2019版高考数学一轮复习第4章平面向量4.2平面向量基本定理及坐标表示课件文-文档资料

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高三理科数学第一轮复习§4.2：平面向量的基本定理及坐标表示

第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
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点拨
第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的基本定理及坐标表示
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第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向4.1：平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习

2
2
3
2
故
1
2
=
1
−
2
1=−
−
1

3
⇒
5
=
7
6
=−
7
,
6
6
2
8
所以= = + ,λ+μ= ,故B选项错误;
7
7
7
7
1
2
=-=- + ,
3
3
5
2
1
2
7
因为= ,所以= =- + ,故= ,C选项正确;
7
7
7
7
3
6
6
2
1
因为= ,所以S△ABM= S△ABF= S△ABC= S,故D选项正确.
(
,
).
3
3
2.如果对于一个基底 1 , 2 ,有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,那么可以得到λ1=μ1,λ2=μ2.
特别地,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
易错
高考
题号
1
2
4
3
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在△ABC中,{,}可以作为基底.(
等分点,记=a,=b,则下列说法正确的是(
A.点M,N,E三点共线
9
B.若=λa+μb,则λ+μ=
7
7
C.=
3
1
D.S△ABM= S,S为平行四边形ABCD的面积
7
)
【解析】选ACD.如图所示:

第四章第二节平面向量的基本定理及坐标表示

个正交基底{e1，e2}，e1，e2分别是与x轴和y轴同方向
的单位向量，这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
返回
在坐标平面xOy内，任作一向量 AB ＝a，由平面向量基本定理知，存在唯一的有序实数对(a ，a )使得 a＝a1e1＋
1 2
a2e2，(a1，a2) 就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a ＝ (a1，a2)，显然，0＝ (0,0) ，e1＝(1,0)，e2＝ (0,1) ． (2)在直角坐标系中，一点A的位置被点A的位置向量 OA 所唯一确定．设A(x，y)，则 OA ＝xe1＋ ye2＝(x，y) ．
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入
第二节平面向量的基本定理及坐标表示
抓基础
明考向
教你一招我来演练
提能力
返回
[备考方向要明了]
考什么 1.了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
1 n ∴m＝，n＝－1.∴m＝－4. 4
答案：－4
返回
返回
1．平面向量基本定理的理解 (1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的基底．单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底．
(2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合，
并且表示方法是唯一的．但不同的基底表示形式是不同的． (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算．
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
返回
怎么考 1.平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点． 2.向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点

【课件】-平面向量基本定理及坐标表示课件-2025届高三数学一轮复习

(1)用 a 和 b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
【解】 (1)由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B，由平行四边形法则，得O→B＋O→C
＝2O→A，所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b，
D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
解法二：因为 a＝(3,2)，若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1＋μe2，排除 A，同理排除 C，D；若 e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，设存在实数 λ，μ，使得 a＝λe1 ＋μe2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以32＝＝－ 2λ－λ＋25μμ，，解得λμ＝＝21，，所以 a＝2e1＋e2. 故选 B.
【解析】解法一：由 O，P，B 三点共线，可设O→P＝λO→B＝(4λ，4λ)，则A→P＝O→P－O→A ＝(4λ－4,4λ)．
又A→C＝O→C－O→A＝(－2,6)，由A→P与A→C共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得 λ＝34，所以O→P＝34O→B＝(3,3)，
所以点 P 的坐标为(3,3)．解法二：设点 P(x，y)，则O→P＝(x，y)，因为O→B＝(4,4)，且O→P与O→B共线，所以4x＝4y，即 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2,6)，且A→P与A→C共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得 x＝y＝3，所以点 P 的坐标为(3,3)．
【解析】 ∵A→P＝tA→B， ∴O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋tA→B ＝O→A＋t(O→B－O→A)＝O→A＋tO→B－tO→A＝(1－t)O→A＋tO→B.
易错易混 5．设向量 a＝(x,1)，b＝(4，x)，且 a，b 方向相反，则 x 的值是( B ) A．2 B．－2 C．±2 D．0

高考理科第一轮复习课件(4.2平面向量的坐标运算)

向量的坐若起点A（x1,y1),终点B（x2,y2),则 AB ＝
（λ x,λ y）设a=（x,y）,λ ∈R，则λ a=____________
标
(x2－x1，y2－y1) _______________
4．向量平行的坐标表示设a,b是非零向量且a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,y1,y2≠0，则 x1y2-x2y1=0 a∥b⇔__________. 定理1：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的成比例坐标_______.
【互动探究】在本例题（2）图中，连接CD交AM于点P，若
AP AM,CP CD 求λ ,μ 的值．，
【解析】CD AD AC 2 AB AC 2 a b，
3 3 1 1 AM （AB AC）（a b）． 2 2 AC AP PC AP CP AM CD
则向量 MN =______. CM 3CA CN 2CB ，，
【思路点拨】（1）利用向量坐标运算的法则求解即可.
（2）根据向量的共线及向量坐标运算的法则逐一验证即可.
（3）利用平面向量的基本概念及其坐标表示求解.
【规范解答】（1）选B.设b=(x,y),则2b-a=(2x-3,2y-3)= (-1,1), 故

)
（4）平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.( )
（5）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成 x1 ＝ y1 . (
x2 y2
)
【解析】（1）错误.只有不共线的两个向量才能作为平面的一组基底.

4.2 平面向量的坐标运算

(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
1 x 1, x 0, y 4. 2 y 2.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.［4分］（2）若是ADBC，则由AD=CB得（x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
中点P的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ). 2 2 △ABC中,若A（x 1,y 1）,B（x2 ,y2）,C（x 3,y 3）,则 △ABC的重心G的坐标为 (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ). 3 3
定时检测
一、填空题
1.（2009·天津汉沽一中模拟）已知平面向量a=
【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、
C （-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四
边形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四个顶点D的坐标.
分析 “以A、B、C为顶点的平行四边形”可以有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；
（3）ABDC.
解题示范
解设D的坐标为（x,y）. (1)若是ABCD，则由AB=DC得
2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.
在处理分点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内
分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：
AP=2PB或AP=-2PB. 3.中点坐标公式：P 1 （x 1 ,y 1 ）,P 2 (x 2 ,y 2 ),则P 1 P 2 的
2 1 （1，1），b=(1,-1),则向量 a- b= (-1,2) . 3 2 解析 1 a 3 b 1 (1,1) 3 (1,1) 2 2 2 2 1 1 3 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 1 3 1 3 ( , ) (1,2). 2 2 2 2

高考数学一轮复习 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示课件理新人教A版

第三十三页，共59页。
解得 x＝4＋
5 5
或 x＝4－
5 5
.
y＝1＋2 5 5
y＝1－2
5 5
∴d＝20＋5 5，5＋52 5或 d＝20－5 5，5－52 5.
第三十四页，共59页。
(2013·北京西城期末)已知向量 a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝ (3,2)．若向量 c 与向量 ka＋b 共线，则实数 k＝________.
第九页，共59页。
问题探究 1：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量 a、b 都能作一组基底吗？
提示：表示结果唯一．平面内只有不共线的两个向量才能作基底．
问题探究 2：向量的坐标与点的坐标有何不同？提示：向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点 O 为起点的向量O→A的坐标与点 A 的坐标相同．
第三页，共59页。
考情分析
平面向量的坐标表示是通过坐标运算将几何问题转化为代数问题来解决．特别地，用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点，属中低档题目，如 2013 年辽宁卷 3、重庆卷 10，常与向量的数量积、运算等交汇命题．注重对转化与化归、函数与方程思想的考查，如 2013 年江苏卷 15、天津卷 12 等．
则x<0 y>0
且(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)，
∴xy＝＝12＋＋33tt ，∴12＋＋33tt<>00 ，∴－23<t<－13.
第二十八页，共59页。
(2)因为O→A＝(1,2)，P→B＝O→B－O→P＝(3－3t,3－3t)，若四边形 OABP 为平行四边形，则O→A＝P→B. ∵33－－33tt＝＝12 ，无解， ∴四边形 OABP 不可能为平行四边形.

2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应

第三节平面向量的数量积及其应用［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■(对应学生用书第61页)［基础知识填充］1. 向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB=0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角.0 b B图4-3-1(2)当0 = 0°时，a与b共线同向.当0 = 180°时，a与b共线反向.当0 =90°时，a与b互相垂直. '—2•平面向量的数量积(1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积Jk 曜或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积.3. 平面向量数量积的运算律(1) 交换律：a • b= b • a；(2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)；(3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C.4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示122结论几何表示坐标表小2| a || b |cos 0夹角a - bcos 0 — . [[ i .|a || b |X 1X 2+ y 1y 2cos 0 — . y, ------------------------------- .,,V X 2 + y2^/X 2 + y 2a 丄ba -b — 0X 1X 2+ y 1y 2— 0|a • b | 与 | a || b | 的关系|a - b | w| a || b || X 1X 2+ y 1y 2| w 寸X 1 + y 2 •寸 X 2+ y ；［知识拓展］1两个向量a , b 的夹角为锐角？ a •b >0且a , b 不共线;两个向量a ，b 的夹角为钝角？ a •b <0且a , b 不共线. 2 •平面向量数量积运算的常用公式 (1)( (2)( (3)(2 2a +b ) •( a -b ) = a — b .2 2 2a +b ) = a + 2a • b + b .a -b )2= a 2-2a • b + b 2.3.当a 与b 同向时，a •b = | a||b1.当a 与b 反向时，a ・b = — |a||b |.［基本能力自测］(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” (1) 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量.由 a - b = 0,可得 a = 0 或 b = 0.()由a - b = a - c 及a ^0不能推出b = C.()2. 在四边形 ABCDh AB- DC &AC- BD= 0,则四边形 ABCD 为矩形•( [答案](1) V (2) X (3) V(2016 -全国卷川)已知向量BA=A . 30° ,1，则/ ABC=(3.C. 60°D. 120°A [因为BA=2, -2 , BC > 三3, 1，所以 E3A- £=¥+石3=_23.又因为 B A- B <> I B AII 航cos / ABC= 1X 1X cos / ABC 所以 cos / 又 0°<Z ABCc 180°,所以/ABC= 30° .故选 A .](2015 •全国卷 n )向量 a = (1 , - 1), b = ( — 1,2)，则(2a + b ) - a =()A . - 1 B. 0 C. 1D. 22C [法: T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2) ,.•. a = 2, a • b =— 3, 从而(2a + b ) • a = 2a 2 + a • b = 4 — 3= 1. 法二：T a = (1 , — 1) , b = ( — 1,2), .2a + b = (2 , — 2) + ( — 1,2) = (1,0),从而(2a + b ) • a = (1,0) • (1 , — 1) = 1，故选 C.]4. ______________ (教材改编)已知|a | = 5, | b | = 4, a 与b 的夹角0 = 120° ,则向量b 在向量a 方向上的投影为 __ .—2 [由数量积的定义知， b 在a 方向上的投影为| b |cos 0 = 4x cos 120 ° =— 2.]5. (2017 •全国卷I)已知向量 a = ( — 1,2) , b = (m,1).若向量 a + b 与a 垂直，则 m=7 [ T a = ( — 1,2) , b = (m,1), ••• a + b = ( — 1 + m,2 + 1) = ( m- 1,3). 又 a + b 与 a 垂直，二(a + b ) • a = 0, 即(m-1) x ( — 1) + 3X 2= 0, 解得m= 7.]题型分类突破I 高琴题型烦律方法逐-突砸■(对应学生用书第62页)心 ......平面向量数量积的运算■■■I (1)(2016 •天津高考)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点D, E 分别是边AB,BC 的中点，连接 DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF- BC 勺值为()A . 11D -S'已知正方形 ABCD 勺边长为1,点E 是AB 边上的动点，则DE- CB 勺值为C.;DE ・DC的最大值为【导学号: 00090135】AF = AM DF又D, E 分别为AB BC 的中点,(1) B (2) 1 1 [(1)如图所示,f 1 f f 1 ・_且DE=2EF所以AD= 1A B DF=2AC+；AC=4AC1f2当E 运动到B 点时，DE^DC 方向上的投影最大，即为 DC = 1, 所以(DE' Dg =| DC - 1= 1.］［规律方法］1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.~T 1 -T 3 ~T 所以 AF = 2AB+ 4AC又 BC= AC- AB3T-4AC-又 | AB =|AQ = 1,z BAO 60°,故AF- E3C = 4-2 — 4X 1X 1X 2= 1.故选 B.4 2 4 2 8⑵ 法一：以射线AB AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0),巳1,0),C (1,1) ,D (0,1)，设E (t, 0) , t € [0,1]，则DE = (t , - 1),(t , -1) - (0，- 1) = 1.因为 DC = (1,0)，所以 DE- DC = (t ，- 1) - (1,0) = t w 1, 故D E- DC 的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE 在CB^向上的投影都是 CB= 1,所以DE- CB= | CB则 AF- BC= -(AC-AB 3 T T2. (1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量. (2)注意向量夹角的大小，以及夹角0 = 0°, 90°, 180°三种特殊情形.2[变式训练1] ⑴ 已知AB= (2,1)，点C ( — 1,0) , D (4,5)，则向量AB 在 C [方向上的投影为(1) C (2)C [(1)因为点 C ( —1,0) , Q4,5)，所以 C* (5,5)，又AB= (2,1)，所以向量 AB 在CD?向上的投影为|AB |cos 〈 AB C D =磊=芈I CD%2⑵ 由 AB- AF = 3 得AB ・(AM DF = AB- DF= 3,所以 |DF = 1, |CF = 2,BE • BC= — 6 + 2 = — 4.](1)(2017 •合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ,b 满足|a — b | = 2且a 丄(a—2b )，则 | b | =( )A . 2 C. 2 2⑵(2018 •西安模拟)已知平面向量a , b 的夹角为卡，且|a | = .3, | b | = 2,在厶ABC 中,AB= 2a + 2b , AC= 2a — 6b , D 为 BC 的中点，贝U |AQ = ______ .(1)B (2)2[(1)由 a 丄(a — 2b )得 a - (a — 2b ) = | a | — 2a - b = 0.又•/ | a — b | = 2,「. | a(2)(2018 •榆林模拟)已知在矩形ABCD 中 AB= 3, BC = 3, BE = 2EC 点 F 在边 CD 上.若AB- AF = 3,则 A E- 'BF 的值为()【导学号：00090136】A . 0B 育C.— 4D. 42B.- 3 5 D. 3 5C. 所以 AE - BF = ( AB+ BE ) •( BC+ CF ) =AB- BC+ AB- CF + BE- BC + BE- CF = AB- CF +ISfifl... ......... . ............................ j平面向量数量积的性质角度1平面向量的模MBB. 2 D. 4—b| 2= | a|2—2a - b+ | b|2= 4,则| b|2= 4, | b| = 2，故选B.■ ■ ~9 1 ~> (2)因为 A[> 2(AB+ AC 1=2(2a + 2b + 2a — 6b ) =2a — 2b ,所以 |AD 2= 4(a — b )2= 4(a 2— 2b •a + b 2)—e 2的夹角为B ,贝U cos 3 =⑵ 若向量a = (k, 3) , b = (1,4) , c = (2,1)，已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取2=I — 2X 3X 2X1 X cos a + 4= I ,所以|a | = 3,i i222因为 b = (3e 1 — e 2) = I — 2X 3X 1 XI X cos a + 1 = 8, 所以 | b | = 2 2,a •b = (3 e 1 — 2e 2)- (3 e 1 — e ?)2 21 =9e 1 — 9e 1 • e2 + 2e 2= I — I X 1 X 1 X + 2 = 8,3 所以cos 3= rOi 占=3^=弩.(2) •/ 2a — 3b 与c 的夹角为钝角， ••• (2 a — 3b ) - c v 0, 即(2 k — 3, — 6) - (2,1) v 0,• 4k — 6— 6v 0, • k v 3.9又若(2a — 3b ) // c ,贝U 2k — 3 =— 12,即卩 k =—》当 k =— I 时，2a — 3b = ( — 12,— 6) = — 6c ,=4X (3 — 2X 2X3 X cos n + 4) = 4,所以 | AD = 2.]角度2平面向量的夹角2-2 1(1)已知单位向量 e 1与e 2的夹角为 a ,且cos a = 3 向量 a = 3e i — 2e 2与 b = 3e i值范围是 (1)弩(2)[(1)因为 a 2= (3 e 1 — 2e 2)2△in 2 x — ¥cos x = 2,2 2即2a -3b 与c 反向. 综上，k 的取值范围为一R, 角度3平面向量的垂直 (2016 •山东高考)已知向量a = (1 , - 1), b = (6 , - 4).若a 丄(ta + b )，则实数t 的值为 _________ —5 [ - a = (1 , — 1), b = (6 , — 4)，…ta + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(ta + b )，则 a •( ta + b ) = 0，即 t + 6 +1 + 4= 0，解得 t =— 5.] a • b [规律方法]1.求两向量的夹角：cos 0 = ，要注意0 c [0 , n ]. 丨a l •丨b | 2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是： a 丄b ? a • b = 0? | a — b | = |a + b |. 3 •求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1) a 2= a • a = | a |2 或 | a | = a • a . (2) | a ± b | = a ± b 2= a ±2a • b + b . ⑶若 a = (x , y )，则 | a | = x 2 + y 2. |U3［平面向量与三角函数的综合 (2018 •佛山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量m = ^2, — 2小=(sin cos x ) , x c (1)若 miL n ,求 tan x 的值; n ⑵若m 与n 的夹角为—，求x 的值. 【导学号：00090137】所以 sin x = cos x ,所以 tan x = 1. n 1⑵因为 | m = I n | = 1,所以 m-n = cos —=-,3 2x . 所以 m-n = 0, x , cos x ), n Ln . 即承n cos x(1)因为m = n = (sin所以sin 12因为 O v x v n ,所以—n_< x — n_<n n , 一 n n 5 n 所以x —才=6，即x =〒2. ［规律方法］平面向量与三角函数的综合问题的解题思路得到三角函数的关系式，然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 sin x x= -------cos x •- tan 2 x = —=1 — tan x 53⑵•/ a = sin ^, , b = (cos x , — 1),3 2 2 2 2••• a •b = sin x cos x — ?, b = cos x + ( — 1) = cos x + 1,23 2 1 1 1• f (x ) = (a + b ) - b = a •b + b = sin x cos x — ~ + cos x + 1 = 2sin 2x + 尹 + cos 2x ) — ?⑴ 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式, 运用向量共线或垂直或等式成立等, 思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等. ［变式训练2］ (2018 •郴州模拟)已知向量a = sin x , | , b = (cos X , (1)当a //b 时，求tan 2 x 的值; (2)求函数f (x ) = (a + b ) - b 在|—-2 , 0上的值域. (1) ■/ a //b , a = sin x , | , b = (cos x , 3 x - ( — 1) — 2 • cos 即sin 3 X + 2C0S x = 0, 得sin 3 x = — 2C0S x , 二tan -32，匕2tan x 12 x = 0,1 n 1 sin 2x+ 才.I nT x€ |—— , 0••• sin 2x+4 € —1 ,n故函数 f (X ) = (a + b ) • b 在 | — , 0 • •• f(X)= 刍n -弓，2上的值域为•—， 2。

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A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
解析设 a＝k1e1＋k2e2， A 选项，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴k22k＝2＝3，2，无解． B 选项，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)， ∴－2k1k－1＋25k2k＝2＝2，3，解之得kk12＝＝21，. 故 B 中的 e1，e2 可把 a 表示出来．同理，C，D 选项同 A 选项，无解．故选 B.
3．小题热身
(1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若 λ 为实数，
(a＋λb)∥c，则 λ＝( )
1 A.4
1 B.2
C．1
D．2
解析 a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4 －3×2＝0，∴λ＝12.故选 B.
(2)(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量 a＝ (3,2)表示出来的是( )
经典题型冲关
题型 1 平面向量基本定理及应用典例 (2015·北京高考)在△ABC 中，点 M，N 满足A→M
1 ＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B＋yA→C，则 x＝____2____，y＝
___－__16___. 运用向量的线性运算对待求向量不断进
行转化，直到用基底表示．
解析由A→M＝2M→C知 M 为 AC 上靠近 C 的三等分点，由B→N＝N→C，知 N 为 BC 的中点，作出草图如下：
方程组法．
解析设 P(x，y)，由点 P 在线段 AB 的延长线上，且A→P ＝32B→P，得(x－2，y－3)＝32(x－4，y＋3)，
即x－2＝32x－4， y－3＝23y＋3.
解得xy＝＝8－，15.
则有A→N＝12(A→B＋A→C)，所以 M→N ＝A→N －A→M＝12(A→B＋ A→C)－23·A→C＝12A→B－16A→C，又因为M→N＝xA→B＋yA→C，所以 x ＝12，y＝－16.
方法技巧应用平面向量基本定理的关键点
1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
2．平面向量的坐标运算设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ， a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，λa＝ (λx1，λy1) ，|a|＝ x21＋y21，
|a＋b|＝ x2＋x12＋y2＋y12.
3．平面向量共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
解析解法一：由已知条件可得 ma＋nb＝(2m,3m)＋(－ n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵ ma＋nb 与 a－2b 共线，∴2m4－n＝3m－＋12n，即 n－2m＝12m ＋8n，∴mn ＝－12.
解法二：注意到向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)不共线，因此可以将其视为基底，因而 ma＋nb 与 a－2b 共线的本质是对应的坐标(系数)成比例，于是有m1 ＝－n2⇒mn ＝－12.
3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．如典例．
冲关针对训练设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB， BE＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值
1 为____2____．
1 A.3
B．3
3 C. 3
D. 3
解析依题意，以 O 为原点，OA、OB 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B(0， 3)，设 C(x，y)，由O→C＝mO→A＋nO→B得 x＝m，y＝ 3n，又∠AOC＝30°，知yx ＝ 33，故mn ＝3，选 B.
(2)(必修 A4P101A 组 T5)已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则mn ＝__－__12____.
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × ) (2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )
(3)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 λ1，μ1，λ2，μ2 满足 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
第4章平面向量
4．2 平面向量基本定理及坐标表示
基础知识过关
[知识梳理]
1．平面向量基本定理如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1， λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
解析 D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋23(A→C－A→B) ＝－16A→B＋23A→C，∵D→E＝λ1A→B＋λ2A→C，∴λ1＝－16，λ2＝23，故 λ1＋λ2＝12.
题型 2 平面向量共线的坐标表示及应用角度 1 求点的坐标典例已知 A(2,3)，B(4，－3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且|AP|＝32|BP|，则点 P 的坐标为__(_8_，__－__1_5_)__．
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可表示成xx12＝yy12.( × )
2．教材衍化
(1)(必修 A4P119T11)已知|O→A|＝1，|O→B|＝ 3，O→A⊥O→B，
点 C 在线段 AB 上，∠AOC＝30°.设O→C＝mO→A＋nO→B