MATLAB与数值分析-引言
基于MATLAB的数值分析(1)
Path(’f:\ming’, path) 把f:\ming设置在搜索路径的首端
1.7 工作空间浏览器和数组编辑器
一、工作空间浏览器简介 内存变量查阅、显示、保存和 编辑(复制，粘贴，删除） 二、数组编辑器和大数组的输入 三、数据文件的存取
Save filename load filename
【例】数据的存取。（假定内存中已经存在变量X,Y,Z） （1）建立用户目录，并使之成为当前目录，保存数据 mkdir('c:\','my_dir'); cd c:\my_dir save saf X Y Z dir . .. saf.mat
【例】求 (12+2*(7-4))/3^2 ans = 2
1 【例】简单矩阵 A 4 1
[12 2 ( 7 4 )] 3
2
的算术运算结果。
2 5 8
AA = [1,2,1; 4,5,6; 1,8,9] AA = 1 2 1 【例】指令的续行输入 4 5 6 S=1-1/2+1/3- ... 1 8 9 1/4+1/5-1/6+1/7 ... 【例】矩阵的分行输入。 AA=[1,2,3 -1/8 4,5,6 S = 7,8,9] 说明 ， ； 续行号 … 的作用(前加空格) 0.6345
例：help eye
1.9 数组的创建和运算
数组是指由一组实数或复数排成的长方阵列，它可以 是一维的“行”或“列”，可以是二维的“矩形”，也 可以是三维的“若干维矩形的堆叠”，甚至更高的任意 维。 MATLAB精心设计数组和数组运算的目的在于： （1） 使计算程序简单、易读，使程序指令更接近于教 科书上的计算公式； （2） 提高程序的向量化程度，提高计算效率，节省计 算机开销。
数值分析第二讲MATLAB简介
MATLAB编程入门 MATLAB的编程风格与C语言相同。 常用流程控制语句 if if语句条件 elseif if语句条件 end 终止作用域 for 指定次数的循环 while 不指定次数的循环 break 终止循环 switch 开关语句 case 列出语句 otherwise否则语句 return 返回调用函数 function 函数定义语句
MATLAB常用函数名 数学函数（中文意义略） abs，acos，acosh，angle，asin，asinh，atan，atan2，atanh， ceil，conj，cos，cosh，exp，fix，floor，gcd，imag，lcm，log， log10，real，rem，round，sign，sin，sinh，sqrt，tan，tanh， 构造矩阵函数 eye(n)，ones(n)，zeros(n)：产生n阶单位、全1，全0矩阵 eye(m,n)，ones(m.n)，zeros(m.n)：产生m×n的单位、全1，全 0矩阵 Sparse：构造稀疏矩阵 Size(M)取矩阵M的各维大小(结果为向量) size (M,n) 取矩阵M的第n维大小
例1:构造两个可加减乘的矩阵A，B，C,求A+B，A*C， sin(A)+cos(B),以及取A,B,C的子矩阵作同样的运算。 解:A=[ 1,2,3,4;5 6 7 8; 9 10 11 12]; B=ones(3,4) C= pascal(3) ⑴ D=A+B ⑵ E=sin(A)+cos(B) (3) F=A*C 错误操作：A*B，A+C
MATLAB的基本用法 一、数与变量 MATLAB的内部本质上只有两种类型的数据：实数和字符。 一个实数占8个字节（64比特），一个字符占用1字节（8比特）。 复数由两个实数构成，矩阵元素由字符、实数、复数构成。由矩 阵再构成“struct”（结构）数据类型，字符串是以字符为变量的 行向量。所以表现形式有：字符、字符串、整数、实数、复数、 结构。 characters: ‘char’ 表有符号字符 8bits, ‘uchar’ 无符号字符 8bits. integers :‘short’ 短整数16 bits, ‘long’ 长整数 32 bits, floating-point: ‘single-‘ 表单精度浮点数32bits, ’double‘表双精度浮 点数:64bits
数值分析 - 第1章 MATLAB入门
（2）>> u=[x,y] u = 7 4 3 -1 -2 -3
3、解： sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 for i=1 : length(a) if a(i)>0, sum=sum+a(i); end end sum sum = 21
-7];
7 5 3 （4）>> d=b(4:-1:1) d = 3 5 7 9 （5）>> e=sort(b) e =
1水仙花数是一个3位自然数应当满足在100999之间2由于还需要满足各位数的立方和等于该数本身因此需要求出该数的每位数字另外我们还要用到取模函数mod和取整函数fix
1.3
习题课
1、通过使用 help 命令来学习使用 date、clock 命令，了解它们的显示格式。 解答：本题的主要目的让学生学习使用 help 命令来学习一些命令的使用方法。 在 MATLAB 中输入 help date 或者 help clock，会得到 date 和 clock 命令的一些说明。结果如下： DATE Current date as date string. S = DATE returns a string containing the date in dd-mmm-yyyy format. 它表示 date 命令的显示结果是按照：天、月、年的格式显示的。 CLOCK Current date and time as date vector. CLOCK returns a six element date vector vector containing the current time and date in decimal form: CLOCK = [year month day hour minute seconds] The first five elements are integers. The seconds element is accurate to several digits beyond the decimal point. FIX(CLOCK) rounds to integer display format. 这是 help clock 的结果，它提示了 clock 命令的显示格式为：年、月、日、小时、分钟、秒。 然后我们分两次输入 date 和 clock 命令后就会得到各自的结果。通过 help 命令的提示我们就可以轻松看懂结果 的意思了。 >> date ans = 22-Oct-2007 >> clock ans = 1.0e+003 * 2.0070 0.0100 0.0220 0.0170 0.0130 0.0313 2、编写一个计算公式，在 MATLAB 中计算一个半径为 3 的圆的周长。 解答：先写出周长计算公式：c=2πr，然后将里边的数学运算法转换成 MATLAB 的运算符为：c=2*pi*r。 下面我们介绍两组语句，它们都可以输出周长的值。 （1） >> r=3; >> c=2*pi*r; >> c c= 18.8496 （2） >> r=3; >> 2*pi*r ans =
MATLAB与数值分析-引言
龙格-库塔法
二阶龙格-库塔公式；三阶龙格-库塔公式；MATLAB 函数实现。
课程安排
(6) 非线性方程求解 (3学时)
非线性方程的求解方法
非线性方程求解的基本原理；二分法、黄金分割法、 迭代法、牛顿法。
求解非线性方程数值解的MATLAB编程实现 代数方程求根指令；求函数零点指令。
课程安排
课程总结和复习 上机实验
例：线性方程组求解
{
3x y 7 2.999x y 1
x 6000 , y 17993
{
{
3 x y 7 3.001 x y 1
x 6000 ,
y 18007
则得不到解
3 x y 7 3 x y 1
线程安排
（2） 线性方程组求解的数值方法（4学时）
• • 高斯消元法
高斯消元法；主元方式的高斯消元法。MATLAB函数实现
矩阵分解
矩阵LU分解的一般计算公式；利用LU分解的线性方程组 求解方法；Cholesky分解; MATLAB函数实现
•
向量范数与矩阵范数
向量范数及其性质；矩阵函数及其性质；常用的范数形式。 MATLAB函数实现
（2学时） （16学时）
教材和参考书
1.参考教材
《MATLAB 数值计算方法》，张德丰等编著，机械工业出版社， 2010。 《数值计算引论》，白峰杉，高等教育出版社，2004。
2. 参考资料
《科学计算引论—基于MATLAB的数值分析》，Shoichiro Nakamura，电子工业出版社，2002。 《数值分析基础教程》，李庆杨，高等教育出版社，2001。
工程研究的基本过程为：
实际问题 几何学问题 电路分析问题 物理学问题 微积分问题 控制论问题 经济学问题 … …
第十章MATLAB的数值分析
• 第一个问题可归结为“已知函数在x0,x1,
– …,xn处的值，求函数在区间[x0,xn]内其它点处的值”，这 种问题适宜用插值方法解决。 – 插值问题可描述为：已知函数在x0,x1,…,xn处的值 y0,y1,…,yn，求函数p(x)，使p(xi) = yi。
• 但对第二个问题不宜用插值方法,因为600米已超出所 给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会 产生较大的误差。
– Q1=prctile(w,25); – Q3=prctile(w,75); – prctile( )函数实现计算样本的百分位数功能
分布形态的测定
• 只用集中趋势和离中趋势来表示所有数据，难免不 够准确。分析总体次数的分布形态有助于识别整个 总体的数量特征。总体的分布形态可以从两个角度 考虑，一是分布的对称程度，另一个是分布的高低。 前者的测定参数称为偏度或偏斜度，后者的测定参 数称为峰度。 • 峰度是掌握分布形态的另一指标，它能描述分布的 平缓或陡峭程度。如果峰度数值等于零，说明分布 为正态；若峰度数值大于零，说明分布呈陡峭状态； 若峰度数值小于零，说明分布形态趋于平缓。
– 解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下 500 处的 数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离x之间的近似函数关 系f(x), 由f(x)求井下600米处的瓦斯浓度。
• 插值函数过已知点，拟合函数不一定过已知点。通 常, 插值主要用于求函数值，而拟合的主要目的是求 函数关系。当然，某些问题既可以用插值也可以用 拟合。
插值方法-概述
• 为什么需要插值？
(1) 函数关系y=f(x)没有明确的表达式
(2) y=f(x)表达式复杂，不便于研究和使用
-20 -15
沉陷量/mm 下沉方向为"+"
数值分析matlab实验报告
数值分析matlab实验报告《数值分析MATLAB实验报告》摘要：本实验报告基于MATLAB软件进行了数值分析实验，通过对不同数学问题的数值计算和分析，验证了数值分析方法的有效性和准确性。
实验结果表明，MATLAB在数值分析领域具有较高的应用价值和实用性。
一、引言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算和分析的学科，其应用范围涵盖了数学、物理、工程等多个领域。
MATLAB是一种常用的数值计算软件，具有强大的数值分析功能，能够进行高效、准确的数值计算和分析，因此在科学研究和工程实践中得到了广泛的应用。
二、实验目的本实验旨在通过MATLAB软件对数值分析方法进行实验验证，探究其在不同数学问题上的应用效果和准确性，为数值分析方法的实际应用提供参考和指导。
三、实验内容1. 利用MATLAB进行方程求解实验在该实验中，利用MATLAB对给定的方程进行求解，比较数值解和解析解的差异，验证数值解的准确性和可靠性。
2. 利用MATLAB进行数值积分实验通过MATLAB对给定函数进行数值积分，比较数值积分结果和解析积分结果，验证数值积分的精度和稳定性。
3. 利用MATLAB进行常微分方程数值解实验通过MATLAB对给定的常微分方程进行数值解，比较数值解和解析解的差异，验证数值解的准确性和可靠性。
四、实验结果与分析通过对以上实验内容的实际操作和分析，得出以下结论：1. 在方程求解实验中，MATLAB给出的数值解与解析解基本吻合，验证了MATLAB在方程求解方面的高准确性和可靠性。
2. 在数值积分实验中，MATLAB给出的数值积分结果与解析积分结果基本吻合，验证了MATLAB在数值积分方面的高精度和稳定性。
3. 在常微分方程数值解实验中，MATLAB给出的数值解与解析解基本吻合，验证了MATLAB在常微分方程数值解方面的高准确性和可靠性。
五、结论与展望本实验通过MATLAB软件对数值分析方法进行了实验验证，得出了数值分析方法在不同数学问题上的高准确性和可靠性。
Matlab与数值分析第一题课程设计报告
第一题课程设计报告一．引言：运用MATLAB的GUI设计，仿照matlab的cftool界面，制作一个图形界面，在界面中集成一种或者多种插值方法和一种或者多种拟合方法，通过点击相应的button，绘制出对应的插值或者拟合结果。
二．方法原理介绍：MATLAB作为一种科学计算软件，其基本的功能需要通过M语言编程来实现。
那么通过图形用户界面的形式来发布应用程序的好处就是可以允许程序的使用者不具备很深厚的MATLAB知识或者数学知识，只要用户熟悉了解计算机的基本操作就可以完成相应的计算。
MATLAB的图形用户界面同流行的操作系统——Windows、Unix或者Linux的图形界面类似，它使用这些平台上的统一外观作为自己的外观样式，它的图形用户界面应用程序可以做到一处编写到处运行，只要相应的平台上具有MATLAB即可。
在MATLAB中创建图形用户界面的方法有两种——图形句柄和GUIDE，这两种实现的方法都需要使用M语言编程，但是技术的侧重点不同。
其实GUIDE 创建图形用户界面的基础也是图形句柄对象，只不过是具有很好的封装，使用起来简便，而且还能够做到可视化的开发，对于一般的用户使用GUIDE创建图形用户界面应用程序已经足够了。
MATLAB提供了基本的用户界面元素，包括菜单、快捷菜单、按钮、复选框、单选框、文本编辑框、静态文本、下拉列表框、列表框等。
需要注意的是，MATLAB的图形用户界面程序大多数是对话框应用程序，利用MATLAB编写文档视图应用程序相对来说比较困难。
使用GUIDE和图形句柄创建的图形用户界面的主要区别在于，利用图形句柄创建的图形界面应用程序只有一个文件——M文件，而利用GUIDE创建的图形用户界面应用程序一般由两个文件组成，一个是应用程序文件——M文件，另一个是外观文件——fig文件。
三．仿真结果及性能分析：1.程序界面及测试结果：相关程序在文件夹里，为Approximation.fig和Approximation.m。
Matlab在《数值分析》课程教学中的应用word精品文档3页
Matlab在《数值分析》课程教学中的应用数值分析课是信息与计算科学专业的必修课，也是工科学生的选修课。
在计算机没有普及的时候，尽管很多高校都开设了这门课程，但几乎都是基于理论讲授，没有把算法通过软件在计算机上实现。
现在，随着计算机的普及和高校硬件设施的完善，在课程讲授过程中把算法通过软件Matlab实现是很方便的事情，而且让学生通过上机环节自行实现变得轻而易举。
笔者针对自己当年的学习情况和多年的教学实践探究软件Matlab在数值分析课程中的作用，并探讨了软件Matlab在教学中针对零基础学生的具体实现过程。
一、理论与实践的结合在学习数值分析这门课程以前，学生已经学习了线性代数、高等数学等知识。
在中学阶段的数学学习，以及线性代数和高等数学的学习过程中，学生学习数学的概念就是一张纸、一支笔，使得很多学生对深入学习数学没有太大兴趣，更愿意多动手、多操作，增强实践能力。
当年，笔者学习数值分析这类课程的时候，计算机还处于发展阶段，确实很难在计算机上操作并实现算法。
当时主要靠笔学习这门课程，对于算法的优点是理论分析得出，可是算法真正实现的优点――快速、精度等却很难体会。
目前，从软件方面讲，软件Matlab早由美国Mathworks公司发布。
它将数值分析、矩阵计算、可视化等诸多功能集成在环境中，为科学研究、工程设计及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供一套全面的完善解决方案。
从硬件方面讲，现在计算机相当普及，各高校都有机房，学生有电脑也随处可见。
所以综合各方面，软件Matlab加入数值分析的课程教学是势在必行的。
笔者以王能超编著的数值分析为例进行讲解。
数值分析的内容主要有插值方法、数值积分、常微分方程的差分方法、方程求根、线性方程组的直接法和迭代法。
它的内容整体来讲，具有抽象性、科学性、实用性。
在讲解这门课程的时候知识要点比较零散，公式较多，推导复杂。
尽管书中算法用框图的形式表示出来了，从理论上讲，确实很完美，但是在具体转化为变成可执行语言的时候，还是会遇到很多困难。
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课程安排
（3）MATLAB程序设计（3学时）
M文件特点和编写技巧；参数与变量；数据类型。 MATLAB的程序结构，包括顺序结构及循环结构等。 MATLAB程序的终止控制及异常处理。
（4）MATLAB数据的图形表示（2学时）
MATLAB基本二维绘图，特殊的二维绘图函数，填充多边形。
MATLAB三维绘图基本函数，绘制三维折线及曲线；绘制三 维网格曲面。
A 20o
0.5
1 B C
• 问题二：若顶角为20o，结果如何？ • 解： BC=AC×sin（20o）= ？
？
方法一、查“正弦函数表”: 通过查表可以求得sin（20o）=0.34202
正弦函数表：
方法二： 计算机求解：
与查表法相比，计算机求解 迅速且计算精度高
计算机如何计算 sin(20o)？误差是多少？
（来自书上的解释）
定义：数值分析是研究用计算机求解科学与工程中 数学问题的数值计算方法及理论 与其他数学基础课的区别： 具体研究有： 必须用计算机完成一些计算 求解数学模型的算法，算法收敛 性、稳定性、有效性及误差分析。 ∴数值分析是数学与计算机结合的结果， 是计算机仿真的基石.是与信息科学紧密结合， 实用性很强的一门课程。 数值分析也称为数值计算或计算方法
Matlab参考资料： 《MATLAB实用教程》 郑阿奇主编， 电子工业出版 社出版， 2004年5月出版
考核方式
平时成绩 + 上机实验 +课程设计+ 课程考试 （开卷）
成绩比例：
平时成绩+上机实验 课程设计 课程考试
30% 20% 50%
联系方式
Email: xlzhang@ 电话: 61830015 地址: 科研楼B507房
a
b
f ( x )dx,
d f ( x ), dx
数值 分析
近似解
数值解
计算机
数学问题的解析解与数值解
数学问题求解
手工推导，理论严格证明。解析解（数学家）
借助计算机，直接求出解。数值解（工程技术
人员）
有些数学问题手工无从推导或推导过程很 繁杂，但计算机能容易求解，获得数值解
MATLAB与数值分析
电子工程学院 张晓玲 xlzhang@
教学内容主要包括两大部分：
MATLAB软件平台及编程； 数值分析基础理论与基本算法。
MATLAB软件
主要用于数值计算及可视化图形处理，是一种具 有代表性的计算机数学语言 特点： 功能强大，如：数值分析、矩阵运算、图形图像处 理、信号处理、系统仿真及Simulink建模等； 编程简单，效率高，且有许多应用领域的工具箱。 是很多理工科专业最适合的计算机数学语言，应用 广泛。
高斯求积公式
高精度求积公式；高斯点的基本特性；高斯求积公式； MATLAB中的数值积分函数。
课程安排
（5) 常微分方程初值问题 （4学时） • • • 欧拉方法
基本理论和方程离散化；欧拉方法；改进的欧拉方 法；MATLAB函数实现。
稳定性与收敛性分析
欧拉方法的稳定性；欧拉方法的收敛性及收敛速度。
课程安排
第二部分 数值分析基础理论与基本算法
（26学时）
（1）数值计算的基本概念（2学时）
误差与有效数字 误差、误差限、相对误差、相对误差限和有效数字的定 义及相互关系；误差的来源和误差的基本特性；误差计算 （估计）的基本方法 算法的适定性问题 数值分析中的病态和不稳定性问题介绍；MATLAB中的数值 计算精度。 算法设计原则
o
看出：方程间的夹角很小（病态问题的典型特征）
数值计算方法需借助计算机求解：
可从底层编写起，如Fortran、C语言等
缺点：考虑内容很多，调试不容易，易出现漏洞。 也可应用现成软件进行计算机求解 是数学家研究创造的算法，如MATLAB、 Mathematica、Maple等。包含了一些关键而又 复杂的数值算法，大大提高编程效率。 为了分析算法的重要特征（如算法速度及稳定性） 及计算实验。本课程采用MATLAB语言
NY
BJ
误差积累和传播病态问题（ill-posed problem）
“蝴蝶效应”是一切复杂系统对初始条件极为敏 感的代名词。即初始条件极小偏差，导致极大差异。
“蝴蝶效应”也可称“混沌”、“非线性（临界 条件或阈值条件）”等 蝴蝶效应无处不在 褒义：“慎之毫厘，得之千里” 贬义：“差之毫厘，失之千里”，“一着不慎，满盘结 输”
•
曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法法；多项式拟合方法；Matlab中的 多项式拟合函数
课程安排
（4） 数值积分 （4学时） 插值型求积公式
线性和二次求积公式；求积公式的代数精度；插值型 求积公式；MATLAB函数实现；求积公式的误差分析；
复合求积公式
牛顿-科特斯求积公式；几个低次牛顿-科特斯求积公 式；复化矩形公式；复化梯形公式；复化Simpson公式； MATLAB函数实现。
（2学时） （16学时）
教材和参考书
1.参考教材
《MATLAB 数值计算方法》，张德丰等编著，机械工业出版社， 2010。 《数值计算引论》，白峰杉，高等教育出版社，2004。
2. 参考资料
《科学计算引论—基于MATLAB的数值分析》，Shoichiro Nakamura，电子工业出版社，2002。 《数值分析基础教程》，李庆杨，高等教育出版社，2001。
•
迭代法求解
Jacobi迭代法；高斯_赛德尔迭代法；MATLAB函数实现； 迭代法的收敛性
•
方程组的病态问题与误差分析
线性方程组解的误差分析；条件数和方程组的病态性
方阵的特征值和特征向量的计算
方阵特征方程的求解法；计算特征值和特征向量的迭代法； MATLAB函数实现。
课程安排
（3） 函数的数值逼近 （5学时） 代数多项式插值问题
课程安排
（2） 线性方程组求解的数值方法（4学时）
• • 高斯消元法
高斯消元法；主元方式的高斯消元法。MATLAB函数实现
矩阵分解
矩阵LU分解的一般计算公式；利用LU分解的线性方程组 求解方法；Cholesky分解; MATLAB函数实现
•
向量范数与矩阵范数
向量范数及其性质；矩阵函数及其性质；常用的范数形式。 MATLAB函数实现
课程安排
第一部分MATLAB软件平台及编程（14学时）
（1）MATLAB概论（2学时）
MATLAB软件平台介绍，包括其特点、功能、各种窗口的介绍。 MATLAB的常量、运算符和基本操作命令和帮助命令等的介绍，并 以范例说明。
（2）MATLAB基础知识（3学时）
MATLAB的数组与矩阵，包括：其概念,输入法及运算等。 字符串和符号矩阵，包括符号变量，符号矩阵的创建方法，符号 矩阵的运算及特有命令的应用。多项式及其运算。
工程研究的基本过程为：
实际问题 几何学问题 电路分析问题 物理学问题 微积分问题 控制论问题 经济学问题 … …
数值分析：如何利用计算机 求解数学问题。
各专业学 科知识
数 学 模 型
计算机
数析的任务
数值分析是研究计算机求解各类数学 问题的数值方法和有关理论的学科
例：线性方程组求解
{
3x y 7 2.999x y 1
x 6000 , y 17993
{
{
3 x y 7 3.001 x y 1
x 6000 ,
y 18007
则得不到解
3 x y 7 3 x y 1
线性方程组系数对解的敏感
y
x
插值多项式的存在唯一性；插值基函数和插值多项式的一 般形式；插值的误差分析；多项式插值的Runge现象; MATLAB函数实现。
• •
线性插值
分段线性插值；Hermite插值和分段Hermite插值；MATLAB 函数实现。
三次样条插值
样条插值的定义；三次样条函数的计算；Matlab中的插值 函数。
龙格-库塔法
二阶龙格-库塔公式；三阶龙格-库塔公式；MATLAB 函数实现。
课程安排
(6) 非线性方程求解 (3学时)
非线性方程的求解方法
非线性方程求解的基本原理；二分法、黄金分割法、 迭代法、牛顿法。
求解非线性方程数值解的MATLAB编程实现 代数方程求根指令；求函数零点指令。
课程安排
课程总结和复习 上机实验
例3 高等数学问题：已知函数f(x)，如何求导及高阶 导数？
sin x f ( x) 2 x 4x 3
d f ( x) ? 4 dx 步骤：① 由分式求导公式，得出 df ( x ) dx ② 逐次求导则可以得出
存在问题：求导过程很繁杂，容易出错
4
若求：
d
100
f ( x) ? 100 dx
地位、意义
工程问题数学化
计算机解决科学计算的一般过程：
实际问题 数学模型 计算方法（算法设计与
分析） 程序设计 上机计算，给出数值结果
数值问题机器化
数学问题数值化
核心环节：针对数学模型，给出数值求解方法
具体作用：
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
l n x,
Ax b , ......
MATLAB已成为了数值分析的首选辅助工具
——用于算法的编程实现及算法特征的分析
数值分析（Numerical analysis）
（来自Wikipedia网上的解释）。
Numerical analysis is the study of algorithms for the problems of continuous mathematics.（comes from Wikipedia）