上册4.4 第1课时 两个三角形相似的判定(一)
4.用角的关系判定两三角形相似课件
符号语言： 如图，在△ABC 与 △A'B'C'中
∵∠A =∠A'，∠B =∠B'，
C
∴△ABC ∽ △A'B'C'.
α A
β
α
B
A'
C'
β
B'
4.4.1 用角的关系判定两三角形类似
例1 如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC，AB = 7，AD = 5，DE = 10，求 BC 的长. 解：∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴△ADE∽△ABC ( 两角分别相等的两个三角形类似 ).
似于△A′B′C′.
C′ C
A
B
A′
B′
注意：在写两个三角 形类似时，应把表示 对应顶点的字母写在 对应的位置上.
4.4.1 用角的关系判定两三角形类似
用数学符号表示：
C′ C
A
B
A'
B'
由图 2 可知，
∵ ∠A= ∠A′ , ∠B= ∠B′，∠C=∠C′, AB BC CA A'B' B'C' C'A'
∴
.
A
∴
.
D
E
B
C
4.4.1 用角的关系判定两三角形类似
例2 如图 D、E 分别是△ABC 边 AB、AC 上的点，∠AED =∠C， △ABC 与△ADE 类似吗？如果类似请写出证明过程.
结论：△ABC 与△ADE 类似. 证明：∵∠AED = ∠C， 又∵∠A = ∠A， 所以△ABC =△ADE ( 两角分别相等的两个三角形类似 ).
北师大新版九年级数学上册-4.4 第1课时 利用两角判定三角形相似1教案带教学反思
4.4探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC∽△A′B′C′.理由：由三角形的内角和是180°，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.故△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：相似三角形的判定定理1的应用已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：AFBF＝EFDF.解析：要证明AFBF＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴AFBF＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF 的长.解：方法一：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AD AB ＝DE BC ，即44＋8＝5BC ，所以BC ＝15cm.又因为DF ∥AC ， 所以四边形DFCE 是平行四边形， 所以FC ＝DE ＝5cm ，所以BF ＝BC －FC ＝15－5＝10（cm ）. 方法二：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B .又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ，所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF ，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到. 三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；（2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.。
浙教版九年级数学上册教案《4.4两个三角形相似的判定》
《4.4两个三角形相似的判定》本节课是浙教版初中数学九年级上册《相似三角形》的内容，在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义的全面研究，也是相似三角形性质的研究基础，同时还是研究圆中比例线段和三角函数的重要工具，可见一相似三角形的判定占据着重要的地位。
【知识与能力目标】使学生掌握三角形相似的判定定理1，2，3，和它们的应用.【过程与方法目标】通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合作交流能力.【情感态度价值观目标】通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维【教学重点】判定的应用【教学难点】判定的引入教师准备课件、多媒体；学生准备课本、练习本、三角板；一、导入新课提问：1.什么是相似三角形？2.什么是全等三角形？3.全等三角形的判定方法有哪些？4.你认为三角形相似至少需要那几个条件？二、新课学习合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？合探 2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A 和∠A ′都等于∠α，∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？三边的比C B BC C A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．例：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，DE ∥BC ,AB =7，AD =5，DE =10，求B C 的长。
解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C.∴△ADE ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). ∴AD AB =DE BC . ∴BC =AB×DE AD = 7×105=14. 合探31.（1）画△ABC 与△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，B A AB ''和C A AC ''都等于给定的值k .设法比较∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小）、△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？（2）改变k 值的大小，再试一试.定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．2. 画△ABC 与△A ′B ′C ′，使B A AB ''、C B BC ''和A C CA ''都等于给定的值k . （1）设法比较∠A 与∠A ′的大小；（2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？说说你的理由.改变k 值的大小，再试一试.定理3：三边:成比例的两个三角形相似．例题学习例1：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AC ,AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且AD AB =34，求DE 的长.解：∵AE =1.5，AC =2，∴AE AC =34， ∵AD AB =34， ∴AD AB =AE AC. 又∵∠EA D=∠CAB ，∴△ADE ∽△ABC (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).∴DE BC =AD AB =34. ∵BC =3，∴DE =34 BC =34×3=94. 例2：如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD =BC DE =AC AE，∠BAD=20°，求∠CAE 的度数.解：∵AB AD =BC DE =AC AE， ∴△ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).∴∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC =∠D AE －∠DAC ，即∠BAD=∠CAE .∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.结论总结本节学习了相似三角形两个判定定理，一定用时要注意它们使用的条件．四、课堂练习1.如图，在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A ＝50°，∠B ＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC 与△A′B′C′相似吗？为什么？2.如图，D 、E 分别是三角形ABC 边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
九年级数学上册-北师大版九年级上册数学 4.4 第1课时 利用两角判定三角形相似
4.4 探索三角形相似的条件第1课时 利用两角判定三角形相似学习目标：1、掌握并会推导相似三角形的判定定理1.2、会用相似三角形的判定定理1进行一些简单的判断、证明和计算.学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理1证明和解决有关问题．预设难点：相似三角形的判定定理1的推导和应用.【预习案】1．对应角相等，对应边也相等的两个三角形全等，你还记得三角形全等的其他判别条件吗？2．相似三角形的定义是什么？你认为判别两个三角形相似至少需要哪些条件？【探究案】合探1 同学们观察我们的直角三角尺，直观上看它们是什么关系？到底需要满足几个条件两个三角形能够相相似？合探2 与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A ′B ′C ′,使得∠A =∠A ′都等于∠α， ∠B 和∠B ′都等于∠β，此时，∠C 与∠C ′相等吗？对应边的比C B BC C A AC B A AB '''''',,相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β的大小，再试一试.思考：在实际画图过程中，同学们画了几个角相等？为什么？由此得到相似三角形的判定方法1：例：如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥B C ，AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。
【训练案】1、如图D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，∠AED=∠C ，△ABC 与△ADE 相似吗？如果相似请写出证明过程 AB C ED2、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．3.在R t ⊿ABC 中，CD 是斜边上的高，则⊿ABC ∽⊿CBD ∽⊿ACD 。
4.如图，点A 、O 、D 与点B 、O 、C 分别在一条直线上，如果AB ∥CD 那么△AOB 与△DOC 相似吗？为什么？ D C B AA BOC D。
浙教版数学九年级上册4.4 两个三角形相似的判定(一).docx
4.4 两个三角形相似的判定(一)1．如图，在△ABC 中，DE ∥B C.若AD AB ＝13，DE ＝4，则BC ＝(D )(第1题)A. 9B. 10C. 11D. 122．有一个角相等的两个等腰三角形(C ) A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 一定全等3．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 边上一点，AE 交BD 于点F .如果EC BE ＝23，那么BFFD 的值为(B )A. 25B. 35 C. 23 D. 53(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为(C)A. 154 B. 7C. 152 D.2455．如图，在▱ABCD中，F是BC上一点，直线DF与AB的延长线交于点E，作BP∥DF，与AD 交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED(答案不唯一)．(第5题)6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2 2，AB＝3，则BD＝__83__．(第6题)7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为4__2．(第7题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.(第8题)【解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．(第9题) 【解】结论：△AEC∽△AC D.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠AC B.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠AD C.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△AC D.10．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点G ，则AG ∶GC 的值为(B ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3(第10题)【解】 如解图，连结BD ，交AC 于点O .(第10题解)∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线， ∴EF ∥DB ，且EF ＝12DB ，∴△AEF ∽△ADB ，△AEG ∽△ADO ， ∴AG AO ＝AE AD ＝EF DB ＝12. ∴G 为AO 的中点． ∴AG ＝GO . 又∵OA ＝OC ， ∴AG ∶GC ＝1∶3.11．已知在▱ABCD 中，点E 在直线AD 上，AE ＝13AD ，连结CE 交BD 于点F ，则EF ∶CF 的值是23或43．【解】 当点E 在线段AD 上时，如解图①. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△EFD ∽△CFB ，∴EF ∶CF ＝DE ∶B C. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝2AE ＝23AD ＝23BC ， ∴DE ∶BC ＝2∶3， ∴EF ∶CF ＝2∶3.(第11题解)当点E 在线段DA 的延长线上时，如解图②. 同上可得△EFD ∽△CFB ， ∴EF ∶CF ＝DE ∶B C. ∵AE ＝13AD ，∴DE ＝4AE ＝43AD ＝43BC ，∴DE ∶BC ＝4∶3，∴EF ∶CF ＝4∶3. 综上所述，EF ∶CF 的值是23或43.12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5 cm ，∠BAC ＝60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以2 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以 3 cm/s 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t (s)(0≤t ≤5)，连结MN .(1)若BM ＝BN ，求t 的值．(2)若以M ，B ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值． (3)当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．(第12题)【解】 (1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，∠BAC ＝60°，∴∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝10，BC ＝5 3. 由题意，得BM ＝2t ，CN ＝3t ， ∴BN ＝5 3－3t .当BM ＝BN 时，2t ＝5 3－3t ，解得t ＝10 3－15. (2)分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，MB AB ＝BN BC ，即2t 10＝5 3－3t 5 3，解得t ＝52. ②当△NBM ∽△ABC 时，NB AB ＝BM BC ，即5 3－3t 10＝2t 5 3，解得t ＝157. 综上所述，当t ＝52或t ＝157时，△MBN 与△ABC 相似．(3)如解图，过点M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，∴△BMD ∽△BAC ，(第12题解)∴MD AC ＝BM BA ，即MD 5＝2t 10，解得MD ＝t .设四边形ACNM 的面积为y ，则y ＝12×5×5 3－12(5 3－3t )×t ＝32t 2－5 32t ＋25 32＝32⎝⎛⎭⎫t －522＋75 38.∴当t ＝52时，y 取得最小值，为75 38，即当t ＝52时，四边形ACNM 的面积最小，为75 38 cm 2.13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.在△A′B′C′中，∠C′＝90°，A′C′＝B′C′.能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．(第13题)【解】能分割，如解图所示(答案不唯一)．(第13题解)初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。
九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件第1课时两角分别相等的判定方法课件(新版)北师大版
40° 80° ？ 80° 60°
B
C
E
F
练习2 有一个锐角相等的两直角三 角 形是否为相似 三角形？
相似三角形的复习 相似三角形的判定定理1
B'
C'
用数学符号表示：
A A'
咦？是 这么表示 的？
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
练习：
ΔABC和ΔDEF中， ∠A=40°， ∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60°。 ΔABC与ΔDEF 相似 （“相似”或 “不相似”）。 D
A
动 动 手 啊
B
A
AB BC CA A' B' B' C' C' A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
C'
相似三 角形的定义 可以作为三 角形相似的 一种判定方 法。
A'
B'
A
问题：
在△ABC 和△ A'B'C'中,
∠A=∠A'，∠B= ∠B'
B A' C △ABC与△ A'B'C'是否相似?
判定定理1：如 果一个三角形的两 个角与另一个三角 形的两个角对应相 等，那么这两个三 角形相似。可以简 单说成： 两角对应 相等，两三角形相 似。
4.4
探索三角形相似的条件
第1课时 两角分别相等的判定方法
观察一下:这些图片有什么特点?
不错！这些图片都是相似的。 形状相同、大小不同！
4.4相似三角形的定义及判定（第1课时）同步练习（含答案）
4探索三角形相似的条件第1课时利用两角的关系判定三角形相似关键问答①相似三角形的性质有哪些？1．①如图4－4－1，已知△ABC∽△DEF，则x等于()图4－4－1A．40°B．60°C．80°D．80°或60°2．如图4－4－2，D，E，F，G四点在△ABC的边上，其中DG与EF相交于点H.若∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝40°，则下列哪一组三角形相似()图4－4－2A．△BGD，△CEF B．△ABC，△CEFC．△ABC，△BGD D．△FGH，△ABC3.如图4－4－3，已知△ABC与△ADE相似，且∠B＝∠ADE，则下列比例式正确的是()图4－4－3A．AD∶AC＝DE∶BC B．AE∶BE＝AD∶DCC．AE∶AB＝AD∶AC D．AE∶AC＝AD∶AB命题点1利用两角分别相等判定两三角形相似[热度：93%]4．②如图4－4－4，P为线段AB上一点，AD分别交BC，PC于点E，G，BC交PD于点F，∠CPD＝∠A＝∠B，则图中相似三角形有()图4－4－4A．1对B．2对C．3对D．4对方法点拨②根据相似三角形的定义可知：若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″，即三角形相似具有传递性．5．③·株洲如图4－4－5所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.图4－4－5解题突破③由正方形和等腰直角三角形我们可以得到哪些线段相等，哪些角相等？命题点2根据两三角形相似进行计算[热度：90%]6.④[·毕节]如图4－4－6，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC ＝2 2，AB＝3，则BD＝________．图4－4－6方法点拨④在写相似表达式时要像写全等表达式那样，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样也有利于正确写出边的比例式，保证结果正确．7．⑤将三角形纸片ABC按如图4－4－7所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D 处，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则CF的长是________．图4－4－7易错警示⑤注意根据对应顶点分类讨论.8.⑥·六盘水如图4－4－8，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________.图4－4－8解题突破⑥作平行线构造“A”字形图的相似三角形.命题点3有关相似三角形的存在性问题[热度：80%]9．⑦如图4－4－9，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F.(1)求证：△PF A∽△ABE.图4－4－9(2)当点P在射线AD上运动时，设P A＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．易错警示⑦注意x的值可能不止一个．10．⑧如图4－4－10①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.(1)求证：△ABF∽△COE；(2)当O 为AC 边的中点，AC AB ＝2时，如图②，求OFOE 的值；(3)当O 为AC 边的中点，AC AB ＝n 时，请直接写出OFOE的值．图4－4－10方法点拨⑧求线段的比时常借助相似三角形的性质，当比例式中的线段不能构成相似形时，可考虑利用等量代换的方法求解．详解详析【关键问答】①相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例．1．C[解析] ∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E.∵∠B＝80°，∴∠E＝x＝80°.故选C.2．B[解析] ∵∠ABC＝∠EFC＝70°，∴EF∥AB，∴△ABC∽△EFC，故B正确；在△BDG中，∠B＝70°，∠DGB＝40°，则∠GDB＝70°；在△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝60°，则∠A＝50°，∴△ABC，△CEF与△BGD不相似，故A，C错误；∵EF∥AB，∴△FGH∽△BGD；∵△BGD与△ABC不相似，∴△FGH与△ABC不相似，故D错误．故选B.3．D[解析] 由∠B＝∠ADE可知△ABC∽△ADE，∴AE∶AC＝AD∶AB.故选D.4．C[解析] 在△PCF和△BCP中，∵∠CPF＝∠B，∠C为公共角，∴△PCF∽△BCP；在△APD和△PGD中，∵∠GPD＝∠A，∠D为公共角，∴△APD∽△PGD；∵△APD∽△PGD，∴∠APD＝∠PGD，∴∠BPF＝∠AGP.又∵∠A＝∠B，∴△AGP∽△BPF.共有3对相似三角形．故选C.5．证明：(1)由正方形ABCD及等腰直角三角形DEF，可知∠ADC＝∠EDF＝90°，AD ＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF.在△DAE和△DCF中，DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∴△DAE≌△DCF.(2)延长BA交ED于点M，如图所示．∵△DAE≌△DCF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF.∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.又∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.6.83[解析] ∵∠BCD＝∠A，∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴BCBD＝ABBC，即2 2BD＝32 2，∴3BD＝8，∴BD＝83.7.127或2[解析] 因为△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，所以FD＝CF.设CF＝x，则BF＝4－x，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD＝∠C，则FDBF＝ACBC，即x4－x＝34，解得x＝127；①若∠BFD＝∠A，则FDBF＝ACAB，即x4－x＝1，解得x＝2.综上所述，CF的长为127或2.8.169[解析] 如图，过点O作OM∥AD交AB于点M.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴MO是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝12AB＝52，MO＝12BC＝4.∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴AEME＝AFMO，即22＋52＝AF4，∴AF＝169.9．[解析] (1)在△PF A与△ABE中，易得∠P AF＝∠AEB及∠PF A＝∠ABE＝90°，故可得△PF A∽△ABE；(2)分两种情况列出关系式．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，∴∠P AF ＝∠AEB . 又∵∠PF A ＝∠ABE ＝90°， ∴△PF A ∽△ABE .(2)若△EFP ∽△ABE ，，如图① 则∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ， ∴四边形ABEP 为矩形， ∴P A ＝BE ＝2，即x ＝2；若△PFE ∽△ABE ，如图②， 则∠PEF ＝∠AEB .∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ， ∴PE ＝P A .∵PF ⊥AE ，∴F 为AE 的中点． ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝2 5， ∴EF ＝12AE ＝ 5.∵PE AE ＝EF EB ，即PE 2 5＝52， ∴PE ＝P A ＝5，即x ＝5. ∴满足条件的x 的值为2或5.10．[解析] (1)要求证△ABF ∽△COE ，只要证明∠BAF ＝∠C ，∠ABF ＝∠COE 即可． (2)作OH ⊥AC ，交BC 于点H ，易证△OF A 和△OEH 相似，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值．(3)同(2)可得，OFOE＝n .解：(1)证明：∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠C ＝90°. ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C .∵OE ⊥OB ，∴∠BOA ＋∠COE ＝90°. 又∵∠BOA ＋∠ABF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠COE . ∴△ABF ∽△COE .(2)如图，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH ∥AB .由(1)得∠ABF ＝∠COE ，∠BAF ＝∠C ， ∴∠AFB ＝∠OEC ， ∴∠AFO ＝∠HEO .又∵∠BAF ＝∠C ，∠BAF ＋∠F AO ＝∠C ＋∠EHO ＝90°， ∴∠F AO ＝∠EHO ，∴△OF A ∽△OEH ，∴OF OE ＝OAOH .又∵O 为AC 的中点，OH ∥AB ， ∴OH 为△ABC 的中位线， ∴OH ＝12AB ，OA ＝OC ＝12AC .而AC AB ＝2，∴OA OH ＝2，∴OF OE＝2. (3)OF OE＝n .。
4.4 两个三角形相似的判定第1课时 两个三角形相似的判定(1)浙教版数学九年级上册课件
2.如图，点D，E，F分别在△ABC的各条边上，且 DE∥BC，DF∥AC. 请尽可能多地找出图中的相似三角 形，并说明理由. （3）△ADE∽△DBF. 理由如下： ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠DBF，∠EDF=∠DFB. 又∵DF∥AC， ∴∠EDF=∠AED.∴∠DFB=∠AED. ∴△ADE∽△DBF.
4.4 两个三角形相似的判定
第1课时 两个三角形相似的判定（1）
✓ 掌握判定三角形相似的预备定理，并了解它的证 明过程.
✓ 掌握利用两角判定三角形相似的定理，了解证明 过程，并会根据相似三角形的判定定理判定两个 三角形相似.
✓ 能利用三角形的相似解决简单的实际问题.
怎样运用三角形的相似测量河的宽度？
∠B＝∠ B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′.
证明：如图，在A′B′上截取A′D=AB，
作DE∥B′C′，交A′C′于点E，
则△A′DE∽△A′B′C′.
A′
又∵∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′=∠A′DE，
A
D
E
∴△ABC≌△A′DE，
B
C B′
C′
∴△ABC∽△A′B′C′.
由两角对应相等判定三角形相似是所有判定方法中最常 用的方法之一，其关键是找准对应角，解题时应注意挖 掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等相等关系. 常见的基本图形如下：
在解决这个问题之前，我们先思考： 判定两个三角形相似需要多少条件？
回顾判定两个三角形全等的条件，相应的，猜想判定两 个三角形相似有哪些条件？ 两个三角形全等的条件：
AAS，ASA， SAS， SSS，
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例
HL.
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，
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4.4 两个三角形相似的判定
第1课时两个三角形相似的判定(一)
1．如图4－4－9，∠1＝∠2＝∠3，则以下结论不正确的是(C) A．△DEC∽△ABC B．△ADE∽△BEA
C．△ACE∽△BEA D．△ACE∽△BCA
图4－4－9
【解析】由∠1＝∠2＝∠3，∠C＝∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得△DEC∽△ABC及△ACE∽△BCA，由∠2＝∠3，可判定DE∥AB，继而可得∠DEA＝∠BAE，又∠1＝∠3，即可证得△ADE∽△BEA.
2. 如图4－4－10所示，已知DE∥BC，AD＝5，DB＝3，BC＝10，∠B＝50°，
则∠ADE＝__50°__，DE＝__6.25__.
图4－4－10
【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°.
∵AB＝AD＋DB＝5＋3＝8，
又∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴AD AB ＝DE BC ，即58＝DE 10，
∴DE ＝6.25.
3．如图4－4－11所示，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H .
(1)求证：AH ·AB ＝AC 2；
(2)若过A 的直线与弦CD (不含端点)相交于点E ，与⊙O 相交于点F .求证：AE ·AF ＝AC 2.
图4－4－11 第3题答图
证明：(1)连结CB .∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°.∵CD ⊥AB ，
∴∠AHC ＝∠ACB ＝90°.
又∵∠CAH ＝∠BAC ，
∴△CAH ∽△BAC ，
∴AH AC ＝AC AB ，
即AH ·AB ＝AC 2.
(2)连结BF .
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFB ＝90°.∴∠AHE ＝∠AFB ＝90°.
又∵∠HAE ＝∠F AB ， ∴△AHE ∽△AFB ， ∴AE AB ＝AH AF ，
即AE ·AF ＝AH ·AB . 又∵AH ·AB ＝AC 2， ∴AE ·AF ＝AC 2.。