高中数学选修4-5第一讲 不等式4

探究 你能从几何的角度解释 定理 吗?
a 如果把实数 , b作为线段 长度那么可以这样来解 aH 释定理 :
借助几何画板 解释定理 .
A I K
b
D
G
F
b
J
B
a
C
b
E
图 . −
以 a ≥ b 为例 , 如图 . − , 在正方形 ABCD 中, AB = a ; 在正方形 CEFG 中, EF = b.那么 S 正方形 ABCD + S 正方形 CEFG = a + b . 矩形 BCGH 和矩形 JCDI 的长
( ) 决一些最大 小 值 利用基本不等式可以解 问题.
角形的休闲 某居民小区要建一座八
H G
D A
(图 , 场所 它的主体造型平面图 . −
构成的面积为
)
Q
P N F
C B
ABCD和EFGH 是由两个相同的矩形 平方米的十字型地 MNPQ上建一座花 域.计划在正方形 坛, 造价为每平方米 元, 在四个相
(基本不等式 如果a, b > )
, 那么
a . ≥ ab. 当且仅当 = b时, 等号成立
证明 因为a + b =
= ab , 所以
( a ) + ( b) ≥
≥ ab .
a⋅ b
a+b
当且仅当 a = b , 即a = b 时, 等号成立 .
如果 a, b 都是正数 , 我们就称
a+b
为a, b
均为 a , 宽为 b, 它们的面积和是 S 矩形 BCGH + S 矩形 JCDI = ab. 矩形 BCGH 和和矩形 JCDI 的公共部分是正
方形 JCGK , 它的边长 D F 等于 b, 其面积与正方 G H K a 形 CEFG 相等. 所以 , b 上述两个矩形的面积 J C E B b a 和 ab 就 等 于 图 中 阴 图 . − 影部分的面积 ,它不大 , 它不大 于正方形 ABCD 与正方形 CEFG 的面积的和 ,
; , 的面积最大 ( ) 在所有面相同的矩形中正方形 . 的周长最短
x 分析 设矩形的长为 ,宽为y,那么该矩形的周长 xy , : 为 ( x + y),面积为 .这样问题就转化为
求证: ( ) 在所有周长相同的矩形 , 正方形 中
( ) 如果 ( x + y) (从而x + y) 为定值那么正数x, ,那么正数
(x + y ) ≥
当且仅当 x = y 时, 等号成立 , 即当且仅当 矩形是正方形时, 周长 值 S.
( x + y ) 取得最小
一般地 , 从基本不等式可以得到 下面结论 : 对两个正实数 x, y , 如果它们的和 S 是定值 , 则当且仅当 x = y时, 它们的积 P取得最大值 ;
如果它们的积 P是定值 , 则当且仅当 x = y时, 它们的和 S取得最小值 .
基本不等式
(a, b ∈ R) ,为了方便同学们学习 ,下面将它
, . 以定理的形式给出并给出证明
我们已经学过 重 要 不等式a + b ≥ ab
定理
如果a, b ∈ R, 那么a + b ≥ ab,当
且仅当 = b时, 等号成立 a ,等号成立 .
证明 因为a + b − ab = (a − b ) ≥ ,当且仅 a = b时等号成立, 所以,当且仅当a = b时, 等号 成立.
即 a + b ≥ ab.当且仅当 a = b时, 两个矩形成为
A I
b
两个正方形 , 阴影部分面 积 等于正方形 ABCD 与正 方形 CEFG 面积和 , 即 a + b = ab.
, 就可以得到 将定理 作简单的恒等变形 以下的基本不等式 (basic inequality ).
定理 a+b
y 有什么关系时 最大? xy ( ) 如果 xy 为定值那么正数x, y 有什么关系时 , ( x + y) (从而x + y) 最小? 由于基本不等式恰好涉 及两个正数的和与积之 , . 间的数量关系所以可以利用基本不等 式证明 动画解释上述分析过程 .
解 设矩形的长为x , 宽为 y .
( )设矩形周长为定值l , 即
M E
图 . −
( ) , 同的矩形上图中阴影部分铺花岗岩地坪造价为每 平方米 (图中四个三角形 )上铺草 元, 再在四个空角 . 坪, 造价每平方米 元
( )设总造价为 元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数 S
; 关系式
( )当x为何值时 最小并求出这个最小值 S , .
−x x + = × x + 解 ( )设DQ = y米, 则 x x + = + x x + xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = ,
斜边OC大于直角边CD, a+b 所以 > ab .
A
O
D
B
图 . −
当a = b时, Rt∆ABC斜边AB上的中线OC和高CD a+b 重合, 所以 = ab .
综上所述可知, 基本不等式的几何意义是 : 直角 三角形斜边上的中线不小于斜边上的高 .
? 探究 你能给出基本不等式的 其他几何解释吗
例
由此可知,当AD约为 . 最小值 元.
米时, 休闲场所总造价S取
几何画板动画实验演示
−x 从而 y = . 于是 x S= x + × xy + × y
×
D A
−x H G x
Q
P N F
C B
M E
图 . −
( )由基本不等式可知
x +
≥
D
H G
Q
P N F
C B
x
x × x + = ,
A
M E
图 . −
所以 S ≥
=
.
当且仅当
x =
x
, 即x ≈ . 时, 等号成立.
的 几何平均( geometric mean ) , 于是 , 基本 不等式可以表述为 :
的 算术平均(arithmetic mean ) , ab 为 a, b
小于( 即大于或 两个正数的算术平均不 等于) 它们的几何平均.
下面我们讨论一下基本不等式的几何意义.
. 动画解释基本不等式
在图 . − 中, CD是 Rt∆ABC 中斜边 AB 上的高 , OC 是斜边 AB上的中线, AD = a, BD = b. 于是,
A O
C
D
B
图 . −
OC =
AB =
(a + b ) .
因为∠DCA + ∠A =
,
∠ B + ∠A =
, 所以 ∠DCA = ∠B.
AD CD 于是, Rt∆DCA ~ Rt∆DBC , 从而 , = CD BD
a CD 即 .所以 CD = ab . = CD b
C
当a ≠ b时, 在Rt∆OCD中,
x+ y 根据基本不等式 l 可得 ≥ xy .
l
x + y = l为定值.
≥ xy ,
于是, 矩形的面积 xy ≤
, 当且仅当x = y时,
等号成立 , 即当且仅当矩形是正方 形时 , 面 积 xy 取得最大值 l .
( ) 设矩形面积为定值 S , 即 xy = S 为定值 .
x+ y 根据基本不等式 矩形的周长 ≥ xy , xy = S,