概率及数理统计课件 第一章 随机事件及

（2）50件产品中任取5件，其可能结果有C 5 C50 事件，即n=
5 50个基本
设B={5件中有2件次品}，则事件B包含的基本 2 3 事件数m= C3 C47 故 P B C C 5
2 3 3 47
C50
0.023
§1.5 概率的加法定理
1、互斥加法 若AB=Φ ,则P(A+B)=P(A)+P(B) 证：设试验的全部结果包含n个基本事，A包含 其中 m1 个基本事件，B包含其中 m2 个基本事件 由于A与B互斥，因而A、B包含的基本事件应该 完全不同，所以A+B所包含的基本事件数为 m1 m2 按古典定义有
A B
对立 结论：对立事件必互斥,互斥事件不一定对立
例3 现检验三种药物成分，设A＝{大黄合格},B＝ {黄连合格},C＝{黄芩合格} 试用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）只有大黄合格；（2）只有一种成分合格； （3）至少有一种成分合格； （4）构成互斥完备事件组的所有事件 解：（1）{只有大黄合格}＝{大黄合格且黄连、黄芩 不合格} A B C
1
2
于是 1 , 2 例２：设试验为从装有三个白球（记为1,2,3号） 与两个黑球（4,5号）的袋中任取两个球． （１）如果观察取出的两个球的颜色，则有样本点 00 表示“取出两个白球” 11 表示“取出两个黑球” 01 表示“取出一个白球与一个黑球” 样本空间 1 00 , 11, 01 （２）如果取出的是两个球的号码，则有样本点 ij 表示“取出第i号球与第j号球”
i 1
2、 {A、B同时出现}称为积事件或交事件，表示为 A B 或AB A B { A , A2 ,..., An同时发生 }可表示为 1
Ai
i 1
n
A1 A2 An .
例1 Ai＝{第i人血清有肝炎病毒},i=1,2,„n 则Σ Ai ＝{n人至少有一人的血清中有肝炎 病毒}={n人混合血清中有肝炎病毒} Bi＝{第i人血清无肝炎病毒}，i=1,2,„n 则Π Bi ＝{n人混合血清中无肝炎病毒} 3、 事件A出现必导致事件B出现,称B包含A 记为A B 或 B A 事件A包含B且B包含A,称A与B相等A＝B 4. 事件A发生而B不发生的事 A B 件称为事件A与B的差，它是属 于A但不属于B的基本事件所构 成的集合，记作 A B | A且 B
（2） {只有一种成分合格}＝{只有大黄合格或只 有黄连合格或只有黄芩合格} ＝{只有大黄合格}＋{只有黄连合格}＋{只有黄芩合格}
ABC ABC ABC
（3） {至少一种成分合格}＝{只有一种成分合格} ＋{只有两种成分合格}＋{三种成分都合格}
( A B C A B C A B C) ( A B C A B C A B C) A B C
6、随机事件：可能发生也可能不发生的事件, 通常我们用 A, B, C 表示随机事件
例:已知一批产品共100个,其中有95个合格品和 5个次品.检查产品质量时,从这批产品中任意抽 取10个来检查,则在抽出的10个产品中, “次品数 不多于5个”这事件是必然事件 , “次品数多于 5个”这事件是不可然事件 而事件A:“没有次品” B:恰有１个次品；C:有２个次品……这些都是随 机事件．
（4） A B C, A B C, A B C, A B C
A B C, A B C, A B C, A B C 构成互斥完备事件组
§1.4
概率的古典定义
1、古典概型（等可能性概型）
（1）试验结果只有有限个； （2）每个结果出现的可能性相同。 如抛一颗骰子，出现的结果为{1点，2点…，6点} 共有6个结果，每个结果出现的可能性都是1/6， 因此这个试验就是古典概型. 基本事件：如果构成互斥完备事件组的各个事件具有 等可能性，则这些事件称为基本事件。
又如着名的抛硬币试验，投掷次数增多时， A={出现正面}的频率逐渐稳定于0.5 试 验 者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 掷币数n 2048 4040 12000 24000 正面数m 1061 2048 6019 12012
出现正面的频
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
率 fn
例2 某厂生产50件产品，其中有3件次品，求： （1）任取一件，为次品的概率； （2）任取5件，其中有2件次品的概率。
解：（1）50件产品中取一件，其可能结果有50种， 即50个基本事件（每件产品被取到的可能性相等） 则n=50
设A={取到次品}，则A包含3个基本事件，即 m=3，由古典定义得
m 3 P A 0.06 n 50

1 2 C15 C 5 3 C 20

0 3 C15 C 5 3 C 20
0.1404
2、对立事件加法 证： A A Φ, A A Ω
P( A) 1 P( A).
P( A) P( A) P( A A) P(Ω) 1 移项即得证
例2 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5片, 随 机抽取3片, 求其中至少有1片穿心莲的概率 解：设 Ai = {任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3 B={3片中至少有1片穿心莲}
一、概率的统计定义
1、频率 n次重复试验,事件A出现m次,称m为频 数,称值m/n为事件A的频率fn (A) 由于 0 m n ，所以 0 fn A 1
事实上,人们经常利用事件发生的频率来估计和 表述概率,而频率可以通过统计数据得到.
• 求事件概率,有时我们可以采用统计的方法得到 • 例:某班从学校争取到一个去北京大学学习深造 的名额,该班张明与王红两名同学在各方面都非 常优秀,但只有一个名额,到底谁去呢?王红出了 个主意,用手中的6张扑克牌来决定谁去，规则 如下： • 牌面分别为1、2、… 6的六张扑克牌，将牌洗 匀后，随机摸出一张，记数后放回混匀，再摸 一张，将两次牌面数字求和。如果和为7，王 红去，如果和为3和10则张明去，否则重抽。 • 张明对此法没有产生异议. • 现在我们来考虑谁去的概率更大?
P( AB) P( B) P( AB)
把上面两式代入前面等式右边，即可得到结论。
1.6 条件概率·概率乘法定理
m1 m2 m1 m2 P ( A B) P( A) P( B) n n n
推广：若 A1 , A2 ,, An 为两两互斥事件（完备事件组） n 则 n n P Ai P Ai ; P Ai 1 i 1 i 1 i 1 例1 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5片, 随 机抽取3片, 求其中至少有2片穿心莲的概率。 解：设 Ai ={任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3 B={3片中至少有2片穿心莲} 则 B A2 A3 ，故 P ( B) P ( A2 A3 ) P ( A2 ) P ( A3 )
５、{事件A、B不能同时出现},称A、B互斥( 或互不相容） 记为AB＝Φ 互斥完备事件组:若n个事件和为必然事件，且 两两互斥，则称这n个事件构成一个互斥完备事 n 件组。 Ai 即 Ai Aj 1 i j n 且 ，

i 1
A
Ω
B
A
C
B
互斥
互斥完备事件组
６、一次试验中事件A、B有且仅有一个出现 即AB＝Φ 且A＋B＝Ω ,称A、B为对立事件， 记 BA
2、概率的古典定义 若互斥完备事件组由有限的n个基本事件构成， 而事件A包含m个基本事件，则事件A发生的概率为
m P A n
例1 抛一颗骰子，求出现的点数为偶数的概率。 解：设A={点数为偶数}={2，4，6},则m=3 而 ={1,2,3,4,5,6}，则n=6 所以P（A）=m/n=3/6=1/2
P( A B) P( AB AB AB) P( AB ) P( AB) P( AB)
同时 A AB AB ，所以
P( A) P( AB AB) P( AB) P( AB)
P( AB) P( A) P( AB)
同理 B AB AB ，所以 P( B) P( AB) P( AB)


样本空间
12 , 13 , 14 , 15 , 23 , 2 24 , 25 , 34 , 35 , 45
事件 A=“取出的两个球都是白球”，则对于样本空间 1 来 说， A 00 ；对于样本空间 2 来说 A 12 , 13 , 23 这表明事件 A 是样本空间 1 和 2 的一个子集。
3 0 C15C5 P( B) 1 P( A0 ) 1 3 1 0.3991 0.6009 C20
3、一般加法
A,B任意,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
证明：事件 A B或A B 包含三个互不相容事件的并：
A B AB AB AB ，两边取概率得：
集，该子集中任一样本点 发生时事件 A 即发生。 必然事件 U 就是样本空间 ，今后必然 事件记为 。 不可能事件 V 是空集
任一事件 A 都是样本空间 的一个子
§1.3、事件的运算与关系
1、{A、B至少有一个出现}称为和事件或并事件 ，表示为 A B 或A＋B A B { A , A2 ,..., An中至少有一个发生} 1 表示为 n Ai A1 A2 An .
也可以通过游程长度来判断：
大量重复试验中,频率 fn A稳定在某常数附近,可把 这个常数看作概率P(A)，称为概率的统计定义 3、频率与概率的区别与联系 频率的值随实验改变,具有偶然性 概率反映事物客观属性,指某事件在每一次试验中 出现的可能性大小,是一固定常数,有必然性 当实验次数足够大时,可用频率作为概率的估计值
• 有一位教授布置一个作业：连续抛硬币 100次，记录其结果，１表示正面，０ 表示反面．