3_薄膜多层膜的反射

α′ α′ aI − aR sin α ′ = n ≅n ≅ α α aT sin α
上面的等式中应用了条件： 掠入射角很小； n ≅ 1 这一事实。 利用 aI
+ aR = aT ，上式可以变为： aI − aR α ′ = aI + aR α
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定义振幅反射率 r 及透射率t：
cos α = n cos α ′
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由于 α 和 α’ 都为小量，可将余弦函数展开为幂级数：
cos α = n cos α ′
α ′2 1− + ≅ (1 − δ + i β ) 1 − + 2! 2!
α2
忽略高级小量：
α = α ′ + 2δ − 2iβ
自然光的全反射
Total Internal Reflection
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
n1 > n2
θ2 = π/2
n1 sin θc = n2 sin π/2 sin θc = n2 /n1
θ1 ＝θc
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自然光的色散现象
Dispersion of Light
国家同步辐射实验室
2011年研究生课
《同步辐射应用基础》(2011年11月15日)
3. 薄膜、多层膜的X射线反射 1. X射线在界面中的传播与折射 2. 在X射线区域的 Snell 公式及 Fresnel 方程 3. 均匀薄层（薄膜）的X射线反射 4. 多层膜的镜面反射（Specular Reflectivity） 5. 有限梯度界面的反射率 6. 具有粗糙度的界面和表面的反射率
在界面交界处（z=0）利用边界的连续性条件，包括波函 数
Ψ =ae
ik ⋅r
以及它们导数的连续性条件，可得到X射线区
域反射定律、Snell 公式及费涅耳（ Fresnel ）方程。 在 z=0(界面)各处平行的场分量都是连续的，则沿界面所有 波的相位和振幅变化必然完全相同。这就要求电磁波函数里 的波矢的 x 方向分量满足：
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δ、β 都是些小量,这点可以通过一个简单的例子来证
实。我们来考虑碳： Density ρm= 2.27 g/cm3 ; 光子能量 = 3123.26 eV;
f10 (ω ) = 6.09130 f 20 (ω ) = 0.071408
na re λ 2 0 −5 ( ) 4.8998 10 = = × δ f ω 1 2π 2 n r λ −7 0 β a e = × ( ) 5.7441 10 f= ω 2 2π
nred < nyellow < ngreen < nblue
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这里依赖频率(能量)的折射率 n(ω) 为
= ) n(ω e 2 na gs 1− ∑ ε 0 m s (ω 2 − ωs2 ) + iγω
gs 1 e 2 na → ≅ 1− ∑ 2 ε 0 m s (ω 2 − ωs2 ) + iγω 1 e 2 na 2π c = 1− 2 ε 0m λ
f10 (ω ) = 6.00806 f (ω ) = 0.00358382
0 2
= na
2.27 6.022 ×1023 = Na 12.01 A =1.1382 ×1023 atoms / cm3
ρm
= 0.11382 atoms / A3
3 0.68292 / = = electrons A ρ Zn a
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下面考虑几种极端情况，为简单起见假设 bµ << 1
2 2 ′ q ( q ) = + 1 − i 2bµ 可以近似为： q >> 1 1) ，则由
q 2 ≅ [Re(q′) + i Im(q′)]2 − i 2bµ
综合上面的两个公式的结果即是 Fresnel 方程式：
α − α ′ α − α 2 − 2δ + 2i β α − (α 2 − α 2 ) + 2i β c r = = = α + α ′ α + α 2 − 2δ + 2i β α + (α 2 − α c2 ) + 2i β 2α 2α 2α t = = = α + α ′ α + α 2 − 2δ + 2i β α + (α 2 − α 2 ) + 2i β c
相应的强度反射率 R（折射率 T ）即为振幅反射率（折射率） 的模平方： R= | r |2= r ⋅ r *
2 * T = | t | = t ⋅ t
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由式
α ′=
(α − α ) + 2i β
2 2 c
可知 α ′ 为复数，可以表示为：
= α ′ Re(α ′) + i Im(α ′)
cos α = n cos α ′
α c 定义为全反射的临界角。由
cos α c ≅ (1 −
Snell 公式和折射率公式
展开后可忽略高阶项，这样我们得到：
αc2
2!
1− δ + ) =
α c = 2δ
根据典型的数值， 大约在几个毫弧度左右。
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2． 在X射线区域的 Snell 公式及 Fresnel 方程
在真空中 = = k |k I | | k= R | 2π / λ 在介质材料中 nk =| k T | ;
;
3. 分量的表达式，对于平行、垂直于边界表面的分量：
− aT (nk ) sin α ′ − aI k sin α + aR k sin α = aT (nk )cos α ′ aI k cos α + aR k cos α = ⇓ (aI + aR )cos α = aT n cos α ′ aT ， 即可得Snell公式： 应用边界条件 aI + aR =
2 na re λ 0 −6 = δ f1 (ω ) 3.0609 ×10 2π 2 na re λ 0 −9 = 1.8258 ×10 β f= 2 (ω ) 2π
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下面的公式是联系真空（n=1）与不同介质(n<1)界面 的掠入射角α 和α’ 的Snell公式：
aR aT r ≡ ,t ≡ aI aI
′ − a a α I R 将前面的式子 化简： = aI + aR α
1− r α ′ = ⇒ (1 − r )α = (1 + r )α ′ 1+ r α
所以有：
α −α′ r= α +α′
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再将 aI
+ aR = aT 两边同除 aI 即得关系式 1＋r = t ， 所以 2α α −α′ = t =1 + r =1 + α +α′ α +α′
cos α = n cos α ′
斯涅耳 （Snell）公式，也称为折射定律。
由连续性条件，我们不难 得到 振幅（参见右下图）： 振幅的边界条件：
aI + aR = aT aT k T aI k I + aR k R =
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1. 2.
2 2
= α′ =
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α − 2δ + 2i β
2
= α ′ + α − 2i β
2 2 c
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α − α + 2i β
2 2 c
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下面由边界条件：
− aI k sin α + aR k sin α = − aT (n k )sin α ′
推导 Fresnel 方程。
代入波函数，可了解透射波在介质中随深度的衰减情况：
α ′ Re(α ′ ) +i Im(α ′ ) = aT eikα ′z → aT eik Re(α ′) z e − k Im(α ′) z
贯穿深度 Λ 定义为强度下降为 1/e ＝0.36788 时的深度， 由上式我们得到：
e
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ˆˆˆ kI ⋅ x = k R ⋅ x = kT ⋅ x = k k= kT cos αT I cos α I R cos α R k cos α I = k cos α R ⇒ α I = α R = α
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入射角等于反射角：反射定律 同步辐射应用基础
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′ = k cos α k= α nk α cos cos T T
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= na
2.27 6.022 ×1023 = Na 12.01 A =1.1382 ×1023 atoms / cm3
ρm
= 0.11382 atoms / A3 0.68292 electrons / A3 = = ρ Zn a
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我们来考虑碳另一光子能量情况： Density ρm= 2.27 g/cm3 ; 光子能量 = 12412.8 eV （~1.0 埃）;
2
临界处的 Qc 为：
= Qc 2= kα c 2k 2δ
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由这些公式，及一些基本的物理常数如电子密度、吸收系数 和原子散射因子的反常散射的色散修正项 f’，可以算出 Qc 和 bµ ，复数 q’ 可由前式求得。