ， ｇ ）是 四维 黎 曼 流 形 ， ｃ Ｍ４ ， ∈ Ｃ （ ） ， Ｄ ｕ是 ｕ的梯 度 ， Ｄ ｕ是 Ⅱ的 Ｈ ｅ ｓ ｓ ｉ ａ ｎ矩
于 雪梅
（ 哈尔滨师范大学）
【 摘
要】对满足 齐次 Ｄ ｉ ｒ ｉ ｃ ｈ ｌ ｅ ｔ 边值条件 的椭圆型 Ｍ ｏ ｎ ｇ ｅ — Ａ ｍ ｐ ｅ ｒ ｅ 方程
ｄ ｅ ｔ Ｄ “＝ｌ ， 在 常 曲率黎 曼流 形上 给 出一个 关 于方程 解 的微 分 不等 式的证 明
【 关键词 】 黎 曼流形 ； Ｍ ｏ ｎ ｇ ｅ — Ａ ｍ ｐ ｅ ｒ ｅ 方程 ； 微分不等式