曲线的齿化与虚化

有趣的曲线齿化与虚化
马跃进(江西省赣县教师进修学校,341100) (mayuejin60@ )
新课标高中数学必修4(北师大版)第一章三角函数中,有如下一道习题: 利用五点法或借助信息技术画出函数sin sin y x x =-的图像．
无论是利用五点法，还是利用几何画板来画上述函数的图像，都是一道难度不大的习题，但笔者借助几何画板,画出了更多的形如:
()()sin sin ,,0,*,y a b nx nx a b b n =+±∈≠∈R N 下同的函数图像,发现它们均呈锯齿线
形状.如图1为函数
()
20.2sin10sin10y x x =+-（[]2π,2πx ∈-）
的图像．
通过进一步探究，发现方程
()sin sin y a b nx nx =+-的曲线具有下
列性质:
（1）在[]0,2π上曲线的齿数为n ；
（2）齿长(齿尖到直线y a =的距离)为2b ； （3）当0b >时齿尖向下,0b <时齿尖向上 探究没有就此结束，我们尝试把方程
()sin sin y a b nx nx =+-中的a 换为m kx +，
即变成方程
()sin sin y kx m b nx nx =++-.
不妨取取()
210.2sin10sin10y x x x =++-，通过几何画板，画出其曲线为图2所示.
显然，图2把直线12+=x y 齿线化了，即方程()
210.2sin10sin10y x x x =++-，把直线12+=x y 齿线化了.因而可知，方程()
sin sin y kx m b nx nx =++-把直线m kx y +=齿线化了.
更有趣的是，上述结论可以进一步推广. 为叙述方便，我们给出如下定义：
若曲线()x f y C =:，则曲线()()nx nx b x f y C sin sin :-+=∑(
)*
∈≠N
n b ,0①为曲线
C 的一种齿化曲线,称①为曲线C 的齿化曲线方程，()()nx nx b x g sin sin -=为齿化函数
.
图 1
图2
如图3，分别为直线,m kx y +=抛物线,2x y =双曲线1
,y x
=对数曲线x y ln =的一种齿化曲线.
可以写出它们从左到右的一个齿化曲线方程顺次为 （1）()
0.510.2sin 20sin 20y x x x =++-； （2）2x y =()
0.2sin 30sin 30x x +-； （3）()1
0.2sin 40sin 40y x x x
=
--； （4）()
ln 0.2sin 30sin 30y x x x =--.
通过进一步探究发现，曲线的齿化函数()x g 并非只有上述这一种.事实上，只要确保()x g 是一个图像具有齿线形状的周期函数即可.
如()()()nx b nx b x g cos arccos
,sin arcsin =()
*
∈≠N n b ,0均可. 如图4，分别为直线,m kx y +=抛物线,2x y =双曲线1
,y x
=对数曲线x y ln =的一种齿化曲线. 可以写出它们从左到右的一个齿化曲线方程顺次为
（1）()x x y 20cos arccos
2.015.0++=； （2）()x x y 30cos arccos 2.02
+=；
图3
图4
（3）()x x
y 40cos arccos 2.01
+=
； （4）()x x y 30cos arccos 2.0ln +=. 类比可以得到：
在极坐标系中，若曲线()θρρ=
:C ，则曲线()()θθθρρn n b C sin sin :-+=∑
()*
∈≠N n b ,0②为曲线C
的一种齿化曲线,称②为曲线C 的齿化曲线方程,
()()θθθn n b g sin sin -=为齿化函数.
利用几何画板，可以画出极坐标系中，圆2:=ρC 的一种齿化曲线
:C ∑()20.2sin 20sin 20ρθθ=±-.
如图4所示，左图为
齿化曲线:C ∑()20.2sin 20sin 20ρθθ
=+-；
右图为齿化曲线:C ∑(
)20.2sin 20sin 20ρθθ=--.
上述齿线一周有20个齿，齿长为0.4,但形状不同.
如取齿化函数()()θθ20cos arccos 2.0=g ，可得到圆2:=ρC 的一种齿化曲线
:C ∑()θρ20cos arccos 2.02±= .
如图5所示，左图为
齿化曲线:C ∑()θρ20cos arccos
2.02+=； 右图为齿化曲线:C ∑()θρ20cos arccos
2.02-=. 上述齿线一周有20个齿，齿长为0.2π,形状略有不同.
这样，我们就得到两个非常漂亮的齿线,同时也无形之中给出了一种具有实用价值的设计圆形齿轮的简洁方法.依照这个方法完全可以根据轮齿的多少，齿长的大小等要求来设计齿轮.
如图6是极坐标系中,取齿化函数
()()θθθ60sin 60sin 2.0-=g
的一些迷人的曲线的齿化曲线.
图
4
图
5
从左到右，可得出它们一个齿化曲线方程为
（1）()
0.21 1.5sin 60sin 60,[0,5π];ρθθθθ=+--∈; （2
）()0.2sin 60sin 60;ρθθ=
--
（3）()
2(1cos )0.2sin 60sin 60;ρθθθ=+--
（4）()()
2
310.85cos 2sin 40.2sin 60sin 60ρθθθθ=+++-.
如图7是极坐标系中,取齿化函数()()θθ60cos arccos 2.0=g 的上述相应迷人的曲线的齿化曲线
从左到右，可得出它们一个齿化曲线方程为 （1）()0.210.2arccos cos60ρθθ=++； （2
）()0.2arccos cos60ρθ=
+；
（3）()()21cos 0.2arccos cos60ρθθ=++；
（4）()
()θθθρ60cos arccos 2.04sin 2cos 85.0132
+++=.
另外，如若我们注意到取函数(
)(
)g x g x ==，如取函数(
)g x =，则可由几何画板画出方程：
（1
）0.51y x =++ （2
）2
y x =+ （3
）1
2
y =
+
图7
（4
）ln y x =+.
从图像上可以看出，这些曲线全被虚线化了.因此，可以认为，欲画出一曲线的虚线，只需在曲线方程()x f y =（或
()θρρ=）后，加上一个函数(
)g x x =（(
)g θ=，便可通过几何画板画出其曲线的虚线. 如图9自左到右,是极坐标系中
,()0.21,21cos ρθρρθ=+=
=+；
()2310.85cos 2sin 4ρθθ=++,被虚化的曲线,其虚化函数为(
)g θ=
本文发表在《中学数学教学》2010年第5期
图
8
图9。