2016年中考(人教版)数学一轮复习导学案及答案：专题4.分式
中考人教版数学一轮复习学案：分式
章节第一章课题分式课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感．2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值教学重点分式的意义、性质，运算与分式方程及其应用教学难点分式方程及其应用教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1．分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。
对于一个分式来说：①当____________时分式有意义。
②当____________时分式没有意义。
③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。
将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的___________ 。
（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。
2．分式性质：（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个，分式的值．即：（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
第16章《分式》题型复习导学案
第16章《分式》题型复习导学案学习目标:复习和提高同学们解题方法和技巧.题型1、分式的概念。
下列各式中是分式的（填序号）（ ） ①－x 3 ②53ｘ ③ 21 ④ m s 72- ⑤－x 1＋２ ⑥ｂ＋3b 知识2、分式有意义的条件：当a 或x 取什么值时，下列分式有意义？ 1、当a 取 时，分式a a 3334--无意义。
2、当x 时，分式912-x 有意义。
题型3、分式值为零的条件：当x 取何值时，下列分式的值为零？1、122--x x2、 6292--x x 3、当分式||33x x -+的值为零时,x 的值为( ). A.0 B.3 C.-3 D.±3题型4、分式的符号法则:填上使等式成立的符合 -321+-x x =（ ）321+-x x =( )321---x x 题型5、约分： 1、计算22()ab a b-的结果是（ ）A ．a B ．b C ．1 D ．－b 2、化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a - B ．a b a - C ．a b a + D ．b -3、化简：2222444m mn n m n-+-= ． 题型6、通分：把下列各题中的分式通分:（1）ab h 3，b a k 222 （2）)4(2+m n ，1652--m mn题型7、分式的运算。
1、化简：2111x x x x -+=++ ．2、化简：224442x x x x x ++-=-- ．3、计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= 4、化简ba a ab a -⋅-)(2的结果是 （ ）A ．b a - B ．b a + C ．b a -1 D ．b a +1 4、化简a a a a a a 2422-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的结果是（ ）A －4 B ．4 C ．2a D ．－2a 6、化简11y x x y ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（ ）A ．y x - B ． x y - C ． x y D ．yx7、分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ）A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a + 8、化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 9、化简：xx x x x 2)242(2-÷+-+ 10、化简：1a b a b b a ++--11、化简:35(2)482y y y y -÷+--- 12、化简：2414a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭·2a a +．13、计算：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭14、先化简，再求值：211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =．题型8、解分式方程：（1）32-x x +x235-=4 （2） 224x x -=21+x -1题型9、增根的用法 1、已知x=-2是分式方程21+x -42-x m =1的增根，则m= 2、当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解。
2016年中考数学第一轮复习分式
方法总结 运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基 A A· m A A÷ m 本性质：B＝ ，B＝ (其中 m ≠0)和分式的符号法则：分式的 B· m B÷ m 分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变． 触类旁通 2 下列运算正确的是( ) －x－y x－y a 2 －b 2 a － b A． ＝ B． ＝ －x＋y x＋y a－b2 a＋b a2－b2 a＋b x－1 1 C． ＝ D． ＝ a－b2 a－b 1－x2 x＋1
m2 4 1．化简m－2＋2－m ÷(m＋2)的结果是(
)
A．0 B．1 C．－1 D．(m＋2)2 2．下列等式中，不成立的是( ) x2－y2 x2－2xy＋y2 A． ＝x－y B． ＝x－y x －y x－y 2 2 xy y y x y －x C． 2 ＝ D．x－y＝ xy x －xy x－y 1 1 1 ab 3．已知a－b＝2，则 的值是( ) a－b 1 1 A．2 B．－2 C．2 D ．－2
四、分式的运算
自主测试 1．下列式子是分式的是( ) x x x x A．2 B． C．2＋y D．3 x＋1 2xy 2． 如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 3 倍， 那么分式的值( ) x＋y A．扩大 3 倍 B．缩小 3 倍 C．扩大 9 倍 D．不变 x－1 3．当分式 的值为 0 时，x 的值是( ) x＋2 A．0 B．1 C．－1 D．－2 x2－9 1 a 4．化简：(1) ＝__________.(2) ＋ ＝__________. x－3 a－1 1－a
考点三、分式的约分与通分 m2－4mn＋4n2 【例 3】化简： ＝__________. m2－4n2 方法总结 1．分式约分的步骤：(1)找出分式的分子与分母的公因 式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；(2) 约去分子与分母的公因式． 2．通分的关键是确定最简公分母． 求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式；(2)找各分母系 数的最小公倍数；(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最 高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母． 1 2a b 触类旁通 3 分式 ， ， 的最简公分母为( a ＋b a 2 －b 2 b － a A．(a2－b2)(a＋b)(b－a) B．(a2－b2)(a＋b) C．(a2－b2 )(b－a) D．a2 －b2
2016届中考数学第一轮复习导学案15
第6讲一元一次不等式(组)不等式(组)的相关概念(1)一元一次不等式：只含有①________未知数，并且未知数的②__________，这样的不等式叫做一元一次不等式．(2)一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个③____________合在一起就组成了一个一元一次不等式组．不等式的性质一元一次不等式(组)的解法式的一般步骤【易错提示】系数化为1时需注意除以负数要改变符号的方向．一元一次不等式组解集四种类型不等式的应用用不等式解决实际问题的一般步骤：(1)审清题意；(2)设适当未知数；(3)找不等关系；(4)列不等式；(5)解不等式；(6)写出符合题意的答案．利用不等式解决实际问题，关键是读懂题意，理解表示不等关系的词语，如不大于、不小于、不超过、不足、至少、最多等，准确用不等号表示出来，并从实际问题中抽象出数学模型．命题点1 一元一次不等式(组)的解法(2015·金华)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧5x －3＜4x ， ①4（x －1）＋3≥2x. ②【思路点拨】 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可． 【解答】需注意不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．1. (2015·保定二模) 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －1≤0的解集是（ ）A ．x ≥－2B ．x ≤1C ．－2≤x≤1D ．无2．(2015·自贡)解不等式：4x －13－x ＞1，并把解集在数轴上表示出来．3．(2015·上海)解不等式组：⎩⎨⎧4x ＞2x －6①，x －13≤x ＋19②，并把解集在数轴上表示出来．命题点2 不等式的应用(2013·衡水)阳光公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，获利不低于20%，则这种电子产品的标价最低为多少元？【思路点拨】 题目当中的获利不低于20%，即本电子产品的利润率不低于20%，利润率＝售价－进价进价×100%，由此可以得到相应的不等关系． 【解答】不等式的应用题，有时在解出不等式之后，还要根据实际情境写出符合要求的答案．1．(2015·唐山路南一模)如图是测量一物体体积的过程：(1 mL＝1 cm3) 步骤一，将300 mL的水装进一个容量为500 mL的杯子中．步骤二，将四个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满．步骤三，同样的玻璃球再加一个放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测一颗玻璃球的体积在下列哪一范围内（）A．10 cm3以上，20 cm3以下B．20 cm3以上，30 cm3以下C．30 cm3以上，40 cm3以下D．40 cm3以上，50 cm3以下2．(2015·株洲)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？1. (2015·石家庄长安区质检) 把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（）A.⎩⎨⎧x ＞－1x≤2B.⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1x ＜2C.⎩⎨⎧x≥－1x≤2 D.⎩⎨⎧x ＜－1x≥22. (2015·邯郸一模)下图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图(支点在中点处)，则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）3．(2015·泰安)不等式组⎩⎨⎧4x －3≥2x －6，25－x≥－35的整数解的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．(2014·泰安)若不等式组⎩⎨⎧1＋x ＜a ，x ＋92＋1≥x ＋13－1有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜－36 B ．a ≤－36 C ．a ＞－36D ．a ≥－365．已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ） A ．2个B ．3个C ．5个D ．13个6．(2015·永州)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞m －1恰有两个整数解，则m 的取值范围是（ ） A. －1≤m ＜0 B ．1＜m≤0 C ．－1≤m≤0D ．－1＜m ＜07．(2013·安顺)若关于x 的不等式(1－a)x>2可化为x<21－a ，则a 的取值范围是________．8．(2013·鄂州)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －b≥0，x ＋a≤0的解集为3≤x≤4，则不等式ax＋b ＜0的解集为________．9．(2014·毕节改编)解不等式组：⎩⎨⎧1－2x 3－4－3x 6≥x －22，①2x －7≤3（x －1）.②把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．10．(2013·凉山)已知x ＝3是关于x 的不等式3x －ax ＋22>2x3的解，求a 的取值范围．11．(2014·梅州)某校为美化校园，计划对面积为1 800 m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2；(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？12．(2013·十堰)定义：对于实数a ，符号[a]表示不大于a 的最大整数． 例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[－π]＝－4.(1)如果[a]＝ －2，那么a 的取值范围是________； (2)如果[x ＋12]＝3，求满足条件的所有正整数x. 参考答案 考点解读考点1 ①一个 ②次数是一次 ③一次不等式 考点2 ④不变 ⑤正数 ⑥不变 ⑦负数 ⑧改变考点3 ⑨去分母 ⑩去括号 ○11移项 ○12合并同类项 ○13系数化为1 ○14不等式组中每一个不等式的解集 ○15在同一个数轴 ○16公共 ○17无解考点4 ○18x>b ○19x<a ○20a<x<b ○21无解 各个击破例1 由①可得5x －4x ＜3，∴x ＜3.由②4x －4＋3≥2x ，∴x ≥12.∴不等式组的解是12≤x ＜3.题组训练 1.C 2.4x －1－3x ＞3, x ＞4.不等式的解集在数轴上表示为：3.解①得x ＞－3.解②得x≤2.∴解集为－3＜x≤2.在数轴上表示出来为：.例2 设这种电子产品的标价为x 元，则90%x －2121×100%≥20%. 解得x≥28.答：这种电子产品的最低标价为28元． 题组训练 1.D2.设购买球拍x 个，依题意，得1.5×20＋22x≤200.解得x≤7811.由于x 取整数且买的球拍尽可能多，故x 取最大值7. 答：孔明应该买7个球拍． 整合集训1．A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.a>1 8.x ＞32 9.由①得，x ≤1.由②得，x ≥－4.∴－4≤x≤1.∴不等式组的非负整数解有0、1.10.∵x ＝3是关于x 的不等式3x －ax ＋22>2x 3的解，∴9－3a ＋22＞2.解得a ＜4.故a 的取值范围是a ＜4.11.(1)设乙队每天绿化x m 2，则400x －4002x ＝4.解得x ＝50. 经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．∴2x ＝100.答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100 m 2、50 m 2.(2)设应安排甲队工作y 天，则0.4y ＋1 800－100y 50×0.25≤8.解得y≥10. 答：甲至少要工作10天才可以使得费用不超过8万元．12.(1)－2≤a ＜－1(2)根据题意得3≤x ＋12＜4，解得5≤x ＜7 .∴满足条件的正整数为5，6.。
初中数学一轮复习 数与式和概率统计 第四节 分式及运算导学练-人教版初中全册数学学案
分式及运算学习目标：及其有意义的条件.2.把握分式的基本性质并能熟练进行分式的约分、分式的通分.各种运算.复习反馈：1.分式: 如果A、B是,B中含有字母且 ,那么式子叫做分式.注：分式与整式的区别是分式的分母中必须含有，的分母中不能含有字母；分式中分母的值不为时，分式有意义，否则分式无意义，分式的值为0时的条件是.2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变，用式子表示是：（其中M是不等于0的整式）。
3.分式的约分:分子、分母同时除以一个不等于0的整式.4.分式的通分:分子、分母同时乘以一个不等于0的整式.5.分式的运算法则：(1)分式乘除：(2)分式乘方：(3)分式加减：合作探究：考点1 分式的有关概念【例题赏析】（2015•黔西南州）（第2题）分式有意义，则x的取值X围是（）A． x＞1 B．x≠1 C． x＜1 D．一切实数考点：分式有意义的条件．分析：分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．解答：由分式有意义，得x﹣1≠0．解得x≠1，故选：B．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．考点2 分式的基本性质【例题赏析】（2015•某某第18题 4分）化简：=．考点：约分．.分析：将分母分解因式，然后再约分、化简．解答：原式==．点评：利用分式的性质变形时必须注意所乘的（或所除的）整式不为零．考点3 分式的运算【例题赏析】（2015•某某,第7题3分）化简﹣的结果是（）A．B．C．D．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．解答：原式=﹣=﹣==，故选A．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．考点4分式的拓展应用【例题赏析】（2015•某某某某，第19题6分）先化简，再求值：，其中a=1+．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．解答：原式=•=•=，当a=1+，b=1﹣时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．形成提升：1. （2015•某某第6题 4分）若分式有意义，则x应满足．2. （2015•某某某某，第12题3分）函数y=中，自变量x的取值X围是．3. （2015，某某某某，16，3分）当m=2105时，计算：2422mm m-++=．4. （2015，某某某某，13，4分）计算：﹣=．5. （2015•某某第21题 10分）已知若分式的值为0，则x的值为．6. （2015•某某，第8题3分）计算：•=．7. （2015•某某,第18题3分）若a=2b≠0，则的值为．8. （2015•某某省某某,第13题4分）分式化简的结果为．9. （2015•某某第12题 6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．10. （2015•某某第17题 7分）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．11. （2015•某某省黔东南州,第19题10分）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．【归纳总结】【形成提升参考答案】1. （2015•某某第6题 4分）若分式有意义，则x应满足x≠5．考点：分式有意义的条件．.分析：根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．解答：要使分式有意义，得x﹣5≠0，解得x≠5，故答案为：x≠5．点评：本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不为零分式有意义2. （2015•某某某某，第12题3分）函数y=中，自变量x的取值X围是x≠2．考点：函数自变量的取值X围；分式有意义的条件．专题：计算题．分析：求函数自变量的取值X围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．解答：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．点评：本题主要考查函数自变量的取值X围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．3. （2015，某某某某，16，3分）当m=2105时，计算：2422mm m-++=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．解答：原式===m﹣2，当m=2015时，原式=2015﹣2=2013．故答案为：2013点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. （2015，某某某某，13，4分）计算：﹣= 2 ．考点：分式的加减法．分析：因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．解答：﹣，=，=，=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了分式的加减法运算，注意分式运算方法的应用可以减小计算量．5. （2015•某某第21题 10分）已知若分式的值为0，则x的值为 3 ．考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先根据分式值为零的条件，可得；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．解答：∵分式的值为0，∴解得x=3，即x的值为3．故答案为：3．点评：（1）此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．（2）此题还考查了因式分解法解一元二次方程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．6. （2015•某某，第8题3分）计算：•=x+y．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式变形后，约分即可得到结果．解答：原式=•=x+y．故答案为：x+y．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7. （2015•某某,第18题3分）若a=2b≠0，则的值为．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：把a=2b代入原式计算，约分即可得到结果．解答：∵a=2b，∴原式==，故答案为：点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8. （2015•某某省某某,第13题4分）分式化简的结果为．考点：约分．分析：将分母提出a，然后约分即可．解答：==．故答案为：．点评：本题考查了约分的知识，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．9. （2015•某某第12题 6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．考点：分式的化简求值．.分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：原式=÷=•（x+1）（x﹣1）=x2+1，当x=时，原式=（）2+1=3．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键10. （2015•某某第17题 7分）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．解答：=（2分）=；（4分）当x﹣3y=0时，x=3y；（6分）原式=．（8分）点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．11. （2015•某某省黔东南州,第19题10分）先化简，再求值：÷，其中m是方程x2+2x﹣3=0的根．考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先根据运算顺序和分式的化简方法，化简÷，然后应用因数分解法解一元二次方程，求出m的值是多少；最后把求出的m的值代入化简后的算式，求出算式÷的值是多少即可．解答：÷==∵x2+2x﹣3=0，∴（x+3）（x﹣1）=0，解得x1=﹣3，x2=1，∵m是方程x2+2x﹣3=0的根，∴m1=﹣3，m2=1，∵m+3≠0，∴m≠﹣3，∴m=1，所以原式===点评：（1）此题主要考查了分式的化简求值问题，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了解一元二次方程﹣因式分解法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．。
2016届中考数学第一轮复习导学案10
第1讲实数与实数运算实数的概念及其分类整数和分数统称为有理数，有理数和①________统称为实数，实数有如下分类：实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数② 负整数分数⎩⎨⎧正分数③ 有限小数或④ 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数实数的有关概念(1)ab ＝1a 、b 互为倒数；(2)0没有倒数；(3)倒数等于本身的数是1或－1.科学记数法和近似数平方根、算术平方根、立方根实数的大小比较实数的运算1．比较实数大小的一般方法：(1)性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数；(2)数轴比较法：在数轴上的实数，右边的数总是比左边的数大；(3)差值法；(4)商值法；(5)倒数法；(6)特殊值法；(7)扩大法；(8)换元法等．2．运用科学记数法三注意：(1)a 的取值范围的限制；(2)表示万或亿单位的数要记住1万＝1×104，1亿＝1×108；(3)涉及近似数，一般地，先用科学记数法表示该数，再用四舍五入法取近似数．3．二次根式的被开方数必须是非负数，否则根式无意义，题目常与分式等知识相结合，考查灵活运用知识的能力．命题点1 实数的有关概念(1)(2015·河北)下列说法正确的是（ ） A. 1的相反数是－1 B. 1的倒数是－1 C. 1的立方根是±1 D. －1是无理数(2)(2015·河北)若|a|＝2 0150，则a ＝________．(3)(2015·河北省考试说明)若m 、n 互为倒数，则mn 2－(n －1)的值为________．(1)题要注意立方根的定义；(2)题要注意绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；(3)题是互为倒数的两个数的乘积为1和整体思想、分解思想的综合运用．1．(2013·河北)若x ＝1，则||x －4＝（ ） A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－52．实数327，0，－π，16，13，0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有________个（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．(2015·保定一模)若|a ＋2|＋|b －3|＝0，则a 2－b ＝________. 命题点2 平方根、算术平方根和立方根(1)(2015·石家庄28中二模)3（－1）2的立方根是（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1(2)(2015·石家庄41中一模) 一个正方形的面积是20，估计它的边长大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间 (3)(2015·安顺)19的平方根是________．正确理解平方根、算术平方根、立方根的定义是解决问题的关键．1. (2015·安徽)－64的立方根是________．2．(1)(2015·唐山路北二模)16的算术平方根是________． (2)(2015·河北省考试说明)16的平方根是________． 3．(2013·安顺)计算：－36＋214＋327＝________．命题点3 数轴和实数的大小比较(1)(2015·常州)已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b(2)(2015·河北)在数轴上标注了四段范围，如图，则表示8的点落在（ ）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④(1)平方法的基本思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a ＞0，b ＞0时，可由a 2＞b 2 得到a ＞b ，”来比较大小．这种方法常用于比较无理数的大小；(2)常用(a)2＝a(a≥0)来确定二次根式的值的大致范围．1.35，π，－4，0这四个数中，最大的数是________．2．(2015·北京)实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．d命题点4科学记数法(1)(2015·安徽)移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（）A．1.62×104B．1.62×106C．1.62×108D．0.162×109(2)(2015·保定二模)2013年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.000 000 12米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10－9米B．1.2×10－8米C．12×10－8米D．1.2×10－7米当已知数N≥1时，N的值为原数的整数位数减1；(2)当N＜1时，N 的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的一个0.1．(2015·宁德)世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000 000 076克．将0.000 000 076用科学记数法表示为（）A．7.6×10－8B．0.76×10－9 C．7.6×108D．0.76×1092. (2015·济宁)2014年我国国内生产总值约为636 000亿元，用科学记数法表示2014年国内生产总值约为________亿元． 命题点5 二次根式函数y ＝2x ＋1x －1的自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≥－12 B ．x ≠1 C ．x ≤－12且x≠1 D ．x ≥－12且x≠1此题确定自变量取值范围需满足两点：(1)被开方数大于等于0 ；(2)分母不等于0.下列计算结果正确的是（ ） A.2＋5＝7B ．32－2＝3 C.2×5＝10 D.25＝510在二次根式的加减法中，注意只有同类二次根式才能合并．1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A.9 B.7 C.20 D.132．式子x －42－x有意义的x 的取值范围是________．3. (2015·张家口质检) 计算：(6＋10×15)×3＝________． 命题点6 实数的运算(2015·梅州)计算：8＋|22－3|－(13)－1－(2 015＋2)0. 【解答】此类题目的关键是要理清运算顺序，其次是正确运用运算法则及运算律，切记运算时一定要看清数据及细心．注意a 0＝1，a －n＝1a n (a≠0，n为正整数)．1．计算：3(2－3)－24－|6－3|＝________． 2. (2015·济宁)计算：π0＋2－1－14－|－13|.3．计算：2×[5＋(－2)3]－(－||－4÷2－1)．1．(2015·东营)|－13|的相反数是（ ）A.13 B ．－13C ．3D ．－32．(2014·连云港)下列实数中，是无理数的是（ ） A ．－1 B ．－12C. 2D ．3.143. (2015·安徽)计算8×2的结果是（ ） A.10B ．4C. 6D ．24. (2015·唐山路北二模)若一粒米的质量约为0.000 021 kg ，将数据0.000 021用科学记数法表示为（ ） A ．21×10－4B ．2.1×10－6C ．2.1×10－5D ．2.1×10－45. (2015·张家口二模)下列四个数中绝对值最大的是（ ） A ．－2B ．0C. 3D ．16．(2013·河北)下列运算中，正确的是（ ） A.9＝±3 B.3－8＝2 C ．(－2)0＝0D ．2－1＝127．如图，数轴上A 、B 两点表示的数分别为2和5.1，则A 、B 两点之间表示整数的点共有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（ ）A ．a<bB ．|a|>|b|C ．－a<－bD ．b －a>09. (2015·唐山路南一模) 3的倒数为________．10．(2014·益阳)四个实数－2，0，－2，1中，最大的实数是________． 11．定义一种新的运算a ﹠b ＝a b ，如2﹠3＝23＝8，那么请试求(3﹠2)﹠2＝________．12．如图，已知菱形ABCD ，其顶点A 、B 在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝________．13．若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足a 2－6a ＋9＋|b －4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．14．无论x 取任何实数，代数式x 2－6x ＋m 都有意义，则m 的取值范围为________． 15. (2015·安顺)计算：(－12)－2－(3.14－π)0＋|1－2|－2sin45°.16．(2014·东营)计算：(－1)2 014＋(sin30°)－1＋(35－2)0－|3－18|＋83×(－0.125)3.17．(2013·南京)设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a＜4；④a 是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（）A．①④B．②③C．①②④D．①③④18．(2015·张家口质检)如图，数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与5－210最接近（）A．A B．B C．C D．D19．(2014·内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是________．参考答案考点解读考点1 ①无理数 ②零 ③负分数 ④无限循环考点2 ⑤原点 ⑥正方向 ⑦单位长度 ⑧符号 ⑨两侧 ⑩距离 ○11乘积 ○121a 考点3 ○13a ×10n考点4 ○14相反数 ○15负数 ○160 ○170 ○18正的 ○19负的 考点5 ○20大于 ○21小于 ○22小 ○23小于 考点6 ○241 ○251a p ○26乘除 ○27加减 ○28括号内 各个击破例1 (1)A (2)±1 (3)1 题组训练 1.A 2.B 3.1 例2 (1)C (2)C (3)±13题组训练 1.－4 2.(1)4 (2)±2 3.－32 例3 (1)A (2)C 题组训练 1.π 2.A 例4 (1)C (2)D题组训练 1.A 2.6.36×105 例5 D 例6 C题组训练 1.B 2.x≥4 3.18 2例7 原式＝22＋3－22－3－1＝－1.题组训练 1.－6 2.原式＝1＋12－12－13＝23. 3.原式＝2×(5－8)－(－4÷12)＝－6＋8＝2. 整合集训1．B 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.C 9.33 10.1 11.81 12.5 13.5 14.m≥915.原式＝4－1＋2－1－2×22＝4－1＋2－1－2＝2. 16.原式＝1＋2＋1＋(3－32)＋[8×(－0.125)]3 ＝1＋2＋1＋3－32－1 ＝6－3 2. 17.C 18.B 19.8＋5 2。
2016年中考数学一轮复习学案 分式
第3讲 分式考点一 分式的概念考点二 分式的基本性质的分式，这一过程叫做分式的通分.考点三 分式的运算命题点1 分式的概念及分式有意义、值为0的条件例题1 分式x 2－4x ＋2的值为0，则x 的取值是（ ） A ．x ＝－2 B ．x ＝±2 C ．x ＝2 D ．x ＝0分式值为零既与分子有关，又与分母有关，不要忽略对分母的限制条件．【题组训练】1．(2013·黔西南)分式x 2－1x ＋1的值为零，则x 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．±1 D ．12．(2014·金华)在式子1x －2，1x －3，x －2，x －3中，x 可以取2和3的是（ ） A.1x －2 B.1x －3 C.x －2 D.x －3 3．(2013·南京)使式子1＋1x －1有意义的x 的取值范围是________． 命题点2 分式的运算例题2 (2015·烟台)先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷(2x －1－1x)，再从－2＜x ＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入，求值．【思路点拨】 本题先化简，然后取值代入，取值时需注意x 不能取－1，0，1.【解答】 .解此类题的关键是化简的结果要正确，代入求值时不能忽略使分式有意义这一条件．要特别注意原式及化简过程中的每一个分式都要有意义．【题组训练】1．(2015·临沂)计算：a a ＋2－4a 2＋2a＝________． 2. (2015·泸州)化简：m 2m 2＋2m ＋1÷(1－1m ＋1)．3．(2014·益阳)先化简，再求值：(1x －2＋2)(x －2)＋(x －1)2，其中x ＝ 3.【专题训练】1．下列计算错误的是（ ）A.0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －bB.x 3y 2x 2y 3＝x yC.a －b b －a ＝－1D.x 2－9x －3＝x ＋3 2. (2014·凉山)分式|x|－3x ＋3的值为零，则x 的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．任意实数3. (2015·石家庄28中一模) 使分式x 2x －1有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ＞12D ．x ≠124．计算1÷1＋m 1－m·(m 2－1)的结果是（ ） A ．－m 2－2m －1B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 5．(2014·杭州)若(4a 2－4＋12－a)·w＝1，则w ＝（ ） A ．a ＋2(a≠－2)B ．－a ＋2(a≠2)C ．a －2(a≠2)D ．－a －2(a≠±2) 6．(2014·十堰)已知：a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为（ ） A.5＋1B ．1C ．－1D ．－57. (2015·河北)若a ＝2b≠0，则a 2－b 2a 2－ab的值为________． 8．(2014·宜宾)化简：(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a＝________． 9．(2013·衢州)化简：x 2＋4x ＋4x 2－4－x x －2＝________． 10．(2014·泸州)化简：(a a 2－b 2－1a ＋b )÷b b －a＝________． 11．(2014·烟台改编)化简：x 2＋2x ＋12x －6÷(x －1－3x x －3)．12．(2015·邵阳)先化简：(1x －2－2x )·x 2－2x 2，再从0，1，2中选一个合适的x 的值代入求值．13．(2015·保定二模)已知y x ＝3，求代数式(1－y 2x 2－2xy ＋y 2)·x －y x的值．14. (2015·唐山路北一模)先化简，再求值：a －b a ＋2b ÷a 2－b 2a 2＋4ab ＋4b 2－1.其中a ＝2sin60°－tan45°，b ＝1.15. (2015·石家庄长安区质检)先化简，再求值：(x 2x －2－4x －2) ÷x 2＋4x ＋4x －2，其中x 是方程x 2－2x ＝0的根．16. (2015·石家庄新华区质检) a 、b 为实数，且ab ＝1，设P ＝a a ＋1＋b b ＋1，Q ＝1a ＋1＋1b ＋1，则P________Q ．(填“＞”“＜”或“＝” )．17．(2014·济宁)已知x ＋y ＝xy ，求代数式1x ＋1y－(1－x)(1－y)的值．参考答案考点1 ①字母考点2 ②公因式 ③基本性质 ④同分母例1 C题组训练 1.D 2.C 3.x≠1例2 原式＝ x （x ＋1）（x －1）2÷[2x －（x －1）x （x －1）]＝x （x ＋1）（x －1）2÷x ＋1x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x2x －1.当x ＝2时(以取x ＝2为例)，原式＝x 2x －1＝222－1＝4题组训练 1.a －2a2.原式＝m 2（m ＋1）÷m ＋1－1m ＋1＝m 2（m ＋1）·m ＋1m ＝mm ＋1.3.原式＝1＋2x －4＋x 2－2x ＋1＝x 2－2.当x ＝3时，原式＝(3)2－2＝1.【专题训练】1．A 2.A 3.D 4.B 5.D 6.B 7.32 8.2a ＋12 9.2x －2 10．－1a ＋b11.原式＝（x ＋1）22（x －3）÷x （x －3）－（1－3x ）x －3＝（x ＋1）22（x －3）·x －3（x ＋1）（x －1）＝x ＋12（x －1）＝x ＋12x －2.12.原式＝1x －2 ·x 2－2x 2－2x ·x 2－2x 2＝x 2－x ＋2＝2－x 2.当x ＝1时，原式＝－12＋2＝32.13.原式＝x 2－2xy ＋y 2－y 2x 2－2xy ＋y 2·x －y x＝x （x －2y ）（x －y ）2·x －y x＝x －2y x －y .∵x y＝3， ∴x ＝3y.∴原式＝3y －2y 3y －y ＝y 2y ＝12. 14.原式＝a －b a ＋2b ·（a ＋2b ）2（a ＋b ）（a －b ）－1 ＝a ＋2b a ＋b－1 ＝b a ＋b. 当a ＝2sin60°－tan45°＝2×32－1＝3－1，b ＝1时，原式＝1（3－1）＋1＝13＝33. 15.原式＝x 2－4x －2·x －2x 2＋4x ＋4 ＝（x ＋2）（ x －2）x －2·x －2（x ＋2）2＝x －2x ＋2. ∵x 2－2x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.∵当x ＝2时，原分式无意义，∴x ＝0.当x ＝0时， x －2x ＋2＝－1. 16.＝17.∵x＋y ＝xy ，∴原式＝y ＋x xy－(1－x －y ＋xy) ＝x ＋y xy－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0＝0.。
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。
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4.分式
题组练习一（问题习题化）
1.代数式2
1
,,,13x
x a x x x π+ 2
2
93m m
m --中，分式的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.把分式)0,0(≠≠+y x y x
x
中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值( ) A. 扩大2倍 B. 缩小2倍
C. 改变为原来的4
1 D. 不改变 3.下列运算错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.要使分式的值为0，你认为x 可取得数是（ ）
A ． 9
B ． ±3
C ． ﹣3
D ． 3
5.下列各式的变形中，正确的是 （ ）
22.()()A x y x y x y ---+=- 1
1.x
B x x x --=
22C.43(2)1x x x -+=-+ 21
.()1
D x x x x ÷+=+ 6.下列运算正确的是( )
A ．236(2)6a a =
B ．2232533a b ab a b -∙=-
C ．1b
a
a b b a +=--- D ．2
1
1
11a a a -∙=-+
7.分式x xy y x 21,41,31
322的最简公分母是____.
8.要使式子x x 1
+有意义，x 的取值范围是 .
9. 已知x +y =xy ，求代数式+﹣（1﹣x ）（1﹣y ）的值．
◆ 知识梳理
题组练习二（知识网络化）
10. 已知0456c b a ==?，则b c a
+的值为____. 11. 已知a 2+3ab+b 2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于 .
12. x x x x x x x 444122x 22-÷⎪⎭
⎫
⎝⎛+----+ ， 其中 x =tan 600+2 .（6分）
13.先化简，再求值：
)2
52(6332--+÷--m m m m m ，其中m 是方程0322=-+x x 的根.
14.化简
2221432a a a a a a
+⋅----，并求值．其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．
15.先化简：222122(1)1211
x x x x x x x x ++-+÷+--+-，然后从22x -≤≤的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值.
16.先化简，再求值：222()2m n m n m mn n +--+ ，其中2m n
=. 17.已知M=2
22y x xy -，N=2222y x y x -+用+或-连接M.N 有三种不同的形式：M+N . M-N. N-M 请你任取其中一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5：2.
18.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x +（x ＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另
一边长是，矩形的周长是2（x +）；当矩形成为正方形时，就有x =（0＞0），解得x =1，这时矩形的周长2（x +）=4最小，因此x +（x ＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，求式子
（x ＞0）的最
小值. 题组练习三（中考考点链接）
19. 在式子11
,,x 2x 3
-- x 可以取2和3的是（ ） A. 1x 2- B. 1x 3
-
C.
20.（1）已知x 1-x=2 ，则x 2+2
1x 的值=________；
（2）若0132=+-x x ，则1
242++x x x 的值为_________. 18. 某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%．
（1）求这款空调每台的进价
（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
19.某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
答案：
1.C;
2.D;
3.D;
4.D;
5.A;
6.C
7.4x 2y 3
; 8. x ≥-1,且x ≠0; 9. 解：∵x+y=xy，
∴+﹣（1﹣x ）（1﹣y ）
=
﹣（1﹣x ﹣y+xy ）
=﹣1+x+y ﹣xy
=1﹣1+0
=0 10.32
11.-41 12. 解：
原式=，
当x=tan60°+2=+2时，原式=．
13. 11=3(3)12
m m =+原式 ∵m 是方程2230x x +-=的根
∴31m m =-=或
当3m =-时，原式无意义；
当1m =时，1113(3)31(13)12
m m ===+⨯⨯+原式 14. 解：原式＝13
a -． ∵a 与2、3构成△ABC 的三边，
∴3－2＜a ＜3＋2，即1＜a ＜5，
∵a 为整数，
∴a ＝2、3、4，
当a ＝2时，分母2－a ＝0，舍去；当a ＝3时,分母a －3＝0，舍去；故a 的值只能为4． ∴当a ＝4时，原式＝
1143=-． 15. 解：原式=241
x x -+， 当2x =时，原式=
224021⨯-=+. （当2x =-时，原式=222621-⨯-=-+） 16. 解：22
2()2m n m n m mn n +--+ ＝2
2()()m n m n m n +--
＝
2m n m n +-. ∵2m n
=,∴m ＝2n . ∴原式＝452n n n n
+=-. 17. 解：原式=
•（x 2﹣1） =2x +2+x ﹣1
=3x +1，
当x =时，原式=．
当a=﹣1时，原式==． (2) 解：原式=ab （a +1）•=ab ，
当a =
+1，b =﹣1时，原式=3﹣1=2．
(3)原式=[﹣]×，
=×，
=×，
=.
3x+7＞1， 3x ＞﹣6， x ＞﹣2，
∵x 是不等式3x+7＞1的负整数解，
∴x=﹣1，
把x=﹣1代入中得原式=
=3． 18. 解：得到x ＞0，得到
=x +≥2
=6， 则原式的最小值为6．
19.C ；20.（1）6；（2）8
1； 18. 解：（1）设这款空调每台的进价为x 元，根据题意得：
=9%，
解得：x =1200，
经检验：x =1200是原方程的解．
答：这款空调每台的进价为1200元；
解：(1)设原计划每天生产零件x 个，由题意得
240002400030030
x x +=+， 解得x ＝2400，
经检验，x ＝2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400＝10(天)．
答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天．
(2)原计划安排的工人人数为y 人，由题意得
2400[520(120%)2400](102)24000y
⨯⨯+⨯
+⨯-=， 解得y ＝480． 经检验，y ＝480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．。