第3章34基本不等式第1课时
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(基本不等式)高二年级上册教学课件(第3.4.1课时)
∵0 < y < 6 ，∴6 －y > 0 ，
∴S ≤32·
6 －y 2
＋y
2
27 ＝
2
.
当且仅当 6－y＝y，即 y＝3 时，等号成立，此时 x＝4.5.故每间虎笼长 4.5 m ，宽 3 m 时，可使面积最大．
第二十七页，共五十一页。
合作探究
[基础自测]
1 ．思考辨析
(1 )对任意 a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2 a b ，a ＋b ≥2 a b 均成立．( )
(2 )对任意的 a ，b ∈R ，若 a 与 b 的和为定值，则 a b 有最大值．( )
(3 )若 xy＝4 ，则 x＋y 的最小值为 4 .( )
2
(4 )函数 f(x)＝x2＋
第十七页，共五十一页。
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
1
1
(1)m >n (2)P <Q <R [(1)因为 a>2，所以 a－2>0，又因为 m ＝a＋a－2＝(a－2)＋a－2＋2，
所以 m ≥2
1 a－2 · ＋2＝4，由 b ≠0，得 b 2≠0，
a －2
所以 2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知 m >n .
利用基本不等式证明不等式 例 2、已知 a，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：a＋b ＋c> ab ＋ b c＋ ca.
第十九页，共五十一页。
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[解] ∵a >0 ，b > 0 ，c> 0 ， ∴a ＋b ≥2 a b > 0 ， b ＋c≥2 b c> 0 ， c＋a ≥2 ca > 0 ， ∴2 (a ＋b ＋c)≥2 ( a b ＋ b c＋ ca )， 即 a ＋b ＋c≥ a b ＋ b c＋ ca . 由于 a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c> a b ＋ b c＋ ca .
高中数学第三章不等式3.5绝对值不等式第一课时绝对值不等式(1)课件新人教A版必修5
2.定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当 (a-b) . (b-c)≥0 时,等号成立.
几 何 解 释 : 在 数 轴 上 ,a,b,c 所 对 应 的 点 分 别 为 A,B,C, 当 点 B 在 点 A,C 之 间 时 ,|a-c|=|a-b|+|b-c|. 当 点 B 不 在 点 A,C 之 间 时 :① 点 B 在 点 A 或 点 C 上 时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;②点B不在点A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|. 应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.
解析:若a=1,b=-1,则B,D不正确.若a=b=1,则C不正确.故选A.
3.若a,b,c∈R,且|a-c|<|b|,则正确的是( A ) (A)|a|<|b|+|c| (B)|a|<|b|-|c| (C)|a|>|b|+|c| (D)|a|>|b|-|c|
解析:因为||a|-|c||≤|a-c|<|b|,所以|a|-|c|<|b|,即|a|<|b|+|c|. 故选A.
自我检测
1.已知实数a,b满足ab<0,则下列不等式成立的是( B )
(A)|a+b|>|a-b|
(B)|a+b|<|a-b|
(C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b|
解析:因为ab<0,所以|a+b|<|a-b|.故选B.
2.若a,b∈R,则以下命题正确的是( A ) (A)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| (B)|a|-|b|<|a-b|<|a|+|b| (C)当且仅当ab>0时,|a+b|<|a-b| (D)当且仅当ab≤0时,|a-b|=|a|-|b|
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
高中数学 第三章 不等式 3.3 基本不等式 3.3.1 基本不等式课件高一必修5数学课件
A.a＋2 b≥ ab
B．a－b≥2 ab
C．a2＋b2≥2ab
D．a2－b2≥2ab
答案：C
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第二十八页，共三十二页。
2．四个不相等的正数 a，b，c，d 成等差数列，则( )
a＋d A. 2 > bc
B．a＋2 d< bc
C.a＋2 d＝ bc
D．a＋2 d≤ bc
解析：选 A.因为 a，b，c，d 是不相等的正数且成等差数列，
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4．已知 a，b，c，d 都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：由 a，b，c，d 都是正数，得 ab＋2 cd≥ ab·cd，ac＋2 bd≥ ac·bd， 所以（ab＋cd）4（ac＋bd）≥abcd， 即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
ab，
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第十四页，共三十二页。
解：因为 a＞0，b＞0，所以1a＋1b≥
2； ab
即 ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时取等号)，
又a＋2 b2＝a2＋2a4b＋b2≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，所以a＋2 b≤
a2＋2 b2(当且仅当 a＝b 时等号成立)，
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把题中条件换成“0＜a＜b，且 a＋b＝1”，试找出12，a2＋b2， 2ab，a 四个数中的最大数． 解：法一：因为 0＜a＜b，所以 1＝a＋b＞2a， 所以 a＜12，又因为 a2＋b2＞2ab， 所以最大数一定不是 a 和 2ab， 因为 1＝a＋b＞2 ab，所以 ab＜14，
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高中数学 3.4基本不等式(一)全册精品教案 新人教A版必修5
3．4 基本不等式第一课时 基本不等式（一）一、教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释(2)过程与方法 ：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力二、教学重点、难点教学重点：两个不等式的证明和区别教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵三、教学过程提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +） 提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （2ab ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当a b =时, 222a b ab += (2)特别地,如果,0,0>>b a 用a 和b 代替a 、b ，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形3.4-3,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2 .2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证：练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证： 例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
3.4基本不等式(3课时)
2 2
a b 2ab
不等式：a
2
b 2ab
2
（当且仅当a=b时，等号成立）
特别地，如果a>0、b>0,用 a、b 分别 代替a、b得：
（ a）+（ b） 2 a b
2 2
即： a+b 2 ab 写成：
要特别注 意条件
ab ab (a 0, b 0) 2
下面证明不等式：
3 (2)设 0＜x＜ ，求函数y＝4x(3－2x)的最大值。 2 1 9 (3)已知 x＞0，y＞0 ，且 x＋y ＝1，求 x＋y 的最小值。
x2 (4)已知 x＞1，求 y＝ 的最小值． x－ 1
（1）解: x 3, x 3 0
4 4 4 y x x 3 3 2 ( x 3) 3 7. x 3 x 3 x 3 4 当且仅当x 3 ，即x 5时，ymin 7 x 3 3 （2）解：∵0＜x＜2，∴3－2x＞0， 2x＋3－2x 2 9 ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[ ] ＝ . 2 2 3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝4时，等号成立． 3 3 3 9 ∵4∈(0，2)，∴函数 y＝4x(3－2x)(0＜x＜2)的最大值为2.
3.4
基本不等式 第一课时
ab ab 2
不你 D 等能 2＋ b 2 正方形 ABCD 的面积为 a 关在 C 系图 G F H E 吗中 A a 4个直角三角形的面积和为2ab 找 b a b 出 2 2 B 一 些 面 2＋b2＝2ab 当 EFGH 缩为一点，即 a=b 时，有 a 积 的 相 一般地，对于任意实数a、b，我们有 等 或 a 2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
a b 2ab
不等式：a
2
b 2ab
2
（当且仅当a=b时，等号成立）
特别地，如果a>0、b>0,用 a、b 分别 代替a、b得：
（ a）+（ b） 2 a b
2 2
即： a+b 2 ab 写成：
要特别注 意条件
ab ab (a 0, b 0) 2
下面证明不等式：
3 (2)设 0＜x＜ ，求函数y＝4x(3－2x)的最大值。 2 1 9 (3)已知 x＞0，y＞0 ，且 x＋y ＝1，求 x＋y 的最小值。
x2 (4)已知 x＞1，求 y＝ 的最小值． x－ 1
（1）解: x 3, x 3 0
4 4 4 y x x 3 3 2 ( x 3) 3 7. x 3 x 3 x 3 4 当且仅当x 3 ，即x 5时，ymin 7 x 3 3 （2）解：∵0＜x＜2，∴3－2x＞0， 2x＋3－2x 2 9 ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[ ] ＝ . 2 2 3 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝4时，等号成立． 3 3 3 9 ∵4∈(0，2)，∴函数 y＝4x(3－2x)(0＜x＜2)的最大值为2.
3.4
基本不等式 第一课时
ab ab 2
不你 D 等能 2＋ b 2 正方形 ABCD 的面积为 a 关在 C 系图 G F H E 吗中 A a 4个直角三角形的面积和为2ab 找 b a b 出 2 2 B 一 些 面 2＋b2＝2ab 当 EFGH 缩为一点，即 a=b 时，有 a 积 的 相 一般地，对于任意实数a、b，我们有 等 或 a 2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
3.4 第1课时 基本不等式
例2
(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜
园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短.最短的篱笆是多少？
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 即求（x+y）的最小值.
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
2 2
因为 xy
9，得xy 81.
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立. 因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .
【提升总结】 当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值 结论2 .
1 2 S . 4
两个正数和为定值，则积有最大值
ab , 则CD=＿＿
ab 半径为＿＿ 2 .
E
因为ACD ∽ DCB, 所以CD2 AC CB, 即CD ab.
CD小于或等于圆的半径 . 用不等式表示为
ab ab . 2
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b
时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦.
ab 叫做正数a，b的算术平均数， 2 ab 叫做正数a，b的几何平均数.
3.4
基本不等式：
ab ab 2
第1课时 基本不等式
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主 办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900 年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最 高水平的全球性数学科学学术会议. 有哪位同学知道哪一届国际数学家大会在北京举 行，它的会标是什么？
第24届国际数学家大会
当考察底面的长与宽取什么值
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双 基 达
课
3.能利用基本不等式求简单函数
标
前 自
的最值．(重点)
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
两个不等式
法
错 易
分 析
【问题导思】
误 辨
析
教 学
如图(1)是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，将 当
方
堂
案 设
其抽象成如图(2)形式．设直角三角形的长为 a、b(a≠b)，那么
课
资
源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教 学
2．当中间的四边形 EFGH 缩为一点，即四个直角三角形变 当
方
堂
案 设
为等腰直角三角形时，可以得到什么结论？结合问题 1 你有什
双 基
计
达
么发现？
标
课
前
自
3．在 a>0，b>0 时，用 a， b分别代替 a、b，可以得到 课
主
时
导 学
当
方
堂
案 设
(2)体会基本不等式的证明方法和简单应用．
双 基
计
达
课
3．情感、态度与价值观
标
前
自
(1)通过探索基本不等式的证明过程，培养探索、研究精神； 课
主
时
导 学
(2)通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学
作 业
课 态度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方
堂
案 设
a＋b
双 基
计
3.4 基本不等式： ab≤ 2
达 标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学 教 法
易
第 1 课时 基本不等式
错 易
分
误
析
教师用书独具演示
辨 析
教
学
当
方
堂
案 设
●三维目标
什么结论？
作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方
堂
案
双
设 计
不等式
内容
等号成立条件
基 达
课 前 自 主 导 学
重要不等 式
a2＋b2≥2ab，(a，b∈R)
“a＝b”时取“＝”
标
基本不等 式
ab≤a＋2 b(a，b∈R＋)
课 时
双 基
计
达
课 正方形的边长为 a2＋b2.
标
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
菜单
教
师
备
图(1)
课 资
源
Hale Waihona Puke 新课标 ·数学 必修5教
学
易
教
错
法 分
易
1．根据抽象的图形，你能从中得到一个什么样的不等关 误
析
辨
析
教 系？
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
图(2)
教 师
备
“a＝b”时取“＝” 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
利用基本不等式比较代数式的大小
辨 析
教
学
当
方 案
若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b.
堂 双
设
基
计
试比较出 a＋b，a2＋b2,2 ab，2ab 中最大者．
达 标
课
前 自
【思路探究】 (1)a＋b 与 2 ab的大小关系是怎样的？a2 课
析
●教学建议
辨 析
教 学
基本不等式是后面应用基本不等式求最大(小)值的基础，在 当
方
堂
案 设
高中数学中有着比较重要的地位，在工业生产等有比较广的实
双 基
计
达
课 际应用．本节宜采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突 标
前
自 出基本不等式的推导．可以采用重复法(在课堂的每一环节，以 课
主
时
导 学
各种方式进行强调基本不等式和其成立的条件)，变式教学等来
双 基
计
达
课
1．知识与技能
标
前
自 主 导
(1)会推导基本不等式：a＋2 b≥ ab；
课 时 作
学
业
课 堂
(2)理解a＋2 b≥ ab的几何意义；
互
动 探
(3)会利用基本不等式求最值．
究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 必修5
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
2．过程方法与能力
辨 析
教 学
(1)探索并了解基本不等式的形成和证明过程；
课 堂 互 动 探 究
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演示结束
新课标 ·数学 必修5
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
1.了解基本不等式的证明过程．
学 方
2.能利用基本不等式证明简单的
当 堂
案 设 计
课标解读
不等式及比较代数式的大小． (重点、难点)
当 堂 双 基 达 标
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教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
●重点难点
当
方
堂
案 设
重点：基本不等式成立的条件及应用．
双 基
计
达
课
难点：基本不等式成立的条件以及应用基本不等式求最大 标
前
自 值和最小值．
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
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教
学
易
教
错
法
易
分
误
课 时 作 业
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当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
作 业
课 突破基本不等式成立的条件这个难点．
堂 互 动 探 究
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教
学
教
法
●教学流程
分
析
教 学 方 案 设 计