2015年中国科学院大学811量子力学考研真题附带详细答案
2018年811量子力学考研真题解析讲义
1
i，Lz 0
0
0
0 0 0
0 0 , 1
（1）求 Lx 矩阵的本征值和本征矢量 （2）求联系 (Lˆ2 , Lˆz ) 表象和 (Lˆ2 , Lˆx ) 表象的幺正变换矩阵 S （3）利用幺正变换矩阵 S，求出 (Lˆ2 , Lˆx ) 表象中的矩阵表示
2
即Lx的本征值为：，0，-
相应的本征矢量为：
1 2
1 2 ， 0 1
1 2
1 0 ， 1
1 2
1 1
2
，
（2）s 矩阵：
1/ 2 S 1/ 2
1/ 2
1/ 2 0
1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 2 0 i 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2
3
1/ 2 1/ 2
2 1/ 2
1/ 2 0
1/ 2
1/ 2 i / 2 1/ 2 0
1/ 2 i / 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2
（3） 算符变换： F ' SFS
1/ 2
L'x
SLxS
1/ 1/
2 2
1/ 2 0
1/ 2
1/ 2 1/ 2
0 1
1/ 2 2 0
1 0 1
0 1/ 2 11/ 2 0 1/ 2
中国科学院大学
2018 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试参考答案
科目名称：811 量子力学
考生须知： 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
南京航空航天大学811普通物理(A卷)2015年考研真题
λ
R
7. 如图所示，真空中有半径为 R 的均匀带电半圆环细线，电
荷线密度为λ，环心处有电量为 q 的点电荷，两者共面，则 两带电体间相互作用的电场力大小为 F＝（7） 。 （设真空 电容率ε0 为已知）
科目代码：811 科目名称：普通物理 第 1 页 共 4 页
q
第 7 题图
8. 如图所示，真空中有一很大的均匀带电平板铅直放置， 一小球
质量为 m，带电量为 q，由细线悬挂在平板一侧，由于平板与小球 间有电场力作用，小球悬线与平板间的夹角为θ，求平板上的电荷 面密度（8） 。 （设重力加速度 g、真空电容率ε0 为已知）
南京航空航天大学 2015 年硕士研究生入学考试初试试题
科目代码: 科目名称: 811 普通物理
A卷
分
满分: 1事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无
效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一、填空题（每题 5 分，共 80 分） 1. 一物体质量为 m，从地球表面高度为 H 处由静止下落，受空气的阻力 f＝kυ2（k 为大于 零的常数） ，则物体落到地面瞬间的速率 （1） 。 （设重力加速度 g 为已知）
r r 2. 一双原子分子的势能函数为 E p (r ) = E0 [( 0 )12 − 2( 0 )6 ] ，其中 r 为两原子间的距离，则分 r r
子势能的极小值为 （2） 。
3.在半径为 R、质量为 M 的静止水平圆盘的边缘上，站一质量为 m 的人。圆盘可无摩擦地
2012年中科院811量子力学考研真题解析讲义
一．一质量为μ的粒子在一维无限深势阱中运动，势能为ax x a x x V ><≤≤⎩⎨⎧∞=或0,0,0)(（1）求粒子的能级和归一化波函数.（2）画出处于第二、第三激发态的粒子概率密度示意图.（3）求坐标算符在能量表象下的矩阵元.解析：（1）归一化能量本征态和本征值：a x n a x n πϕsin 2)(=，22222n a E n μπ =，其中...3,2,1=n （2）a x a x P π2sin2)(22=，axa x P π3sin 2)(23=，（3）dxa x n m a x n m x adxe e e e x adxie e i e e x a dx axn a x m x anx m x a a x n m i a x n m i a x n m i a x n m i a a x in a x in a x im a x im a a mn ]}/)cos[(]/){cos[(1][21222sin sin2/)(/)(/)(/)(0////0ππππππππππππ--+-=--+-=--===⎰⎰⎰⎰---+-+--用到积分公式：)1(cos )()/sin()/cos(2-=-=⎰⎰πππππn n a dx a x n n a dx a x n x aa，则]1)1[()(]1)1[()(]1)[cos(])([1]1)[cos(])([1]}/)cos[(]/){cos[(12222220---+--+-=---+-++-=--+-=-+⎰mn m n amn n m a m n a m n n m a a m n m n a a dx a x n m a x n m x a x ππππππππ二．质量为μ的一维谐振子，带电量q ，初始-∞=t 时处于基态0.设加上微扰22/τtqExe H --='，其中E 是外电场强度，τ为参数。
几所高校量子力学硕士试题
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
量子力学2015年南京航空航天大学硕士研究生考试真题
南京航空航天大学2015年硕士研究生入学考试初试试题（A 卷） 科目代码: 618 科目名称: 量子力学 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！一、简答题(20分，每题10分)①证明：薛定谔方程中如果V (x )是偶函数，即V (-x )=V (x )，那么波函数ψ(x )总可以取作偶函数或奇函数。
②经典物理中一个矢量r v 与自身的矢量积(叉乘)恒为零0≡×r r vv ，对于量子力学中矢量算符这一结论仍然普遍成立吗？试举例说明。
二、如果算符Pˆ满足等幂性，即P P ˆˆ2=，那么我们称为P ˆ投影算符，试证明两投影算符1ˆP 、1ˆP 之和21ˆˆP P +也为为投影算符的重要条件为这两个投影算符对易[]0ˆ,ˆ21=P P 。
(20分)三、质量为m 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧∞<<=others a x x V ,0,0)( 中运动， ①若已知t =0 时，该粒子状态为ax a x a x ππψsin cos 11)0,(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，求t >0 时刻该粒子的波函数； ②求t >0时刻测量到粒子的能量为22222man πh 的几率是多少？ ③求t >0时刻粒子的平均能量和平均位置。
(30分)四、质量为 m 、电荷为 q 的粒子在三维各向同性谐振子势V (r )= m ω2(x 2+ y 2+z 2)/2中运动，同时受到一个沿x 方向的均匀常电场 E =E 0x i 作用。
求粒子的能量本征值和第一激发态的简并度。
此时轨道角动量是否守恒？如回答是，则请写出此守恒力学量的表达式。
(30分)五、设氢原子处于状态⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=Ψ),()(3),()(21),,,(10211121ϕθϕθϕθY r R Y r R s r z ①求轨道角动量 z 分量zL ˆ和自旋角动量 z 分量σz 的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ˆˆ2ˆv v v μμ−−= 的z 分量的平均值。
2015年中科院上海光学精密机械研究所考研院校介绍、专业目录、招生人数、参考书目、历年真题、复试安排
2015年中科院上海光学精密机械研究所考研院校介绍、专业目录、招生人数、参考书目、历年真题、复试安排一、中科院上海光学精密机械研究所院校介绍中国科学院上海光学精密机械研究所（简称：上海光机所）成立于1964年，是我国建立最早、规模最大的激光科学技术专业研究所。
经过四十多年的发展，上海光机所已成为以探索现代光学重大基础及应用基础前沿、发展大型激光工程技术并开拓激光与光电子高技术应用为重点的综合性研究所。
研究所重点学科领域为：强激光技术、强场物理与强光光学、信息光学、量子光学、激光与光电子器件、光学材料等。
上海光机所现有职工800余人，专业技术人员500余人，正副高级科研人员190余人，并先后有8位专家当选为两院院士，博士生导师58人，在读研究生近500人。
上海光机所下设八个实验室，分别是强场激光物理国家重点实验室、中科院量子光学重点实验室、中科院强激光材料重点实验室、高功率激光物理联合实验室、空间激光信息技术研究中心、信息光学与光电技术实验室、高密度光存储实验室、高功率激光单元技术研究与发展中心。
1、我所2014年计划招生：学术型硕（上海科技大学代招）士63名，专业学位硕士16名，推免生招生比例约占全部名额的30%-40%。
此外，还替上海科技大学代招学术型硕士24人（研究方向中备注，可直接选报）。
2、080300光学工程为学术型硕士，085202光学工程为专业学位硕士。
3、对于品学兼优的应届大学毕业生，凡报考我所研究生因名额问题，未能录取者，我所尽力给予协助向其他相关专业校所进行调剂的推荐。
说明：“等离子体物理”、“热力学与统计物理”、“精密机械零件和机构”由中科大命题，高等数学（甲）和其余第四单元科目由中国科学院大学命题。
考试大纲（及中国科学院大学命题的往年试卷电子版）请见中国科学院大学招生信息网。
我所不提供各科往年试卷。
二、中科院上海光学精密机械研究所研究生招生专业目录学科、专业名称（代码）研究方向预计招生人数考试科目备注070201理论物理11401现代光学理论①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③601高等数学(甲)④811量子力学或817光学02激光与物质相互作用理论同上03强场物理理论同上04冷原子物理与量子凝聚态理论同上070203原子与分子物理01激光与原子、分子及团簇的相互作用①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③601高等数学(甲)④811量子力学或907热力学与统计物理02原子结构与原子光谱学同上03冷原子物理及其应用同上070204等离子体物理01激光等离子体物理①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③601高等数学(甲)④905等离子体物理或907热力学与统计物理02极高能量密度物理及其应用研究同上070205凝聚态物理01晶体的结构、缺陷及光学物理性质的研究①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③601高等数学(甲)④809固体物理02非晶态的结构、相变以及物理光学性质同上070207光学01强光光学与强场物理（部分名额为上海科技大学代招）①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③601高等数学(甲)④817光学02信息光学同上03量子光学同上04非线性光学同上05激光光谱学同上06生物光子学同上07激光物理和技术同上08超短超强激光科学与技术同上09光学材料中的光学光谱性质同上0712Z1科学史01古代玉器发展史①101思想政治理论②201英语一或203日语③701科学技术史④806普通物理(乙)或823普通化学(乙)或901科技考古或902考古学通论02古代中外文化与技术交流史同上03古代硅酸盐质文物科技考古同上04现代分析技术在考古中的应用同上080300光学工程01光电子学（半导体激光与光纤）①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③301数学一④806普通物理(乙)或817光学或856电子线路或906精密机械零件和机构02光通迅技术同上03高功率激光技术与工程光学同上04光信息处理同上05薄膜光学与技术同上06激光技术及应用同上07光学设计与光学工艺同上08激光加工技术同上09光盘存储技术同上10激光电子学同上11光学精密机械与结构同上12原子时频技术及其应用同上13空间激光和光学技术同上14精密光电测控同上15光学工程与技术（为上海科技大学代招）同上080501材料物理与化学01激光与材料相互作用①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③302数学二④806普通物理(乙)或823普通化学(乙)或825物理化学(乙)02微纳光子学材料与技术同上03激光材料性能表征技术同上080502材料学01激光玻璃及激光玻璃光纤①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③302数学二④806普通物理(乙)或823普通化学(乙)或825物理化学(乙)02激光与光学薄膜同上03光电功能晶体与陶瓷同上04红外光功能材料同上05新材料技术和工程（为上海科技大学代招）同上085202光学工程01光电子学（半导体激光与光纤）①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③301数学一④806普通物理(乙)或817光学或856电子线路或906精密机械零件和机构02光通讯技术同上03高功率激光技术与工程光学同上04光信息处理同上05薄膜光学与技术同上06激光技术及应用同上07光学设计与光学工艺同上08激光加工技术同上09光盘存储技术同上10激光电子学同上11光学精密机械与结构同上12原子时频技术及其应用同上13空间激光和光学技术同上14精密光电测控同上085204材料工程01光电功能材料研究①101思想政治理论②201英语一或202俄语或203日语③302数学二④806普通物理(乙)或823普通化学(乙)或825物理化学(乙)02激光玻璃与特种光纤的基础研究同上03激光和光学晶体生长技术及其理化特性的研究同上04薄膜材料同上三、中科院研究生考研复试安排1.复试一般由报考的研究所或院系组织，在报考的研究所或院系所在地进行。
宁波大学872量子力学2015-2018年考研专业课真题试卷
八、 （本题 20 分）由两个非全同粒子（自旋均为ℏ 2）构成的体系，设粒子间相互作用为 ������ = ������s������ ∙ s������（不考虑轨道运动）。设初始时刻（������ = 0）粒子 1 自旋“向上”（������1������ = 1 2），粒 子 2 自旋“向下”（������1������ = - 1 2）。求时刻t（ > 0）： （a） 粒子 1 自旋向上的概率； （b） 粒子 1 和 2 自旋均向上的概率； （c） 总自旋S = 0及S = 1的概率。
(x)
4
2
exp
1 2x2 2
，
求该系统在该状态下的位置与动量的不确定度，并验证不确定关系。
三、 计算题 2：本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分。
1.（1）求 Lˆx 在 Lˆ2 ， Lˆz 共同表象，l = 1 子空间中的矩阵表示； （2）求出其归一化本征矢。其中 Lˆ2 ， Lˆx ， Lˆz 分别为角动量的平方，角动量 x，z 方向分量。
九、 （本题 20 分）在以下两种情况中计算入射粒子在一维阶跃势上的反射率������与透射率T，
{ 0, ������ < 0
������(������) = ������0, ������ > 0，（1）������ > ������0，（2）������ < ������0。
十、 （本题 10 分）在球对称谐振子势阱������(������) = 12������������2������2中运动的粒子，受到微扰作用为
精都教育——全国 100000 考生的选择
我们的梦想，为成就更多人的梦想
宁 波 大 学 研 究 生 入 学 考 试 试 题
量子力学考研真题与量子力学考点总结
量子力学考研真题与量子力学考点总结8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。
[中国科学院2006研]【解题的思路】直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。
【分析】在势场V中，粒子所受作用力为因此作用力F的平均值为得证。
【知识储备】①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。
②即③在某一表象下，算符F ∧在ψ态中的平均值为29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数：（1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。
[中国科学院2007研]【解题的思路】对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。
【分析】（1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为本征能量为对于两个可区分粒子基态能量波函数因此，能级简并度为4。
第一激发态或者能量波函数因此，能级简并度为8。
（2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。
基态能量波函数能级非简并。
第一激发态或者能量波函数能级简并度为4。
【知识储备】①一维无限深方势阱若势能满足在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是体系的能量本征值本征函数②全同粒子a．全同粒子定义在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。
b．全同性原理全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
描述全同粒子体系的波函数只能是对称的或反对称的，而且这种对称性不随时间改变。
c．两个电子的自旋函数若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为【拓展发散】两个自旋为1的全同粒子，即玻色子，求解相应的波函数和能量，以及简并度。