1 第1课时 基本不等式

2．2基本不等式第1课时基本不等式教材考点学习目标核心素养基本不等式理解基本不等式的内容及导出过程逻辑推理利用基本不等式求最值能够运用基本不等式求函数或代数式的最值数学运算问题导学预习教材P44－P46，并思考以下问题：1．基本不等式的内容是什么？2．基本不等式成立的条件是什么？3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？1．重要不等式与基本不等式■微思考1(1)不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab成立的条件相同吗？提示：两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．(2)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．(3)基本不等式成立的条件“a ，b ＞0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如（－3）＋（－4）2≥（－3）×（－4）是不成立的．2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2P ． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■微思考2通过以上结论，你认为利用基本不等式求最值要注意哪几方面？提示：利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即：①一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立． 以上三点缺一不可．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22.( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋ab ≥2.( ) (5)函数y ＝x ＋1x 的最小值为2.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)×2．如果a >0，那么a ＋1a ＋2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．3D ．4解析：选D.因为a >0，所以a ＋1a ＋2≥2a ·1a ＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1时取等号．3．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的前提条件为( ) A ．x ≥2y B ．x >2y C ．x ≤2yD ．x <2y解析：选 B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，故选B.4．已知0＜x ＜1，则x (1－x )的最大值为________，此时x ＝________． 解析：因为0＜x ＜1，所以1－x ＞0，所以x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（1－x ）22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时“＝”成立，即当x ＝12时，x (1－x )取得最大值14.答案：14 12探究点1 对基本不等式的理解下列结论正确的是( ) A ．若x ∈R ，且x ≠0，则4x ＋x ≥4B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值【解析】 对于选项A ，当x <0时，4x ＋x ≥4显然不成立；对于选项B ，符合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C ，忽视了验证等号成立的条件，即x ＝1x ，则x ＝±1，均不满足x ≥2；对于选项D ，x －1x 在0<x ≤2的范围内单调递增，有最大值2－12＝32.【答案】 B应用基本不等式时的三个关注点(多选)下列条件中，能使b a ＋ab ≥2成立的是( )A ．ab ＞0B ．ab ＜0C ．a ＞0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：选ACD.当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a ，b 同号即可，所以ACD 均可以．故选ACD.探究点2 利用基本不等式直接求最值(1)已知t ＞0，求y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值；(2)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝1，求xy 的最大值． 【解】 (1)依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为正数x ，y 满足2x ＋y ＝1， 所以2x ＋y ＝1≥22xy ，所以2xy ≤12，解得xy ≤18，当且仅当x ＝14，y ＝12时取等号．(1)若a ＋b ＝S (和为定值)，当a ＝b 时，积ab 有最大值S 24，可以用基本不等式ab ≤a ＋b2求得．(2)若ab ＝P (积为定值)，则当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ，可以用基本不等式a ＋b ≥2ab 求得．不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．1．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．36解析：选B.因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝9＋42＝25，因此当且仅当x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25.2．若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C.因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号．探究点3 利用基本不等式求最值(1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为________．(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________． 【解析】 (1)因为x >2， 所以x －2>0， 所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2（x －2）·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2， 即x ＝4时，等号成立． 所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6. (2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x (1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116， 当且仅当2x ＝1－2x ， 即当x ＝14时，y max ＝116.(3)因为x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋4y ＝1， 所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋4y x ＋xy ≥9， 当且仅当4y x ＝xy ， 即x ＝13，y ＝16时取等号． 【答案】 (1)6 (2)116 (3)9(变条件)若把本例(1)中的条件“x >2”改为“x <2”，求f (x )＝x ＋4x －2的最大值． 解：因为x <2， 所以2－x >0， 所以f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2 ≤－2（2－x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫42－x ＋2＝－2， 当且仅当2－x ＝42－x，得x ＝0或x ＝4(舍去)， 即x ＝0时，等号成立． 故f (x )＝x ＋4x －2的最大值为－2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．1．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23解析：选B.由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时取等号．2．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．6 2D ．62－3解析：选D.y ＝3(x 2＋1)＋6x 2＋1－3≥ 23（x 2＋1）·6x 2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.3．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为________． 解析：x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy ≥10＋2y x ·9xy ＝10＋6＝16.即x ＝4，y ＝12时等号成立，所以x ＋y 的最小值为16. 答案：161．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x 2≥2 3解析：选D.a ＜0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B错，a＝4，b＝16，则ab＜a＋b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为()A．25 B.25 2C.254 D.258解析：选D.a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝12a·2b≤12×⎝⎛⎭⎪⎫a＋2b22＝258，当且仅当a＝52，b＝54时取等号，故选D.3．若a＞1，则a＋1a－1的最小值是()A．2 B．aC.2aa－1D．3解析：选D.因为a＞1，所以a－1＞0，所以a＋1a－1＝a－1＋1a－1＋1≥2（a－1）·1a－1＋1＝3.当且仅当a－1＝1a－1即a＝2时取等号．4．(2020·泰安高一检测)当x＞0时，若2x＋ax(a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解析：因为a＞0，且2x＋ax≥22x·ax＝22a，当且仅当2x＝ax，即x＝2a2时，2x＋ax取得最小值，所以2a2＝3， 解得a ＝18. 答案：185．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 解：因为x ，y 为正实数， 所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”． 又x ＋y ＝4， 所以1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.[A 基础达标]1．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2解析：选D.对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ，即b a ＋a b ≥2成立．2.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D.322解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0， a ＋6≥0， 所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92.即（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为92.3．已知实数x ，y 满足x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选D.因为x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1， 所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·xy ＝8，当且仅当4y x ＝xy 时等号成立．故选D. 4．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－2 2 C ．3－2 3D ．－1解析：选 C.y ＝3－3x －1x ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．5．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12 C ．1D.32解析：选A.因为x ＞0，所以x ＋12＞0， 所以y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2 ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立，所以函数的最小值为0.6．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 解析：因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 答案：327．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．解析：因为点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以2m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2（2m ＋n ）n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋4m n ≥8. 当且仅当m ＝14，n ＝12时等号成立． 答案：88．给出下列不等式：①x ＋1x ≥2；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③x 2＋y 2xy ≥2；④x 2＋y 22>xy ；⑤|x ＋y |2≥|xy |.其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2，①不正确； 因为x 与1x 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，②正确；当x ，y 异号时，③不正确； 当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，④不正确； 当x ＝1，y ＝－1时，⑤不正确． 答案：② 9．已知y ＝x ＋1x .(1)已知x ＞0，求y 的最小值； (2)已知x ＜0，求y 的最大值． 解：(1)因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.(2)因为x ＜0，所以－x ＞0.所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）≤－2（－x ）·1（－x ）＝－2，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1x －3的最大值； (2)已知x ＞0，求y ＝2xx 2＋1的最大值． 解：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1x －3＋7＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7，由基本不等式可得2(3－x )＋13－x ≥22（3－x ）·13－x＝22，当且仅当2(3－x )＝13－x，即x ＝3－22时，等号成立，于是－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ≤－22，－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7≤7－22，故y 的最大值是7－2 2.(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，所以0＜y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1.[B 能力提升]11．若0＜x ＜12，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( ) A ．1 B.12 C.14D.18解析：选C.因为0＜x ＜12，所以1－4x 2＞0，所以x1－4x 2＝12×2x1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立，故选C.12．(多选)下列四个命题中，是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2 B ．∃x ∈R ，使得x 2＋1≤2x C ．若x ＞0，y ＞0，则x 2＋y 22≥2xy x ＋yD ．若x ≥52，则x 2－4x ＋52x －4的最小值为1解析：选BCD.对于A ，∀x ∈R ，且x ≠0，x ＋1x ≥2对x ＜0时不成立； 对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2，2x ＝2，x 2＋1≤2x 成立，正确； 对于C ，若x ＞0，y ＞0，则(x 2＋y 2)(x ＋y )2≥2xy ·4xy ＝8x 2y 2，化为 x 2＋y 22≥2xy x ＋y，当且仅当x ＝y ＞0时取等号，正确； 对于D ，y ＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2， 因为x ≥52，所以x －2＞0， 所以12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥12·2 （x －2）·1x －2＝1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号． 故y 的最小值为1.13．(一题两空)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab . (1)则ab 的最小值为________； (2)则a ＋2b 的最小值为________． 解析：因为2a ＋b ＝ab ，所以1a ＋2b ＝1； (1)因为a >0，b >0， 所以1＝1a ＋2b ≥22ab ，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab ≥8，即ab 的最小值为8.(2)a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab ＝9，当且仅当2b a ＝2ab ，即a ＝b ＝3时取等号， 所以a ＋2b 的最小值为9. 答案：(1)8 (2)914．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b ＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b ＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2≥4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3，即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.[C 拓展探究]15．是否存在正实数a 和b ，同时满足下列条件：①a ＋b ＝10；②a x ＋by ＝1(x >0，y >0)且x ＋y 的最小值为18，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．解：因为a x ＋by ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，又x ＋y 的最小值为18，所以(a ＋b )2＝18.由⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2＝18，a ＋b ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.故存在实数a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2满足条件．。