2016年中国科学院大量子力学考研真题凯程独家分析

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量子力学考研真题

一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0 中运动，若0=t 时，粒子处于()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。

（1）求0=t时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n maE n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1）首先，将()0,x ψ归一化。

由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c可知，归一化常数为1312=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为()()()133;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2）因为哈密顿算符不显含时间，故0>t时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3）由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

三. 设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符()n m n m U ϕϕ=,ˆ（1）计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ；（2）证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3）计算迹(){}n m U ,ˆT r ；（4）若算符Aˆ的矩阵元为n m mnA A ϕϕˆ=，证明()n m UA A nm m n ,ˆˆ,∑=(){}q p U A A pq ,ˆˆTr +=解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U Hn m,ˆ,ˆ,ˆ-=（2）()()()p m Uq p U n m U nq p q n m,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+（3）算符的迹为(){}()mnm n k n k m kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r（4）算符()n m UA A A A nm mnnn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A k kk kkp q k qk kk p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ五. （见2001年第五题）两个质量皆为μ的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。

中科院量子力学题90-11

a 2
中国科学院研究生院 2010 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 811 ）试题名称：量子力学（试题名称：量子力学（811 811）
ˆ、B ˆ 与泡利算符对易，证明：一、（1）设 A ˆ )(σ ˆ ⋅B ˆ ⋅B ˆ) = A ˆ + iσ ˆ) ˆ⋅A ˆ ⋅B ˆ(A (σ ˆ、σ ˆ 为单位算符。 ˆ x + iσ ˆ y ) 2 表示成 I ˆ x、σ ˆ y、σ ˆ z 的线性叠加， I （2）试将 ( Iˆ + σ
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1）求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半径，基态和激发态波函数为：
0 ⎤ ⎡1 λ ⎢ ˆ 三、在 H = ⎢λ 3 0 ⎥ 中的粒子的本征值，设 λ ≪ 1，利用微扰求其本征值（精 ⎥ ⎢0 0 λ − 2⎦ ⎥ ⎣ ⎧ 0, 0 < ϕ < ϕ0 ，求粒 other ⎩∞,
确到二级近似），并与精确求解相比较。
⎡ cos θ e −iωt ⎤ ⎡1 ⎤ ℏ 四、两个自旋为的粒子，两个粒子分别为 X 1 = ⎢ ⎥ , X 2 = ⎢ ，求系统处 − iωt ⎥ 2 ⎣0 ⎦ ⎣ sin θ e ⎦
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩

量子力学中国科学院大学硕士研究生入学考试试题

中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：量子力学考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、（共30分）考虑一维束缚态。

(1)证明(,)(,)x t x t ψψ不随时间变化，此处波函数ψ不必是定态。

(2)证明对于定态，动量的期望值为零。

(3)证明如果粒子在0t =时刻处于定态，则在以后时刻永远保持定态。

二、（共30分）设波函数()(()ip x x e βψ+ =，而ˆx ，ˆp 分别为x 方向的坐标和动量算符，其中β为实常数。

(1)说明()x ψ是否为ˆp的归一化本征态。

(2)证明ˆ/i p x e x αα''=+ ，及ˆ/i p e x x αα''=- ，其中α为实常数。

(3)化简算符ˆˆ//ˆi p i p e xe αα- 。

(4)化简算符ˆˆ/2/ˆi pi p e x e αα- 。

三、（共30分）一个无自旋粒子的波函数为(2)r K x iy z e αψ-++=，此处222z y x r ++=,其中K ,α为实常数。

（球谐函数：00Y =01Y θ=,11i Y e φθ±±=。

）(1)求粒子的总角动量。

(2)求角动量z 分量即z L ˆ的期望值，及测得 =zL 的概率。

(3)求发现粒子在),(ϕθ方向上Ωd 立体角内的概率。

四、（共30分）(1)一个电子在=0t 的时刻处于自旋态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22-131i χ。

在0>t 时刻，在外界加一个磁场0ˆˆ(sin cos )x z B B e e θθ→=+，此时电子的哈密顿量为B S H B ∙-=ˆ2ˆμ，其中ˆS 为自旋算符，B μ为玻尔磁子，求此粒子在任意t 时刻的波函数。

(2)考虑两个自旋为21的粒子处于磁场中，此时系统的哈密顿量为12012ˆˆˆˆˆz z H a b c σσσσ=++∙ ，其中a ，b ，0c 为常数，ˆσ是泡利算符，前两项为粒子处于磁场中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用能。

1990-2010年__量子力学_中国科学院研究生院_招收攻读硕士学位研究生入学统一考试_试题及参考

Q
ˆ 的平均值。时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
bi t.
场的作用，磁场 B
ˆ 指向正 x 方向，相互作用势为 H
5d
四、
有一个定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动），受到均匀磁
b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关； c) 只要光的频率大于 0 ，光子立即产生。试述： a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何在？ b) 用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。
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(2) 电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定律描述？ (3) 1 和 2 为体系本征态，任一态为 c1 1 c2 2 。如果 1 0 ，试问： a) 如 1 和 2 是经典波，在态中 1 和 2 态的几率如何表示？
iv
Q
bi t.
5d
（1990-2002 年的包括理论型和实验型），近几年的试题还配有
6d
本书收集了中国科学院 1900-2009 年研究生考试的真题。
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和气，最终能在考场上亮出自己的最好成绩。
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家都能注重基础知识，多做试题(特别是真题) 夯实基础，平心
1
Q bi t.
5d
试题名称：
6d .
0, r a (V0 0) V (r ) V0 , r a
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问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？
(2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。

中科院量子力学1990-2008(部分有答案)

ˆ 的平均值。时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
五、
假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳，而不是点电
荷，试用一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个六、原子核与中子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ，。试求高能下其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量）的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
一化波函数为
( x, t 0)
8 x x 1 cos sin 5a a a
求(2000 年(实验型)第二题)： (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时的体系平均能量。三、试计算如图所示宽度 OB 精确到微扰的一级近似，
(V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密
。度，并证明虚势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示）
试题名称：1990 量子力学（实验型）
第2页
共2页
4
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称：量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。一、一个带电粒子在电磁场中运动，请推导相应的几率守恒定律。求出几率密度与几率流密度的表达式。二、当两个质量为 m 的粒子通过球对称势 V (r ) A ln r r0 ，（ A 0, r0 0 为
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日

2016年中科院植物学考研真题(完整版)凯程首发

2016年中科院植物学考研真题（完整版）凯程首发刚考完2016考研初试，凯程教育的电话瞬间变成了热线，同学们兴奋地汇报自己的答题情况，几乎所有内容都在凯程考研集训营系统训练过，所考专业课难度与往年相当，答题的时候非常顺手，相信凯程的学员们对此非常熟悉，预祝亲爱的同学们复试顺利。

考研分笔试、面试，如果没有准备，或者准备不充分，很容易被挂掉。

如果需要复试的帮助，同学们可以联系凯程老师辅导。

下面凯程老师把专业的真题全面展示给大家，供大家估分使用，以及2017年考研的同学使用，本试题凯程首发!一．名词解释（3’*10=30’）1. 实生苗2. 种子的生活力3. 趋同进化4. 年轮5. 物候期6. 单系类群7. 假果8. 系统发育9. 生态位10.二．填空（1’*40=40’）1. 地衣是（）和（）复合体，分为（），（），（）三个纲。

2. 蓝藻中能够固氮的是（）属和（）属。

3. 营养组织分为（），（），（），（）和（）。

维管组织分为（）和（）。

4. 国际上植物命名法是（），由（）和（）构成，是由瑞典植物学家（）提出的。

5. 根尖从前往后依次是（），（），（）和（）。

6. 植物的繁殖方式（），（），（）。

7. 核酸存在于（），（）和（）等细胞器中。

8. 胚乳有（），（）和（）型，胚乳是从（）来的，且它的染色体数为（）。

三．简答题（6’*8=48’）1. 列举植物激素，至少6种。

2. 举例说明性状与性状状态的联系（至少三例）。

3. 简述核酸分子杂交技术的基本原理和在植物生物研究中的应用。

4. 简述DNA分子标记技术的类型及其在植物生物研究中的应用。

5. 双子叶植物叶的结构和功能的统一性。

6. 写出拉丁学名和果实类型：大白杨，拟南芥，番茄，大豆，棉花，水稻7.8.四．论述题（10’*2=20’）1.与裸子植物相比，被子植物有哪些更适合陆地环境的特征。

2.自然进化的影响因素及其相互关系。

五．分析题（12’）已知物种A的变异基因w有特定的表型特征，其近缘物种B的w基因有三个等位基因x.y.z，分别位于三条不同的染色体上，A与B均为二倍体生物。

量子力学试题含答案

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有波粒二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率。

4．量子力学中力学量用厄米算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的本征值。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

北理849量子力学考研真题 2016

第 1 页, 共 1 页2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题科目代码：×××科目名称：量子力学一、简答题（每题 5 分，共 20 分）1．简述 Einstein 的量子论，并阐述光电效应。

2．量子力学中，波函数的物理意义是什么？波函数是如何体现物质的波动性和粒子性的？3．×××4．阐述 de Broglie 的物质波理论，并与经典力学相比，说说对人们生活的影响。

二、（30 分）质量为 µ 的粒子在 22L x L −≤≤ 的范围内运动，满足边界条件 (2)(2)L L ψψ−=。

（1）求波函数的能量本征值，并求本征函数和简并度；（2）加入微扰 cos(4)H x L π′=E 后，求基态能量到微扰论二级修正，求基态波函数到一级修正；（3）求第一激发态的能量到一级修正。

三、（20 分）已知在动量表象中，ˆˆ[,]i xp = ，ˆi ()x p =∂∂ ，f 是 ˆp 的函数。

求（1）[,]p xfx ；（2）2[,]x fx 。

四、（30 分）系统的 Hamilton 量为 2ˆˆˆ(2)xH I L ω=+L ，21(0)Y (,)t Y θϕ==。

（1）求在 Heisenberg Picture 下，ˆL各分量所满足的方程；（2）0t > 时，求 ˆL的三个分量的平均值；（3）0t > 时，求系统能量的平均值。

五、（20 分）已知 ˆˆˆˆˆˆˆ+(,,)x x y y z z x y zJ J J J J J =+=J e e e ，ˆˆˆi x y J J J ±=±。

（1）证明：ˆˆˆ[,]x J J J −−=− 及 22ˆˆˆˆˆz J J J J +−−=++−J ；（2）证明：ˆ,,1J j mc j m −=−，并求常数 c 的值。

六、（30 分）对于自旋为 12 的系统，（1）写出其 Pauli 矩阵，并设 ˆˆˆ(i )2x y σσσ±=±，求 ˆˆ[,]σσ+−。

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