北京市第五中学2019-2020学年高二数学下学期第一次段考试题(含解析)
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北京市重点名校2019-2020学年高二下学期期末监测数学试题 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
21.已知椭圆E: — +y 2=l,点P 在椭圆E 上且在第四象限，A 为左顶点，3为上顶点，FA 交》轴于 4 .点C, 交X 轴于点。
，则PCD 面积的最大值为()A. 2-^2B. 72 c. ^2-i D. V2+1 【答案】C 【解析】 【分析】 2若设P(m,n),其中m>0,n<0,则—+/r=l,求出直线PA, PB 的方程，从而可得C ，。
两点的 4 坐标，表示PCD 的面积S^PCD =^m-2n-2),设出点P(m,n)处的切线方程，与椭圆方程联立成方 程组，消元后判别式等于零，求出点P(m,n)的坐标可得答案. 【详解】 解：由题意得 A(-2,0),B(0,l),设P(m,ri),其中 m>0,n<0, ri n — \ 所以直线PA^jy = -------------- 3 + 2),直线尸8为> =—— x + 1, m + 2 m TH 可得 C(0,— ),D(L ，0), m + 21 — n — z m 三m-2n + 2 所以&D =——+ 2 = ,1-n 1—n 1 m-2n + 2 ( In )nm 2 + 2mn-Imn 1所以 S APCD =- -------------------------- —-T ~n= —_——— 2 1-n (m + 2 ) 2(n-l)(m+2)ml //Z7 v则——+ W=1, 4n(2n + m + 2) 1 ,-- ---------=—(m- 2n- 2), m + 2----------- 2设P(m, n)处的切线方程为x-2y + t = 0(t< 0)由< x-2y+t=0 X 2 2—+ =114 - 得8y 2 — 4/y + t 2—4 = 0 > A = —16/" +128 = 0 > 解 t = 2.x/— ' 此时方程组的解为 x = y/2很，—5即点p(Ji,一马时, PCD 面积取最大值^2-1故选：c【点睛】此题考查了椭圆的性质，三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.【答案】D 【解析】 分析：欲求函数y=l*2x 的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值 的取值范围即可.详解：当时，即x20时，函数y=l*2x =l 当1>2、时，即x<0时，函数y=l*2x =2x1, %>02\ %<0函数y=l*2'的值域为：（0, 1]. 故选D.点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数 的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根 据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质. 23. 设a = 2 3；= iog 35,c = log 45 * 则8, °的大小关系是()A. a<c<bB. a<b <CC. b < c < aD. c<b <a【答案】A2.定义运算。
北京市第五中学2020-2021学年高二下学期第一次段考数学试题
北京市第五中学2020-2021学年高二下学期第一次段考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设函数()f x 1x=，则导函数()f x '等于（ ） A ．﹣xB ．21x- C ．1x -D ．1-2．6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为（ ）A ．1516B ．316 C ．152 D ．1543．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为 6.517.5y x =+，则t 的值为（ ） A ．40B ．50C ．60D ．704．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（ ）参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 5．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题： ①3-是函数()y f x =的极值点； ②1-是函数()y f x =的最小值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间(3,1)-上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④6．已知随机变量ξ服从二项分布14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==（ ）．A ．3281B ．1681C ．2481D ．8817．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-，则0a =（ ） A ．32B ．1C ．﹣1D ．﹣328．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布()110,100N ，则分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为（ ）（已知若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+= ， (33)0.9974P X μσμσ-<<+=）A ．1140B ．1075C ．2280D ．21509．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为( ) A ．恰有1个是坏的 B ．4个全是好的 C ．恰有2个是好的 D ．至多有2个是坏的10．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A ．8种B ．10种C ．12种D ．14种二、填空题 11．函数ln ()xf x x=的极大值是_________________. 12．一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则()P B A 是________13．一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E ξ=___________．14．若函数()ln f x x kx =-在区间[)1,+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是_______ 15．已知函数||()cos x f x e x π-=+，下列命题： ①()f x 为偶函数；②()f x 的最大值为2； ③()f x 在(10,10)-内的零点个数为18； ④()f x 的任何一个极大值都大于1． 其中所有正确命题的序号是_____．三、解答题16．已知函数2()2ln f x x x =-. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)求证：当2x >时，()34f x x >-.17．据中国日报网报道：2021年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速度越快．．．．，单位是MIPS ）设,i i a b 分别表示第i 次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记i i iX a b =-(1,2,,12)i =⋯（Ⅰ）求数据12312,,,,X X X X ⋯的众数；（Ⅱ）从满足4i X =的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===．（Ⅰ）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小； （Ⅲ）点M 在线段1B C 上，且1113B M BC =，点N 在线段1A B 上，若//MN 平面11A ACC ，求11A NA B的值．19．已知椭圆W ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e =，其右顶点A （2，0），直线l 过点B （1，0）且与椭圆交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）判断点A 与以CD 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 20．已知函数()212ln 2f x a x ax x a R ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性．21．设{a n }和{b n }是两个等差数列,记c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }(n =1,2,3,…),其中max{x 1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数.(Ⅰ)若a n =n ,b n =2n-1,求c 1,c 2,c 3的值,并证明{c n }是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n ≥m 时,nc n>M ;或者存在正整数m ,使得c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.参考答案1．B 【分析】直接利用基本函数的求导公式，即可求出结果． 【详解】 解：函数1()f x x =，则导函数21()f x x'=-． 故选：B ． 【点睛】本题考查基本函数的求导公式，属于基础题． 2．A 【分析】利用二项式的通项公式即可得出． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为123161()2rr r r T C x -+=⋅⋅，令1230r -=，解得：4r =，∴二项式的展开式中的常数项为446115()216C =. 故选：A ． 【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题． 3．C 【解析】分析：由题意，求得这组熟记的样本中心(,)x y ，将样本中心点代入回归直线的方程，即可求解答案.详解：由题意，根据表中的数据可得2456855x ++++==，3040507019055t ty +++++==，把(,)x y 代入回归直线的方程，得190 6.5517.55t+=⨯+，解得60t =，故选C. 点睛：本题主要考查了回归分析的初步应用，其中熟记回归直线的基本特征——回归直线方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.【分析】根据题意可求出成绩优秀的学生数是2105307⨯=，所以成绩非优秀的学生数是1053075-=，即可求出,b c 的值，判断出,A B 的真假，再根据列联表求出K 2，即可由独立性检验的基本思想判断出,C D 的真假． 【详解】由题意知，成绩优秀的学生数是2105307⨯=，成绩非优秀的学生数是1053075-=，所以c ＝20，b ＝45，选项A ，B 错误；根据列联表中的数据，得到2K＝2105(10302045)55503075⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C 正确． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题． 5．C 【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断. 详解：根据()()0,0f x f x ''><，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负， 由导函数()y f x '=的图象，可得的函数()f x 在(,3)-∞-单调递减，在(3,)-+∞单调递增，其中3x =-的左边负右边正，所以3x =-为函数的一个极小值点，且(3,1)-上函数单调递增，所以①④是正确的；其中1x =的左右两侧都是正数，所以1x =不是函数的极值点，所以②是错误的； 由()10f >可得函数在0x =处的切线的斜率大于零，所以③错误的， 故选C.点睛：本题主要考查了导函数的图象和原函数的性质之间的关系的应用，其中熟记导数函数函数的性质之间的关系的判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析问题、解答问题的能力.【解析】14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为13，则31341228(3)4338181P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选D ．7．A 【分析】令5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-中的1x =得0a 值． 【详解】解：因为5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋯+-， 所以令1x =得：50232a ==. 故选：A ． 【点睛】本题考查二项展开式的系数问题，通过赋值法求出系数和是解题的关键． 8．C 【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果. 【详解】由题意得=110=10(1102011020)0.9544P X μσ∴-<<+=，， 因此1(110130)0.95440.47722P X <<=⨯=， 所以(130150)0.50.47720.0228P X <<=-=，即分数位于区间(]130,150分的考生人数近似为40.02281010=2280⨯⨯，选C. 【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.9．C【分析】利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.【详解】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题.10．B【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 11．1e【分析】求出导函数，然后利用导函数等于0，找到极值点，通过判断得到极大值． 【详解】 由ln ()x f x x= 得()/21ln x f x x -=， 令()/21ln =0xfx x-=，解得x e =， 易当0x e <≤时，()/0f x >，()f x 单调递增，当x e >时，()/0fx <，()f x 单调递减，所以当x e =时，()f x 取极大值，得()ln 1e f e e e==， 所以()f x 的极大值为1e． 【点睛】本题考查极值的求解，首先根据导函数等于零找到极值点，然后利用单调性判断确定为极大值或极小值． 12．47【分析】先计算()P A ， ()P AB ，然后根据条件概率的定义，可得结果. 【详解】由题可知：()()5545=,88714P A P AB ⨯==⨯ 所以()()()47P AB P B A P A ==故答案为：47本题考查条件概率，掌握条件概率公式()()()P AB P B A P A =，审清题意，简单计算，属基础题. 13．1.89 【分析】由题意可知0,1,2ξ=，再分别求对应的概率，根据公式求数学期望. 【详解】由题意可知0,1,2ξ=当1ξ=表示第一次没有击中，第二次射击中靶，()10.10.90.09P ξ==⨯= 当2ξ=表示第一次射击中靶，()20.9P ξ==,当0ξ=表示前两次都没有击中，第三次可中可不中，()00.10.10.01P ξ==⨯= 则00.0110.0920.9 1.89E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：1.89 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是弄清楚变量表示的随机事件，并正确写出概率. 14．[)1,+∞ 【分析】首先根据题意得到[)1,x ∈+∞，max1⎛⎫≥ ⎪⎝⎭k x ，再根据1y x =的单调性即可得到答案. 【详解】()1f x k x'=-，因为函数()ln f x x kx =-在区间[)1,+∞上单调递减， 所以[)1,x ∈+∞，10-≤k x 恒成立，即[)1,x ∈+∞，max1⎛⎫≥ ⎪⎝⎭k x .又1y x =在[)1,+∞上单调递减，所以max11x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1k故答案为：[)1,+∞ 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题. 15．①②④ 【分析】由于函数||()cos x f x e x π-=+，根据奇偶性的定义和图象与性质，分析函数的奇偶性、最值、对称性和极值，从而可判断命题的真假． 【详解】对于①，函数||()cos x f x e x π-=+，定义域为R ，且满足()()f x f x -=， 所以函数()f x 为偶函数，故①正确；对于②，因为01x e -<≤，1cos 1x π-≤≤，所以()2f x ≤， 又因为()02f =，即当0x =时，()f x 取得最大值为2，故②正确； 对于③，令||||()cos 0,cos x x f x e x x e ππ-=+==-， 设||()cos ,(),(),()x g x x h x e h x g x π==-均为偶函数， 画出(),()g x h x 在()0,10的图象，而()g x 周期为2， 在函数()g x 每个周期中(),()g x h x 有两个零点， 所以(),()g x h x 在()0,10内有10个零点， 而(),()g x h x 交点关于y 轴对称，所以()f x 在(10,10)-内的零点个数为20，所以③错误；对于④，由于()f x 是偶函数，则只需考虑0x >的情况， 此时()cos xf x ex π-=+，则()sin x f x e x ππ-'=--，由xy e -=-和()sin g x x ππ=的图象可知，在每一个区间()22,2k k k N *-∈上，0fx时，有2个解212,k k x x -，且当()212,,k k x x x k N *-∈∈时，0fx ，则()f x 单调递增， 当()221,,k k x x x k N *+∈∈时，0fx，则()f x 单调递减，而2212k k x k x +<<，所以()f x 得极大值为()()22211kk f x f k e ->=+>，所以()f x 的任何一个极大值都大于1，故④正确. 综上知，正确的命题序号是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，涉及函数的奇偶性、最值、对称性、极值和零点，也考查了推理与判断能力，是中档题．16．(1)f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析. 【分析】(Ⅰ)明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间； (Ⅱ)作差构造新函数，研究函数的最值即可. 【详解】(1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝2x -2=2(1)(1)x x x+-，由f ′(x )>0， 得x>1; 由f ′(x )<0， 得0<x<1∴f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)． (2)设g (x )＝f （x ）-3x+1=x 2－2ln x -3x+4， ∴g ′(x )＝2x -2--3=2232(21)(2)x x x x x x--+-=， ∵当x >2时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (2)＝4-2ln2-6+4>0， ∴当x >2时， x 2-2lnx>3x-4, 即当x >2时()34f x x >-.. 【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用． 17．（Ⅰ）4 ；（Ⅱ）23；（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 【详解】试题分析：（1）将自变量的取值情况写出来，根据众数的概念可得结果；（2）将题目中满足从满足4i X =的测试中随机抽取两次的事件次数数出来，满足品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的次数数出来，两个数据作比即可；（3）可以从题目中的条件中，从多个角度下结论，只要解释的有道理均可得分． 解析：所以i X 等于1有2次，i X =2有3次，i X =4有4次，i X =6有2次，i X =7有1次， 则数据12312,,...X X X X 的众数为4（Ⅱ）设事件D =“品牌A 的测试结果恰有一次大于品牌B 的测试结果”.满足4i X =的测试共有4次，其中品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M ，N 表示.品牌A 的测试结果小于品牌B 的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P ，Q 表示.从中随机抽取两次，共有MN ,MP ,MQ ,NP ,NQ ,PQ 六种情况，其中事件D 发生，指的是MP ,MQ ,NP ,NQ 四种情况.故()4263P D ==. （Ⅲ）可能出现的作答情况举例：结论一：，品牌B 处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些．理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A 的测试有两次打开速度比品牌B 快(数值小），品牌B 有四次比品牌A 快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A 有四次打开速度比品牌B 快（数值小）.结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A 打开文件速度快一些理由如下：品牌A 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9212，品牌B 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9712，所以品牌A 打开文件速度快一些.（且品牌A 方差较小）18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）60°；（Ⅲ）23．（Ⅰ）推导出11BC B C ⊥，111BB A B ⊥，1111A B B C ⊥，从而11A B ⊥平面11BCC B ，进而111A B BC ⊥，由此能证明1BC ⊥平面11A B C ；（Ⅱ）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为60︒；（Ⅲ）求出平面11ACC A 的法向量，由//MN 平面11A ACC ，利用向量法能求出11A NA B的值．【详解】 解：（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===．11BC B C ∴⊥，111BB A B ⊥，1111A B B C ⊥，1111BB B C B =，11A B ∴⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，111A B BC ∴⊥， 1111A B B C B =，1BC ∴⊥平面11A B C ．（Ⅱ）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 1(0B ，0，2)，(2C ，0，0)，1(0A ，2，2)，(0B ，0，0)，1(2B C →=，0，2)-，1(0A B →=，2-，2)-，设异面直线1B C 与1A B 所成角为θ， 则1111||1cos 288||||B C A B B C A B θ→→→→===，60θ∴=︒． ∴异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为60︒．（Ⅲ）解：(0A ，2，0)，(2C ，0，0)，1(2C ，0，2)， (0B ，0，0)，1(0B ，0，2)，1(0A ，2，2)，(2CA →=-，2，0)，1(0CC →=，0，2)，设平面11ACC A 的法向量(n x →=，y ，)z ，则1·220·20n CA x y n CC z ⎧=-+=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n →=，1，0)，点M 在线段1B C 上，且1113B M BC =，点N 在线段1A B 上， 设(M a ，b ，)c ，(N x ，y ，)z ，11A NA Bλ=， 则113BC B M →→=，11A N A B λ→→=，01λ，即(2，0，2)3(a -=，b ，2)c -，(x ，2y -，2)(0z λ-=，2-，2)-，解得2(3M ，0，4)3，(0N ，22λ-，22)λ-，2(3MN →=-，22λ-，22)3λ-， //MN 平面11A ACC ，∴22203n MN λ→→=-+-=，解得：23λ=． ∴11A N A B 的值为23．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和利用空间向量法求异面直线所成角，以及根据线面平行求两线段的比值，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理证明能力和转化思想．19．（Ⅰ）223144xy +=；（Ⅱ）点A 在以CD 为直径的圆上 【解析】 【分析】（Ⅰ）由离心率和,,a b c 的关系解出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设C 坐标为()11,x y ，D 坐标为()22,x y ；分别在l 斜率不存在和斜率存在两种情况下假设直线方程，与椭圆方程联立；只要证明出0AC AD ⋅=即可得出点A 在以CD 为直径的圆上． 【详解】（Ⅰ）由题意可知：2a =，3c e a ==c ∴=，22284433b a c =-=-= ∴椭圆的方程为223144x y += （Ⅱ）点A 在以CD 为直径的圆上． 设C 坐标为()11,x y ，D 坐标为()22,x y ①当直线l 斜率不存在时，则l 的方程为1x =由22134x x y =⎧⎨+=⎩得 11x y =⎧⎨=±⎩ 不妨设()1,1C ，()1,1D - ()()1,1,1,1AC AD -∴=-=-0AC AD =∴⋅，即AC AD ⊥∴点A 在以CD 为直径的圆上②当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-由()22134y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2222136340k x k x k +-+-= 212221226133413k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩()()11222,,2,AC x y AD x y =-∴=-()()()()()()212121212222211AC AD x x y y x x k x x ⋅=--+---=+-∴ ()()212121212241x x x x k x x x x =-+++-++⎡⎤⎣⎦22222222234634624113131313k k k k k k k k k ⎛⎫--=-⋅++-+ ⎪++++⎝⎭22223301313k k k k-=+=++ 0AC AD =∴⋅．即AC AD ⊥∴点A 在以CD 为直径的圆上综上，点A 在以CD 为直径的圆上． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、分类讨论方法，关键是能够利用韦达定理表示出向量的数量积，从而通过整理运算求得结果，属于中档题． 20．（Ⅰ）32y =-；（Ⅱ）分类讨论，详见解析． 【分析】（Ⅰ）先由题设条件求得()f x '，再由导数的几何意义求得()f x 在1x =处的切线的斜率k f ='（1），进而求得切线方程；（Ⅱ）先求导，再对a 分成：①'当12a 时；②'当1(,1)2a ∈时；③'当1a =时；④'当1a >时；进行讨论，得出结果． 【详解】 （Ⅰ）已知函数21()()2,2f x a x ax lnx a R =--+∈，则()f x 的定义域为：()0,∞+， 1()(21)2f x a x a x∴'=--+， 则f '（1）0=，又f （1）32=-， ()f x ∴在1x =处的切线方程为3()02y --=，即32y =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：21(21)21[(21)1](1)()(21)2a x ax a x x f x a x a x x x--+---'=--+==，∴①当12a =时，1()xf x x -'=，此时()f x 在(0,1)x ∈时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减；②当1a =时，2(1)()0x f x x-'=，此时()f x 在(0,)x ∈+∞时单调递增； ③当1a >时，令()0f x '=，有121x a =-，或1x =， 此时()f x 在1(0,)21a -与(1,)+∞时单调递增，在1(,1)21x a ∈-单调递减； ④当1(,1)2a ∈时，()f x 在(0,1)与1(21a -，)+∞时单调递增，在[1x ∈，1]21a -时单调递减； ⑤当12a <时，()f x 在(0,1)时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减； 综上可知： 当12a 时，()f x 在(0,1)时单调递增，在[1x ∈，)+∞时单调递减； 当1(,1)2a ∈时，()f x 在(0,1)与1(21a -，)+∞时单调递增，在[1x ∈，1]21a -时单调递减； 当1a =时，2(1)()0x f x x -'=，此时()f x 在(0,)x ∈+∞时单调递增； 当1a >时，()f x 在1(0,)21a -与(1,)+∞时单调递增，在1(,1)21x a ∈-单调递减． 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程和利用导数研究函数单调性，考查分类讨论思想和计算能力．21． (Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) 见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)读懂新定义{c n }的含义,即可求得{c n }的通项公式;(Ⅱ)结合新定义,通过对d 1的分类讨论,进而证明.试题解析：(Ⅰ)c 1=b 1-a 1=1-1=0,c 2=max{b 1-2a 1,b 2-2a 2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c 3=max{b 1-3a 1,b 2-3a 2,b 3-3a 3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=2-.当n ≥3时,(b k+1-na k+1)-(b k -na k )=(b k+1-b k )-n (a k+1-a k )=2-n <0,所以b k -na k 关于k ∈N *单调递减.所以c n =max{b 1-a 1n ,b 2-a 2n ,…,b n -a n n }=b 1-a 1n =1-n .所以对任意n ≥1,c n =1-n ,于是c n+1-c n =-1, 所以{c n }是等差数列.(Ⅱ)设数列{a n }和{b n }的公差分别为d 1,d 2,则 b k -na k =b 1+(k-1)d 2-[a 1+(k-1)d 1]n=b 1-a 1n+(d 2-nd 1)(k-1).所以c n =()()11212111211,,,.b a n n d nd d nd b a n d nd ⎧-+-->⎨-≤⎩当时当时 ①当d 1>0时,取正整数m >21d d ,则当n ≥m 时,nd 1>d 2,因此c n =b 1-a 1n . 此时,c m ,c m+1,c m+2,…是等差数列.②当d 1=0时,对任意n ≥1,c n =b 1-a 1n+(n-1)max{d 2,0}=b 1-a 1+(n-1)(max{d 2,0}-a 1). 此时,c 1,c 2,c 3,…,c n ,…是等差数列.③当d 1<0时,当n >21d d 时,有nd 1<d 2. 所以()()11211n b a n n d nd c n n-+--= =n (-d 1)+d 1-a 1+d 2+12b d n - ≥n (-d 1)+d 1-a 1+d 2-|b 1-d 2|.对任意正数M ,取正整数m >max{121121M b d a d d d +-+---,21d d }, 故当n ≥m 时,n c n >M .。
2024届北京市第五中学高二化学第一学期期中学业质量监测模拟试题含解析
2024届北京市第五中学高二化学第一学期期中学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、一定条件下，向一带活塞的密闭容器中充入1 mol N2和3 mol H2，发生下列反应：N2(g)+3H2(g)2NH3(g)，反应达到平衡后，改变下述条件，NH3平衡浓度不改变的是A．保持温度和容器压强不变，充入1 mol NH3(g)B．保持温度和容器体积不变，充入1 mol NH3(g)C．保持温度和容器压强不变，充入1 mol N2(g)D．保持温度和容器体积不变，充入1 mol H2(g)2、下列溶液中有关物质的量浓度关系正确的是A．常温下，浓度均为0.1mol/L CH3COOH和NaOH溶液等体积混合c(CH3COOH)+c(CH3COO-)=0.1mol/LB．pH相等的CH3COONa、NaOH和Na2CO3三种溶液：c(NaOH)＜c(CH3COONa)＜c(Na2CO3)C．物质的量浓度相等的CH3COOH和CH3COONa溶液等体积混合：c(CH3COO-) +2c(OH-) = 2c(H+) + c(CH3COOH) D．0.1mol·L-1的NaHA溶液，其pH=4：c(HA-)＞c(H+)＞c(H2A)＞c(A2-)3、以下对金属制品采取的防护方法不正确的是A．在轮船的铁质外壳焊接铜快B．电线的外面包上一层塑料皮C．铁制健身器上刷油漆D．自行车的钢圈上镀上一层既耐腐蚀又耐磨的Cr4、汽车尾气净化中的一个反应如下：NO(g)+CO(g)⇌12N2(g)+CO2(g) △H=-373.4KJ/mol。
北京市第五十五中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题 Word版含解析
A。 4B。194C。 94D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，求得 到另一焦点 的距离。
【详解】依题意 ，且 。
故选：D
【点睛】本小题主要考查椭圆的定义,属于基础题。
5。“ ”是“方程 表示双曲线”的( ）
A 充分而不必要条件B。 必要而不充分条件
【答案】C
【解析】
因为等差数列{an｝中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5= = =15.故选C.
2.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当 取最小值时, 等于（ )
A。 6B。7C. 8D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
求得数列 的通项公式，根据通项公式求得当 取最小值时， 的值.
【详解】依题意 ，由 得 ，由于 ,所以 时， 取最小值.
6.已知抛物线 经过点 ，若点 到该抛物线焦点的距离为3，则 （ ）
A。 2B. C。 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 到焦点的距离和抛物线的定义，求得 ，进而求得 ，从而求得 。
【详解】由于点 到该抛物线焦点的距离为 ,根据抛物线的定义可知 ，所以抛物线的方程为 ,将 代入 得 ，所以 .
故选：D
0
1
2
3
b
则 ______。
【答案】
【解析】
【分析】
根据 以及概率之和为 列方程，解方程求得 的值。
【详解】依题意 ，
解得 。
故答案为：
【点睛】本小题主要考查随机变量数学期望的有关计算，属于基础题.
14.在二项式 的展开式中，含 的项的系数是________．
北京市2019-2020年度高二下学期数学第一次月考试卷A卷
北京市2019-2020年度高二下学期数学第一次月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2018高二下·中山月考) 若集合，，则“ ”的充要条件是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·吕梁月考) 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A . ①是棱台B . ②是圆台C . ③不是棱锥D . ④是棱柱3. （2分） (2016高二下·上海期中) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A .B .C .D .4. （2分）若函数,函数,则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2018高二上·北京期中) 与共线且满足的向量b=________。
6. （1分） (2018高二上·北京月考) 已知为直线，为平面，有下列三个命题：⑴ ，则；⑵ ，则；⑶ ，则；⑷ ，则；其中正确命题是________7. （1分） (2017高一下·长春期末) 设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是________．8. （1分）空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条．9. （1分） (2019高一下·通榆月考) 底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面面积为________cm2.10. （1分） (2018高二上·铜梁月考) 若圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形则圆柱的体积为________.11. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________12. （1分） (2018高一下·百色期末) 圆的圆心到直线的距离为，则 ________．13. （1分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图正方体的棱长为，、、，分别为、、的中点.则下列命题：①直线与平面平行；②直线与直线垂直；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等；⑤平面截正方体所得两个几何体的体积比为 .其中正确命题的序号为________.14. （1分）(2018·延安模拟) 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为________．15. （1分）(2018高二下·沈阳期中) 如图，已知三棱锥，，，，、分别是棱、的中点，则直线与所成的角的余弦值为________．16. （1分） (2019高二下·上海月考) 如下图，将圆柱的侧面沿母线展开，得到一个长为，宽为4的矩形，由点A拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达，线长的最小值为________（线粗忽略不计）三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分）(2017·沈阳模拟) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC= AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．18. （5分）(2018·上海) 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2。
北京第五中学2019年高二数学文下学期期末试题含解析
北京第五中学2019年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在区间[,2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在[,2]上的最大值是( )A． B． C．8D．4参考答案：D略2. 当x≠0时，有不等式( )A．e x<1＋x B．当x>0时，e x<1＋x，当x<0时，e x>1＋xC．e x>1＋x D．当x<0时，e x<1＋x，当x>0时，e x>1＋x参考答案：C3. 椭圆,P为椭圆上一点,则过点P且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为 ( )A. B. C. D.参考答案：A4. 有四个关于三角函数的命题：p1：p2：p3： p4：其中假命题的是( )A．p3，p4 B.p2，p4 C．p1，p3 D. p1，p4参考答案：D略5. 函数的最小值是( )A．3－3 B．－3 C．6D．6－3参考答案：D6. 如图所示，图中有5组数据，去掉组数据后（填字母代号），剩下的4组数据的线性相关性最强（）A. B. C. D.参考答案：A7. 在中，已知，，则的值为A.B. C.D.参考答案：D略8. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为．. .参考答案：D9. 已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是( )A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D略10. 已知和是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，异于点A的两动点B、C 分别在、上，且BC=，则过A、B、C三点圆的面积为（▲）A．B．C．D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 展开式中不含项的系数的和为 .参考答案：略12. 若直线y=kx+b是曲线y=e x+2的切线，也是曲线y=e x+1的切线，则b= ．参考答案：4﹣2ln2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设直线y=kx+b与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为和，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．【解答】解：设直线y=kx+b与y=e x+2和y=e x+1的切点分别为和，则切线分别为，，化简得：，，依题意有：，所以．故答案为：4﹣2ln2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．13. 平面内一动点到两定点的距离之和为10，则动点的轨迹方程是 .参考答案：14. 已知X的分布列为设，则E(Y)的值为________参考答案：【分析】先利用频率之和为1求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案。
北京市名校2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
北京市名校2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若对于任意的实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B 【解析】试题分析：因为33230123[2(2)](2)(2)(2)x x a a x a x a x =+-=+-+-+-，所以212326a C ==，故选择B.考点：二项式定理.2．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()121i z i +=-，得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ） A ．②①③ B ．②③①C ．①②③D ．③①②【答案】D 【解析】 【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解. 【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是： 大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生； 结论：②安梦怡是独生子女，故选D. 【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．已知复数23()z m m mi m =-+∈R 为纯虚数，则m = A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．4【答案】B 【解析】因为复数()23z m m mi m R =-+∈为纯虚数，230m m -=，且0m ≠ ，所以3m =，故选B.5．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 A ．5种 B ．10种 C ．20种 D ．120种【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可看做五个位置排列五个数，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根据相克原理，1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，依次类推，用分布计数原理写出符合条件的情况. 【详解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不与2,5相邻，2不与1,3相邻，所以以“1”开头的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”两种，同理以其他数开头的排法都是2种，所以共有2510⨯=种．选B. 【点睛】本题考查分步计数原理的应用，考查抽象问题具体化，注重考查学生的思维能力，属于中档题. 6．设随机变量X 服从正态分布2(4,)N σ，若()0.4P X m >=，则(8)P X m >-=（ ） A ．0.6 B ．0.5C ．0.4D ．与σ的值有关【答案】A 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得(8)P X m >-，从而求出(8)P X m >-即可.详解：随机变量X 服从正态分布()24,N σ，∴正态曲线的对称轴是4x =，()0.4P X m >=，而m 与8m -关于4x =对称，由正态曲线的对称性得：()()80.4P X m P X m >=<-=，故()810.40.6P X m >-=-=. 故选：A.点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.7．在ABC ∆中，0CA CB ⋅=，2BC BA ⋅=，则BC =（ ） A ．1 BCD ．2【答案】B 【解析】 【分析】由向量的数量积公式直接求解即可 【详解】因为0BC AC ⋅=，所以ABC ∆为直角三角形，所以2|cos |2BC BA AB BC ABC BC ⋅=⋅⋅∠==，所以2BC =故选B 【点睛】本题考查平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力.8．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得28.806K ≈参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有8．4%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．14%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B 【解析】解：计算K 2≈8.815>6.869，对照表中数据得出有1.114的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的， 即有1−1.114=8.4%的把握说明两个变量之间有关系， 本题选择B 选项.9．用数学归纳法证明：2222222(21)123213n n n ++++++++=，第二步证明由"k 到1"k +时，左边应加（ ） A ．2k B ．2(1)k + C ．222(1)k k k +++ D ．22(1)k k ++【答案】D 【解析】 【分析】当n k =成立，当1n k =+时，写出对应的关系式，观察计算即可得答案. 【详解】在第二步证明时，假设n k =时成立，即左侧22222212321k =+++⋯++⋯++， 则1n k =+成立时，左侧22222222123(1)21k k k =+++⋯+++++⋯++，∴左边增加的项数是22(1)k k ++，故选：D ． 【点睛】本题考查数学归纳法，考查n k =到1n k =+成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题．10．如图是“向量的线性运算”知识结构，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在（ ）A ．“向量的加减法”中“运算法则”的下位B ．“向量的加减法”中“运算律”的下位C ．“向量的数乘”中“运算法则”的下位D ．“向量的数乘”中“运算律”的下位 【答案】A 【解析】 【分析】由“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，由此易得出正确选项． 【详解】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则， 故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位． 故选A ． 【点睛】本题考查知识结构图，向量的加减法的运算法则，知识结构图比较直观地描述了知识之间的关联，解题的关键是理解知识结构图的作用及知识之间的上下位关系． 11．定积分)1201x x dx -=⎰（ ）A ．142π+B ．12π+ C ．14π+ D ．122π+【答案】A 【解析】 【分析】先根据定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数21y x -0x =，1x =所围成的图形的面积，在求出1xdx ⎰，可得答案.【详解】解：由定积分的几何意义可知⎰是由曲线y =0x =，1x =所围成的图形的面积，也就是单位圆的14，故4π=⎰，12101122xdx x==⎰，故)11142x dx xdx π=+=+⎰⎰⎰， 故选：A. 【点睛】本题主要考查定积分的有关计算，属于基础题，注意运算准确. 12．已知抛物线22(0)y px p=，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x =-【答案】B 【解析】∵y 2=2px 的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭, ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-2p ,即x=y+2p,将其代入y 2=2px 得y 2=2py+p 2,即y 2-2py-p 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=2p,∴122y y +=p=2,∴抛物线的方程为y 2=4x,其准线方程为x=-1.故选B. 二、填空题：本题共4小题13．22318lg1002-⎛⎫++= ⎪⎝⎭______. 【答案】10 【解析】 【分析】利用指数和对数运算，化简所求表达式. 【详解】 原式()2232322lg1044210=++=++=.故答案为：10 【点睛】本小题主要考查指数和对数运算，属于基础题.14．命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是______．【答案】如果 1x ≤或 2y ≤ ，则 3x y +≤ 【解析】 【分析】由四种命题之间的关系，即可写出结果. 【详解】命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是“如果 1x ≤或 2y ≤ ，则 3x y +≤”. 故答案为：如果 1x ≤或 2y ≤ ，则 3x y +≤ 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型. 15．.若2()(2)f x x a =+,且(2)20f '=,则a =__________________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先求出函数的导数,再将2x =代入导数,即可求出a 的值. 【详解】222()(2)44f x x a x ax a =+=++ ()84f x x a ∴=+' (2)20f '=1a故答案为1. 【点睛】本题考查了导数的运算,要准确掌握求导公式,对于简单题要细心.属于基础题. 16．已知函数()3xx 1f x =x 2x+e -e-，其中e 是自然数对数的底数，若()()2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________。
2019-2020学年北京五中高二(下)第一次段考数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年北京五中高二（下）第一次段考数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设函数f(x)=1x，则导函数f′(x)等于()A. −xB. −1x2C. −1xD. −12.(x2+12x)6的二项展开式中的常数项为()A. 1516B. 316C. 152D. 1543.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程为ŷ=6.5x+17.5，则t的值为()A. 40B. 50C. 60D. 704.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如表所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法．正确的是()参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)≈6.109附表：A. 列联表中c的值为30，b的值为35B. 列联表中c的值为15，b的值为50C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”5.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，给出下列命题：①−3是函数y=f(x)的极值点；②−1是函数y=f(x)的最小值；③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零；④y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增．则正确命题的序号是()A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④6.已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(4,13)，则P(ξ=3)=()A. 3281B. 1681C. 2481D. 8817.若(x+1)5=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a5(x−1)5，则a0=()A. 32B. 1C. −1D. −328.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布N(110,100)，则分数位于区间(130,150]分的考生人数近似为()(已知若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+ 2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974．A. 1140B. 1075C. 2280D. 21509.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为()A. 恰有1只是坏的B. 4只全是好的C. 恰有2只是好的D. 至多有2只是坏的10.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有()A. 8种B. 10种C. 12种D. 14种二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.函数f(x)=lnx的极值为______．x12.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A，“第2次拿出的是白球”为事件B，则P(B|A)是______ ．13.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望Eξ=______ ．14.函数f(x)=lnx−ax在[1,+∞)上递减，则a的取值范围是______．15.已知函数f(x)=e−|x|+cosπx，下列命题：①f(x)为偶函数；②f(x)的最大值为2；③f(x)在(−10,10)内的零点个数为18；④f(x)的任何一个极大值都大于1．其中所有正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数f(x)=x2−2lnx．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)求证：当x>2时，f(x)>3x−4．17.据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下(数值越小，速度越快，单位是MIPS)设a i，b i分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记X i=|a i−b i|(i=1,2, (12)(Ⅰ)求数据X1，X2，X3，…，X12的众数；(Ⅱ)从满足X i=4的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率；(Ⅲ)经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；(Ⅲ)点M在线段B1C上，且B1MB1C =13，点N在线段A1B上，若MN//平面A1ACC1，求A1NA1B的值．19.已知椭圆W：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63，其右顶点A(2,0)，直线l过点B(1,0)且与椭圆交于C，D两点．(Ⅰ)求椭圆W的标准方程；(Ⅱ)判断点A与以CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．20.已知函数f(x)=(a−12)x2−2ax+lnx,a∈R．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性．21.设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1−a1n,b2−a2n,…,b n−a n n}(n=1，2，3，…)，其中max{x1,x2,…,x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．(1)若a n=n，b n=2n−1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；>M；或者存在正整(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，c nn数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．答案和解析1.【答案】B【解析】解：函数f(x)=1x ，则导函数f′(x)=−1x 2． 故选：B ．直接利用函数的导数的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的导数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2.【答案】A【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 12−3r (12)r ， 令12−3r =0，解得r =4，∴二项式的展开式中的常数项为(12)4C 64=1516故选：A利用二项式的通项公式即可得出．本题考查了二项式的通项公式、常数项的求法，属于基础题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，属于基础题．先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t 的代数式表示的，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于t 的一次方程，解方程，得到结果． 【解答】 解：∵x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+t+50+705=190+t 5，代入回归方程得190+t 5=6.5×5+17.5，解得t=60．故选C．4.【答案】C【解析】解：∵在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，∴成绩优秀的人数为：105×27=30(人)，非优秀的人数为：105−30=75(人)，∴c=30−10=20，b=75−30=45，∴则K的观测值：K2=105×(10×30−20×45)230×75×50×55=33655≈6.110>3.841，∴若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”，故选：C．由成绩优秀的概率为27，可求得成绩优秀的人数，进而求出非优秀的人数，得到b，c的值，计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题．5.【答案】B【解析】解：根据f′(x)>0，f′(x)<0，可以确定函数的增区间，减区间，切线斜率的正负．由导函数y=f′(x)的图象，可判断，f′(x)=0，x=−3.x=−1，−3的左边负右边正，两边互为异号，所以可判断f(x)单调性在(−∞,−3)为上减函数，(−3,−1)为增函数，由上述条件可判断：①−3是y=f(x)的极值点；④y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增．两个结论正确．②−1函数y=f(x)的最小值；③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零；两个结论错误．故选：B．根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点关系，结合图象判断．本题考查了导数的图象在判断极值，单调区间中的运用，导数的几何意义的理解．6.【答案】D【解析】解：∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B(4,13)，∴P(ξ=3)=C 43(13)3×(1−13)=881．故选：D ．直接套用二项分布概率计算公式P(X =k)=C n k p k (1−p)n−k ,k =0,1,…,n ，计算即可．本题考查二项分布条件下的概率计算问题，要找准试验次数n 与成功概率p.属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为(x +1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5， 所以令x =1得 a 0=25=32 故选A令(x +1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5中的x =1得a 0值． 求二项展开式的系数和问题，一般通过观察给二项式中的x 赋值，通过赋值法求出系数和．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了正态分布的特点，属于基础题． 利用对称性先计算出P(X >130)，再计算人数． 【解答】解：∵成绩分布近似服从正态分布N(110,100)， ∴μ=110，σ=10，∴P(90<X <130)=0.9544，∴P(X >130)=12(1−0.9544)=0.0228，∴分数位于区间(130,150]分的考生人数约为100000×0.0228=2280． 故选：C ．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了超几何分布以及等可能事件，属于基础题．盒中有10只螺丝钉，从盒中随机地抽取4只的总数为：C104，其中有3只是坏的，计算每种事件发生的事件数，根据古典概型的计算公式即可求解可得答案．【解答】解：∵盒中有10只螺丝钉，∴盒中随机地抽取4只的总数为：C104=210，∵其中有3只是坏的，∴所可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，恰有3只坏的，4只全是好的，所对应的事件数分别为：C31C73=105，C32C72=63，C33C71=7，C74=35，∴恰有1只坏的概率分别为：105210=12，恰有2只好的概率为63210=310，恰有3只坏的的概率为7210=130，4只全是好的概率为35210=16，至多2只坏的概率为203210=2930；故选C．10.【答案】B【解析】解：由于生物在B层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物安排第2节，其他任意排即可，故有A33=6种，若生物安排第3节，则政治有2种方法，其他任意排，故有C21A22=4根据分类计数原理可得6+4=10种，故选：B．根据分类计数原理即可求出本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题11.【答案】1e【解析】解：∵f(x)=lnx x，∴f′(x)=1−lnx x 2(x >0)，当0<x <e 时，f′(x)>0，f(x)在(0,e)上单调递增； 当x >e 时，f′(x)<0，f(x)在，e ，+∞)上单调递减； ∴当x =e 时，f(x)=lnx x取得极大值f(e)=1e ，无极小值．故答案为：1e ． 由f(x)=lnx x ，可得f′(x)=1−lnx x 2(x >0)，继而可求得函数f(x)=lnx x的极值．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】47【解析】解：一个口袋中装有5个白球，3个红球，每次从袋中随机摸出一个球，不放回地摸2次，A 表示“第一次拿出的是白球”，B 表示“第二次拿出的是白球”， 则P(A)=58，P(AB)=58×47=514；在摸出的第一个是白球的条件下，摸出的第二个球是白球的概率是： p(B|A)=51458=47．故答案为47．根据题意，利用条件概率计算公式求出事件A 发生的条件下事件B 发生的概率即可． 本题考查了条件概率的计算问题，是基础题目．13.【答案】1.89【解析】 【分析】本题考查离散型随机变量的期望，本题在解题时注意当变量是0时，表示前二次都没有射中，第三次是否射中没有影响，注意第三次是一个必然事件，属于中档题． ξ的可能取值是0，1，2，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率．求出变量对应的概率，根据期望值公式做出期望．【解答】解：由题意知ξ的可能取值是0，1，2，P(ξ=0)=0.1×0.1=0.01P(ξ=1)=0.1×0.9=0.09P(ξ=2)=0.9，∴E(ξ)=1×0.09+2×0.9=1.89故答案为1.8914.【答案】[1,+∞)【解析】【分析】函数f(x)=lnx−ax在[1,+∞)上递减，可得f′(x)≤0，解得a≥1x，x∈[1,+∞).利用函数的单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：f′(x)=1x−a，∵函数f(x)=lnx−ax在[1,+∞)上递减，∴f′(x)=1x −a≤0，解得a≥1x，x∈[1,+∞)．∵函数y=1x在x∈[1,+∞)单调递减．因此x=1时，函数y取得最大值1．∴a≥1．则a的取值范围是[1,+∞)．故答案为[1,+∞)．15.【答案】①②④【解析】解：对于①，函数f(x)=e−|x|+cosπx，定义域为R，且满足f(−x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，①正确；对于②，由x →±∞lime −|x|→0，所以当x =0时，f(x)取得最大值为2，②正确； 对于③，画出函数f(x)=e −|x|+cosπx 的部分图象知，f(x)为偶函数，其零点关于原点对称，且y =cosπx 是周期为2的函数，所以f(x)在(−10,10)内的零点个数为20，所以③错误； 对于④，当cosπx 取极大值1时，函数f(x)=e −|x|+cosπx 取极大值， 此时f(x)的极大值均大于1，所以④正确； 综上知，正确的命题序号是①②④． 故答案为：①②④．根据函数f(x)=e −|x|+cosπx 的图象与性质，分析函数的最值、对称性和极值，从而判断命题的真假．本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=x 2−2lnx ，∴函数f(x)的定义域为{x|x >0}， f′(x)=2x −2x =2(x+1)(x−1)x，由f′(x)>0，得x >1；由f′(x)<0，得0<x <1． ∴f(x)的单调增区间为(1,+∞)，单调减区间为(0,1)． (Ⅱ)设g(x)=f(x)−3x +1=x 2−2lnx −3x +4， 则g′(x)=2x −2x −3=(2x+1)(x−2)x，∵当x >2时，g′(x)>0， ∴g(x)在(2,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(2)=4−2ln2−6+4>0， ∴当x >2时，x 2−2lnx >3x −4， 即当x >2时，f(x)>3x −4．【解析】(Ⅰ)由函数f(x)=x 2−2lnx ，知函数f(x)的定义域为{x|x >0}，f′(x)=2x −2x=2(x+1)(x−1)x，由此能求出f(x)的单调区间．(Ⅱ)设g(x)=f(x)−3x +1=x 2−2lnx −3x +4，则g′(x)=2x −2x −3=(2x+1)(x−2)x，当x >2时，g′(x)>0，由此能够证明当x >2时，f(x)>3x −4．本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用．17.【答案】(本题共13分)解：(Ⅰ)求出X i=|a i−b i|(i=1,2,…,12)，列表如下：所以X i等于1有2次，X i=2有3次，X i=4有4次，X i=6有2次，X i=7有1次，则数据X1，X2，X3…X12的众数为4------------------------(5分)(Ⅱ)设事件D=“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”．满足X i=4的测试共有4次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示．从中随机抽取两次，共有MN，MP，MQ，NP，NQ，PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP，MQ，NP，NQ四种情况．故P(D)=46=23.------------------------(10分)(Ⅲ)本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分．给出明确结论，(1分)，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，(2分)．标准1：分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准2：会用测试结果的平均数进行阐述．------------------------(13分)可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：结论一：，品牌B处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些．理由如下：从前6次测试(打开含有文字与表格的文件)来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A的测试有两次打开速度比品牌B快(数值小)，品牌B有四次比品牌A快，从后6次测试(打开含有文字与图片的文件)来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A有四次打开速度比品牌B快(数值小)．结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A打开文件速度快一些理由如下：品牌A处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9212，品牌B处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9712，所以品牌A打开文件速度快一些．(且品牌A方差较小)其他答案情况，比照以上情况酌情给分．【解析】(Ⅰ)求出X i=|a i−b i|(i=1,2,…,12)，由此能求出数据X1，X2，X3…X12的众数．(Ⅱ)设事件D=“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”.满足X i=4的测试共有4次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示．从中随机抽取两次，利用列举法能出品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率．(Ⅲ)本题为开放问题，答案不唯一，先给出明确结论，结合已有数据，陈述得出该结论的理由．本题考查众数的求法，考查概率的求法，考查众数、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．∴BC1⊥B1C，BB1⊥A1B1，A1B1⊥B1C1，∵BB1∩B1C1=B1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1C∴BC1⊥平面A1B1C.(Ⅱ)连接AB1交A1B与F，取AC中点H，连接FH，连接BH，易知FH是三角形ACB1的中位线，所以FH//B1C所以异面直线B1C与A1B所成角即为∠BFH，因为AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．所以AC=B1C=A1B=2√2,BF=BH=FH=√2，即三角形BHF为正三角形所以∠BFH=60°，故异面直线B1C与A1B所成角的大小为60°(Ⅲ)当A1NA1B =23时，有MN//平面A1ACC1，证明过程如下在BC1上取Q点，使得BQBC1=13，连接NQ，MQ，MN根据平行线分线段成比例性质可知NQ//A 1C 1，MQ//BB 1NQ//A 1C 1,NQ ⊄面ACC 1A 1,A 1C 1⊂面ACC 1A 1，所以NQ//平面ACC 1A 1同理可得MQ//平面ACC 1A 1，又因为NQ 和MQ 是平面MNQ 内两条相交直线， 所以平面MNQ//平面ACC 1A 1，因为MN ⊂平面MNQ ，所以MN//平面A 1ACC 1， 故当A 1NA 1B=23时，有MN//平面A 1ACC 1。
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物理 B 层 1 班
物理 A 层 4 班
政治 1 班
物理 A 层 3 班
政治 2 班
政治 3 班
A. 8 种
B. 10 种
C. 12 种
【答案】B
【解析】
【分析】
根据表格进行逻辑推理即可得到结果.
【详解】张毅不同的选课方法如下：
（1）生物 B 层 1 班，政治 1 班，物理 A 层 2 班；
（2）生物 B 层 1 班，政治 1 班，物理 A 层 4 班；
【答案】D 【解析】
B
4,
1 3 表示做了
4
次独立实验，每次试验成功概率为
1 3
，
则
P(
3)
C43
1 3 3
2 3
1
4
2 81
8 81
．选 D
．
7.若 (x 1)5 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a5 (x 1)5 ，则 a0 （ ）
A. 32 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 1
C. ﹣1
D. ﹣32
令 (x 1)5 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a5 (x 1)5 中的 x 1 得 a0 值．
【详解】解：因为 (x 1)5 a0 a1(x 1) a2 (x 1)2 a5 (x 1)5 ，
所以令 x 1 得： a0 25 32 .
C32C72 3 C140 10 .对于选项 D，包括没有坏的，有1个坏的和 2 个坏的三种情况.根据 A 选项，恰
1 3 好有一个坏的概率已经是 2 10 ，故 D 选项不正确.综上所述，本小题选 C.
【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件
的概率，属于基础题. 10.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在 A 层班 级，生物在 B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节， 另外一节上自习，则他不同的选课方法有
105 2 30 根据题意可求出成绩优秀的学生数是 7 ，所以成绩非优秀的学生数是
105 30 75 ，即可求出 b, c 的值，判断出 A, B 的真假，再根据列联表求出 K2，即可由独立 性检验的基本思想判断出 C, D 的真假．
105 2 30 【详解】由题意知，成绩优秀的学生数是 7 ，成绩非优秀的学生数是
由题意可知 0,1, 2 ，再分别求对应的概率，根据公式求数学期望.
【详解】由题意可知 0,1, 2
当 1表示第一次没有击中，第二次射击中靶， P 1 0.1 0.9 0.09 当 2 表示第一次射击中靶， P 2 0.9 , 当 0 表示前两次都没有击中，第三次可中可不中， P 0 0.1 0.1 0.01
优秀
非优秀
总计
甲班 乙班 总计 105
10
b
c
30
2 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人，成绩优秀的概率为 7 ，则下列说法正确的是（ ）
K
2
a
n ad bc2 bc d a cb
d
参考公式：
附表：
P(K2≥k)
0.050
k
3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
A. 列联表中 c 的值为 30，b 的值为 35 B. 列联表中 c 的值为 15，b 的值为 50 C. 根据列联表中的数据，若按 95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系” D. 根据列联表中的数据，若按 95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 【答案】C 【解析】 【分析】
球，记“第 1 次拿出的是白球”为事件 A ，“第 2 次拿出的是白球”为事件 B ，则
P B A 是________
4 【答案】 7
【解析】
【分析】
P A P AB
先计算
，
，然后根据条件概率的定义，可得结果.
P A= 5 , P AB 5 4 5
【详解】由题可知：
8
8 7 14
所以
P B
A
P AB P A
C6r
( 1 )r 2
x123r
，
令12 3r 0 ，解得： r 4 ，
二项式的展开式中的常数项为
(
1 2
)4
C64
15 16
.
故选：A．
15 D. 4
【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题．
3.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y （单位：百万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
105 30 75 ，所以 c＝20，b＝45，选项 A，B 错误；根据列联表中的数据，得到 K 2 ＝
105 (10 30 20 45)2 55 50 30 75 ≈6.109>3.841，因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选
项 C 正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题．
易当 0
x
e
时，
f
/
x
0
，
f
x 单调递增，
当
x
e 时，
f
/
x
0
，
f
x 单调递减，
所以当
x
e
时，
f
x 取极大值，得
f
e
lne e
1 e
，
1
所以
f
x 的极大值为
e
．
【点睛】本题考查极值的求解，首先根据导函数等于零找到极值点，然后利用单调性判断确
定为极大值或极小值．
12.一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 3 个红球，现在不放回的取 2 次球，每次取出一个
（8）生物 B 层 2 班，政治 1 班，物理 A 层 4 班；
（9）生物 B 层 2 班，政治 3 班，物理 A 层 1 班；
D. 14 种
（10）生物 B 层 2 班，政治 3 班，物理 A 层 3 班； 共 10 种，故选 B. 【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题. 二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）
4 7
4 故答案为： 7
P AB
P
【点睛】本题考查条件概率，掌握条件概率公式
BA
P A
，审清题意，简单计算，
属基础题.
13.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的 概率是 0.9，他有 3 颗弹子，
射击结束后尚余子弹数目 的数学期望 E =___________．
【答案】1.89 【解析】 【分析】
P(110 X 130) 1 0.9544 0.4772
因此
2
，
所以 P(130 X 150) 0.5 0.4772 0.0228 ，
即分数位于区间
130,150 分的考生人数近似为
0.0228
10
104
=2280
，选
C.
【点睛】正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直
北京市第五中学 2019-2020 学年高二数学下学期第一次段考试题
（含解析）
一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项）
1.设函数
f
x
1 x
，则导函数
f
x 等于（
）
A. ﹣x
1 B. x2
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用基本函数的求导公式，即可求出结果．
x 2 4 5 6 8 5 y 30 40 t 50 70 190 t
5
，
5
5，
把 (x,
190 t y) 代入回归直线的方程，得 5
6.5 5 17.5 ，解得 t
60 ，故选
C.
点睛：本题主要考查了回归分析的初步应用，其中熟记回归直线的基本特征——回归直线方 程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 4.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计成 绩，得到如下所示的列联表：
A. ①②
B. ②③
C. ①④
D. ③④
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出
判断.
f x 0, f x 0
详解：根据
，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负，
由导函数
y
f
x 的图象，可得的函数
f
x 在
(,
3)
单调递减，在
(3,
)
为( )
A. 恰有 1 个是坏的
B. 4 个全是好的
C. 恰有 2 个是好的
D. 至多有 2 个是坏的
【答案】C
【解析】
【分析】
利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.
C31C73 1
C74 1
【详解】对于选项 A，概率为 C140 2 .对于选项 B，概率为 C140 6 .对于选项 C，概率为
（3）生物 B 层 1 班，政治 2 班，物理 A 层 1 班；
（4）生物 B 层 1 班，政治 2 班，物理 A 层 4 班；
（5）生物 B 层 1 班，政治 3 班，物理 A 层 1 班；
（6）生物 B 层 1 班，政治 3 班，物理 A 层 2 班；
（7）生物 B 层 2 班，政治 1 班，物理 A 层 3 班；
线 x＝μ 对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1.