复习(二)集合与逻辑复数
集合与常用逻辑用语知识点梳理
集合与常用逻辑用语，推理与证明，算法，复数，坐标系与参数方程知识点梳理一．集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：____________、________、__________.(2)元素与集合的关系是_____或_______两种，用符号____或_____表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法2.A∪B＝{_________}A∩B＝{_____________}∁A＝{_________}(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为____个，非空子集个数为______个，真子集有_________个.(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.[方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检¬验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.二．命题及其关系。
充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们______的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的_____条件，同时q是p的________条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q________________条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的____________条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的______________条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.[方法与技巧]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用A⇒B与¬B⇒¬A；B⇒A与¬A⇒¬B；A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A真包含于B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.三简单的逻辑联结词.全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：[方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”.[失误与防范]1.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真.2.两种形式命题的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.四．归纳与类比1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理方法，是由一般到特殊的推理．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．五．综合法与分析法。
高一集合与复数知识点总结
高一集合与复数知识点总结高一数学学习中，集合与复数是很重要的内容之一。
本文将对高一集合与复数的知识点进行总结，以帮助同学们更好地掌握这些知识。
一、集合1. 集合的概念及表示方法集合是由若干个元素组成的整体，可以用大括号{}表示。
如果一个元素在集合中，就用小写字母表示，例如集合A={a, b, c}，表示元素a、b、c属于集合A。
2. 集合的分类根据元素的性质，集合可以分为：空集、单元素集、有限集、无限集、相等集等。
3. 集合之间的关系常见的集合关系有：相等关系、子集关系、真子集关系，分别用等号=、⊆、⊂表示。
4. 常见的集合运算常见的集合运算有：并集、交集和补集。
如果A、B是集合，分别表示为A∪B（并集）、A∩B（交集）、A'（A的补集）。
二、复数1. 复数的概念及表示方法复数是由实部和虚部组成的数，一般表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的性质复数具有加法、减法、乘法和除法等运算。
复数加法满足交换律和结合律，复数乘法满足交换律和分配律。
3. 复数的共轭复数a+bi的共轭复数是a-bi，可以用来求解复数的模和复数的除法。
4. 复数的绝对值和幅角复数a+bi的绝对值是√(a²+b²)，表示复数到原点的距离；复数的幅角是复数的辐角，表示复数与实轴正方向的夹角。
5. 真实数与虚数当虚部b为0时，复数a+bi就是一个真实数；当实部a为0时，复数a+bi就是一个虚数。
三、高一集合与复数知识点综合应用1. 集合的应用集合常用于数学中的概率、统计等问题，可以用来表示样本空间、事件等。
2. 复数的应用复数在电路分析、信号处理、几何学等领域中有广泛的应用。
例如，复数可以表示交流电路中的电压和电流，用于解决电路中的稳态分析和暂态分析问题。
总结：高一集合与复数是初步数学学习的重要知识点。
通过对集合的认识，可以帮助同学们更好地理解集合的关系和运算；通过对复数的学习，可以拓宽数学思维，应用于实际问题的解决中。
黄冈中学2011年高考数学易错题精选(二)集合与简易逻辑、极限与复数
--集合与简易逻辑、极限与复数1．已知集合12{|,}10M x x Z N x=∈∈-且，则M 的非空真子集的个数是（ ） A ．30个 B ．32个 C ．62个 D ．64个 2．不等式1ax a x->的解集为M ，且2M ∉，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)4+∞ B ．1[,)4+∞ C ．1(0,)2D ．1(0,]23．已知2{|40},{|10}P m m M m mx mx x =-<<=--<对一切实数都成立，则下列关系式中成立的是（ ）A ．P M ØB ．M P ØC ．M P =D ．M P =∅ 4．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则1(1)1lim 1(1)1p n qn n→∞+-+-=（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 5．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈， 则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,}S a bi a b i =+为整数，为虚数单位为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)6．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ； 若至少有一个元素，则a 的取值范围 ．7．对任意两个集合M N 、，定义：{|}M N x x M x N-=∈∉且，M N M N N M =-- （）（），设2{|,}M y y x x R ==∈，{|3sin ,}N y y x x R ==∈，则M N ＝ ．8．已知数列{}n a 的前n 项和11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且01b <<，若lim n n S →∞存在，则lim n n S →∞= ．9．22lim (4)x x x x x →-∞+-- = ．10．如果(,R,0)z a bi a b a =+∈≠且是虚数，则222,,,||,||,,,||,||z z z z z z z z z z 中是虚数的有 个，是实数的有 个，相等的有 组．11．设{}22|190A x x ax a =-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-=(1)A B A B = ，求a 的值；(2)A B ∅ Ø，且A C =∅ ，求a 的值； (3)A B A C =≠∅ ，求a 的值． 12．已知集合10{|1},{|1}6E x x mF x R x =-≥=∈>+． （1）若3m =，求E F ；（2）若E F R = ,求实数m 的取值范围．13．设R 为全集，集合2{|10,}A x x ax x R =++=∈，{|1,}B y y x x R ==-∈,若R AC B A = ,求实数a 的取值范围．14．设集合22{(,)|10},{(,)|42250}A x y ay x B x y x x y =--==+-+=，{(,)|}C x y y kx b ==+．（1）当0a =时，求A B ；（2）当1a =时，问是否存在正整数k 和b ，使得()()A C B C =∅ ，若存在，求出k 、b 的值；若不存在,说明理由．15．已知不等式2435x x a x -++-≤的解集中的最大解为3，求实数a 的值．16．设2x a -<时，不等式241x -<成立，求正数a 的取值范围．17．设:p 方程2210x mx ++=有两个不相等的正根；:q 方程22(2)3100x m x m +--+=无实根，求使p 或q 为真，p 且q 为假的实数m 的取值范围．18．试判断3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的什么条件？并给出判断理由．19．已知不等式①32x x +>；②22132x x x +≥-+；③2210x mx +-<． （1）若同时满足①、②的x 也满足③，求实数m 的取值范围；（2）若满足③的x 至少满足①、②中的一个，求实数m 的取值范围．20．已知数列{}n a 的各项都是正数，且满足：0111,(4)2n n n a a a a +==-，N n ∈，证明：12n n a a +<<，N n ∈．21．试证明：不论正数a 、b 、c 是等差数列还是等比数列，当1,N n n >∈*且a 、b 、c 互不相等时，均有：2n n n a c b +>．22．已知函数21()22f x x x =-+，数列{}n a 满足递推关系式：1()(N )n n a f a n +=∈*，且11a =．（1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）用数学归纳法证明：当5n ≥时，121n a n <--； （3）证明：当5n ≥时，有111nk kn a =<-∑． 23．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，由{}n a 中的部分项组成的数列12,,,nb b b a a a ，…，为等比数列，其中11b =，25b =，317b =． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）记123123n n n n n n n T C b C b C b C b =++++ ，求lim4nn n nT b →∞+．24．已知公比为(0)q q <<1的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列2{}na 各项的和为815． （1）求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；（2）对给定的(1,2,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求数列(2)T 的前10项之和；（3）设i b 为数列()i T 的第i 项，12n n S b b b =++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞ 存在且不等于零．25．当x →∞时，函数()(,N )nm x f x m n x b =∈*+的极限是否存在？若存在，求出其极限．26．设z 是虚数，1z zω=+是实数，且1ω-<<2．（1）求||z 的值及z 的实部的取值范围；（2）设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； （3）求2u ω-的最小值．集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）1．C 解：因为121122634=⨯=⨯=⨯，又x Z ∈且1210N x∈-，所以 101,2,3,4,6,12x -=，故{9,8,7,6,4,2}M =-，所以它的非空真子集有62262-=个．故选C ．2．B 解：当0a ≤时，不等式的解集为{|0}x x R x ∈≠且，不符合题意，所以0a >，由不等式1ax a x->得：1ax a x ->或1ax a x -<-，即10x ->或210ax x -<，则有0x <或102x a<<，又2M ∉，所以122a ≤，即有14a ≥，故选B ． 3．A 解：当0m =时，10-<，对一切实数x ，不等式210mx mx --<恒成立；当0m ≠时，要使不等式恒成立，则0m <且240m m ∆=+<，即40m -<<，所以{|40}M m m =-<≤，故选A ． 4．C 解：特殊值法由题意取1,2p q ==，则211(1)1lim lim lim11212(1)1p n n n q n n n n n nn →∞→∞→∞+-==++-+12p q==，可见选C ． 5．①②解：∵集合S 为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题． ②由封闭集定义知②为真命题．③是假命题．如{0}S =符合定义，但是S 为有限集．④是假命题．如S Z =，T 为整数和虚数构成集合，满足S T C ⊆⊆，但T 不是封闭集， 如32,32i i +-都在T 中，但(32)(32)23i i T ++-=∉，所以正确的是①②．6．9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭ 解：当A 中仅有一个元素时，0a =，或980a ∆=-=；当A 中有0个元素时，980a ∆=-<；当A 中有两个元素时，980a ∆=->；所以9|,08a a a ⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭或，9|8a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭． 7．[3,0)(3,)-+∞解：依题意有[0,)M =+∞，[3,3]N =-，所以(3,)M N -=+∞，[3,0)N M -=-，故[3,0)(3,)M N M N N M =--=-+∞ （）（）．8．1 解：因为1111()1(01)(1)(1)n n n n nnS ba b S S b b b -=-+-=--+-<<++， 所以11lim (lim lim )1lim(1)n n n nn n n n S b S S b -→∞→∞→∞→∞=--+-+，得1lim 1lim(1)n n n n S b →∞→∞=-+，则01b <<，故112b <+<，所以lim 1n n S →∞=．9．52-解：22lim (4)x x x x x →-∞+--=225lim4x x x x x x→-∞++-5lim1411x x x→-∞-=++-52=-．10．4，5，3．解：2,,,z z z z 四个为虚数；22||,||,,||,||z z z z z z 五个为实数；2,||||,||z z z z z z z === 三组相等．11．解：(1)因为A B A B = ，所以A B =，又由对应系数相等可得5a =和2196a -=同时成立，即5a =；(2)由于{2,3}B =，{4,2}C =- ，且A B ∅ Ø，A C =∅ ，故只可能3A ∈.此时23100a a --=，即5a =或2a =-，由(1)可知，当5a =时，{2,3}A B ==，此时A C ≠∅ ，与已知矛盾，所以5a =舍去，故2a =-；(3)由于{2,3}B =，{4,2}C =-，且A B A C =≠∅ ，此时只可能2A ∈，即22150a a --=，也即5a =，或3a =-，由(2)可知5a =不合题意，故3a =-．12．解：（1）当3m =时，{|13}{|24}E x x x x x =-≥=≤-≥或，10{|1}{|64}6F x x x x =>=-<<+， {|24}{|64}{|62}E F x x x x x x x =≤-≥-<<=-<≤- 或；（2）因为{|1}E x x m =-≥，当0m ≤时，,E R E F R == ,满足条件；当0m >时，{|11}E x x m x m =≤-≥+或，由E F R = ，{|64}F x x =-<<，得：16140m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03m <≤.综上，实数m 的取值范围为(,3]-∞． 13．解：因为R A C B A = ，所以R A C B ⊆．又[0,)B =+∞，所以(,0)A ⊆-∞．所以方程210x ax ++=或者无实根，或者只有负实数根．所以，0∆<或00a ∆≥⎧⎨-<⎩，即240a -<或2400a a ⎧-≥⎨>⎩，得2a >-．故实数a 的取值范围为(2,)-+∞．14．解：（1）0a =，则{(,)|1,}A x y x y R ==-∈，由方程组2142250x x x y =-⎧⎨+-+=⎩解得：172x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即7{(1,)}2A B =- ． （2）1a =，则A 中的方程为210y x --=.因为A B C 、、都是非空集合，由已知必有A C =∅ 且BC =∅ ，此即方程组21y x y kx b ⎧=+⎨=+⎩和方程组242250x x y y kx b⎧+-+=⎨=+⎩均无解，消去y 整理得222(21)10k x bk x b +-+-=(0)k ≠和242(1)250x k x b +--+=，所以22221(21)4(1)4410bk k b k kb ∆=---=-+<，2224(1)16(52)4(2819)0}k b k k b ∆=---=-+-<，将其看做关于k 的二元一次不等式，从而2316160b ∆=->，444(819)0b ∆=-->，所以21b >且52b <成立.又b N *∈，所以2b =,此时24810k k -+<，且2230k k --<，由此得232322k -+<<，由k N *∈,得1k =，即所求2b =，1k =．15．解：将3x =代入2435x x a x -++-=，得35a -+=，即8a =．当8a =时，原不等式可化为2343x x x -≤-+-，解得0323x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即23x ≤≤，所以8a =满足要求．16．解：因为0a >，所以由2x a -<得22a x a -<<+，由241x -<，得：35x <<或53x -<<-，故2325a a ⎧-≥⎪⎨+≤⎪⎩，解得52a ≤-， 又0a >，所以052a <≤-，又25230a a a ⎧-≥-⎪⎪+≤-⎨⎪>⎪⎩，无解．综上，正数a 的取值范围是{|052}a a <≤-．17．解：令2()21f x x mx =++，则由(0)0f >，且02ba->， 且0∆> ，求得1m <-，∴:(,1)p m ∈-∞-，2:4(2)4(310)023q m m m ∆=---+<⇒-<<，由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 一真一假．①当p 真q 假时，123m m m <-⎧⎨≤-≥⎩或，即2m ≤-；②当p 假q 真时，123m m ≥-⎧⎨-<<⎩即13m -≤<．∴m 的取值范围是2m ≤-或13m -≤<． 答案：(,2][1,3)-∞--18．解：令2()10f x x ax =++=，则方程在区间[1,1]-上有解的充要条件是：240112(1)0(1)0a a f f ⎧-≥⎪⎪-≤-≤⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩或(1)(1)0f f -≤，由于第一个不等式的解集是{2,2}-，而第二个不等式的解集是{|22}a a a ≤-≥或，所以关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充要条件是2a ≥，因为集合{|3}{|2}a a a a ≥≥Ø，故而可得结论：3a ≥是关于x 的方程210x ax ++=在区间[1,1]-上有解的充分不必要条件．19．解：由题意知，解①得13x -<<；解②得01x ≤<或24x <≤．（1）设同时满足①、②的集合[0,1)(2,3)A = ，满足③的集合为B ，因为A B ⊆，所以：(3)0(0)0f f ≤⎧⎨<⎩，所以173m ≤-为所求． （2）(1,3)[0,1)(2,4]B ⊆- ，所以(1,4]B ⊆-，即方程2210x mx +-=的两根在[1,4]-内，所以：0(1)0(4)0144f f m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪⎨≥⎪⎪-<-<⎪⎩，所以3114m -≤≤为所求． 20．证明：用数学归纳法证明①当0n =时，01a =，10013(4)22a a a =-=，所以012a a <<，命题正确②假设当(N )n k k =∈*时，有12k k a a -<<，则当1n k =+时，11111(4)(4)22k k k k k k a a a a a a +---=--- 11112()()()2k k k k k k a a a a a a ---=---+111()(4)2k k k k a a a a --=---，而110,40k k k k a a a a ---<-->，所以10k k a a +-<．又2111(4)[4(2)]222k k k k a a a a +=-=--<，所以当1n k =+时，命题正确由①②知，对一切N n ∈，有12n n a a +<<．21．证明：（1）设a 、b 、c 为等比数列，,(01)ba c bq q q q==>≠且，所以1()2n nnn n n n n n n b a c b q b q b q q+=+=+>．（2）设a 、b 、c 为等差数列，则2b a c =+，猜想()(2N )22n n na c a c n n ++>≥∈*且．下面用数学归纳法证明：①当2n =时，由2222()()a c a c +>+， 所以222()22a c a c ++>．②假设n k =时成立，即()22k k ka c a c ++>，则当1n k =+时，1111111()24k k k k k k a c a c a c +++++++=+++ 111()4k k k k a c a c c a ++>+++1()()4k k a c a c =++ ()()22k a c a c ++> 1()2k a c ++=22．解：（1）由11a =及21122n n n a a a +=-+计算得：232a =，3138a =，4217128a =． （2）证明：（Ⅰ）2512172172171217217391()22(1)22212812812821281282564a =-+=--⨯=-<- ，即当5n =时，结论成立．（Ⅱ）假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--． 因为21133(1)222n n a a +=-+≥，函数213()(1)22f x x =-+在(1,)+∞上递增，则1()(2)1k f a f k <--，所以21113(21)212k a k +<--+-21112212(1)k k k =-+<---， 即当1n k =+时结论也成立． 由（Ⅰ）（Ⅱ）知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立． （3）因为当5n ≥时，121n a n <--，所以112n n a +<-． 又由21122n n n a a a +=-+，即1(2)22n nn a a a +--=， 即111122n n n a a a +=---，得111122n n n a a a +=---，且11a =．所以111111()22nnk k k k k a a a ==+=---∑∑11111111222n n n a a a ++=-=-<----．23．解：（1）由题意知25117a a a = ，即221111(4)(16)2a d a a d a d d +=+⇒=． 因为0d ≠，所以12a d =，数列{}nb a 的公比511143a a dq a a +===， 所以113nn b a a -= ．① 又111(1)2n n b n b a a b d a +=+-=．② 由①②得111132n n b a a -+=．因为120a d =≠，所以1231n n b -=-． （2）1212n n nn n n T C b C b C b =+++ 10211(231)(231)(231)n n n n n C C C -=++-++- 122122(333)()3n n nn n n n n n C C C C C C =+++-+++ 2[(13)1](21)3n n =+---214233n n =-+ ， 所以1214233lim lim 44231n n n n n n n n n T b -→∞→∞-+=++- 12111()()23234lim13131()()244n nn n n →∞--+==+- ． 24．解：（1）由题设可得1212918151a q a q⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得1323a q =⎧⎪⎨=⎪⎩所以数列{}n a 的首项1a 为3，公比q 为23．（2）由（1）知，123()3n n a -=⨯，所以，(2)T 是首项为22a =，公差2213d a =-=的等差数列，它的前10项之和为10110210931552S =⨯+⨯⨯⨯=，即数列(2)T 的前10项之和为155．（3）因为i b 为数列()i T 的第i 项，()i T 是首项为i a ，公差为21i a -的等差数列， 所以(1)(21)(21)(1)i i i i b a i a i a i =+--=---，所以12n n S b b b =+++ 12335(21)[12(1)]n a a a n a n =++++--+++- ． 令12335(21)n S a a a n a =++++- ．因为12112()(21)n n S qS a a a a n a +-=+++--- ，所以1112(21)(1)21(1)n n a n a a q S q q ++--=--- 245(1845)()3nn =-+，故(1)2(1)45(1845)()232n n n n n n S S n --=-=-+-． 所以12(1)limlim [45(1845)()]32n n m m n n S n n n n n →∞→∞-=-+-因为1m >，且lim n m n S n →∞存在，所以当2m =时，1lim 2n m n S n →∞=-； 当2m >时，lim0n m n S n →∞=，由题设，limnmn S n →∞不等于0． 因此2m >不合题意，舍去，故满足题设的正整数m 的值为2． 25．解：（1）当n m =时1lim ()lim111()x x mf x b x→∞→∞==+ ；（2）当n m <时1()lim ()lim 011()m nx x mx f x bx-→∞→∞==+ ；（3）当n m >时lim ()lim11()n mx x mx f x bx-→∞→∞=+ 不存在． 所以0lim ()1x n m f x n m n m →∞<⎧⎪==⎨⎪>⎩（）（）不存在（）． 26．解：（1）设(R,0)z a bi a b b =+∈≠、且，则221a bi z a bi z a b ω-=+=+++2222()()a b a b i a b a b =++-++，因为ω是实数，所以220b b a b -=+．由0b ≠，得221a b +=，即||1z =，因为||1z =，所以2||1z z z == ，所以12z z z a z ω=+=+=．由已知12ω-<<，即122a -<<，解得112a -<<．（2）证明：11z u z-=+ 1()(1)(1)1()[(1)][(1)]a bi a bi a bi a bi a bi a bi -+--+-==+++++-1bia -=+． 所以u 是纯虚数．（3）22222()21(1)bi b u a a a a ω---=-=-++2211221(1)a a a a a a --=-=+++22(1)31a a=++-+， 因为112a -<<，所以1122a <+<，所以242(1)51a a≤++<+，所以2u ω-的最小值为1．。
数学复习教学案：“集合与常用逻辑用语”与“算法、复数、推理与证明”组合训练(二)
“集合与常用逻辑用语”与“算法、复数、推理与证明"组合训练（二）一、选择题1．（2017·洛阳统考)已知i为虚数单位,若实数a,b满足(a＋b i)i ＝1＋i,则a＋b i的模为( )A．1 B。
2 C.错误!D．2解析：选B 依题意得a＋b i＝错误!＝1－i，所以|a＋b i｜＝｜1－i｜＝错误!，故选B。
2．(2017·全国卷Ⅲ）复平面内表示复数z＝i（－2＋i）的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C z＝i（－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i,故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．3．(2017·郑州质检)命题“∃x0∈R，x错误!－x0－1>0”的否定是（)A．∀x∈R,x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－1〉0C．∃x0∈R,x错误!－x0－1≤0D．∃x0∈R，x错误!－x0－1≥0解析：选A 依题意得,命题“∃x0∈R，x错误!－x0－1〉0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，故选A.4．（2018届高三·湖北七市(州）联考）集合A＝{－1，0,1,2，3}，B＝｛x|log2(x＋1）〈2｝，则A∩B＝（)A．{－1，0,1,2} B．｛0，1,2}C．{－1,0,1,2，3} D．｛0，1，2，3｝解析：选B B＝{x｜log2（x＋1)〈2}＝｛x｜0<x＋1<4}＝{x|－1<x〈3}，而A＝{－1,0,1,2，3}，∴A∩B＝｛0，1，2｝，故选B.5．已知全集U＝R，集合A＝{x｜x2－3x－4>0｝,B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A．{x｜－2≤x<4｝B．｛x|x≤2或x≥4}C．{x｜－2≤x≤－1｝D．{x|－1≤x≤2}解析：选D 依题意得A＝｛x|x〈－1或x>4｝，因此∁R A＝｛x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为（∁R A)∩B＝｛x|－1≤x≤2｝，故选D.6．已知集合A＝{x｜x2－4x＋3〈0｝,B＝｛x|1〈2x≤4，x∈N｝，则A∩B＝（）A ．∅B ．（1，2]C ．｛2｝D ．{1，2｝解析：选C 因为A ＝｛x ｜x 2－4x ＋3<0｝＝｛x |1〈x <3｝，B ＝{x ｜1<2x ≤4，x ∈N ｝＝{1，2｝，所以A ∩B ＝｛2},故选C 。
高三集合复数知识点总结
高三集合复数知识点总结集合与复数是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和理解数学概念中扮演着关键角色。
本文将对高三阶段所涉及的集合与复数的知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、集合的概念及运算集合是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，如集合A、集合B等。
集合中的元素可以是数字、字母、图形等。
1. 集合的表示方法集合通常用大括号表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A = {1, 2, 3} 表示集合A包含元素1、2和3。
2. 集合的分类集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素数量有限的集合，而无限集是元素数量无限的集合。
此外，还有空集，即不包含任何元素的集合。
3. 集合间的关系集合间的关系主要包括子集、真子集、相等和并集等。
子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素；真子集是指一个集合不仅是另一个集合的子集，而且还有自己独有的元素；两个集合相等是指它们包含完全相同的元素；并集是指将两个集合的所有元素合并在一起构成的新集合。
4. 集合的运算集合的运算主要包括并集、交集和补集。
并集运算用符号∪表示，交集运算用符号∩表示，补集运算用符号'或{ }^c表示。
例如，集合A 和集合B的并集是A∪B，交集是A∩B，集合A在全集U中的补集是A'或U^c。
二、复数的概念及运算复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，一般形式为a+bi，其中a 和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1. 复数的表示复数可以在平面上表示为一个点或一个向量。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
这种表示方法称为复平面。
2. 复数的分类复数可以根据实部和虚部的符号进行分类，包括实数、纯虚数、正实数、负实数等。
3. 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法运算类似于向量的加法和减法，即将对应的实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法运算需要使用分配律和虚数单位i的幂运算规则。
高考常考小题一：集合、复数与简易逻辑(教师答案版)
□高考常考小题一：集合、复数与简易逻辑※常考题型讲练题型一集合的基本关系与运算【例2】1．已知集合A＝{1，3,m}，B＝{1,m}，A∪B＝A，则m＝()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3答案 B2．设集合A＝{x|21－x>1，x∈R}，B＝{x|y＝1－x2}，则(∁R A)∩B 等于()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－1<x<1}C．{－1,1} D．{1}答案 C3．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案 B变式训练1：1．设全集I＝R，A＝{y|y＝log2x，x＞2}，B＝{x|y＝x－1}，则()A．A⊆B B．A∪B＝AC．A∩B＝∅D．A∩(∁I B)≠∅答案 A2．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B 中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 C3．设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}答案：B 题型二复数的概念及运算【例2】1．已知复数a＋3i1－2i是纯虚数，则实数a＝()A．－2 B．4C．－6 D．6答案：D解析：a＋3i1－2i＝a－6＋(2a＋3)i5，∴a＝6时，复数a＋3i1－2i为纯虚数．2．已知i为虚数单位，复数z＝2＋i1－2i，则|z|＋1z＝()A．i B．1－iC．1＋i D．－i答案 B解析：由已知得z＝2＋i1－2i＝－2i2＋i1－2i＝i(1－2i)1－2i＝i，|z|＋1z＝|i|＋1i＝1－i．3．已知i为虚数单位，复数z满足z i＝(3－i1＋i)2，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析：z i＝(3－i1＋i)2＝(3－i)2(1＋i)2＝8－6i2i，∴z＝8－6i2i2＝8－6i－2＝－4＋3i，∴z＝－4－3i，故选C．4．已知i为虚数单位，若z＋z＝2，(z－z)i＝2，则z＝() A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i答案：D解析：设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z＝a－b i，又z＋z＝2，即(a＋b i)＋(a－b i)＝2，所以2a＝2，解得a＝1．又(z－z)i＝2，即[(a＋b i)－(a－b i)]·i＝2，则b i2＝1，解得b＝－1．则z＝1－i．变式训练2：1．复数z＝i2＋i3＋i41－i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案： D解析：i2＋i3＋i41－i＝(－1)＋(－i)＋11－i＝－i1－i＝－i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝1－i2＝12－12i．2．已知i 为虚数单位，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．4 答案 B解析： 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2．3．若复数z 满足z －|z |＝－1＋3i ，则z －＝________． 答案 4－3i解析：由条件可设z ＝a ＋3i ，则|z |＝a 2＋9，∴a －a 2＋9＝－1，∴a ＝4，∴z ＝4＋3i ，∴z －＝4－3i ．题型三 命题与充分必要条件判断【例3】1．下列选项中，说法正确的是( )A ．命题“∃x ∈R ，x 2－x ≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x >0”B ．命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的充分不必要条件C ．命题“若am 2≤bm 2，则a ≤b ”是假命题D ．命题“在△ABC 中，若sin A <12，则A <π6”的逆否命题为真答案：C2．已知a ，b 为非零向量，则“函数f (x )＝(a x ＋b )2为偶函数”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C3．已知命题p ： ∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ，则¬p 是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案：D4．已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2． 当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎨⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4，∴q ：0≤a ≤4．∴p 是q 成立的充分不必要条件．变式训练3：1．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( )A ．p ∨q 是假命题B ．p ∧q 是真命题C ．p ∧(¬q )是真命题D ．p ∨(¬q )是假命题 答案 C2．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α．“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B3．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B4．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则¬p 为( )A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n 答案 C5．已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－3]题型四 简易逻辑综合应用问题【例4】1．已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[e ，4] B ．[1，4] C ．(4，＋∞) D ．(－∞，1]解析 若命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”为真命题，则a ≥e ；若命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”为真命题，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以若 “p ∧q ”是真命题，则实数a 的范围是[e ，4]． 答案 A2．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名． 答案 一解析 由上可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名3．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．答案：(0，12]解析：由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤12．又a>0，故a的取值范围是(0，1 2]．变式训练4：1．已知命题“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)答案：C解析：“∃x∈R，x2＋2ax＋1<0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1<0有解，∴Δ＝(2a)2－4>0，得a2>1，即a>1或a<－1．2．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．答案A解析由题意：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A．3．已知命题p：∃x0∈R，e0x－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx ＋1≥0，若p∨(¬q)为假命题，则实数m的取值范围是() A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]C．R D．∅答案：B解析：若p∨(¬q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m<e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2．所以当p∨(¬q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2．※重点题型精练(时限：35分钟)1．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝() A．(－1，1) B．(0，1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)答案 C2．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是() A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A．答案：A3．已知复数z＝i(－2－i)2(i为虚数单位)，z在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：因为z＝i(－2－i)2＝i4＋4i－1＝i3＋4i＝i(3－4i)25＝425＋325i，所以z在复平面内所对应的点()425，325在第一象限，故选A．4．命题“1＋3x－1≥0”是命题“(x＋2)(x－1)≥0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A5．有下列四个命题：p1：若a·b＝0，则一定有a⊥b；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；p3：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，f(x)＝a1－2x＋1恒过定点()12，2；p4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F≥0．其中假命题的是()A．p1，p4B．p2，p3C．p1，p3D．p2，p4答案 A解析：选A对于p1：∵a·b＝0⇔a＝0或b＝0或a⊥b，当a＝0，则a方向任意，a，b不一定垂直，故p1假，否定B、D，又p3显然为真，否定C．6．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan()x0＋π4＝5答案 B7．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( )A ．55B ．55iC ．1D ．i [答案] A[解析] ∵(2－i)z ＝|1＋2i|＝5，∴z ＝52－i ＝52＋i 5＝255＋55i ，∴复数z 的虚部为55．8．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[答案] B[解析] 由题意可知：1－a i 1＋a i ＝1－a i 21＋a i 1－a i ＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B ．9．设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 若a·b ＝|a ||b |，则a 与b 的方向相同，所以a ∥b ．若a ∥b ，则a·b ＝|a ||b |，或a·b ＝－|a ||b |，所以“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件，选A ．10．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C解析：若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝csin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝ca＝k ．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，∴a ＝b ＝c ．则q ：△ABC 是正三角形，成立．反之，若a ＝b ＝c ，则∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A． 因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C ．11．设i 是虚数单位，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i [答案] A[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， 所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i ．12．函数f (x )＝⎩⎨⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1．观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故答案选A ．13．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1，3)解析 原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”，且为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，解得－1＜a ＜3．14．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________． 答案：±(4－3i)解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5． 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ．由题设得⎩⎨⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋()34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝－3. ∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i ．。
高考数学(理)总复习：集合与常用逻辑用语(解析版)
高考数学（理）总复习：集合与常用逻辑用语题型一 集合的概念、基本关系与基本运算 【题型要点】解答集合的概念、关系及运算问题的一般思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义． (2)根据集合中元素的性质化简集合．(3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解，此时常用到以下技巧： ①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； ②若已知的集合是点集，用数形结合法求解； ③若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 易错提醒：注意元素的互异性及空集的特殊性．【例1】已知集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-021x x x，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1)C ．(－1,1)D ．[－1,1]【解析】依题意，A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-021x x x＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A.【答案】 A【例2】．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【解析】 因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a ＜0，解得0＜a ＜3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.【答案】 B【例3】．已知集合A ＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛121xx ，B ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2≤x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |x ≤－2}【解析】 因为A ＝⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛121x x ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－2x －8≤0}＝{x |－2≤x ≤4}，所以，A ∩B ＝{x |0≤x ≤4}，故选C.【答案】 C题组训练一 集合的概念、基本关系与基本运算1．若全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )【解析】 由题意知，N ＝{x |x 2＋x ＝0}＝{－1,0}，而M ＝{－1,0,1}，所以N ⊆M ，故选B.【答案】 B2．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 ∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选B.【答案】 B3．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．【解析】 由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.【答案】 1或－18题型二 命题真假的判断与否定 【题型要点】 命题真假的判定方法(1)一般命题p 的真假由涉及的相关知识辨别．(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．(3)形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定． (4)全称命题与特称(存在性)命题的真假的判定：①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M 中至少能找到一个元素x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．【例4】已知命题p ：若复数z 满足(z －i)(－i)＝5，则z ＝6i ；命题q ：复数1＋i1＋2i 的虚部为－15i ，则下列为真命题的是( )A ．(綈p )∧(綈q )B ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．p ∧q【解析】 z ＝5－i ＋i ＝6i ，所以命题p 为真；复数1＋i 1＋2i ＝(1＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－i 5，虚部为－15，所以命题q 为假．故(綈p )∧(綈q )为假；(綈p )∧q 为假； p ∧(綈q )为真；p ∧q 为假，故选C. 【答案】 C【例5】．下列说法错误的是( )A ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题D ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” 【解析】根据全称命题的否定是特称命题如A 正确；由于x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0，而由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件B 正确；命题p ∧q 为假命题，则p ，q 不一定都是假命题，故C 错；根据逆否命题的定义可知D 正确，故选C.【答案】 C【例6】．已知：命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题：q ∶∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④【解析】 函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数x 的方程⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题；故①④为真．【答案】 D题组训练二 命题真假的判断与否定1．已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x∈R，x2＋2＞3x” 的否定是“∀x∈R，x2＋2＜3x”，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈p) D．(綈p)∧(綈q)【解析】“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以p为假命题；“∃x∈R，x2＋2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以q为假命题；因此(綈p)∧(綈q)为真命题．故选择D.【答案】 D2．已知命题P：对任意的x∈[1,2]，x2－a≥0，命题Q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】对∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤(x2)min＝1，即命题P：a≤1；∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，则4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2，即命题Q：a≥1或a≤－2；因为命题“P且Q”是真命题，所以a＝1或a≤－2，即实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.【答案】a≤－2或a＝1题型三充分必要条件的判断【题型要点】判断充分、必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：綈p是綈q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；綈p是綈q 的充要条件⇔p是q的充要条件．【例7】设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若y ＝f (x )的图象关于原点对称，函数为奇函数，f (－x )＝－f (x )对于函数y ＝|f (x )|，有|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，说明y ＝|f (x )|为偶函数，而函数y ＝|f (x )|，是偶函数，y ＝f (x )的图象未必关于原点对称，如y ＝|x 2|是偶函数，而y ＝x 2的图象并不关于原点对称，所以“y ＝|f (x )|是偶函数”是“y ＝f (x )的图象关于原点对称”成立的必要不充分条件，选B.【答案】 B【例8】．“m ≤－12”是“∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若∀x ＞0，使得x 2＋12x －32＞m 是真命题，则m ＜min23212⎪⎭⎫⎝⎛-+x x ，令f (x )＝x 2＋12x －32， 则f (x )≥2x 2·12x －32＝1－32＝－12，故m ＜－12， 故m ≤－12是“m ＜－12”的必要不充分条件，故选B.【答案】 B【例9】已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x －e －x ＋lg(x ＋x 2＋1)，a ，b 都是实数，若p ：a ＋b ＜0，q ：f (a )＋f (b )＜0，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵x 2＋1＞x 2≥－x ，∴∀x ∈R ，x ＋x 2＋1＞0，∴f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝e －x －e x ＋lg(－x ＋x 2＋1)＝e －x－e x＋lg (－x ＋x 2＋1)(x ＋x 2＋1)x ＋x 2＋1＝e －x －e x ＋lg1x ＋x 2＋1＝e －x －e x －lg(x ＋x 2＋1)＝－[e x －e －x ＋lg(x ＋x 2＋1)]＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，又f (x )为R 上的增函数， ∴p 是q 的充要条件，故选C. 【答案】 C题组训练三 充分必要条件的判断1．设θ∈R ，则“1212ππθ<-”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 1212ππθ<-⇔0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，但θ＝0，sin θ＜12，不满足 1212ππθ<-，所以是充分不必要条件，选A.【【答案】 A2．给出下列命题：①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”是“ab >1”的充分条件； ②已知平面向量a ，b ，“|a |>1，|b |>1”是“|a ＋b |>1”的必要不充分条件； ③已知a ，b ∈R ，“a 2＋b 2≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件；④命题P ：“∃x 0∈R ，使e x 0≥x 0＋1且ln x 0≤x 0－1”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，都有e x <x ＋1且ln x >x －1”．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①已知a ，b ∈R ，“a >1且b >1”能够推出“ab >1”，“ab >1”不能推出“ab >1”，本选项正确；②已知平面向量，a ，b ，“|a |>1，|b |>1”不能推出“|a ＋b |>1”，本选项不正确；③已知a ，b ∈R ，“a 2＋b 2≥1”是“|a |＋|b |≥1”的充分不必要条件，正确；④命题P ：“∃x 0∈R ，使e x 0≥x 0＋1且ln x 0≤x 0－1”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，都有e x <x ＋1或ln x >x －1”本选项不正确．正确的个数为2.故选：C【答案】 C3．已知a 、b 都是实数，命题p ：a ＋b ＝2；命题q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，则p 是q 的( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切，得|a ＋b |2＝2，即a ＋b ＝±2，所以p 是q 的充分但不必要条件．【答案】A题型四 全称特称命题的否定 【题型要点】 全(特)称命题的否定全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定．【例10】已知命题：p ∶∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0， C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 【答案】 C【例11】．命题“存在x 0＞1，x 20＋(m －3)x 0＋3－m ＜0”为假命题．则m 的取值范围是________．【解析】 由题意知任意的x ＞1，x 2＋(m －3)x ＋3－m ≥0为真命题，而由x 2＋(m －3)x ＋3－m ≥0变形得(x －1)2－(x －1)＋1＋(x －1)m ≥0，由于x －1＞0则m ≥－()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x ＋1对任意x ＞1恒成立，而－()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-111x x ＋1≤－2(x －1)·1x －1＋1＝－1，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取等号，因此m ≥－1.【答案】 [－1，＋∞)题组训练四 全称特称命题的否定1．若命题p ∶∀x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x >sin x ，则命题綈p 为( ) A ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≥sin x 0 B ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≥sin x 0 C ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≤sin x 0 D ．∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-∞-2,π∪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2π，tan x 0>sin x 0 【解析】 ∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ，tan x 0≤sin x 0. 【答案】 C2．命题“存在x 0＞－1，x 20＋x 0－2019＞0”的否定是________．【解析】特称命题的否定是全称命题，故命题“存在x 0＞－1，x 20＋x 0－2019＞0”的否定是“任意x ＞－1，x 2＋x －2019≤0”．【答案】 “任意x ＞－1，x 2＋x －2019≤0”【专题训练】 一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个C ．4个【解析】 U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{3,4}∴∁U (A ∩B )＝{1,2,5}，即集合∁U (A ∩B )的元素个数有3个，故选C. 【答案】 C2．已知集合A ＝{x |x 2＜1}，B ＝{x |2x ＞2}，则A ∩B ＝( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-21,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21D.⎪⎭⎫⎝⎛-1,21 【解析】 因为A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |x ＞12}，所以A ∩B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<121x x ，应选答案C.【答案】 C3．给出下列四个结论：①{0}是空集； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素； ④集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x Qx 6是有限集． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N xQ x 6是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A. 【答案】 A4．已知方程(x 2－6x ＋b 1)(x 2－6x ＋b 2)(x 2－6x ＋b 3)＝0的所有解都为自然数，其组成的解集为A ＝{x 1，x 2，x 3，x 4，x 5}，则b 1＋b 2＋b 3的值不可能为( )A ．13B ．14C ．17D ．22【解析】 当b 1，b 2，b 3分别取0,5,9时，A ＝{0,6,1,5,3}，b 1＋b 2＋b 3＝14，排除B ，当b 1，b 2，b 3分别取0,8,9时，A ＝{0,6,2,4,3}，b 1＋b 2＋b 3＝17，排除C ，当b 1，b 2，b 3分别取5,8,9时，A ＝{1,5,2,4,3}，b 1＋b 2＋b 3＝22，排除D ，故选A.【答案】 A5．“x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 “x ＞0，y ＞0”⇔“y x ＋xy ≥2”，反之不成立，例如取x ＝y ＝－1.∴x ＞0，y ＞0”是“y x ＋xy ≥2”的充分而不必要条件．故选A. 【答案】A6．已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋1，则“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d 1，所以数列{b n }是等差数列；若数列{b n }为等差数列，设其公差为d 2，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝d 2，不能推出数列{a n }为等差数列，所以“数列{a n }为等差数列”是“数列{b n }为等差数列”的充分不必要条件，故选A.【答案】 A7．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x ＞2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4【解析】 因为y ＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛23在R 上是增函数，即y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛23＞1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πθ≤2，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题，选C.【答案】 C8．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A 、B 为两个同高的几何体，p ：A 、B 的体积不相等，q ：A 、B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 如果A ，B 在等高处的截面积恒相等，则A ，B 的体积相等，因此有p ⇒q ，但q ⇒p 不一定成立，把两个相同锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p 是q 的充分不必要条件．故选A.【答案】 A9．对于下列说法正确的是( ) A ．若f (x )是奇函数，则f (x )是单调函数B ．命题“若x 2－x －2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－x －2＝0”C ．命题p ：∀x ∈R,2x ＞1024，则綈p ：∃x 0∈R ，2x 0＜1024D ．命题“∃x ∈(－∞，0)，2x ＜x 2”是真命题【解析】 对于A ，若f (x )是奇函数，则f (x )是单调函数，不一定，比如y ＝1x 不是单调函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)递减，故A 错；对于B ，命题“若x 2－x －2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－x －2≠0”，故B 错；对于C ，命题p ：∀x ∈R,2x ＞1024，则綈p ：∃x 0∈R,2x 0≤1024，故C 错；对于D ，命题“∃x ∈(－∞，0)，2x ＜x 2”是真命题，正确，比如x ＝－1,2－1＝12＜1.故选D.【答案】 D10．给出下列五个结论：①回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧一定过样本中心点(x ，y )；②命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，使得x 20－3x 0－2≤0”； ③将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向右平移π6后，所得到的图象关于y 轴对称；④∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋1是幂函数，且在(0，＋∞)上递增；⑤函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ·|log 2x |－1，x ＞0恰好有三个零点．其中正确的结论为( ) A ．①②④ B ．①②⑤ C ．④⑤D ．②③⑤【解析】 由回归分析的方法可知，结论①正确；由全称命题的否定方法可知，结论②正确；y ＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πx ，将其图象向右移动π6后，得到的函数解析式为y ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ，该函数的图象不关于y 轴对称，结论③不正确；m ＝2时，函数f (x )＝x －1是幂函数，但在(0，＋∞)上递减，结论④不正确；x ＋1＝0，解得x ＝－1，为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ·|log 2x |－1，x ＞0的一个零点，令23·|log 2x |－1＝0，得|log 2x |＝12x ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，画出函数y ＝|log 2x |，y ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21的图象可知，方程2x ·|log 2x |－1＝0有两个实根，所以已知函数f (x )有三个零点，结论⑤正确．【答案】 B11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，x 2－1，x ＞0，则“f (f (a ))＝1”是“a ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 当a ＝1，则f (a )＝f (1)＝0，则f (0)＝0＋1＝1，则必要性成立． 若x ≤0，若f (x )＝1，则2x ＋1＝1，则x ＝0， 若x ＞0，若f (x )＝1，则x 2－1＝1，则x ＝2， 即若f (f (a ))＝1，则f (a )＝0或2，若a ＞0，则由f (a )＝0或2得a 2－1＝0或a 2－1＝2，即a 2＝1或a 2＝2＋1，解得a ＝1或a ＝1＋2，若a ≤0，则由f (a )＝0或2得2a ＋1＝0或2a ＋1＝2，即a ＝－12，此时充分性不成立，即“f (f (a ))＝1”是“a ＝1”的必要不充分条件．【答案】 B12．关于函数f (x )＝x 2(ln x －a )＋a ，给出以下4个结论：①∃a ＞0，∀x ＞0，f (x )≥0；②∃a ＞0，∃x ＞0，f (x )≤0；③∀a ＞0，∀x ＞0，f (x )≥0；④∀a ＞0，∃x ＞0，f (x )≤0.其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①当a ＝12时，f (x )＝x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-21ln x ＋12，其定义域为(0，＋∞)．由f ′(x )＝2x ln x ＝0，得x ＝1.当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，同时也是最小值f (1)＝－12＋12＝0.∴对∀x ＞0，f (x )≥f (1)＝0，故①正确．②当a ＝5时，f (x )＝x 2(ln x －5)＋5，f (e)＝e 2(ln e －5)＋5＝－4e 2＋5＜0，故②∃a ＞0，∃x ＞0，f (x )≤0成立．③由②知，当a ＝5时，∃x ＝e ，满足e ＞0，但f (e)＜0，故③∀a ＞0，∀x ＞0，f (x )≥0不成立，③错误．④f ′(x )＝2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x 21ln ，由f ′(x )＝0， 即ln x ＋12－a ＝0，得ln x ＝a －12.∴∀a ＞0，函数f (x )都存在极值点，即∃x ＞0，f (x )≤0成立，故④正确，综上①②④正确，故选D.【答案】 D 二、填空题13．已知命题p ∶m ∈R ，且m ＋1≤0；命题q ∶∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是__________．【解析】 当命题p 为真命题时，m ≤－1，当命题q 为真命题时，m 2－4<0，－2<m <2，p ∧q 为假命题的否定是p ∧q 为真命题，则p ，q 都为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，－2<m <2，解得－2<m ≤－1，故当若p ∧q 为假命题时，m 的范围是(－∞，－2]∪(－1，＋∞)．【答案】 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)14．设有两个命题，p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，且a ≠1)的解集是{x |x ＜0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：关于x 的不等式a x ＞1(a ＞0，且a ≠1)的解集是{x |x ＜0}，则0＜a ＜1；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，a ＝0时不成立，a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝1－4a 2＜0，解得0＜a ＜12.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则命题p 与q 必然一真一假． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1a ≤0或a ≥12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥10＜a ＜12，解得12≤a ＜1， 则实数a 的取值范围是12≤a <1.【答案】 12≤a <115．将集合M ＝{1,2,3，...,15}表示为它的5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为________；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集__________(只写出一组)【解析】 因为5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集为集合M ＝{1,2,3，...,15}，所以元素总和为：15×(1＋15)2＝120，又因为这5个三元子集的元素之和都相等，所以每个集合的元素和为1205＝24.满足上述条件的集合M 的5个三元子集可以是：{1,8,15}，{3,7,14}，{5,6,13}，{2,10,12}，{4,9,11}(答案不唯一)．【答案】 24 {1,8,15}，{3,7,14}，{5,6,13}，{2,10,12}，{4,9,11}(答案不唯一)。
作业帮七哥专属高中数学八大模块手绘笔记
作业帮七哥专属高中数学八大模块手绘笔记一、引言高中数学是培养学生逻辑思维和问题解决能力的重要学科之一。
然而，对于许多学生来说，高中数学的知识点繁多且复杂，学习起来具有一定的难度。
为了帮助学生更好地掌握高中数学知识，作业帮七哥整理了高中数学的八大模块，并通过手绘笔记的形式呈现，旨在帮助学生更好地理解、记忆和应用数学知识。
二、内容概述作业帮七哥的专属高中数学八大模块手绘笔记主要包括以下八个模块：1. 集合与逻辑：这部分主要介绍了集合的基本概念、表示方法和集合之间的关系，以及逻辑的基本概念和推理方法。
通过手绘插图和简洁的文字说明，帮助学生理解集合与逻辑的基本概念和运用。
2. 函数与方程：本模块主要涉及函数的基本概念、性质和分类，以及一元二次方程的解法和函数的实际应用。
手绘插图形象地展示了函数的性质和变化规律，帮助学生更好地理解函数的应用。
3. 三角函数与解三角形：本模块详细介绍了三角函数的基本概念、性质、诱导公式和三角恒等变换。
同时，还介绍了正弦定理、余弦定理和解三角形的实际应用。
通过手绘图形和实例，帮助学生理解三角函数与解三角形的知识点。
4. 数列与数列求和：本模块主要介绍了数列的基本概念、分类和通项公式，以及数列的求和方法。
通过手绘插图和实例，帮助学生理解数列的概念和应用，以及如何进行数列求和。
5. 平面几何：本模块主要涉及平面几何的基本概念、性质和定理，包括平行线、三角形、四边形、圆等方面的知识。
通过手绘图形和简洁的文字说明，帮助学生理解平面几何的基本概念和定理。
6. 向量与复数：本模块主要介绍了向量的基本概念、表示方法和向量的运算性质，以及复数的基本概念、表示方法和复数的运算。
通过手绘插图和实例，帮助学生理解向量与复数的基本概念和应用。
7. 解析几何：本模块主要涉及解析几何的基本概念、性质和定理，包括直线、圆、椭圆、双曲线等方面的知识。
通过手绘图形和文字说明，帮助学生理解解析几何的基本概念和定理。
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第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集B {x A A = ∅=∅ B A ⊆B B ⊆B {x A A = A ∅= B A ⊇B B ⊇()U A A =ð ()U A A U =ð第二部分 复数1．概念：(1) z =a +bi ∈R ⇔b =0 (a,b ∈R )⇔z=z ⇔ z 2≥0；(2) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0(a ,b ∈R )；(3) z =a+b i 是纯虚数⇔a =0且b ≠0(a,b ∈R )⇔z ＋z ＝0（z≠0）⇔z 2<0；(4) a +b i=c +di ⇔a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )；2．复数的代数形式及其运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R )，则：(1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ；(2) z 1.z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ；(3) z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论：(1) i i 2)1(2±=±；⑷;11;11i ii i i i -=+-=-+ (2) i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i(3) zz z z z 111=⇔=⇔=。
4．运算律：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m m m mn n m n m n m ∈=⋅==⋅+)()()U U B A B = )()()U U B A B =5．共轭的性质：⑴2121)(z z z z ±=± ；⑵2121z z z z ⋅= ；⑶2121)(z z z z = ；⑷ z z =。
6．模的性质：⑴||||||||||||212121z z z z z z +≤±≤-；⑵||||||2121z z z z =；⑶||||||2121z z z z =；⑷n n z z ||||=；第三部分 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ”否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨；⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p q p q ∧ p q ∨ p ⌝真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真真 假 假 假假 真 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；练习1. (山东实验中学2012)已知集合2{0,},{|250,}P m Q x x x x Z ==-<∈，若P Q ≠∅，则m 等于( )A.1B.2C.1或52D.1或21．(烟台市2012年)设全集U =｛1，2，3，4，5｝，A =｛1，2｝，B =｛2，3｝，则A ∩∁U B =( )A ．｛4，5｝ B.｛1｝ C.｛2，3｝ D.｛2｝2. （济南一中2012期末文科）设集合{}A x x x =<->1或1，2{log 0}B x x =>，则A B =（ ）A ． {}|x x <-1B ．{}|x x >0C ．{}|x x >1D ． {}|x x x <->1或13. (山东省淄博市2012年3月高三第一次模拟文科）已知不等式x 2-x ≤0的解集为M ，且集合N ={x |-1＜x ＜1}，则M ∩N 为( )A.[0,1)B.(0,1)C. [0,1]D.(-1,0]4．(山东省济南市2012年2月高三定时练习文科)已知全集U ={0，1，2，3，4}，M ={2，4}，N ={0，4}，则C u ( M ⋃N )= ( )A .{1，4}B .{3} C.{ 1，3} D.{0，1，3，4}5.(山东省济南市2012年2月高三定时练习理科)已知全集U R =，集合A={|23}x x x <->或，B=2{|340}x x x --≤，则集合B A ⋂= （ ）A ．{|2}x x -≤≤4B ．{|4}x x <≤3C ．{|2}x x -≤≤-1D ．{|1}x x -≤≤36. （山东省泰安市2012届高三上学期期末文科）已知全集R U =，集合{}{}3|,5,4,3,2,1≥∈==x R x B A ，右图中阴影部分所表示的集合为( )A. {}1B. {}2,1C. {}32,1，D. {}21,0，7．(山东省烟台市2012届高三上学期期末文科)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,4}A =，{4,5}B =，则图中的阴影部分表示的集合为A ．{}5B ．{}4C ．{}1,2D ．{}3,58、（2011安徽文科）集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U ⋂等于（A ）}{,,,1456 （B ） }{,15 （C ） }{4 （D ） }{,,,,123459、（2011北京文科）已知全集U=R ，集合{}21P x x =≤，那么U C P =A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. ()1,1-D. ()(),11,-∞-+∞10、（2011福建文科） 若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于A.｛0，1｝B.｛-1，0，1｝C.｛0，1，2｝D.｛-1，0，1，2｝11、（2011广东文科）已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221x y +=，(){,|B x y x y =、为实数，且}1x y +=，则A B 的元素个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．112、（2011湖南文科）设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U MN M C N ===则N =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}13、（2011江苏文理）已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A14、（2011江西文科）若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）A.M N ⋃B.M N ⋂C.()()U U C M C N ⋃D.()()U U C M C N ⋂15、（2011辽宁文科）已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }}，则A B =A ．{x 21|<<-x }B ．{x 1|->x }C ．{x 11|<<-x }D ．{x 21|<<x }16、（2011全国大纲卷文科）设集合{}1,2,3,4U =,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=⋂ð（M N ） （A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，417、（2011文科）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个18、（2011山东文科）设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]19、（2011四川文科）若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N =ð（A ）∅ （B ）{1,3,5} （C ）{2,4} （D ）{1,2,3,4,5}20、（2011重庆文科）设错误！未找到引用源。
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21.（2011湖北文科）已知{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,2,4,5,U A B ===则()U AB ⋃=ð A. {}6,8 B.{}5,7 C.{}4,6,7 D.{}1,3,5,6,822、（2011上海文科）若全集U R =，集合{|1}A x x =≥，则U C A = 。