15.1.1从分数到分式
人教版数学-八年级上册15.1.1从分数到分式
(5) 1 x y 3
(10) 2x y x y
.
(2)整式有： (1) (4) (5) (6) (8) (9)
.
分式与整式的区别：分式中分母含有字母；
整式没有分母或者分母中不含有字母.
合作探究
下列式子中，x取哪些值有意义？无意义？
(1) 2 x
有意义： x 0
(2) x + 1 x -1
x 1
2 (3) x2 -1
x 1
(4) 3 x 2
x 1 (5) x2 1
(6) x 2 x 1
有意义：x 2
x为任意实数
x为任意实数
当分母B
0时，分式
A B
有意义；
当分母B = 0时，分式 A 无意义. B
合作探究
下列式子中，x取哪些值分式值为0？
(1) x 1 x
值为0：x 1
(2) 2a 4 a 1
A B
中，
A 叫做分子，B 叫做分母.
①形式： A B
分式 ②A与B表示两个整式
③B中含有字母
合作探究
下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？
(1) x 2
(6) 3x 1
2
(2) 4 x2 x
(3) b 2a
2 (7) x2 2x 1(8) 3x2 4 2() y 8 3(9)4a
(1)分式有： (2) (3) (7) (10)
2.下列式子中，分式有________；整式有___.
mn
x2 2x 1
mn
x2 2x 1
① ②③
④
⑤
达标测试
3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
①8
a
15.1.1从分数到分式(教案)
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级上册第15章《分式》的第一节“15.1.1从分数到分式”。教学内容主要包括以下两部分：
1.分式的定义：通过复习分数的概念，引导学生理解分式的定义，即分母不为零的整式比值称为分式。
2.分式的性质：探讨分式的分子、分母与分式值的关系，总结分式的性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、性质和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在数学学习和日常生活中灵活运用分式知识。如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：分式2x/(x+1)与2x*2/(x的简单运算：学会分式的加减乘除运算，掌握运算规律。
举例：分式2x/(x+1)加上分式3/(x+1)时，只需将分子相加，分母保持不变，即(2x+3)/(x+1)。
2.教学难点
（1）分式与分数的区别：理解分式与分数在概念上的联系与区别，特别是分式的整式特性。
4.合作与交流：通过小组讨论、分享心得，培养学生团队合作和沟通交流的能力，促进学生共同成长。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）分式的定义：理解分式的概念，明确分母不为零的整式比值是分式的核心。
举例：分数5/6可以看作分式，而表达式(2x+1)/(x-3)也是分式，但(x+2)/0不是分式。
（2）分式的性质：掌握分式的基本性质，如分子分母同乘（除）一个非零整式，分式的值不变。
15.1.1 从分数到分式
D．x＝3
3．已知分式（x－1）（x＋2）的值为 0，那么 x 的值是( ) x2－1
A．－1
B．－2
C．1
D．1 或－2
侵权必究
名校课堂
题组二
4.下列式子中的字母取何值时，使分式有意义？
① 2m 3m 2
②2 x2 1
侵权必究
名校课堂
x2 1 5. x2 x 中的字母取何值时，分式有意义？ 字母取何值时分式无意义？字母取何值时分式为零？
侵权必究
名校课堂
例 当x为何值时，分式 x2 1 的值为零?
x 1
解：当分子等于零而分母不等于零时,
分式的值为零.
则 x2 - 1=0， ∴x = ±1， 而 x+1≠0， ∴ x ≠ -1. ∴当x = 1时分式 x2 1 的值为零.
x 1
侵权必究
名校课堂
题组一
1.整式有：
；分式有：
.
2x 1 1
（B ）
A.xx2+11
x1 B. x2
x2 1 C.x2 1
D.
x2 x1
4.已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零， 3x 2
则k =-10 .
侵权必究
名校课堂
当堂练习
列式表示下列各量：
(1)某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积
40
为 n hm2.
(2)△ABC的面积为S，BC边的长为a, 则高AD为
侵权必究
名校课堂
6. 某市对一段全长1 500米的道路进行改造．原计划
每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所
造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还
多35米，那么修这条路实际用了
教学设计5：15.1.1从分数到分式
15.1.1从分数到分式一、课题：新人教版八年级上册第十五章15.1.1从分数到分式二、课型：新授课三、教材分析：《从分数到分式》的主要内容是分式的概念以及分式有意义、无意义、分式值为0的条件和用分式表示数量关系。
分式是继整式之后对代数式的进一步研究，它以分数知识为基础，类比引出分式的概念。
与整式一样，分式也是表示具体问题情境中的数量关系的一种工具，是解决实际问题的常见模型之一。
本节课的学习为今后学习更为复杂的函数、方程等知识提供重要条件，打下坚实的基础，起到承上启下的作用。
四、教学目标：1、知识与技能：学生通过实际问题中的数量关系，类比、抽象出分式的概念，理解并掌握分式的概念，能求出分式有无意义以及分式值为0的条件。
2、过程与方法：通过对分式与分数的类比，学生亲身经历、探究分式的过程，初步体会运用类比转化的思想方法研究数学问题，培养学生观察、归纳、类比的思想，并体会从特殊到一般的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。
五、教学重难点：重点：理解并掌握分式的概念，体会其内涵；难点：分式有无意义、分式值为0条件的讨论及运用。
六、教法与学法：根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，教学上采用的教学方法是问题探究法，探究发现法，即学生在教师的正确引导下，积极主动参与探索发现、归纳类比等数学活动获得知识。
教师着眼于引导，学生着眼于探索。
本节课还利用多媒体辅助教学，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，积极参与、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。
这节课学生积极参与到教学活动中，用启发引导的方式学习分式的概念，并在学习中渗透观察、类比、归纳的数学学习思想，体现以学生发展为本的理念，突出学生是学习的主体。
七、教学设计：。
15.1.1 从分数到分式
15.1 分式15.1.1 从分数到分式学习目标：1. 了解分式、有理式的概念.2. 理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件、能熟练求出分式有意义的条件、分式的值为零的条件.学习重点: 理解分式有意义的条件、分式的值为零的条件。
学习难点：能熟练地求出分式有意义的条件、分式值为零的条件。
一、 学前准备：1、 统称为整式 。
2、32表示 ÷ 的商，那么()÷()可以表示为 。
3、某村有 m 人，耕地50公顷，人均耕地面积为 公顷。
4、三角形的面积为S ，边长为a,高为 。
5、一辆汽车行驶a 千米用b 小时，它的平均车速为 千米/小时；一列火车行驶a 千米比这辆汽车少用1小时，它的平均车速 千米/小时。
6、以上(3、4、5)题的共同点是 ，与分数相比的不同点 。
7、如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么式子BA 叫做分式，其中A 叫做 ，B 叫做 。
二、探究活动:1、独立思考，解决问题。
（1）分式BA 的分母表示 ，由于 不能为0，所以分式的分母不能为 ，即当B 0时，分式BA 才有意义。
（2）当x 时，分式X32有意义。
（3）当x 时，分式1-x x 有意义。
（4）当x 、y 满足关系 时，分式y x y x +-有意义。
2、师生探究，合作交流。
探究二:分式在什么情况下为零。
.(1)若分式142+-X X 的值为0，则 . (2) 若分式B A 的值为0，则 且 。
探究三:分式在什么情况下无意义。
（1）当x 时，分式123-X 无意义。
（2） 使分式1-X X 无意义，x 的取值是 . A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1(3)对于分式B A ，当 时分式有意义，当 时分式BA 无意义。
三、同步演练 1、下列各式①x 2 ② y x +5 ③ a -21 ④123-x , 是分式的有（ ）A 、①② B 、③④ C 、 ①③ D 、①②③④2、当x 取什么值时，下列分式有意义？①18-x ② 912-x ③12+x y②当a 时，分式242+-a a 的值为0. ③使分式1-x x 无意义，x 的取值是（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、±1四、拓展延伸已知xx 321--取哪些值时:①y 的值是正数;②y 的值是负数；③y 的值是零；④分式无意义。
15.1.1从分数到分式
教科书习题15.1第1、2、3题
七、板书设计
把黑板平均分成三份，左边部分板书课题和分式的概念、分式有意义的条件、分式的值为零的条件和探究，中间部分板书例题，右边部分板书练习．
八、教学反思
授课时间：
教研组检查情况：
组长签字：
年月日
教务处检查情况：
主任（教务员）签字：
年月日
课学内容分析
本课由实际问题引入，通过类比分数的概念得到分式的概念，并进一步研究分式有意义的条件.
二、教学目标
1．知识与技能
了解分式概念.
2．过程与方法
理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
3．情感、态度与价值观
培养良好的推理能力，形成灵活的应用能力．
三、学情分析
四、教学策略选择与设计
创设情景，导入新知—范例学习，应用所学—随堂练习—课时小结—布置作业
五、教学重点及难
1.重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
2难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
六、教学流程
教学方法：
采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．
三、随堂练习，巩固深化
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4, , , , ，
2.当x取何值时，下列分式有意义？
（1）（2）（3）
3.当x为何值时，分式的值为0？
（1）（2）(3)
四、课堂总结，发展潜能
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）你能举例说明什么是分式吗？
（3）如何确定分式有意义的条件？
二、范例学习，应用所学P5例1.当x为何值时，分式有意义.
人教版八年级上册数学15.1.1从分数到分式课件
【选自教材P128 练习 第1题】
40
（1）某村有n个人，耕地40hm2，则人均耕地面积为 n hm2.
2S
（2）△ABC的面积为S，BC边的长为a，则高AD为 a .
a
（3）一辆汽车b h行驶了a km，则它的平均速度为 b km/h；
一列火车行驶a km比这辆汽车少用1 h，则它的平均速度为
a
b - 1 km/h.
B. x ≠ 2 D. 以上结果都不对
方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是 几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.
想一想
分式 A 的值为零应满足什么条件？ B
0 0 2
分子为0 分母不为0
A0 B
当A=0，B≠0时，分式 A 0 B
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
针对训练
区别
分子与分母都是整 数，即都不含字母
分母中一定含有 字母
整式 整式（含字母）
S 令S=100，a=7 100
a
7
整数 整数
分式
具体化 一般化
分数
实质：分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具有一般性.
针对训练
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
ab2 ； 1 ； a ； x ； x 1 ； 1 x y ； 1 .
面积 = 长×宽
S?
a
体积 = 底面积×高
（2）把体积为200 cm3 的水倒入底面积为33
200
cm2 的圆柱形容器中，则水面高度为 33 cm；
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容
V
器中，则水面高度为 S .
S
同5÷3可以写成
5 3
人教版八年级上册数学课件15.1.1 从分数到分式
33 cm2的圆柱形保温桶中，水面高度为( 200 )cm；若
33
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水
面高度为( V ).
S
S
V
（5）采购秒表8块共8a元，一把发射枪b元，合计 为（8a+b）元.
讲授新课
一 分式的概念
问题1:请将上面问题中得到的式子分分类：
100 100 7a
100 200 V 8a+b a+1 33 S
做一做：
（1）当x 0
时，分式 2 有意义； 3x
（2）当x （3）当b
1 时，分式 x 有意义；
x 1
5 3
时，分式
1 5 3b
有意义；
（4）当
x≠y 时，分式 x y 有意义.
x y
（5）当x 为任意实数 时，分式
x 1 x2 1
有意义；
三 分式值为零的条件
想一想：分式 A 的值为零应满足什么条件？ B
第十五章 分 式
15.1.1 从分数到分式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解分式的概念； 2.理解分式有意义的条件及分式值为零的条件．（重点） 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条 件．（难点）
导入新课
情境引入
第 十 届 田 径 运 动 会
填空：乐乐同学参加百米赛跑
x2 1 C.x2 1
D.
x2 x1
4.已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零， 3x 2
则k =-10 .
5.在分式 x 3 中，当x为何值时，分式有意义？
x3
分式的值为零？
答：当x ≠ 3时，该分式有意义；当x=-3时， 该分式的值为零.
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教 材 分析 学 法 分析
教 学 过 程
教学设计 与 师生互动 设计意图 第一步：复习提问 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ 8m n 1 3x 1 1 ① ＋m2 ②1＋x＋y2－ ③ ④ 3 z x 2
⑤
为新课讲解做 好铺垫
2 2 x 2x 1
课后反思:
100 ， 60 ， s a 20 v 20 v
培养学生观察 和分析问题的 能力
7
a
33
s
， v ，有什么共同点？它们与分数有
s
什么相同点和不同点？ 第三步: 新课讲解： 小结：1．分式的概念：一般地，形如
A 的式子叫做分式，其中 A 和 B B
明确分式的定 义
均为整式，B 中含有字母。 练习：下列各式中，哪些是分式哪些不是？
(3)
x2 1 x2 x
1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做 x 个零件，则他 8 小时做零件 需 小时. （2）轮船在静水中每小时走 a 千米，水流的速度是 b 千米/时，轮船 的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 .
x 2 1 3x 2 x 1 3x 2
4 a 3x 1 1 1 （1）、 、（2） 、（3） 、（4） 、（5） x2、（6） ＋4 x 4 2 4 x y a
2．小结：对整式、分式的正确区别：分式的分子和分母都是整式， 分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分 式与整式的根本区别。 第四步：例题讲解 P3 例 1. 当 x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母 x 的取值范围. [提问]如果题目为： 当 x 为何值时， 分式无意义.你知道怎么解题吗？ 这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概 念. (补充)例 2. 当 m 为何值时，分式的值为 0
7 , 9 y , m4 , x 20 5
8y 3 ， 1 x9 y2
巩固本节基本 知识点
2. 当 x 取何值时，下列分式有意义？ （1）
3 x2
（2）
x7 5x
x5 3 2x
（3）
7x 21 3 x
2x 5 x2 4
3. 当 x 为何值时，分式的值为 0？ （1） （2） 第六步:课堂检测
2
个，做 80 个零件
及时反馈及时 正
千米/时.
(3)x 与 y 的差于 4 的商是 2．当 x 取何值时，分式 3. 当 x 为何值时，分式 第七步: 小结
一般地，形如
无意义？ 的值为 0？
A 的式子叫做分式，其中 A 和 B 均为整式，B 中含有字母。分式的分子和分母 B
都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根 本区别。当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分母不等于零时，分式有意义。当分式的分 子是零而分母不等于零时，分式的值等于零。
⑥
a 2 b ab2 2
⑦
3x 2 4 1 2
第二步：创设情景， [思考]让学生自己依次填出： 10 ， s ， 200 为下面的[观察]提供具体
7 a s 100 60 的式子，就以上的式子 ， ， ，v a s 20 v 20 v 33
，有什么共同点？它们与分数
有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即 A÷B）的形式.分数的 分子 A 与分母 B 都是整数，而这些式子中的 A、B 都是整式，并且 B 中都 含有字母. 1．让学生填写，学生自己依次填出： 10 ， s ， 200 ， v . 2．学生看无往不利教材中的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用实践，与以最大航 速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 3. 以上的式子
m m 1 （1）
基本类型题讲 解
（2）
m2 m3
(3)
m2 1 m 1
1 分母不能为零； [分析] 分式的值为 0 时， 必须同时 满足两个条件： ○ ．．
2 分子为零，这样求出的 m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. ○ 第五步:随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4,
八年级数学师生共用讲学稿
课题：15.1.1 从分数到分式 备课时间：
教 学 目 标 重点 难点 教法
序号：
主备人：亓桂琴 授课班级：
课型：新授课 授课时间：
月
日
知识与技能： 掌握分式概念，学会判别分式何时有意义，能用分式表示数量关系。 过程与方法： 经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程，学会与人合作， 并获得代 数学习的一些常用方法：类比转化、合情推理、抽象概括等。 情感态度与价值观： 通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会分 式的模型思想。 分式的概念 识别分式有无意义；用分式描述数量关系 采用“探究──交流──合作”的方法，让学生在互动中掌握知识． 本节课的主要内容是分式的概念以及掌握分式有意义.无意义.分式值为 0 的条件．它是 在学生掌握了整式的四则运算.多项式的因式分解的基础，对比引出分式的概念， 把学生 对“式”的认识由整式扩充到有理式．学好本节知识是为进一步学习分式知识打下扎实 的基础，是以后学习函数.方程等问题的关键。 学生通过熟悉的现实生活情景，发现有些数量关系仅用整式来表示是不够的，引发认知 冲突,提出需要学习新的知识．