全国竞赛(方程与不等式专题训练一) - 副本
数学初中竞赛 方程和不等式 专题训练(含答案)
数学初中竞赛方程与不等式专题训练一．选择题1．方程x2+2xy+3y2＝34的整数解（x，y）的组数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．已知两块边长都为a厘米的大正方形，两块边长都为b厘米的小正方形和五块长、宽分别是a厘米、b厘米的小长方形（a＞b），按如图的方式正好不重叠地拼成一个大长方形，若已知拼成的大长方形周长为78厘米，四个正方形的面积和为242平方厘米，则每个小长方形的面积为（）A．11平方厘米B．12平方厘米C．24平方厘米D．48平方厘米3．球赛入场券有10元、15元、20元三种票价，老师用480元买了40张入场券，其中票价为10元的比票价为20元的多的张数是（）A．12 B．16 C．20 D．244．由方程组消去y后化简得到的方程是（）A．2x2﹣2x﹣6＝0 B．2x2+2x+5＝0 C．2x2+5＝0 D．2x2﹣2x+5＝0 5．某班将举行“庆祝建党95周年知识竞赛”活动，班长安排小明购买奖品，如图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据如图对话信息，计算乙种笔记本买了（）A．25本B．20本C．15本D．10本6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．算筹是古代用来进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图）．当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．例如3306用算筹表示就是，则2022用算筹可表示为（）A．B．C．D．7．如图是某汽车公司销售点的环形分布图．公司在年初分配给A、B、C、D四个销售点某种汽车各50辆．在销售前发现需将A、B、C、D四个销售点的这批汽车分别调整为40、45、54、61辆，但调整只能在相邻销售点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动辆次n为（一辆汽车从一个销售点调整到相邻销售点为一次）（）A．15 B．16 C．17 D．188．已知在代数式a+bx+cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A．0个B．1个C．10个D．无穷多个9．对于任意的有理数a，方程2x2+（a+1）x﹣（3a2﹣4a+b）＝0的根总是有理数，则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．010．已知关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（a＜b）的两根为p、q（p＜q，且pq＞0），则一定有（）A．a＜p＜q＜b B．＞C．＜＜＜D．＜＜＜11．为了预防甲流，某班级准备300元钱，计划购入一批体温计．已知有两种体温计可供选购，其中水银体温计3元/支，电子体温计10元/支，由于水银体温计容易破裂且水银具有毒性，所以希望尽可能多地购买电子体温计．如果该班级共53名同学，且要求每位同学有一支体温计，则最多可购买电子体温计（）支．A．20 B．21 C．30 D．3312．初二（1）班有48名同学，其中有男同学n名，将他们编成1号、2号、…，n号．在寒假期间，1号给3名同学打过电话，2号给4名同学打过电话，3号给5名同学打过电话，…，n号同学给一半同学打过电话，由此可知该班女同学的人数是（）A．22 B．24 C．25 D．26二．填空题13．已知p，q都是正整数，方程7x2﹣px+2009q＝0的两个根都是质数，则p+q＝．14．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．15．初三某班共有60名同学，学号依次为1号，2号，…，60号，现分成A，B，C三个小组，每组人数若干，若将B组的小俊（27号）调整到A组，将C组的小芸（43号）调整到B组，此时A，C两组同学学号的平均数都将比调整前增加0.5，B组同学学号的平均数将比调整前增加0.8，同时B组中的小营（37号）计算发现，她的学号数高于调整前B 组同学学号的平均数，却低于调整后的平均数．请问调整前A组共有名同学．16．“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．17．某小区打算购买100盆花装饰花园，20人分三组刚好搬完（假设每人都需要搬），每组人的搬花量如下表，请问第一组可能有人．组别第一组第二组第三组每人搬花盆数 5 4 1018．在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放个检票口．19．某中学有九百多名师生外出参加社会实践活动，准备租某种客车若干辆．如果每辆车刚好坐满（即每个人都刚好有一个座位），就会余下14个人；如果多准备一辆车，那么每辆车刚好都空1个座位，则这种客车每辆的乘客座位有个．20．甲、乙两商店某种铅笔标价都是1元，一天，让学生小王欲购这种铅笔，发现甲、乙两商店都让利优惠：甲店实行每买5枝送1枝（不足5枝不送）；乙店实行买4枝或4枝以上打8.5折，小王买了13枝这种铅笔，最少需要花元．三．解答题21．解方程组：22．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2＝0有两个实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若|x1|﹣|x2|＝2，求k的值．23．将一个三位数分成4个数，使得第一个数乘以2，第二个数除以2，第三个数减1，第四个数加2，得到的结果相等，若该三位数比这四个数中最大的数的2倍大59，求这三位数．24．a、b、c为正整数，关于x的方程ax2+bx+c＝0的两实根的绝对值都小于，求a+b+c 的最小值．25．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如，ab＝1求证：＝1证明：原式＝＝＝1波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，x+有最小值，最小值是多少？解：∵x＞0，＞0∴，即x，∴当且仅当x＝，即x＝1时，x+有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知ab＝1，求下列各式的值：＝；②＝．（2）若abc＝1，解方程＝1（3）若正数a、b满足ab＝1，求M＝的最小值．参考答案一．选择题1．解：方程变形得：（x+y）2+2y2＝34，∵34与2y2是偶数，∴x+y必须是偶数，设x+y＝2t，则原方程变为：（2t）2+2y2＝34，∴2t2+y2＝17，它的整数解为，则当y＝3，t＝2时，x＝1；当y＝3，t＝﹣2时，x＝﹣7；当y＝﹣3，t＝2时，x＝7；当y＝﹣3，t＝﹣2时，x＝﹣1．∴原方程的整数解为：（1，3），（﹣7，3），（7，﹣3），（﹣1，﹣3）共4组．故选：B．2．解：依题意，得：，整理，得：，（①2﹣②）÷2，得：ab＝24．故选：C．3．解：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得，由②，得：y＝40﹣x﹣z，③将③代入①，得：x﹣z＝24．故选：D．4．解：，由①，得x＝y+1③，将③代入②，得（x﹣1）2+x2+4＝0，化简，得2x2﹣2x+5＝0，故选：D．5．解：设甲种笔记本买了x本，甲种笔记本的单价是y元，则乙种笔记本买了（40﹣x）本，乙种笔记本的单价是（y+3）元，根据题意，得：，解得：，答：甲种笔记本买了25本，乙种笔记本买了15本．故选：C．6．解：∵各位数码的筹式需要纵横相间：个位、百位、万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，∴2022用算筹可表示为故选：C．7．解：根据题意可得：互不相邻两点B、D，B处至少调动5辆次，D处至少调入11辆次，两处之和至少16辆次，因而四个销售点调动至少16辆次，又A、B的数量减少，C、D的数量增加，所以从A调11辆到D，从B调1辆到A，调4辆到C，共调整了11+1+4＝16辆．综上，最少调动16辆次．故选：B．8．解：根据题意，得，由②﹣①，得4b+40c＝1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选：A．9．解：∵方程的△＝（a+1）2+8（3a2﹣4a+b）＝（5a﹣3）2+8b﹣8≥0，∴当8b﹣8≥0时，必定△≥0，即方程必有实根，∴b≥1，当b＝1时，3a2﹣4a+1＝（3a﹣1）（a﹣1），∴十字因式分解得方程为（x﹣a+1）（2x+3a﹣1）＝0，∴b＝1成立，当b＝2时，3a2﹣4a+b＝3a2﹣4a+2不能因式分解，∴方程有可能为无理数解，同理可得b＝﹣1以及0时，方程有可能为无理数解，故b的值为1．故选：A．10．解：设y＝（x﹣a）（x﹣b），则此二次函数开口向上，当（x﹣a）（x﹣b）＝0时，即函数与x轴的交点为：（a，0），（b，0），当（x﹣a）（x﹣b）＝1时，∵p、q是关于x的方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0的两实根，∴函数与y＝1的交点为：（p，1），（q，1），根据二次函数的增减性，可得：当a＜b，p＜q时，p＜a＜b＜q，故＜＜＜当p，q同为负数不合题意，故＞不成立，故选：C．11．解：设可购买电子体温计x支，则需买水银体温计（53﹣x）支，由题意，得．10x+3×（53﹣x）≤300．解得：x≤20∴最多可购买电子体温计20支，故选：A．12．解：一半同学是48÷2＝24人，1号给3＝2+1名打电话，2号给4＝2+2名打电话，3号给5＝2+3名打电话，…n号给2+n＝24名打电话，所以n＝22，48﹣22＝26，该班有女生26名，故选：D．二．填空题（共8小题）13．解：x 1+x2＝x 1x2＝＝287q＝7×41×qx 1和x2都是质数则只有x1和x2是7和41，而q＝1所以7+41＝p＝336所以p+q＝337故填：33714．解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．15．解：设A，B，C组调整前的人数分别是n A，n B，n C，则A，B，C调整后的人数分别是n A+1，n，n C﹣1，B设A，B，C组调整前各组的号码之和分别为w A，w B，w C，则A，B，C调整后各组的号码之和分别为w A+27，w+16，w C﹣43，B根据题意得：由③得，n B＝20∴36.2＜＜37，即724＜w B＜740又∵n A+n B+n C＝60∴n C＝40﹣n A④整理得：由①得∴w C+w A＝2500﹣56n A又∵∴w B＝1830﹣（2500﹣56n A）＝﹣670+56n A∴724＜﹣670+56n A＜740解得∵n A为正整数，所以n A＝25所以本题答案为2516．解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，所以（x﹣150）（a+150）＝54100．即10月4日这一天收入54100元．故答案为：54100．17．解：设第一组x人，第二组y人，第三组（20﹣x﹣y）人，由题意得：5x+4y+10（20﹣x﹣y）＝100∴x＝∵x，y为正整数，∴100﹣6y为5的整数倍，∴y＝5或10或15∴x＝14或8或2故答案为：14或8或218．解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；a+30b＝30c①，a+10b＝2×10c②，a+5b≤5×x×c，由①﹣②得：c＝2b，a＝30c﹣30b＝30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，∵b＞0，∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5，答：至少要同时开放4个检票口．19．解：设准备客车x辆，每辆客车有座位x个，根据题意知：xy+14＝（x+1）y﹣x﹣1，得y＝x+15，又知xy＞900，即x（x+15）＞900，x2+15x﹣900＞0，解得：x＞或x＜（舍去）即x＞23.43，当x ＝24时，y ＝39，xy ＝936，当x ＝25时，y ＝40，xy ＝1000（不符合题意）即这种客车每辆的乘客座位有39个，故答案为：39．20．解：因为甲店实行每买5枝送1枝，所以小王先到甲店花5元钱买了6枝，剩下7枝到乙店购买，用去了7×0.85＝5.95，所以小王一共花了：5+5.95＝10.95元．故填：10.95．三．解答题（共5小题）21．解：由①得，（ x +y ）2＝9，则x +y ＝3或x +y ＝﹣3， 与②组成方程组和， 解得，，， 所以原方程组的解为，．22．解：（1）∵原方程有两个实数根，∴△＝[2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝8k ﹣4≥0，解得k ≥．（2）∵x 1、x 2是方程x 2+2（k +1）x +k 2+2＝0有两个实根，k ≥，∴x 1+x 2＝﹣2（k +1）＜0，x 1x 2＝k 2+2＞0，∴（|x 1|﹣|x 2|）2＝x 12﹣2|x 1•x 2|+x 22＝x 12+2x 1x 2+x 22﹣4x 1x 2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（2）2＝20，∴[﹣2（k +1）]2﹣4（k 2+2）＝20，即8k ﹣24＝0，解得：k ＝3．故k 的值为3．23．解：设这个相等的结果为x ，则由三位数分成的四个数分别为：、2x 、x +1、x ﹣2，则这个三位数为：+2x +（x +1）+（x ﹣2）＝﹣1 ∴100≤﹣1＜1000 ∴≤x ＜∴四个数、2x 、x +1、x ﹣2中，2x 最大，由题意得：﹣1＝2×2x +59 ∴＝60∴x ＝120 ∴这个三位数为：×120﹣1＝539答：这个三位数为539．24．解：由于a ，b ，c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根， 则判别式△＝b 2﹣4ac ≥0，若方程的两根设为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则由题设可得x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝， 则﹣＜x 1≤x 2＜0．令f （x ）＝ax 2+bx +c ，即有f （﹣）＞0， 即﹣b +c ＞0，且﹣＜﹣＜0．整理可得：2a ＞3b ，且a +9c ＞3b ，且b 2＞4ac即有2a ＞3b ＞18c ．结合前者，可知，最小为a ＝16，b ＝9，c ＝1．则a +b +c 的最小值为26．25．解：（1）①∵ab ＝1∴a＝∴原式＝+＝+＝1故答案为：1②∵ab＝1∴a＝原式＝+＝1故答案为：1（2）∵＝1，且abc＝1，∴+＝15x＝1x＝（3）∵正数a、b满足ab＝1∴b＝，a＞0，b＞0，∴a+＝（﹣）2+2≥2∵M＝＝＝＝1﹣∴当a+＝2时，M的值最小，∴M最小值＝1﹣＝2﹣2。
2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题 - 副本
2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设集合R=｛(x,y)|x+y=l｝,B=｛(x,y)|x'+*2=2｝,C=则集合C的子集的个数是.2.己知z为虚数，且z1=z,则z'=.3.已知a,3是单位向量，|3a+4d|=|4a-3d|,若|c|=2,则\a+b-c\的最大值是,4.己知三棱锥P-ABC的三条侧"4,PB.PC两两垂宜，设二面角P-AB-C,P-BC-A, P-&-B的大小分别为a,们丫,则血？三血/+血：乙=_____cos'a+cos*0+cos"5.MB C的三边分别为a,b,c,记BC,CA,XB边上的中线长分别为叫,虬,则m：nC Q,土口-r+Tr+-f的最小值是_______・a'b"c6.设a,fteN*,且满足」-?=一二，则所有正整数对(a,方)的个数为a b20237.已知函数f(x)=x i-2x1-3x+4,若/(a)=/(/>)=/(c),其中a<b<c,则a2+b2+c2=.8.己知5名同学分则报长的学科为语文、数学、物理、化学、历史.现有5份试卷(语文、数学、物理、化学、历史各一份)，老师随机分发给每名同学一份试卷，则至少有4名同学得到的试卷与自己擅长的学科不符的概率是.二、解答题：本大题共3小题，满分S6分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤9.(本题滴分16分)设｛%｝是正项等差数列，公差为d(d>0)，前〃项和为S“，m,〃，p,q 均为正整数.若n<p<m,n<q<m.且〃i+〃=p+g,证明：⑴财,<哄：A⑵S.+S.Sp+Sq.10.(本题满分20分)如图1,设P是四边形ABCD内…点，满足\\\-----D ABPC=2/.BAC,ZPCA=/.PAD./.PDA=APAC.\/求证：zpbd=\abca-zpca\.B C图111.(本题满分20分)定义：若•个数列中的每•项都是完全平方数，则称这种数列为完方数列.己知数列氐｝满足x o=O,x,=3,x,41+x,.,=4x b.证明：｛x,_f+9｝是一个完方列列.2023年全国中学生数学奥林匹克(贵州赛区)预赛试题及其评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。
数学中考复习用资料方程和不等式应用题(竞赛辅导资料含答案)
物资数量不超过 25 吨。则 A、B 两地的赈灾物资运往 D、
E 两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；
（ 3）已知 A、B、C三地的赈灾物资运往 D、E 两县的费
用如下表：
A地 B地 C地
运往 D 县的费用（元 / 吨） 220 200 200
学习必备
运往 E 县的费用（元 / 吨） 250 220 210 为即使将这批赈灾物资运往 D、E 两县，某公司主动承 担运送这批赈灾物资的总费用，在（ 2）问的要求下， 该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
数(件)
数( 件)
( 分)
10
10
350
30
20
850
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得
1.50 元，
每生产一件乙产品可得 2.80 元．
根据以上信息，回答下列问题：
（ 1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品
分别需要多少分？
（ 2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种
产品分别多少件？
类型之二 借助方程组合或不等式（组）解决方案问题
6. （?重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市
A、 B、 C
三地现在分别有赈灾物资 100 吨，、 100 吨、 80 吨，需
要全部运往四川重灾地区的 D、 E 两县。根据灾区的情
况，这批赈灾物资运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的
2 倍少 20 吨。
(25 8 60 x) 分，则生产甲种产品 x 件，生产乙种产 15
品 25 8 60 x 件． 20
x
25 8 60 x
w总额 1.5
2.8
15
20
0.1 x 12000 x 2.8 0.1x 1680 0.14x 20
2023数学竞赛试题及参考答案
2023数学竞赛试题及参考答案试题一：代数问题题目：解下列方程组：\[ \begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases} \]参考答案：首先，我们使用加减消元法来解这个方程组。
将第一个方程乘以2得到 \(2x + 2y = 10\)，然后将这个结果与第二个方程相加，得到 \(3x = 11\)。
解得 \(x = \frac{11}{3}\)。
将 \(x\) 的值代入第一个方程，得到 \(y = 5 - \frac{11}{3} = \frac{4}{3}\)。
所以，方程组的解为 \(x = \frac{11}{3}, y = \frac{4}{3}\)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC = 6，BC = 8。
求斜边AB的长度。
参考答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过以下公式计算：\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \]将给定的值代入公式中，得到：\[ AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] 所以，斜边AB的长度是10。
试题三：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少抽到一个蓝球的概率。
参考答案：首先，我们计算总的可能情况，即从8个球中抽取2个球的组合数，使用组合公式 \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)，得到：\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28 \]接下来，计算没有抽到蓝球的情况，即只抽到红球的组合数：\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \]至少抽到一个蓝球的概率是1减去没有抽到蓝球的概率，即：\[ P(至少一个蓝球) = 1 - \frac{C(5, 2)}{C(8, 2)} = 1 -\frac{10}{28} = \frac{18}{28} = \frac{9}{14} \]试题四：数列问题题目：数列1, 3, 6, 10, ...，求第10项的值。
022 不等式 - 副本
专题03 不等式（高考押题）2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln bB ．0.3a >0.3bC ．a >bD.3a >3b2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ， 又b ＝(lg e)2<lg10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B. 答案 B3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析 (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立， 即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32，故选C. 答案 C4．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}5．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2D. 655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得； ∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0， 解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 答案 B8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．82学优高考网9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C. 答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 答案 C11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜ba B.b －ac ＞0 C.b 2c <a 2c D.a －c ac ＜0解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －ac >0，a －c ac <0， 但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c 不一定成立．答案：C12．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎨⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝⎛⎭⎫－13，即⎩⎨⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．4，＋∞) C ．(0,1] D ．1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B. 答案：B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－12，1解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为k MA,1)，即⎣⎡⎭⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D18．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：C19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( ) A ．－4,2] B ．(－4,2) C ．－4,1]D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈1,5]，∴a >2x －x 成立．∴a >⎝⎛⎭⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在1,5]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A. 答案：A21．已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg xy ≤2，2≤lg x 3y ≤3变形，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，令⎩⎪⎨⎪⎧lg x －lg y ＝a ，3lg x －12lg y ＝b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＝2b －a 5，lg y ＝2b －6a5.∴lgx 33y＝3lg x －13lg y＝3·2b －a 5－13·2b －6a 5 ＝1615b －15a .由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤2，2≤b ≤3， 得⎩⎨⎧－25≤－15a ≤－15，3215≤1615b ≤165.∴2615≤1615b －15a ≤3， 即2615≤lg x 33y ≤3.∴lgx 33y的取值范围是⎣⎡⎦⎤2615，3. 22．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据统计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000 a 元(a >0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？ 解 (1)据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0，50]．(2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝ （100－x ）×3 000×（1＋2x %）＋3 000ax100 ＝－60x 2＋3 000（a ＋1）x ＋300 000100＝－35x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)． ①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值；②若25(a ＋1)>50，即a >1，则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．23．某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦) A 产品 3 9 4 B 产品1045已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为 z ＝7x ＋12y .作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20， 24)时z 取最大值．∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．24．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．25．设函数f (x )＝x ln x (x >0)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)设F (x )＝ax 2＋f ′(x )(a ∈R )，讨论函数F (x )的单调性；(3)斜率为k 的直线与曲线y ＝f ′(x )交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，求证：1x 2<k <1x 1.(1)解 f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0. ∴当x ＝1e 时，f (x )min ＝1e ln 1e ＝－1e . (2)解 F (x )＝ax 2＋ln x ＋1(x >0)， F ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x (x >0)，当a ≥0时，恒有F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令F ′(x )>0，得 2ax 2＋1>0， 解得0<x <－12a ；令F ′(x )<0，得2ax 2＋1<0， 解得x >－12a .综上，当a ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a <0时，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减．①令函数g (t )＝t －1－ln t (t ≥1)，则g ′(t )＝1－1t ≥0(t ≥1)，故g (t )在1，＋∞)上是增函数，∴当t >1时，g (t )＝t －1－ln t >g (1)＝0， 即t －1>ln t (t >1)成立．②令函数h (t )＝t ln t －(t －1)(t ≥1)， 则h ′(t )＝ln t ≥0(t ≥1)，故h (t )在1，＋∞)上是增函数，∴当t >1时，h (t )＝t ln t －(t －1)>h (1)＝0， 即t －1<t ln t (t >1)．由①②知(*)成立，得证．。
2019-2020学年人教B版高一数学第二章《等式与不等式》 综合测试题 - 副本
2019年-2020年 人教B 版高一数学第二章《等式与不等式》 综合测试题满分100分 时间90分钟一、选择题（本题共10道小题，每小题4分， 共40分） 1. 若a b >,则不等式关系中一定成立的是（ ）A ．a n b n +<+B ．11a b < C ． 0a b -> D ．1ab> 2. 集合A ＝2230{|}x x x ≤﹣﹣，{|20}B x x ＝﹣＞则A B ⋂＝（ ） A. [12﹣，） B. 23]（， C. [32﹣，）D. 12（﹣，）3. 若2230x mx n -+=的两根分别是-3与5,则多项式23690x mx n -+=可以分解为（ ）A.()()35x x +- B.()()35x x -+ C.()()335x x +- D.()()335x x -+4. A ．2 B ．4 C.8 D.165. 不等式1021x x +≤-的解集为（ ）A ．[11,)2- B ．[]11,2- C ．(]1()21+,-∞-⋃∞， D (],1[1+)2-∞-⋃∞， 6. 已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是（ ） A.92B.72C. 5 D . 47. 下列不等式：①212a a ≥＋；②2≤；③221 11x x ≥+＋，其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3.8. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为m 和n （0m n <<），其全程的平均时速为x ，则（ C ）A. m x <<B.x = 2m n x +<<D.2m nx += 9. 设1a >,则关于x 的不等式()()(1)10a x a x a---<的解集是（ ） A, ()),,( a -∞⋃+∞ B.(),a +∞ C ()1,a a) D. ()1 ,,()a a-∞⋃+∞)10. 若a 0>，0b >是正数，则的411b a a a ⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题（本题共5道小题，每小题4分，共20分）11. .某地规定本地最低生活保障x 元不低于800元,则这种不等关系写成不等式为(800x ≥) 12. 若正实数,x y 满足1x y +=，则411x y++的最小值为_________________． 13. 若x R ∈,且20x x -<,则22,,,x x x x --从小到大的排列顺序是_________________.14. 如果关于x 的不等式组2142x t x t⎧-≥⎨-≤⎩有解,那么实数t 的取值范围为_________________15. 如果命题p:40,957x x m x∀>++…为真命题,则实数m 的取值范是_________________. 三、大题本题共10道小题，每小题4分，共40分16. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为12m 2，房 屋正面每平方米造价为1200元房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm ，房屋的总造价为y 元．（1）求y 用x 表示的函数关系式；（2）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？17. 解不等式组233(1)(5)0x xx x -<⎧⎨---≥⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．18. 已知二次函数2221y x tx t =-+-()t ∈R(1) 若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式22210x tx t -+-≥.(2)2221x tx t -+-的两个实根均大于-2且小于4,求实数t 的取值范围的两个实数根于-2与4之间,求t 的取值范围.19. 设命题p:方程2(24)0x m x m +-+=有两个不相等的实数根;命题q 对所有的23x剟,不等式22413x x m -+≥恒成立(1) 若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; (2)若命题p,q 一真一假,求实数m 的取值范围.答 案一、选择题（本题共10道小题，每小题4分， 共40分） 1. 若a b >,则不等式关系中一定成立的是（ C ）A ．a n b n +<+B ．11a b < C ． 0a b -> D ．1ab> 2. 集合A ＝2230{|}x x x ≤﹣﹣，{|20}B x x ＝﹣＞则A B ⋂＝（ A ） A. [12﹣，） B. 23]（， C. [32﹣，）D. 12（﹣，）3. 若2230x mx n -+=的两根分别是-3与5,则多项式23690x mx n -+=可以分解为（ C ）A.()()35x x +- B.()()35x x -+ C.()()335x x +- D.()()335x x -+4. A ．2 B ．4 C.8 D.165. 不等式1021x x +≤-的解集为（A ）A ．[11,)2- B ．[]11,2- C ．(]1()21+,-∞-⋃∞， D (],1[1+)2-∞-⋃∞， 6. 已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是（ A ） A.92B.72C. 5 D . 47. 下列不等式：①212a a ≥＋；②2≤；③221 11x x ≥+＋，其中正确的个数是( D ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3.8. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为m 和n （0m n <<），其全程的平均时速为x ，则（ C ）A. m x <<B.x = 2m n x +<<D.2m nx += 9. 设1a >,则关于x 的不等式()()(1)10a x a x a---<的解集是（ D ） A, ()),,( a -∞⋃+∞ B.(),a +∞ C ()1,a a) D. ()1 ,,()a a-∞⋃+∞)10. 若a 0>，0b >是正数，则的411b a a a ⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭最小值为（B ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、填空题（本题共5道小题，每小题4分，共20分）11. .某地规定本地最低生活保障x 元不低于800元,则这种不等关系写成不等式为(800x ≥) 12. 若正实数,x y 满足1x y +=，则411x y ++的最小值为____92__． 13. 若x R ∈,且20x x -<,则22,,,x x x x --从小到大的排列顺序是22x x x x -<-<<.14. 如果关于x 的不等式组2142x t x t⎧-≥⎨-≤⎩有解,那么实数t 的取值范围为()1,3-.15. 如果命题p:40,957x x m x∀>++…为真命题,则实数m 的取值范是_{|1}m m …. 三、大题本题共10道小题，每小题4分，共40分16. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为12m 2，房 屋正面每平方米造价为1200元房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m ，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm ，房屋的总造价为y 元．（1）求y 用x 表示的函数关系式；答：1216y 3x 12003800258003600x 5800(x 0)x x ⎛⎫=⋅+⨯⨯⨯+=++> ⎪⎝⎭（2）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？16y 3600x 580028800580034600x ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭….当且仅当x=4时取等号．答：当底面的长宽分别为4m ，3m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元．17. 解不等式组233(1)(5)0x xx x -<⎧⎨---≥⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．答案：不等式组的解集为13x -≤<18. 已知二次函数2221y x tx t =-+-()t ∈R(2) 若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式22210x tx t -+-≥.故不等式的解集为{x1x ≥1或x ≤-1}.(2)2221x tx t -+-的两个实根均大于-2且小于4,求实数t 的取值范围的两个实数根于-2与4之间,求t 的取值范围. 答：t 的取值范围:13t -<<19. 设命题p:方程2(24)0x m x m +-+=有两个不相等的实数根;命题q 对所有的23x剟,不等式22413x x m -+≥恒成立(2) 若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围;答：实数m 的取值范围:{| 4 1}m m m ><或 (2)若命题p,q 一真一假,求实数m 的取值范围.答：实数m 的取值范围为{|334}m m m m <->或1或剟。
全国各地初中(九年级)数学竞赛《不等式》真题大全 (附答案)
全国初中（九年级））数学竞赛专题大全竞赛专题5 不等式一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100B ．112C ．120D ．1502．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 394041 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个B ．64个C ．72个D ．81个5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1B ．2C ．3D ．47．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能．A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004B ．2005C ．2006D ．20079．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >>二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________．17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．23．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<． 26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗?28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环）37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克?38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++．41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？竞赛专题5 不等式答案解析 （竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）若满足不等式871513n n k <<+的整数k 只有一个，则正整数n 的最大值为（ ）． A ．100 B ．112C ．120D ．150【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由已知不等式得13156767,,787878n k k n nk n n +<<<<<<．因由已知条件，67n 与78n 之间只有 唯一一个整数k ，所以76287n n-≤解得112n ≤．当112n =时，9698k ≤≤，存在唯一97k =，所以n 的 最大值为112．故应选B ．2．（2021·全国·九年级竞赛）27234x x x ----有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．4x >B ．7x ≥5x ≠C ．4x >且5x ≠D ．45x <<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】依题意得27077321544x x x x x x x x ⎧⎧-≥≤≥⎪⎪-≠⇒≠≠⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩或且，4x ⇒>且5x ≠．故选C ．3．（2021·全国·九年级竞赛）某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 39 40 41 42 人数 532下列说法正确的是（ ）．A ．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B ．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C ．这组鞋码数据中的平均数p 满足3940p ≤≤ D ．以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】设穿39码和40码的学生分别有x 人和y 人，则()2052310x y +=-++=．（1）若y x ≥，即穿40码的人数最多时，中位数和众数都等于40，故选A 错；（2）若5x y ==，则中位数1(3940)39.52=+=，众数为39和40，中位数不等于众数，故选B 错；（3）平均数[]13853940(10)41342239.75220xp x x =⨯++⨯-+⨯+⨯=-，且010x ≤≤，于是39.2539.75p <≤，满足3940p ≤≤，故选C 正确．所以应选C ．4．（2021·全国·九年级竞赛）如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的有序对(),a b 共有（ ）． A ．17个 B ．64个 C ．72个 D ．81个【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解 因98ax b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩中x 的整数值仅为1，2，3，所以01,34,98a b <≤<≤即9a <≤， 2432b <≤，故a 可取1，2，…，9这9个值，b 可取25，26，…．32这8个值，所以有序对(),a b 有8972⨯=个．故选C ．5．（2021·全国·九年级竞赛）若不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，则a 的取值范围是（ ）． A ．54a -B ．1a <-C ．514a -≤<-D ．54a -【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解 由054ax ≤+≤得51ax -≤≤-，且已知0x >，所以0a <，15ax a ≤-≤-． 又不等式054ax ≤+≤的整数解是1，2，3，4，所以101a <-≤，且545a≤-<解得 1a ≤-且5114a -<-≤，故514a -≤<-，所以选C ．6．（2021·全国·九年级竞赛）2009x y 且0x y <<，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（ ）对． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】选C ．理由：由20094941=⨯，得200941= 又0x y <<2009200941641241541341441===20094114761641025369656===因此，满足条件的整数对(,)x y 为(41,1476),(164,1025),(369,656)．共有3对．7．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（ ）种可能． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=， ① 且22x y -能被10000整除．而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ． ②由式①②解得2500267,2500267.x k y k =+⎧⎨=-⎩ 考虑到x ，y 均为四位数，于是，100025002679999,100025002679999,k k ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩解得126755832500625k ≤≤． k 可取1，2或3．从而，x 可取的值有3个：2767，5267，7767．8．（2021·全国·九年级竞赛）一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ）． A ．2004 B ．2005C ．2006D ．2007【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 （算两次方法）依题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，所得各张多边形（包括三角形）的纸片的内角和增加了2180360⨯︒=︒，剪过k 刀后，可得(1)+k 个多边形，这些多边形的内角总和为360360(1)360k k ︒+⨯︒=+⨯︒．另一方面，因为这1k +个多边形中有34个为六十二边形，它们的内角总和为34(622)1802040180⨯-⨯=⨯︒︒，余下的多边形（包括三角形）有13433k k +-=-个，其内角总和至少为(33)180k -⨯︒，于是(1)3602040180(33)180k k +⨯︒≥⨯︒+-⨯︒，解得2005k ≥．其次，我们按如下方式剪2005刀时，可得到符合条件的结论．先从正方形剪下1个三角形和1个五边形，再将五边形剪成1个三角形和1个六边形，…，如此下去，剪了58刀后，得到1个六十二边形和58个三角形，取出其中33个三角形，每个各剪一刀，又可得到33个四边形和33个三角形，对这33个四边形，按上述方法各剪58刀，便得到33个六十二边形和3358⨯个三角形，于是共剪了583333582005++⨯=（刀），故选B ．9．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式1126352351124c a b c a b c a b a c b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．不确定【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解 由已知条件及加法的单调性得1126352251124c c a b c c c a a a b c a a b b a b c b b ⎧+<++<+⎪⎪⎪+<++<+⎨⎪⎪+<++<+⎪⎩，即1736582371524c a b c c a a b c a b a b c b ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪<++<⎪⎩①②③由①，②得17816176366c a b c a a a <++<=< （传递性），所以a c >． 由①，③得7673222b a bc c c c <++<=< （传递性），所以b c <．可见，a ，b ，c 的大小关系是a c b >>，故选B ． 10．（2021·全国·九年级竞赛）设114,,11(1)r a b c r r r r r r r ≥=-==++++的是（ ）． A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 解：因111221r r r ≥<+=+，故 ()(111a b r r r r r r =+<=+++， 1111r r r r c b r r r x +-+->=+⋅+．所以c b a >>． 故选：D ． 二、填空题11．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b 为正整数，且2537a b <<则b 取最小值时a b +=_____ 【答案】17 【解析】 【分析】 【详解】由已知条件得32,57a b b a >>．令32,57A a b B b a =-=-，则A ，B 均为正整数，解出52,737310a A B b A B =+=+≥+=．当1,1A B ==时等号成立，故b 的最小值为10，这时527a =+=，17a b +=．故应填17．12．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数x ，y 满足234x y -=且0,1x y ≥≤，则x y -的最大值是______，最小值是_______． 【答案】 4352【解析】 【分析】 【详解】 434370222y x ++≤=≤=． 又243x y -=所以24433x x x y x -+-=-=．故当0x =时，x y -取最小值43；当72x =时，x y -取最大值175(4)322+=所以应填45,32．13．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （[]x 表示不超过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______． 【答案】6 【解析】 【分析】 【详解】 因122902303030a a a <+<+<<+<，所以1229,,,303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦每一个等于0或1．由题设知其中恰有18个等于1， 所以12111213290,1303030303030a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是111201,123030a a <+<≤+<，解得1183019,61063a a ≤<≤<所以[]106a =．故应填6． 14．（2021·全国·九年级竞赛）若化简2269x x x --+25x -，则满足条件是x 的取值围是_________． 【答案】23x ≤≤ 【解析】 【分析】 【详解】由()2226923232(3)25x x x x x x x x x x --+=--=---=---=-，得2030x x -≥⎧⎨-≤⎩即23x ≤≤．故填23x ≤≤．15．（2021·全国·九年级竞赛）[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]3.23=）．已知正整数n 小于2006，且362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则这样的n 有___________个． 【答案】334 【解析】 【分析】 【详解】解 设[]6n m =则(01)6na a m =≤+<从而66n m a =+．当102a ≤<时， 22(021)3n m a a =+≤<，故23n m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．于是由362n n n⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得662332m a m m m a ++==+，从而0a =．此时(6204)06133n m m =<≤≤． 当112a ≤<，223n m a =+由212222m m a m +≤+<+得213n m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦代入 362n n n ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦得2133m m m a ++=+，得13a =，与112a ≤<矛盾，舍去． 故所有的n 共有334个．16．（2021·全国·九年级竞赛）不等式2242x ax a +<的解是___________． 【答案】67a a x -<<（当0a >时）；76a ax <<-（当0a <时）；无解（当0a =时）．【解析】 【分析】 【详解】解 原不等式化为()()670x a x a +-<，方程()()670x a x a +-=的两根为6a -和7a．若0a >，则67a a -<不等式的解为67a ax -<<； 若0a <，则76a a <-不等式的解为76a a x <<-； 若0a =，则67a a-=，不等式无解． 故应填：67a a x -<< （当0a >时）; 76a ax <<-（当0a <时）;无解（当0a =时）． 17．（2021·全国·九年级竞赛）已知正整数m 和n 有大于1的最大公约数，并且满足3371m n +=，则mn =________． 【答案】196 【解析】 【分析】 【详解】理由：设k 是m ，n 的最大公约数，则m 和n 可以表示为,m ka n kb ==（1k >，a ，b 均为正整数）．于是，()3323()371753m n ka kb k k a b +=+=+==⨯．因为1k >且7与53都是质数，23232k a b k a k k +>≥>， 所以7k =且2353k a b +=，即34953a b ⨯+=．由a ，b 是正整数，得1,4a b ==． 所以7,28m n ==．故728196mn =⨯=．18．（2021·全国·九年级竞赛）长沙市某中学100名学生向某“希望学校”捐书1000本，其中任意10人捐书总数不超过190本，那么捐书最多的某同学最多能捐书_________本． 【答案】109 【解析】 【分析】 【详解】设100名学生捐书数分别是12100,,,a a a ，不妨设其中100a 为最大，于是100101000a +=()129100a a a a +++++()101118100a a a a ++++()192027100a a a a +++++(91a +++)9299100a a a +++190190190≤+++111902090=⨯=，所以100109a ≤．另一方面，当12999a a a ====，100109a =时，满足题目要求，故捐书最多的人最多能捐书109本．19．（2021·全国·九年级竞赛）已知由小到大的10个正整数1210,,,a a a 的和是2000，那么5a 的最大值是_________，这时10a 的值应是_________． 【答案】 329 335或334 【解析】 【分析】 【详解】要使10a 最大，必须1a ，2a ，3a ，4a 及6a ，7a ，8a ，9a ，10a 尽量小．又因为1210a a a <<<，且1a ，2a ，3a ，4a 的最小可能值依次为1，2，3，4，于是有2000123≥+++56104a a a ++++，即56101990a a a +++≤．又651a a ≥+，752a a ≥+，853a a ≥+，954a a ≥+，1055a a ≥+，故51990615a ≥+，51975132966a ≤=．又5a 为正整数，所以5329a ≤，于是6710a a a +++=199********-=．又761a a ≥+，862a a ≥+，963a a ≥+，1064a a ≥+，故65101661a +≤，616515a ≤=13305，且6a 为正整数，所以6330a ≤，而651330a a ≥+=，所以6330a =，要7a ，8a ，9a 最小得7331a =，8332a =，9333a =，这时101661a =-()6789335a a a a +++=．但如果取1a ，2a ，3a ，4a 依次为1，2，3，5，那么同样可得569,,,a a a 取上述值，这时10334a =．故应填5a 的最大值是329，这时10a 的值应是335或334． 三、解答题20．（2021·全国·九年级竞赛）某宾馆底楼客房比二楼客房少5间，某旅游团有48人．若全部安排底楼，每间房间住4人，房间不够；每间住5人，则有房间没有住满5人．又若全部安排住2楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，则有房间没有住满4人．问该宾馆底楼有多少间客房？ 【答案】宾馆的底楼有客房10间 【解析】 【分析】 【详解】设底楼有x 间客房，则2楼有()5+x 间客房． 简4485483(5)484(5)48x x x x <⎧⎪>⎪⎨+<⎪⎪+>⎩依题意可得不等式组解不等式组得9.611x <<．又x 为正整数，所以10x =． 答：宾馆的底楼有客房10间．21．（2021·全国·九年级竞赛）一座大楼有4部电梯，如果每部电梯可停靠三层（不一定连续三层，也不一定停最低层），对大楼中的任意两层，至少有一部电梯可在这两层停靠．问：这座大楼最多有几层? 【答案】这座大楼最多有5层【解析】 【分析】 【详解】设大楼有n 层，则楼层对的个数为(1)2n n -每架电梯停3层，有3232⨯=个楼层对， 所以(1)43,(1)242n n n n -⨯≥-≤，且n 为正整数，所以5n ≤．设置4部电梯使它们停靠的楼层分别为 ()()()()1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,3满足题目要求，故这座大楼最多有5层．22．（2021·全国·九年级竞赛）解方程22424x x x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．【答案】4x =-或45【解析】 【分析】 【详解】原方程中显然0x ≠，故原方程可化为2241()2x x ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦．又2222221()21()2()1x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故原方程可化为224[()]1x x=+，所以4x 为整数，设4n x =（n 为整数），原方程又化为2[]14n n =+．于是2124n n n +≤<+，即222(12)2(12)440,2(13)2(12)4802(13)2(13)n n n n n n n n ⎧≤≥+⎧--≥⎪⇒≤≤⎨⎨--<<<⎩⎪⎩或 或．2(12)2(13n <<）．又n 为整数，所以1n =-或5n =，故4x =-或4523．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】设[]x x α=-，则01a ≤≤，于是存在小于n 的正整数r ，使1r rn nα-≤<故[][]1r rx x x n n-+<<+， 故当0k n r ≤≤-时，[][][][]11r k r n rx x x x x n n n n--≤+≤+<++=-， 故[](0)k x x k n r n ⎡⎤+=≤≤-⎢⎥⎣⎦当11n r k n -+≤≤-时，[][][][][]1111111r n r k r n r x x x x x x n n n n n n--+--+=++≤+<++=++<+， 故[]1(11)k x x n r k n n ⎡⎤+=+-+≤≤-⎢⎥⎣⎦，于是[]1111[]()(n n r n r x x x x x x x n n n n n ---+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][]21)(1)(1)(1)[]1n r n x x n r x r x n x r n n -+-⎡⎤⎡⎤++++=-++-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦①． 又因为[][]1n x r nx n x r +-≤≤+，所以[][]1nx n x r =+-②． 由①及②便知要证等式成立．24．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明： ()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】 (1)1(1)22a a a a +--≤=11(1)(1)22b bc c --≤三式平方后相乘得 31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⋅-⋅-≤故()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一个不大于14．25．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明； 2ay bz cx k ++<． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因3()()()()()()k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．又0k >，所以2ay bz cx k ++<．26．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明1110a b c++<．【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】因10abc =，故a ，b ，c 都不为零．又2222()2()0a b c a b c ab bc ca ++=+++++=且2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<，于是1110bc ca ab a b c abc++++=<． 27．（2021·全国·九年级竞赛）下图是某单位职工年龄（取正整数）的频率分布图（每组可含最低年龄但不含最高值），根据图中提供的信息回答下列问题：（1）该厂共有多少职工?（2）年龄不小于38但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分比是多少? （3）如果42岁的职工有4人，那么42岁以上的职工有多少人?（4）有人估计该单位职工的平均年龄在39岁与42岁之间，问这个估计正确吗? 【答案】（1）50；（2）60%；（3）15人；（4）正确 【解析】 【分析】 【详解】（1）职工人数47911106350=++++++=；（2）年龄不小于38但小于44岁职工人数占职工总数的百分比为91110100%60%50++⨯=； （3）年龄在42岁以上职工人数()1063415=++-=（人）； （4）设该厂职工的年龄平均值为n ，则11(34436738940114210446463)199239.84395050n ≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=>且11(36438740942114410466483)209241.84425050n <⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=<，故所作的估计是正确的．28．（2021·全国·九年级竞赛）某人到花店买花，他只有24元，打算买6支玫瑰和3支百合，但发现钱不够，只买了4支玫瑰和5支百合，这样还剩下2元多钱．请你算一算：2支玫瑰和3支百合哪个价格高？ 【答案】2支玫瑰的价格高于3支百合的价格． 【解析】 【分析】 【详解】解 设玫瑰每支x 元，百合每支y 元，依题意得632445242x y x y +>⎧⎨+=-⎩①② 32⨯-⨯②①得918y <，故2y <． 53⨯-⨯①②得1854x >，故3x >．答：2支玫瑰的价格高于3支百合的价格．29．（2021·全国·九年级竞赛）1132x x -+ 【答案】8313x ---≤≤【解析】 【分析】 【详解】解 首先，由1030x x -≥⎧⎨+≥⎩得31x -≤≤．1132x x -≥+① 数上式两边均非负（当31x -≤≤时），两边平方后，整理得 9843x x --≥+②于是980x --≥，即98x ≤-结合31x -≤≤得938x -≤≤-．并且②式两边平方，得2(98)16(3)x x ≥--+，整理得264128330x x ++≥．③因方程264128330x x ++=的两根为1,2831x -±= 所以③的解为831x --≤或831x -+≥结合938x -≤≤-得原不等式的解为8313x ---≤≤30．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式：2243414143x x x x x x x x +-->-++-- 【答案】1144x -<<或364x -<<634x <【解析】 【分析】 【详解】解 不等式两边乘以4，化简为5115(1)(1)(1)(1)43414143x x x x +-->+--++-- 移项、整理得22151169161x x ->--，移项、通分得2224(646)0(169)(161)x x x -<--， 可化为222(646)(169)(161)0x x x ---<，即222139()()()0163216x x x ---<． 如右图得2116x <或2393216x <<，解得1144x -<<或364x -<<634x <<31．（2021·全国·九年级竞赛）求满足下列条件的最小正整数n ，使得对这样的n ，有唯一的正整数k ，满足871513n n k <<+． 【答案】15 【解析】 【分析】 【详解】因n ，k 为正整数，所以0,0n n k >+>． 由题中不等式得151387n k n +>>，即1513187k n >+>所以7687k n >>，故76,87k n k n ><． 令760,780A k n B n k =-≥=-≥，可解出87,76n A B k A B =+=+． 又因为A ，B 均为正整数，1,1A B ≥≥，所以8715n ≥+=．当且仅当1,1A B ==时n 取最小值15，这时k 有唯一值716113⨯+⨯=． 故所求n 的最小值为15．32．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式： 2256154x x x x -+≤++．【答案】41x -≤<-或4x <-或15x ≥．【解析】 【分析】 【详解】解 移项，通分整理得1020(1)(4)x x x -+≤++故得（Ⅰ） 1020(1)(4)0x x x -+≥⎧⎨++<⎩，或（Ⅱ）1020(1)(4)0x x x -+≤⎧⎨++>⎩．解（I ） 1541x x ⎧≤⎪⎨⎪-<<-⎩，∴41x -≤<-． 解（Ⅰ）1541x x x ⎧≥⎪⎨⎪--⎩或∴4x <-或15x ≥． 综上所述得，原不等式的解为41x -≤<-或4x <-或15x ≥．33．（2021·全国·九年级竞赛）解不等式21311x x x x -+>-+． 【答案】1x <-或1x > 【解析】 【分析】 【详解】解 移项通分得(21)(1)(3)(1)0(1)(1)x x x x x x -+-+->-+，即220(1)(1)x x x x -+>-+． 因22172()024xx x，故上述不等式化为()()110,1x x x -+>∴<-或1x >. 34．（2021·全国·九年级竞赛）如果二次不等式：28210ax ax ++<的解是71x -≤<-，求a 的值． 【答案】3a =【解析】 【分析】 【详解】解 依题意，1,7--是方程28210ax ax ++=的两个根，且0a >，由韦达定理得 2(1)(7)a-⨯-=，所以3a =． 35．（2021·全国·九年级竞赛）某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，x ，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数． 【答案】18或20． 【解析】 【分析】 【详解】（1）当16x ≤时，平均数为564x x +=，中位数为2016182+=．由56184x+=，解得16x =，满足16x ≤；（2）当1620x ≤≤时，平均数564x x +=，中位数为202x +．由562042x x++=，解得16x =，不符合1620x <<；当20x ≥时，平均数为564x x +=，中位数为2020202+=．由56204x+=，解得24x =，符合20x ≥．因此，所求中位数为18或20．36．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6次、第7次，第8次，第9次射击中，分别得到9.0环、8.4环、8.1环、9.3环，他的前9次射击所得平均环数高于前5次射击所得平均环数，如果要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他第10次射击至少要得多少环?（每次射击环数精确到0.1环） 【答案】第10次至少要射9.9环 【解析】 【分析】 【详解】设前9次射击共得x 环，依题意得1(9.08.48.19.3)95x x -+++>，解得78.3x <，故78.30.178.2x ≤-=．依题目要求，第10次射击至少要达到的环数为()8.8100.178.29.9⨯+-=（环）． 答：第10次至少要射9.9环37．（2021·全国·九年级竞赛）今有浓度为5%,8%,9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g,60g,47g ，现要配制成浓度为7%的盐水100g ．间甲盐水最多可用多少克?最少可用多少克? 【答案】甲种盐水最多可用49g ，最少可用35g 【解析】【分析】【详解】设3种盐水应分别取,,xg yg zg ，1005%8%9%1007%060060047x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⨯⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，解得20043100y x z x =-⎧⎨=-⎩所以02004600310047x x ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩， 解得3549x ≤≤．答：甲种盐水最多可用40g ，最少可用35g ．38．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++．【答案】见解析．【解析】【分析】【详解】设[],[]x x y y n αββ=+=+=+，其中0,1αβ≤<，m ，n 为整数．（1）若110,022αβ≤<≤<，则021,021,01αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]22x y m m m n αβ+=+++=+，[][][]x x y y +++[][()()][]m a m n n αββ=+++++++()22m m n n m n =+++=+，所以[2][2][][][]x y x x y y +=+++．（2）若111,122αβ≤<≤<，则122,122,12αβαβ≤<≤<≤+<．这时有 [2][2][22][22]2121x y m n m n αβ+=+++=+++222m n =++，[][][][][()()][]x x y y m m n n ααββ+++=+++++++()1221m m n n m n =++++=++．所以[2][2][][][]x y x x y y +>+++．（3）若110,122αβ≤<≤<（111,022αβ≤<≤<的情况类似），这时有021α≤<，13122,22βαβ≤<≤+<，这时有[2][2][22][22]221x y m a n m n β+=+++=++，[][][][()()]221x x y y m m n a n m n β+++=+++++++．综上所述，不论何种情况，都有[2][2][][][]x y x x y y +≤+++．39．（2021·全国·九年级竞赛）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次，在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环，8.4环，8.1环，9.3环，他的前9次射击所得环数的平均值高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中最少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）【答案】第10次最少要得9.9环．【解析】【分析】【详解】9．设前5次射击所得平均环数为a ，第10次击中x 环，依题意59.08.48.19.39a a ++++<， ① 59.08.48.19.38.810a x +++++<． ② 由①得8.7a <，从而558.70.143.4a ≤⨯-=．由②得8834.8553.243.49.8x a >--≥-=，所以9.9x ≥，即第10次最少要得9.9环．40．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 都是正数，证明：32()()()()()()x y x z y z y x z x z y +≤++++++． 【答案】见解析【解析】【分析】【详解】 (0,0)2a b ab a b +≥≥得 []()()()()11()2()()2()()x x y x z x x y x z x x x y x z x y x z x y x z +++++=⋅=+++++++①． 1()2()()y y y x y zy x y z ≤+++++②． 1()2()()z z z x z yz x z y ≤+++++③由①+②+③即得要证不等式． 41．（2021·全国·九年级竞赛）某饮料厂生产A 、B 两种矿泉水，每天生产B 种矿泉水比A 种矿泉水多10吨，A 种矿泉水比B 种矿泉水每天多获利润2000元，其中A 种矿泉水每吨可获利润200元，B 种矿泉水每吨可获利润100元．（1）问：该厂每天生产A 种，B 种矿泉水各多少吨？（2）由于江水受到污染，市政府要求该厂每天必须多生产10吨矿泉水，该厂决定响应市政府的号召，在每天的利润不超过原利润的情况下不少于8000元，该厂每天生产A 种矿泉水最多多少吨？【答案】（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．【解析】【分析】【详解】解 （1）设该厂每天生产A 种矿泉水x 吨，则该厂每天生产B 种矿泉水10x +吨，依题意得()200100102000x x -+=，解得30,1040x x =+=．（2）设该厂每天生产A 吨矿泉水y 吨，依题意得该厂每天共生产30401080++=吨矿泉水且()10000200100808000y y ≥+-≥，其中100002003010040=⨯+⨯为该厂原来每天获得的利润，解上述不等式得020y ≤≤．答：（1）该厂每天生产A 种矿泉水30吨，B 种矿泉水40吨．（2）该厂每天最多生产A 种矿泉水20吨．42．（2021·全国·九年级竞赛）要使不等式2320x x -+≤①与不等式2(1)(3)20m x m x -+--<②无公共解，求m 的取值范围．【答案】0m ≥【解析】【分析】【详解】解 ①化为()()120x x --<，故①的解为12x <<．②化为()()1210m x x ⎡⎤⎣⎦-+-<．③（1）当1m =，③为()210x -<，即1x <，符合题意．（2）当10m ->，即1m 时，③的解为211x m -<<-符合题意． （3）当10m -<，即1m <时，又分两种情形讨论： 若211m <-，即1m <-时，③的解为21x m <-或1x >，不符合题意; 若211m >-，即1m >-时，③的解为1x <或21x m>-． 要使①与②无公共解，必须221m ≥-即0m ≥，结合1m <得01m ≤<． 综上所述，得到要使①与②无公共解，m 的取值范围是0m ≥．43．（2021·全国·九年级竞赛）已知三个非负数a ，b ，c ，满足325a b c ++=和231a b c +-=．若37m a b c =+-，求m 的最大值和最小值．【答案】m 的最大值为111-；m 的最小值为57- 【解析】【分析】【详解】 解 由325,231a b c a b c ++=+-=可解出73,711a c b c =-=-，于是()()37373711732m a b c c c c c =+-=-+--=-．由0,0,0a b c ≥≥≥得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得37711c ≤≤． 所以m 的最大值为71321111m =⨯-=-，m 的最小值为353277m =⨯-=-． 44．（2021·全国·九年级竞赛）某班学生到公园进行活动，划船的有22人，乘电动车的有20人，乘过山车的有19人，既划船又乘电动车的有9人，既乘电动车又乘过山车的有6人，既划船又乘过山车的有8人，并且有4人没有参加上述3项活动中任何一项活动，问这个班学生人数的可能值是多少？【答案】这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．【解析】【分析】【详解】解 设3项活动都参加了的学生有n 人，于是由容斥原理I 知至少参加了一项活动人数为222019(968)38n n ++-+++=+．所以，这个班的学生人数为38442n n ++=+．另一方面参加了两项活动的学生人数分别是9,6,8，所以06n ≤≤，故424248n ≤+≤．综上所述，这个班的学生人数可能是42,43,44,45,46,47,48．。
全国初中数学联赛 10.一次方程(组)与不等式(组)
一次方程（组）与不等式（组）一、一次方程（组）与不等式（组） (1)（一）一次方程（组） (1)（二）一次不等式（组） (2)（三）一次方程（组）与一次不等式（组）的应用 (2)二、含参及绝对值的一次方程与不等式 (3)（一）含参数的一次方程与不等式 (3)（二）含绝对值的一次方程与不等式 (4)⎪ 1 ⎪ x 2 + x 3 + x 4 = a 2 ， ⎨ x 3 + x 4 + x 5 = a 3 ， ⎪ x + x + x = a ， 2.（2005 年全国初中数学联赛 1 试）若实数 x , y 满足x＋ =1 ，＋ =1，则 x + y = _______．3 2一、 一次方程（组）与不等式（组）（一） 一次方程（组）1.（1993 年全国初中数学联赛 1 试）实数 x ， x ， x ， x ， x 满足方程组12 3 4 5⎧ x + x + x = a ， 2 3 1 ⎪ ⎪ 4 5 1 4 ⎪⎩ x 5 + x 1 + x 2 = a 5 .其中 a ， a ， a ， a ， a 是实常数，且 a > a > a > a > a ，则 x ， x ， x ，1234512345123x ， x 的大小顺序是（）45A ． x > x > x > x > x12345C ． x > x > x > x > x31425B ． x > x > x > x > x4 2 1 3 5D ． x > x > x > x > x5 3 1 4 2【难度】★★ 【解析】C给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得x - x = a - a ， x - x = a - a ，14122523x - x = a - a ， x - x = a - a ．31344245∵ a > a > a > a > a ，12345∴ x > x ， x > x ， x > x ， x > x ，14253142于是有 x > x > x > x > x ．31 42 5y 33 +43 33 +63xy53 +43 53 +63【难度】★★ 【解析】432解法 1：假设 x + y = a ，则 y = a - x∴ (33 + 63)x +(33+ 43)(a x ) = (33+ 63)( 3+ 43)，( ) ( ) ( )53+ 432 解法 2：易知 33、 53是关于 t 的方程x⎩4x + 10 y + z = 4.20 ②2 2 t∴ (53+ 63)x +(53+ 43)(a x ) = (53+ 63 )( )即 (63 - 43 )x + (53 + 43 )a = (53 )+ 53 ⋅ 43 + 53 ⋅ 63 + 43 ⋅ 63②② - ①得： (53 - 33 )a = (53 )- (33 ) + (53 - 33 )⋅ 43 + (53 - 33 )⋅ 63∴ a = 33 + 43 + 53 + 63 = 432 ．y+= 1 的两根t + 43 t + 63化简得： t 2 - (x + y - 43 - 63 ) - (63 x + 43 y - 43 ⋅ 63 )= 0由韦达定理得 33 + 53 = x + y - 43 - 63 ，∴ x + y = 33 + 43 + 53 + 63 = 4323.（1991 年全国初中数学联赛 1 试）若 a ， c ， d 是整数， b 是正整数，且满足 a + b = c ， b + c = d ， c + d = a ，那么 a + b + c + d 的最大值是（） A ． -1 B ． -5 C ．0 D ．1【难度】★★ 【解析】B ，由 a + b = c ， b + c = d ， c + d = a 可知： (a + b ) + (c + d ) = c + a ， 所以 b = -d ，代入 b + c = d 得 c = 2d ， a = c + d = 3d ，故 a + b + c + d = 2d + 3d = 5d = -5b ≤ -5 （因为 b ≥1 ）。
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4.全国竞赛（方程与不等式1）
班级姓名成绩
1．水池装有编号为a,b,c,d,e的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开
那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为哪条？
2．设a,b,c是不相等的任意实数，若x=a2−bc,y=b2−ca,z=c2−ab.
求证：x,y,z中至少有一个大于零．
3．如果方程（x－1）(x2−2x+m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，求实数m的取值范围．
4．设x1,x2是二次方程x2+x−3=0的两个根，求x13−4x22+19的值．
5．如果不等式组9x−a≥0
8x−b<0的整数解仅为1，2，3．那么，适合这个不等式组的整数a,b
有序实数对a,b共有几对？
6．a,b,c有理数，且等式a+2b+3c=5+26求2012a+999b+1001c的值．7．若4x−3y−6z=0,x+2y−7z=0xyz≠0,
求代数式5x2+2y2−z2
2x−3y−10z
的值．
8．已知实数a≠b,且满足(a+1)2=3−3(a+1),(b+1)2=3−3b+1,
求b b
a +a a
b
的值．
9．如果x,y是非零实数，使得x+y=3和x y+x3=0,求x+y的值．
10．如果x+y=1,x2+y2=3．求x3+y3的值．。