高考专题训练二十三 数形结合思想

高考专题训练二十三 数形结合思想班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分_______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：设P 到l 1的距离为d 1，P 到l 2的距离为d 2，由抛物线的定义知d 2＝|PF |，F (1,0)为抛物线焦点，所以d 1＋d 2＝d 1＋|PF |.过F 作FH ⊥l 1于H ，设F 到l 1的距离为d 3，则d 1＋|PF |≥d 3.当且仅当H ，P ，F 三点共线时，d 1＋d 2最小，由点到直线距离公式易得d 3＝105＝2. 答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：如图所示，根据直线与渐近线斜率的大小关系：ba ＝c 2－a 2a ＝e 2－1≥3，从而e ≥2. 答案：C3．已知OB→＝(2,0)，OC →＝(2,2)，CA →＝(2cos α，2sin α)，则OA →与OB→的夹角的取值范围为( ) A ．[0，π4]B ．[π4，512π]C ．[512π，π2]D ．[π12，512π]解析：如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，B (2,0)，C (2,2)，A 点轨迹是以2为半径的圆C ，OD 、OE 为⊙C 的切线，易得∠COB ＝π4，∠COD ＝∠COE ＝π6，当A 点位于D 点时，OA →与OB →的夹角最小为π12，当A 点位于E 点时，OA →与OB →的夹角最大为512π，即夹角的取值范围为[π12，512π]．答案：D4．函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π3与y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －73π⎝ ⎛⎭⎪⎫76π≤x ≤53π的图象和两直线y ＝±3所围成的封闭区域的面积为( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．以上都不对解析：∵函数y ＝3cos(2x －73π)＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43π＋π3.∴y ＝3cos(2x －73π)的图象是将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移43π个单位得到的．由画图可知，所围成的区域的面积为43π×6＝8π.答案：A5．设定义域为R 的函数f (x )＝若关于x的方程f 2(x )＋af (x )＋b ＝0有3个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则下列说法中错误的是( )A ．x 21＋x 22＋x 23＝14B ．1＋a ＋b ＝0C ．x 1＋x 3＝4D ．x 1＋x 3>2x 2解析：作出f (x )的图象，图象关于x ＝2对称，且x ＝2时，f (x )＝1，故f (x )＝1有3个不同实数根x ，除此之外，只有两个根或无根．又f2(x)＋af(x)＋b＝0有3个不同的实数解x1<x2<x3，x2＝2，而x1＋x3＝2x2＝4.又f(x)＝1，1|x－2|＝1，x1＝1，x3＝3，故A，B，C正确．答案：D6．若函数f(x)＝log a x－x＋a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为()A．0<a<1 B．a>1C．a>0且a≠1 D．1<a<2解析：设函数y＝log a x(a>0且a≠1)和函数y＝x－a，则函数f(x)＝log a x－x＋a有两个零点，就是函数y＝log a x(a>0且a≠1)与函数y ＝x－a有两个交点，由图象可知当0<a<1时，两函数只有一个交点，不符合；当a>1时，函数y＝log a x图象过点(1,0)，而直线y＝x－a 与x轴交点(a,0)在点(1,0)右侧，所以一定有两个交点，故a>1.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．设有一组圆C k：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)．下列四个命题：A．存在一条定直线与所有的圆均相切B．存在一条定直线与所有的圆均相交C．存在一条定直线与所有的圆均不相交D．所有的圆不经过原点其中真命题的代号是________．(写出所有真命题的代号)解析：假设圆经过原点，则有(0－k＋1)2＋(0－3k)2＝2k4，即2k4－10k2＝－2k＋1，而上式左边为偶数，右边为奇数，故矛盾，所以D 正确．而所有圆的圆心轨迹为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k －1，y ＝3k ，即y ＝3x ＋3.此直线与所有圆都相交，故B 正确．由于圆的半径在变化，故A ，C 不正确．答案：BD8．当0≤x ≤1时，不等式sin π2x ≥kx ，则实数k 的取值范围是________．解析：在同一坐标系下，作出y 1＝sin π2x 与y 2＝kx 的图象，要使不等式sin π2x ≥k π成立，由图可知需k ≤1. 答案：k ≤19．函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx 在[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b的最小值为________．解析：∵y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数， ∴f ′(x )＝x 2＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立． 结合二次函数的图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a －b ≤0，4＋4a －b ≤0也即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －1≥0，4a －b ＋4≤0. 作出不等式组表示的平面区域如图：当直线z ＝a ＋b 经过交点P (－12，2)时，z ＝a ＋b 取得最小值，且z min ＝－12＋2＝32.∴z ＝a ＋b 取得最小值32.答案：32点评：由f ′(x )≤0在[－1,2]上恒成立，结合二次函数图象转化为关于a ，b 的二元一次不等式组，再借助线性规划问题，采用图解法求a ＋b 的最小值．10．用计算机产生随机二元数组成区域⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－2<y <2.对每个二元数组(x ，y )，用计算机计算x 2＋y 2的值，记“(x ，y )”满足x 2＋y 2<1为事件A ，则事件A 发生的概率为________．解析：本题为几何概型问题，应转化为图形的面积比求解．如图，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－2<y <2及(x ，y )满足x 2＋y 2<1的平面区域．∴P (A )＝π8.答案：π8三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)若关于x 的方程x 2＋2kx ＋3k ＝0的两根都在－1和3之间，求k 的取值范围．解：令f (x )＝x 2＋2kx ＋3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x )＝0的解，由y ＝f (x )的图象(如图)可知，要使两根都在－1,3之间，只需f (－1)>0，f (3)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝f (－k )<0，－1<－k <3同时成立，解得－1<k <0，故k ∈(－1,0)．12．(13分)(四川)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，右准线为l ，M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0.(1)若|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，求a 、b 的值；(2)证明：当|MN |取最小值时，F 1M →＋F 2N →与F 1F 2→共线． 解：由a 2－b 2＝c 2与e ＝ca ＝22，得a 2＝2b 2.F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，l 的方程为x ＝2a .设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)则F 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a ，y 1，F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，y 2 由F 1M →·F 2N →＝0得 y 1y 2＝－32a 2<0①(1)由|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫322a 2＋y 22＝25 ② ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋y 22＝25 ③由①②③三式，消去y 1、y 2，并求得a 2＝4故a ＝2， b ＝22＝ 2.(2)证明：|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a .此时，F 1M →＋F 2N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a ，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，y 2 ＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→. 故F 1M →＋F 2N →与F 1F 2→共线．。