811《量子力学》 - 中国科学院
2012年中科院811量子力学考研真题解析讲义
一．一质量为μ的粒子在一维无限深势阱中运动，势能为ax x a x x V ><≤≤⎩⎨⎧∞=或0,0,0)(（1）求粒子的能级和归一化波函数.（2）画出处于第二、第三激发态的粒子概率密度示意图.（3）求坐标算符在能量表象下的矩阵元.解析：（1）归一化能量本征态和本征值：a x n a x n πϕsin 2)(=，22222n a E n μπ =，其中...3,2,1=n （2）a x a x P π2sin2)(22=，axa x P π3sin 2)(23=，（3）dxa x n m a x n m x adxe e e e x adxie e i e e x a dx axn a x m x anx m x a a x n m i a x n m i a x n m i a x n m i a a x in a x in a x im a x im a a mn ]}/)cos[(]/){cos[(1][21222sin sin2/)(/)(/)(/)(0////0ππππππππππππ--+-=--+-=--===⎰⎰⎰⎰---+-+--用到积分公式：)1(cos )()/sin()/cos(2-=-=⎰⎰πππππn n a dx a x n n a dx a x n x aa，则]1)1[()(]1)1[()(]1)[cos(])([1]1)[cos(])([1]}/)cos[(]/){cos[(12222220---+--+-=---+-++-=--+-=-+⎰mn m n amn n m a m n a m n n m a a m n m n a a dx a x n m a x n m x a x ππππππππ二．质量为μ的一维谐振子，带电量q ，初始-∞=t 时处于基态0.设加上微扰22/τtqExe H --='，其中E 是外电场强度，τ为参数。
中国科学院大学2020量子力学.docx
（4）化简算符
三、（共30分）…个无自旋的波函数i/J = k{x + iy +2z）e_ar,r = ^x2+y2+z2,其中a为常数。球谐函数= g,Y：= RcosO,
.回
(1)求粒子的总角动量；
(2)求角动量工的期望值及测得Lz=h的概率；Q
⑶求发现粒子在伊叩)方向上立体角内的概率。.
（2）证明对于定态，动量期望值为0；
（3）如果粒子在，=0时刻处于定态，则，以后时刻将永远处于定态。
二、（共30分）设波函数叭苫）=忐厂植,而£, &分别为X方向的 坐标和动量算符，其中月为实常数。
（1）证明“（X）是否为V的归…化本征态；
⑵证明〈xk'""=〈x'+a|及.而"）=|3〉，其中。为实常数；
四、(共30分)
1Al_
(1)…个电子在，=0时刻处于自旋％ =丄 ・在，＞0时刻，外加一
3k Z丿
磁场B=々(sinOR +cosQ«),此时电子的Hamilton量为H=-2jubS-B,其中U为自旋算符，用为玻尔磁子，求粒子在任意时刻，的波函数；
(2)考虑两个自旋为1/2的粒子处于磁场中，此时系统Hamilton量为H=acylz+bcy2z+c0cr}-cr2,其中a,b,co为常数，’为泡利算符，前两 项为粒子处于磁场中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用 能，求系统能級。
八2
五、(共30分)考虑…维谐振子的Hamilton量为H=丄+ '点
2m2
(1)用不确定关系计算体系能量下限；
(2)取基态试探波函数iff(x,0) = Ae一时，用变分法求基态能量和屁
2020年中科院811量子力学考研真题解析讲义
(3) 用升降算符和基态波函数描述第一激发态；
（4）对于三维谐振子，第一激发态三重简并，此时受微扰 H bxˆyˆ ，微扰矩阵可写成
H
b 2m 2
0 1 0
1 0 0
0 0 ，写出能级分裂. 0
中国科学院大学
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一．考虑一维束缚态，
（1）证明 (x, t) (x, t) 不随时间变化，此时的 不必是定态；
（球谐函数： Y00
1, 4
Y10
3 4
cos
,
Y11
3 sin ei 8
）
1
(1) 求粒子的总角动量；
(2) 求角动量 Lˆz 的期望值及测得 Lz 的概率；
(3) 求发现粒子在 ( ,) 方向上 d 立体角内的概率.
四 ． (1) 一 个 电 子 在
H aˆ1z bˆ2z c0ˆ1 ˆ2 ，其中 a, b, c0 为常数，ˆi 为泡利算符，前两项为粒子处于磁场
中的势能，最后一项为两粒子自旋-自旋相互作用能，求系统能级.
五．考虑一维谐振子的哈密顿量为 Hˆ pˆ 2 1 k xˆ2 ： 2m 2
（1）用不确定关系计算体系能量下限；
20 同样插入完备性公式：
eipˆ / x eipˆ / p dp p x
1 2
ei( x) p /
811量子力学参考书目
811量子力学参考书目
【最新版】
目录
1.量子力学概述
2.811 量子力学参考书目
3.量子力学的发展历程
4.量子力学的基本原理
5.量子力学的应用领域
正文
量子力学是一门物理学分支，研究物质的微观结构，探究原子、分子和基本粒子的本质特征。
在量子力学中，物理量如能量、动量、角动量等表现为量子化的特征，即它们只能取离散的值。
811 量子力学参考书目涵盖了量子力学的主要内容，包括基本原理、数学工具、实际应用等。
量子力学的发展历程可以追溯到 20 世纪初，当时科学家们发现了原子光谱线的规律性，从而提出了量子假说。
随后，波粒二象性原理、测不准原理等重要概念相继被提出，量子力学的基本框架逐渐形成。
经过几十年的发展，量子力学已经成为现代物理学的基石之一。
在量子力学中，有一些基本的原理和概念，如波函数、薛定谔方程、角动量等，这些概念和原理为研究微观世界提供了理论基础。
同时，量子力学也有一系列的数学工具，如哈密顿算符、矩阵力学等，这些工具帮助我们更好地理解和描述微观世界。
量子力学在很多领域都有广泛的应用，如计算机科学、通信技术、材料科学等。
在计算机科学中，量子计算机的研发已经成为一个热门领域，量子计算机利用量子比特进行计算，可以大幅度提高计算速度。
在通信技术中，量子密钥分发等技术已经开始商用，可以提供更加安全的通信方式。
在材料科学中，量子力学可以帮助我们理解材料的微观结构和性质，从而设计和制备新的材料。
总的来说，811 量子力学参考书目为我们提供了一份全面、系统的量子力学学习指南，帮助我们深入理解量子力学的基本原理和应用。
中科院2015考研量子力学(811)真题.pdf
中国科学院研究生院2015年招收硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：量子力学（811）考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计为180分钟。
所有的答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、一个质量为µ的粒子在一个一维的盒匣()0x L <<里自由运动，波函数()x ψ满足条件()()()()0'0'L L ψψψψ==，1）求系统的能级2）将第一激发态写成归一化动量本征态的组合形式，并给出当p <>为0时，组合系数满足的条件二、一个三维简谐振子受到微扰()22'H xyz x y y x λ=++的作用，试用微扰论求系统的基态能量，并精确到2λ量级。
三、两个粒子的自旋分别为12,s s ，相对取向为n ，设两个粒子的相互作用为()()1212=3H s n s n s s ××-×，记12s s s =+，证明：1）2212s 3=24s s ×-ℏ，()()()22121=24s n s n s n ×××-ℏ2）[]0H s =，四、一个质量为µ的粒子在势场(){ 0 0x V x Bx x ¥£=>中运动1)用变分法求基态的能量可以选取下列的哪个作为近似波函数，并说明理由a)/x a e -，b)/x a xe -，c)/1x a e --()a 为变分参数2)用所选的近似波函数求基态能量。
五、一个二能级系统，哈密顿量为：()()01020=0E H E éùêúêúëû()()()0012E E <当0t =，系统处于基态，当0t >时，开始受到的微扰0'=0H λλéùêúêúëû1）求0t >时，系统跃迁到激发态的概率()02()E P t （精确值）2）用含时微扰论重求上题的概率，与精确值对比，指出结果成立的条件。
中国科学院大学2020考研大纲：811量子力学
中国科学院大学2020考研大纲：811量子力学中国科学院大学2019考研大纲已公布，考研大纲频道为大家提供中国科学院大学2019考研大纲：811量子力学，更多考研资讯请关注我们网站的更新!中国科学院大学2019考研大纲：811量子力学中国科学院大学硕士研究生入学考试《量子力学》考试大纲本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院大学物理学相关各专业(包括理论与实验类)硕士研究生的入学考试。
本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。
掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一.考试内容：(一)波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化。
能量本征值方程，定态与非定态。
态叠加原理，测量与波包的塌缩。
(二)一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振。
d-势的穿透和d-势阱中的束缚态，一维谐振子。
(三)力学量用算符表示各种算符的定义及算符的运算规则。
厄米算符的本征值与本征函数。
不确定关系，共同本征函数，对易力学量的完全集。
箱归一化，连续本征函数的归一化。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
波包的运动，Ehrenfest定理。
薛定谔-图像与海森伯-图像。
(四)中心力场和电磁场中粒子的运动两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维谐振子，氢原子及类氢离子。
电磁场中的薛定谔方程，电磁场的规范不变性。
正常Zeeman效应，Landau能级。
(五)量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，一维谐振子的占有数表象。
811量子力学
一．考试内容：（一）波函数和薛定谔方程波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。
（二）一维势场中的粒子一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，δ--函数和δ-势阱中的束缚态，一维简谐振子。
（三）力学量用算符表示坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。
连续本征函数的归一化，力学量的完全集。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
（四）中心力场两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。
（六）自旋电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。
（七）定态问题的近似方法定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。
（八）量子跃迁量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。
（九）多体问题全同粒子系统，氦原子，氢分子。
二．考试要求：（一）波函数和薛定谔方程1．了解波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实，2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。
深入理解波函数的概率解释。
3．理解态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义． 4．熟练掌握薛定谔方程的建立过程。
深入了解定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相互关系。
了解连续性方程的推导及其物理意义。
（二）一维势场中的粒子1．熟练掌握一维薛定谔方程边界条件的确定和处理方法。
2013年中科院811量子力学考研真题解析讲义
eax2 dx
,a 0） a
（1）求 t 0 时刻动量表象波函数~(k, t) 及粒子动量几率分布 (k, t) .
（2）求 t 0 时刻波函数 (x, t) ,以及坐标位置几率分布 P(x, t) .
（3）简述粒子动量几率分布 (k, t) 及位置几率分布 P(x, t) 随时间演化的特性.
中国科学院大学
2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试参考答案
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一．质量为 的粒子在无限深球方势阱
V
(r)
0
ra ra
中运动，
（1）写出径向波函满足的方程.（ 2
1 r
2 r 2
r
lˆ2 2r2
）
（2）求其中 l 0 的归一化能量本征函数和能量本征值.
二．考虑一质量为 的自由粒子的一维运动，设初始时刻波函数为
( x,0)
(
) e 1/ 4 ik0x
x2 / 2 ，（
k0
，
为实常数；
从而
k n ， a
能级
En
2 2
k2
2 2
( n a
)2
，
Rn (r)
A sin( nr ) ra
总的波函数
n00 (r, , )
Rn (r)Y00 ()
A sin( nr ) ， ra
归一化：
a 0
A2 r2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
811《量子力学》
中科院研究生院硕士研究生入学考试
《量子力学》考试大纲
本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院研究生院物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。
本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。
掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
一．考试内容：
（一）波函数和薛定谔方程
波粒二象性，量子现象的实验证实。
波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。
（二）一维势场中的粒子
一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，d--函数和d-势阱中的束缚态，一维简谐振子。
（三）力学量用算符表示
坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。
连续本征函数的归一化，力学量的完全集。
力学量平均值随时间的演化，量子力学的守恒量。
（四）中心力场
两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换
态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。
（六）自旋
电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。
（七）定态问题的近似方法
定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。
（八）量子跃迁
量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。
（九）多体问题
全同粒子系统，氦原子，氢分子。
二．考试要求：
（一）波函数和薛定谔方程
1．了解波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实，
2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。
深入理解波函数的概率解释。
3．理解态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义．
4．熟练掌握薛定谔方程的建立过程。
深入了解定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相互关系。
了解连续性方程的推导及其物理意义。
（二）一维势场中的粒子
1．熟练掌握一维薛定谔方程边界条件的确定和处理方法。
2．熟练掌握一维无限深方势阱的求解方法及其物理讨论，掌握一维有限深方势阱束缚态问题的求解方法。
3．熟练掌握势垒贯穿的求解方法及隧道效应的解释。
掌握一维有限深方势阱的反射、透射的处理方法及共振现象的发生。
4．熟练掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点及其应用。
5．了解d--函数势的处理方法。
（三）力学量用算符表示
1. 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念。
2．熟练掌握厄米算符的基本性质及相关的定理。
3．熟练掌握坐标算符、动量算符以及角动量算符，包括定义式、相关的对易关系及本征值和本征函数。
4．熟练掌握力学量取值的概率及平均值的计算方法．理解两个力学量同时具有确定值的条件和共同本征函数。
5．熟练掌握不确定度关系的形式、物理意义及其一些简单的应用。
6．理解力学量平均值随时间变化的规律。
掌握如何根据哈密顿算符来判断该体系的守恒量。
（四）中心力场
1．熟练掌握两体问题化为单体问题及分离变量法求解三维库仑势问题。
2．熟练掌握氢原子和类氢离子的能谱及基态波函数以及相关的物理量的计算。
3．了解球形无穷深方势阱及三维各向同性谐振子的基本处理方法。
（五）量子力学的矩阵表示与表象变换
1．理解力学量所对应的算符在具体表象的矩阵表示。
2．了解表象之间幺正变换的意义和基本性质。
3．掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本征值、本征矢的矩阵方法．
4．了解狄拉克符号的意义及基本应用。
5．熟练掌握一维简谐振子的代数解法和占有数表象。
（六）．自旋
1．了解斯特恩—盖拉赫实验．电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率。
2．熟练掌握自旋算符的对易关系和自旋算符的矩阵形式(泡利矩阵)、与自旋相联系的测量值、概率和平均值等的计算以及其本征值方程和本征矢的求解方法。
3．了解电磁场中的薛定谔方程和简单塞曼效应的物理机制。
4．了解自旋-轨道藕合的概念、总角动量本征态的求解及碱金属原子光谱的精细和超精细结构。
5。
熟练掌握自旋单态与三重态求解方法及物理意义，了解自旋纠缠态概念。
（七）定态问题的近似方法
1．了解定态微扰论的适用范围和条件，
2．掌握非简并的定态微扰论中波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算．
3．掌握简并微扰论零级波函数的确定和一级能量修正的计算．
4．掌握变分法的基本应用。
（八）量子跃迁
1．了解量子态随时间演化的基本处理方法。
掌握量子跃迁的基本概念。
2．了解突发微扰、绝热微扰及周期微扰和有限时间内的常微扰的跃迁概
率计算方法。
3．了解光的吸收与辐射的半经典理论，特别是选择定则的定义及其作用。
4．了解氢原子一级斯塔克效应及其解释。
（九）多体问题
1．了解量子力学全同性原理及其对于多体系统波函数的限制。
2．了解费米子和波色子的基本性质和泡利原理。
3．了解氦原子及氢分子的基本近似求解方法以及解的物理讨论。
三．主要参考书目：
《量子力学教程》曾谨言著（科学出版社 2003年第1版）。
编制单位：中国科学院研究生院
编制日期：2008年6月6日
修订日期：2008年7月6日。