第4课时基本不等式
基本不等式的内容教学分析及教学简案
把b=6代入得a2≥108与a2≤108，所以
a=6
%
姨
3
或a=－6
%
姨
3
.
再代入
原
方程得3x2±6
%
姨
3
x+9=0，解
得x=±
%
姨
3
埸Z，
所以a，b不存在.
解 法 二 对 于 式 子3x2+15=ax+b，即
ax+b－（3x2+15）=0 （若我们视a，b为变量，x
为常量），则 式 子 ax+b－（3x2+15）=0可 看 作
陈敏飞 浙江天台中学 317200%
摘
￡
要：基本不等式 姨% ab ≤ a+b 是不等式中的第一个基本定理，是用于求函数的最值的一个最基本最有效方 2
法，也是证明不等式的一个最基本方法；同时它还是“形”与“数”的又一次完美而有机的结合. 通过创
教
设情景，从具体的实例出发，展开数学知识的发生、发展过程，使学生能从中发现问题、提出问题，经历
q数学教学通讯教师版教学研究公开课教案基本不等式的内容教学分析及教学简案一一一麓吱实歌式一一一一一一一普通高中新课程标准教科书a数学以下简称新课标必修系列第三章的第4节基本不等式
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数学教学通讯（教师版）
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“基本不等式”的内容教学分析及教学简案
养，生活勤俭的好学生. 上面是新课标对一般的普通高中学
生的基本要求，当然对省一级重点高中还 可以有更高的要求.
（4）在两个例题中使学生初步感知二 元变量的函数的概念，以及增加了变量的 约束条件会使变量从二元向一元转化.
不等式(四)
第四节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识点1 基本不等式ab ≤a ＋b2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．因此基本不等式又称为均值不等式．知识点2 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．必会结论(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．2．必清误区(1)使用基本不等式求最值．“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． (2)连续应用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． 【学情自测】1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( ) (2)函数b a ＋ab 的取值范围是[2，＋∞)．( )(3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.( )2．(教材改编)设a >0，b >0，且a ＋b ＝8，则ab 的最大值为( ) A ．8 B.12 C ．14D.163．若a >0，b >0且a ＋2b ＝2，则ab 的最大值为( ) A.12 B.2 C ．1D.44．(2016·重庆模拟)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________.【利用基本不等式求最值】1．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标是( )A ．(1,2) B.(1，－2) C ．(1,1)D.(0,2)2．(2016·威海模拟)已知x>0，则xx2＋4的最大值为________．3．(2016·武汉模拟)已知正实数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．【基本不等式的综合应用】(1)(2016·济宁模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1) B.(－∞，22－1)C．(－1,22－1) D.(－22－1,22－1)(2)(2016·郑州模拟)已知各项为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n，使得a m·a n＝22a1，则1m＋4n的最小值为________．[变式训练]1．(2016·泰安模拟)已知a>0，b>0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为()A．9 B.12C．18 D.242．(2015·济南模拟)若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则1m＋1 n的最小值为________．【基本不等式的实际应用】(1)某楼盘的建筑成本由土地使用权费和材料工程费构成，已知土地使用权费为2 000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低，则应把楼盘的楼房设计成________层．(2)(2016·盐城模拟)某水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．①求出f(n)的表达式；②求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？[变式训练]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图6-4-1所示)．图6-4-1(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？.【易错辨析】多次使用基本不等式忽视成立条件致误(2016·深圳模拟)已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x⎝⎛⎭⎪⎫y＋1y的最小值为________．课时强化练A组跨越本科线1．已知f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0 B.最小值为0C．最大值为－4 D.最小值为－42．已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13 B.12C.34 D.233．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A．4 B.8C．16 D.324．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是()A．0 B.1C．2 D.525．(2015·陕西高考)设f(x)＝ln x,0<a<b，若p＝f(ab)，q＝f⎝⎛⎭⎪⎫a＋b2，r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r<p B.p＝r<qC ．q ＝r >p D.p ＝r >q 6．(2016·蚌埠模拟)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8D.97．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________． 8．(2016·广州模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为________．B 组 名校必刷题9．(2016·福州模拟)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B.4 C.92D.11210．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2 B.23－2 C ．2 3 D.211．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．高考突破练(九)命题热点一不等关系与一元二次不等式1．(2014·天津高考)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】当b＜0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＝0时，显然有a＞b⇔a|a|＞b|b|；当b＞0时，a＞b有|a|＞|b|，所以a＞b⇔a|a|＞b|b|.综上可知a＞b⇔a|a|＞b|b|，故选C.【答案】 C2．(2014·四川高考)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ad＞bc B.ad＜bcC.ac＞bd D.ac＜bd【解析】法一令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则ac＝－1，bd＝－1，排除选项C，D；又ad＝－32，bc＝－23，所以ad＜bc，所以选项A错误，选项B正确．故选B.法二 因为c ＜d ＜0， 所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c ＞0. 又a ＞b ＞0，所以a－d ＞b－c ，所以a d ＜bc .故选B.【答案】 B命题热点二 简单的线性规划问题3．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－1 B.0 C ．1D.2【解析】 画出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，平移直线2x －y ＝0，当直线过A 点时，z 取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， ∴A (0,1)．∴当x ＝0，y ＝1时，z min ＝2×0－1＝－1，故选A. 【答案】 A4．(2015·安徽高考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是( )A ．－1 B.－2 C ．－5D.1【解析】 约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1,1)时截距最大，此时z 最大为－1，故选A.【答案】 A5．(2015·山东高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y ＝－13x ，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，代入可得z ＝1＋3×2＝7. 【答案】 76．(2015·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．【解析】 ∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴z max ＝2×3＋2＝8.【答案】 87．(2014·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.【答案】 －28．(2014·浙江高考)当实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是1≤a ≤32.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32命题热点三 基本不等式9．(2015·福建高考)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2 B.3 C ．4D.5【解析】 将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C.【答案】 C10．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元 B.120元 C ．160元D.240元【解析】 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋【答案】 C11．(2014·重庆高考)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3B.7＋2 3 C ．6＋4 3D.7＋4 3【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a ≥7＋23a b ·4b a ＝7＋43，当且仅当3ab ＝4ba 时取等号．故选D.【答案】 D12．(2015·天津高考)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．【解析】 由于a >0，b >0，ab ＝8，所以b ＝8a .所以log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16a ＝log 2a ·(4－log 2a )＝－(log 2a －2)2＋4，当且仅当log 2a ＝2，即a ＝4时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值4. 【答案】 413．(2014·上海高考)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．【解析】∵x2＋2y2≥2x2·2y2＝22xy＝22，当且仅当x＝2y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2 2.【答案】2 214．(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．【解析】(1)当l＝6.05时，F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋121v＋18≤76 0002v·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900.当且仅当v＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时．(2)当l＝5时，F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋100v＋18≤76 0002v·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时．比(1)中的最大车流量增加100辆/时．【答案】(1)1 900(2)100。
高考数学一轮总复习：基本不等式
2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2 答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1.∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确．而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
∵x>0，y>0，∴x＋3y≥6. 【答案】 6
(3) 设 a， b>0 ， a ＋b ＝ 5， 则 a＋1 ＋ b＋3 的 最 大 值 为 ________．
【解析】 ( a＋1＋ b＋3)2＝a＋b＋4＋2 a＋1· b＋3≤9＋
（ 2·
a＋1）2＋（ 2
b＋3）2＝9＋a＋b＋4＝18，所以
x 16y y·x
＝18，当且仅当
8x＋1y＝1， xy＝1x6y，
即
x＝12， y＝3
时“＝”成
立，故x＋2y的最小值是18.
方法二：(消元法)由
8 x
＋
1 y
＝1，得y＝
x x－8
，由y>0⇒
x x－8
>0，又x>0⇒x>8，则x＋2y＝x＋
2x x－8
＝x＋
2（x－8）＋16 x－8
＝x＋
2＋ x－168
【答案】
1 5
★状元笔记★ 拼凑法求最值的技巧 (1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相 等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①，“二 定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时，可利用 函数单调性如例(1)③. (2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如例 (2)本例的关键是变形，凑出和为常数．
一轮复习：基本不等式
2
课时分层作业
)
5
2
2
(2)当 ＜x＜ 时，函数y＝ 2 − 1 + 5 − 2的最大值为________．
(1)BC
(2)2
+ 2
2
2
2
[(1)由x ＋y －xy＝1，可得(x＋y) －3xy＝1，而xy≤
，即1＝(x＋y)2 －
4
3 + 2
+ 2
2
3xy≥(x＋y) －
A．1
D
B．2
C．2 2
1
的最小值是(
−2
)
D．4
√
1
1
[∵x>2，∴x＋ ＝x－2＋ ＋2≥2
−2
−2
1
，即x＝3时，等号成立．故选D.]
−2
−2
1
·
＋2＝4，当且仅当x－2＝
−2
第4课时
基本不等式
链接教材 夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的
＝2＋ ，
+1
+1
故2x＋y＝4＋
4
＋y＋1－1≥4＋2
+1
4
·
+1
+ 1 －1＝7，当且仅当
即x＝3，y＝1时取等号．故选C.
(3)令x－1＝m，2y－1＝n，
则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
1
1
1
∴
+
＝
−1
2−1
1
1
+ ＝
一轮复习课件 第6章 第4节 基本不等式
【典例剖析】
(1)若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立
的是
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
C.1a＋1b>
2 ab
D.ba＋ab≥2
(2)已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1＋1a1＋1b≥9.
(2)解：方法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9. 当且仅当ba＝ab且 a＋b＝1， 即 a＝b＝12时等号成立．
方法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， 因为 a，b 为正数，a＋b＝1， 所以 ab≤a＋2 b2＝14， 于是a1b≥4，a2b≥8， 因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝9， 当且仅当 a＝b 且 a＋b＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
(1)第一列货车到达 B 市所需时间为40a0 h，由于两列货车的 间距不得小于2a02 km，所以第 17 列货车到达 B 市所需时间为 40a0＋16·a2a02＝40a0＋14600a≥8，当且仅当40a0＝14600a即 a＝100(km/h) 时成立，所以最快需要 8 h，故选 B.
答案：B
(3)解：显然 a≠4，当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4 ＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时，取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4＝－4－3 a＋4－a＋4 ≤－2 4－3 a×4－a＋4＝－2 3＋4， 当且仅当4－3 a＝(4－a)，即 a＝4－ 3时，取等号． ∴a－3 4＋a 的取值范围是(－∞，－2 3＋4]∪[2 3＋4，＋ ∞)．
《基本不等式》重难点及解决策略教案
3.4 基本不等式一、教学目标：1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。
二、教学重点：（1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明；（2）运用基本不等式解决实际问题。
教学难点：基本不等式的运用。
重、难点解决的方法策略：本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教学策略．利用数形结合思想，层层深入，通过学生自主活动探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
三、学情及导入分析：对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。
教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等。
四、教学过程：合作探究探究一：观察上面的会标。
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。
将代数与几何紧密的结合在了一起。
师：从图形上你能观察到了什么？ 生：边、角、三角形、正方形 师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。
师：那么面积之间又有怎样的关系呢？ 生：大正方形面积22a b +，四个直角三角形面积2ab ，并且22a b +>2ab 。
师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？生：还会相等。
第7章 第4课时 基本不等式
9 当且仅当 y－9＝ ，即 y＝12 时取等号． y－9 1 9 又x ＋y ＝1，则 x＝4. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
• 方法二：在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代 换，也会给解决问题提供简捷的解法．
1 9 ∵x ＋y ＝1， 1 9 y 9x ∴x＋y＝(x＋y)· (x ＋y )＝10＋x＋ y . y 9x ∵x>0，y>0，∴x＋ y ≥2 y 9x x· y ＝6.
)
b a A．若 a，b∈R，则a＋b≥2
ba a· b＝2
B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx· lgy 4 C．若 x<0，则 x＋x ≥－2 4 x· x ＝－4
D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x· 2－x＝2
• 答案 D
解析 ∵x<0，∴2x∈(0,1)，2 x>1.
• 【答案】 (1)[9，＋∞) (2)[6，＋∞)
• 探究3
利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．
a＋3 另外，第二问也可用如下方法求解：由已知 b＝ >0， a－1 a＋3 a－1＋4 4 ∴a－1>0， ∴a＋b＝a＋ ＝a＋ ＝a＋1＋ ＝(a a－1 a－1 a－1 4 －1)＋ ＋2≥6. a－1
2 1＝x＋2y≥2 2xy，∴ xy≤ 4 . 1 1 2 8 ∴x＋y≥ ≥ ＝4 2. xy 2 其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立．
思考题2
1 2 (1)已知x ＋y ＝1(x＞0，y＞0)，求 x＋y 的最小值． 1 2 (2)已知正数 x，y 满足 x＋y＝4，求x ＋y 的最小值．
若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求： (2)a＋b的取值范围．
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第4课时 基本不等式
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
1．基本不等式 a＋b 若a，b∈R ，则 ≥ ab ，当且仅当 a＝b 时取 2
＋
“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 不小于 它 们的几何平均数．
第七章
第4课时
高考调研
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2．常用不等式 (1)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取 “＝”． a2＋b2 a＋b2 (2) 2 ≥ 2 ≥ab. (3)a2＋b2≥2|ab|.
1 (3)当x≥2时，y＝4x－2＋ 为增函数， 4x－5 1 19 ∴ymin＝4×2－2＋ ＝ . 4×2－5 3
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探究1 用均值不等式求最值要注意三个条件一正、 二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨 论，如例1第一问，“二定”不满足时，需变形如例1第 二问，“三相等”不满足时，可利用函数单调性如例1第 三问．
第七章
第4课时
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思考题2 (1)(2011· 湖南理)设x，y∈R，且xy≠0，则 1 1 (x ＋ 2)( 2＋4y2)的最小值为________． y x
2
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1 1 1 2 2 2 【解析】 (x ＋ 2 )( 2 ＋4y )＝1＋4＋4x y ＋ 2 2 ≥1 y x xy
2 3 【答案】 3
第七章
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题型三
用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c∈R，求证： (1) a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)； (2)a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
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思考题1 (1)设x>0，则函数y＝x＋2x2＋1－32的最小值为 ________．
(2)(2015·重庆，文)设a，b>0，a＋b＝5，则 a＋1 ＋ b＋3 的最大值为________．
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(3)(2017·人大附中模拟) （3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的
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授人以渔
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题型一 利用基本不等式求最值(微专题)
微专题 1：拼凑法求最值 (1)在下列条件下，求 y＝4x－2＋4x1－5的最值． ①当 x<54时，求最大值； ②当 x>54时，求最小值； ③当 x≥2 时，求最小值．
答案 D 解析 ∵x<0，∴2x∈(0，1)，2－x>1. ∴2x＋2－x>2 2x·2－x＝2.∴D 正确． 而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“≤”．
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3．设 x>0，y>0，且 x＋4y＝40，则 lgx＋lgy 的最大值是( )
A．40
B．10
2．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若 a，b∈R，则ba＋ba≥2 ba·ba＝2 B．若 x>0，y>0，则 lgx＋lgy≥2 lgx·lgy C．若 x<0，则 x＋4x≥－2 x·4x＝－4 D．若 x<0，则 2x＋2－x>2 2x·2－x＝2
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【解析】 设 4x－5＝t，则 x＝t＋4 5. ∵x≤45，∴t≤－95. ∴y＝t2＋3tt＋1＝t＋1t ＋3.
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设 g(t)＝t＋1t ，∴g′(t)＝1－t12＞0.
∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数．
∴ymax＝－95－59＋3＝2495.
【答案】
C．4
D．2
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答案 D 解析 ∵x＋4y＝40，且 x>0，y>0， ∴x＋4y≥2 x·4y＝4 xy.(当且仅当 x＝4y 时取“＝”) ∴4 xy≤40.∴xy≤100. ∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2. ∴lgx＋lgy 的最大值为 2.
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③当 x≥2 时，y＝4x－2＋4x1－5为增函数， ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139. 【答案】 ①1 ②5 ③139
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(2)已知 0<x<25，则 f(x)＝x(2－5x)的最大值为________．
29 45
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(2)若将例 2 中的条件变为 x≠54，求 y 的值域． 【解析】 设 4x－5＝t，则 t≠0. ∴y＝t＋1t ＋3. 当 t＞0 时，y≥2＋3＝5； 当 t＜0 时，y≤－2＋3＝1. ∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)． 【答案】 (－∞，1]∪[5，＋∞)
(2)错误，cosx不可能为2；
(3)错误，x<0，y<0不等式也成立；
(4)错误，2 a不是定值；
(5)错误，对于a2＋b2≥2ab只要a＝b即可，而对于
a＋b 2
≥
ab
需要a＝b>0才可以；
(6)正确，因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，三
式相加即可．
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4．若 x＋2y＝4，则 2x＋4y 的最小值是( )
A．4
B．8
C．2 2
D．4 2
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答案 B 解析 ∵2x＋4y≥2 2x·22y＝2 2x＋2y＝2 24＝8，当且仅当 2x＝22y，即 x＝2y＝2 时取等号， ∴2x＋4y 的最小值为 8.
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第 课时 基本不等式
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课前自助餐
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基本不等式 a＋b
若 a，b∈R＋，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
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【解析】 ①∵x>0，y>0，∴8x＋1y≥2
8 xy.
∴2 x8y≤1，∴xy≥32.
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②
方
法
一
：
x
＋
2y
＝
(
8 x
＋
1 y
)·(x
＋
2y)
＝
10
＋
x y
＋
16y x
≥
10
＋
2 xy·16xy＝18，
当且仅当8xxy＋＝1y16＝xy1，，即xy＝＝312，时“＝”成立，故 x＋2y 的 最小值是 18.
【解析】 因为 0<x<25，所以 5x>0，2－5x>0，
则 f(x)＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)≤15[5x＋（22－5x）]2＝15，
当且仅当 5x＝2－5x，即 x＝15时，等号成立，此时 f(x)取得最
大值15.
【答案】
1 5
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★状元笔记 拼凑法求最值的技巧
(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相 等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)①， “二定”不满足时，需变形如例(1)②，“三相等”不满足时， 可利用函数单调性如例(1)③.
(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”如 例(2)本例的关键是变形，凑出和为常数．
当且仅当 x－8＝x1－68，即 x＝12(x＝4 舍去)，此时 y＝3，“＝” 成立 ，故 x＋2y 的最小 18.
【答案】 ①32 ②18
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(2)已知正数 x、y 满足 x＋2y＝4，则： ①xy 最大值为________． ②2x＋1y最小值为________．
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【解析】 ①∵x<54，∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋
1 4x－5
＝－
5－4x＋5－14x
＋3≤－2＋3＝1.当
且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，上式等号成立．
故当x＝1时，ymax＝1.
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②∵x>54，∴4x－5>0. y＝4x－2＋4x1－5＝4x－5＋4x1－5＋3≥2＋3＝5. 当且仅当 4x－5＝4x1－5，即 x＝32时上式“＝”成立． 即 x＝32时，ymin＝5.
(4)若a>0，则a3＋a12的最小值为2 a. (5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋2 b≥ ab有相同的成立条件． (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
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答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
解析 (1)错误，x<0时，y≤－2；
【解析】 ①∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2 x·2y. ∴2 x·2y≤4，∴xy≤2.
②2x＋1y＝(2x＋1y)(x＋2y)×14＝14(4＋xy＋4xy)≥14(4＋2 【答案】 ①2 ②2
xy·4xy)＝2.
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★状元笔记 常数代换法的技巧
(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、 商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值， 然后利用基本不等式求最值．
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★状元笔记 本例是通过换元，凑出和为常数的形式，进而求最值． 自己总结形如 y＝Ax2＋xBx＋C或 y＝Ax2＋xBx＋C的一类函 数的值域或最值的求法．
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值．
思考题 2 (1)若将例 2 中的条件变为 x≤45，求 y 的最大
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(2)( a＋1 ＋ b＋3 )2 ＝ a ＋ b ＋ 4 ＋ 2 a＋1 · b＋3）2 ＝ 9 ＋ a ＋ b ＋ 4 ＝ 18 ， 所 以
a＋1 ＋
b＋3≤3 2，当且仅当 a＋1＝b＋3 且 a＋b＝5，即 a＝72，b＝32时
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常用不等式 (1)若 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”． (2)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab. (3)a2＋b2≥2|ab|. (4)x＋1x≥2.
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利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)， 那么当x＝y时，x＋y有最小值2 p． (2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)， 那么当x＝y时，xy有最大值S42．
等号成立．所以 a＋1＋ b＋3的最大值为 3 2.
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(3)因为－6≤a≤3，所以 3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式， 可知 （3－a）（a＋6）≤（3－a）＋2 （a＋6）＝92，当且仅当 a ＝－32时等号成立．