第一部分 行列式
第1章行列式
分析： (1) 项数: 展开式为 6=3！项的代数和。 (2)结构: 每项为位于不同行、不同列的三个元素的乘积；
a (3)符号:行标自然排列，各项的正负号与列标的排列对照： 1 j a2 j a3 j
1 2 3
考察其列标： 带正号的三项的列标排列是： 123、231、312 带负号的三项的列标排列是： 321、213、132 则
a11 x1 a12 x2 b1 , 1 a21 x1 a22 x2 b2 . 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 ,
a12a21x1 a12a22 x2 b2 a12 ,
两式相减消去 x2，得（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
行列式的性质
如： 行列互换
一、 行列式的基本性质
设n阶行列式
将D的行列互换后所得到的行列式称为D的转置行列式
DT (或为D' )
对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置 行列式相等）
性质1 证
D
T
将DT记为
于是有 按行列式的定义
bij a ji ( i , j 1,2,, n)
主对角线下（上）方元素都为0 的行列式叫做上（下）三角行列式
a11 0 0 0 0 0 a a a ; 11 22 nn
D a11 a21 an1 0 0 a22 a2 n a a a ; 11 22 nn 0 0 ann
例8 证明
D
a21 a22
j1 j2 jn
( 1) N ( j1 j2 jn )a j1 1a j2 2 a jn n
线性代数-行列式(完整版)
思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
x1x2…xn中取两数的方法共有
C 2 n! n(n 1)
n 2!(n 2)!
2
故排列 x1x2…xn 与 xnxn-1…x1 中逆序之和为
k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶
性20 ，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.
||
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 一 半, 各 为n! . 2
32
例２
2
3
设 D
,
31
(1)当 为何值时， D 0,
(2)当 为何值时 D 0.
解 2 3 0 0，或 3
2
D
2
31
例3 求二阶行列式
a 1 b2
(2)三阶行列式
记号
a11 a12 a13 a21 a22 a23 称为三阶行列式. a31 a32 a33
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1a2 j2 anjn 并冠以符号 (1)N ( j1 j2 jn ) 的项的和.
((决ii)i)定行a1每j标1a一2按j2项自的然an符j顺n 是号序取；排自列不，同列行标、排不列同的列奇的偶n性个元N(素j1的j2 乘j积n ) ； (iii) 表示对所有的 j1 j2 jn 构成的n！个排列求和.
第一章 行列式·行列式的定义
当n=4k+2,4k+3时为奇排列. 当n=4k,4k+1时为偶排列；
线 性 代 数
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第一章
行列式
第一节 行列式的定义
二、 对换
定义4 在排列中, 将任意两个元素对调, 其余的元素不动, 这种作出新排列的手续叫做对换. 将相邻两个元素对换, 叫做 相邻对换. 例如
线
性
代
数
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结束
第一章
行列式
第一节 行列式的定义
1 三阶行列式
定义6 行标
a11 D = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32
a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
记为三阶行列式.
列标
a 13 a 23 = a11a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 21a 32 − a11a 23 a 32 − a12 a 21a 33 − a13 a 22 a 31, a 33
− 1 × 1 × 4 − 2 × ( − 2 ) × ( − 2 ) − ( −4 ) × 2 × ( − 3 )
1 1 2 3 4 9 1 x = 0. x2
[例5] 求解方程
解 方程左端
2 D = 3 x 2 + 4 x + 18 − 9 x − 2 x 2 − 12 = x − 5 x + 6,
由于方程组的系数行列式
−2 1 = 1 × 1 × (− 1) + (− 2 ) × (− 3 ) × (− 1) + 1 × 2 × 1 1 − 3 − 1 × 1 × (− 1) − (− 2) × 2 × (− 1) − 1 × (− 3) × 1 −1 1 −1 = − 5 ≠ 0,
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
第一章 行列式
6
λ2 ⋰
λ1
n ( n −1)
= (−1) 2 λ1λ2 ⋯λn
λn
例 1.5 计算上三角行列式
a11 a12 ⋯ a1n
D=
a22 ⋯ a2n ⋱⋮
ann
解 由于当 i > j 时， aij = 0 ，故 D 中可能不为 0 的元素 aipi ，其下标应有
pi ≥ i ，即 p1 ≥ 1, p2 ≥ 2, ⋯, pn ≥ n 。
（1.7）式简记为 det(aij ) ，数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素。 例 1.4 计算行列式
1 2 D= 3 4 解 这是一个四阶行列式，按定义 1.5 展开得
∑ D = (−1)τ a a 1p1 2 p2 a a 3 p3 4 p4
在展开式中应该有 4!= 24 ，注意到，当 p1 ≠ 4 时 a1p1 = 0 ，从而这一项就等
1
类似地，（1.2）式的分子也可写成二阶行列式
b1a22
− a12b2
=
b1 b2
a12 a22
， a11b2
− b1a21
=
a11 a21
b1 b2
那么（1.2）式可写成
b1 a12
a11 b1
x1 =
b2 a11
a22 a12
， x2
=
a12 a11
b2 a12
a21 a22
a21 a22
二、三阶行列式的定义
如果比 pi 大的且排在 pi 前面的元素有τ i 个，就是说 pi 这个元素的逆序数是τ i ，
3
全体元素的逆序数的总数
就是这个排列的逆序数。
n
∑ τ = τ1 + τ 2 + ⋯ + τ n = τ i
第一章--行列式
第一章 行列式在求解含有n 个未知量n 个方程的线性方程组的一般解的公式时，人们引进了行列式的概念．如今，行列式在数学的许多分支包括经济学在内的许多学科中都有着广泛的应用，成为了一种常用的数学工具．在本门课程中，它也是研究线性方程组、矩阵及向量的一个重要基础．本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法，并介绍利用n 阶行列式求解n 元线性方程组的克兰姆(Cramer)法则.第一节 二阶与三阶行列式一、 二元一次线性方程组与二阶行列式对于二元一次线性方程组11112212112222,(1.1),(1.2)a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩2212(1.1)(1.2)a a ⨯-⨯ 得112212*********()a a a a x b a b a -=-． (1.3)1121(1.2)(1.1)a a ⨯-⨯ 得112212212211121()a a a a x b a b a -=-． (1.4)当112212210a a a a -≠时，方程组有解为122212211121121112122111221221,b a b a b a b ax x a a a a a a a a --==-- (1.5)（1.5）式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得，其中分母11221221a a a a -是由方程组的4个系数确定的，把这4个数按它们在方程组中的位置，排成两行两列的数表11122122a a a a (1.6)表达式11221221a a a a -称为数表(1.6)所确定的行列式，记作11122122a a a a (1.7)数ij a (i=1,2; j=1,2)称为行列式(1.7)的元素．元素ij a 的第一个下标i 称为行标，表明该元素位于第i行，第二个下标j 称为列标，表明该元素位于第j 列．上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆．如图1-1所示，即实线连接的两个元素(主对角线)的乘积减去虚线连接的两个元素(次对角线)的乘积．图 1-1利用行列式的定义，记1112112212212122a a D a a a a a a =-=，1121122212222b a D b a b a b a =-=，1112211121212a b D b a b a a b =-=则式(1.3)、(1.4)可改写为1122,.Dx D Dx D =⎧⎨=⎩于是，在0D ≠的条件下，方程组有唯一解：11D x D =，22Dx D =．例13221-＝３×１－（－２）×２＝７.例 2 解方程组121235435x x x x -=-⎧⎨+=-⎩解133(3)41543D -==--⨯=，1533053D --==--，21515,45D -==-因0D ≠，故方程组有唯一解：1130215D x D -===-，2215115D x D ===二、 三阶行列式与求解二元一次线性方程组类似，从三元一次线性方程组111122133121122223323113223333,,,a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩求解入手，可引出三阶行列式的概念。
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第一部分行列式
本章概述
行列式在线性代数的考试中占很大的比例。
从考试大纲来看。
虽然只占13%左右。
但在其他章。
的试题中都有必须用到行列式计算的内容。
故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。
1.1 行列式的定义
1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义
一、二元一次方程组和二阶行列式
例1.求二元一次方程组
的解。
【答疑编号12010101】
解：应用消元法得
当时。
得
同理得
定义称为二阶行列式。
称为二阶行列式的值。
记为。
于是
由此可知。
若。
则二元一次方程组的解可表示为：
例2
【答疑编号12010102】
二阶行列式的结果是一个数。
我们称它为该二阶行列式的值。
二、三元一次方程组和三阶行列式
考虑三元一次方程组
希望适当选择。
使得当后将消去。
得一元一次方程
若，能解出
其中要满足
为解出。
在（6），（7）的两边都除以得
这是以为未知数的二元一次方程组。
定义1.1.1 在三阶行列式中，称
于是原方程组的解为;
类似地得
这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。
例3 计算
【答疑编号12010103】
例4 （1）
【答疑编号12010104】
（2）
【答疑编号12010105】
例5 当x取何值时，？【答疑编号12010106】
为将此结果推广到n元一次方程组。
需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。
1.1.2 阶行列式的定义
定义1.1.2 当n时，一阶行列式就是一个数。
当时，称
为n阶行列式。
定义（其所在的位置可记为的余子式
的代数余子式。
定义为该n阶行列式的值。
即。
容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。
n阶行列式为一个数。
例6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。
【答疑编号12010107】
例7（上三角行列式）
【答疑编号12010108】
1.2 行列式按行（列）展开
定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）
例1 下三角行列式＝主对角线元素的乘积。
【答疑编号12010201】
例2 计算行列式
【答疑编号12010202】
例3 求n阶行列式
【答疑编号12010203】
小结
1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。
2.二阶行列式的定义。
3.阶行列式的定义。
即。
4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。
作业p8 习题1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3
作业 p11习题1.2 1，2，3（1），（2），4
1.3 行列式的性质及计算
1.3.1 行列式的性质
给定行列式
将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。
性质1 转置的行列式与原行列式相等。
即
性质2用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。
推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。
性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。
以二阶为例
设
推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
证设中，第i行与第j行元素完全相同，则
所以，D=0。
性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。
性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即
只要看
注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。
可见
性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
证
.
1.3.2 行列式的计算
人们认识事物的基本方法是化未知为已知。
对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。
因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。
例1 计算
【答疑编号12010204】
在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6。
例2 计算
【答疑编号12010205】
例3 计算
【答疑编号12010206】
例4 计算
【答疑编号12010207】
例5 计算
【答疑编号12010208】
扩展
计算
【答疑编号12010209】
例6 计算
【答疑编号12010301】方法1
方法2
扩展：计算
【答疑编号12010302】
例7 计算
【答疑编号12010303】
例8 计算
【答疑编号12010304】
扩展：计算
【答疑编号12010305】例9 计算n阶行列式
【答疑编号12010306】解按第一列展开，得
例10 范德蒙行列式……
【答疑编号12010307】
. 【答疑编号12010308】
例11 计算
【答疑编号12010309】
例12 证明
【答疑编号12010310】
小结
1.准确叙述行列式的性质；
2.应用行列式的性质计算行列式的方法
（1）低阶的数字行列式和简单的文字行列式；
（2）各行元素之和为相同的值的情况
（3）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况
作业 p22 习题1.3 1（1）（3），2，5，6（1）（3）（4）（5）（10）（11）（12）
1.4 克拉默法则
这一节将把二元一次方程组解的公式推广到n个未知数，n个方程的线性方程组。
为此先介绍下面
的定理。
定理1.4.1 对于n阶行列式
证由定理1.2.1知，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元素的代数余子式
类似地，可证明该定理的剩余部分。
定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组
的系数行列式
则方程组有惟一的解:
其中
证明从略
例1.求解
【答疑编号12010401】
把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有
定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组
的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。
推论如果齐次方程组
有非零解，则必有系数行列式D=0。
事实上，以后我们将证明对于由n个未知数n个方程的齐次方程组，系数行列式D=0，不仅是该齐次方程组有非零解的必要条件，也是充分条件,即若系数行列式D=0,则齐次方程组必有非零解。
例2 判断线性方程组
是否只有零解
【答疑编号12010402】
例3 当k为何值时，齐次方程组
没有非零解？
【答疑编号12010403】
例4 问当取何值时,齐次方程组
有非零解?
【答疑编号12010404】
1.定理1.4.1 对于，有
2.n个未知数,n个方程的线性方程组的克拉默法则。
以及n个未知数, n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。
作业 p28 习题1.4 1（1）（2）（3）3
第一章小结
基本概念
1.行列式中元素的余子式和代数余子式。
2.行列式的定义
基本公式
1.行列式按一行(一列)展开的定理；
2.行列式的性质；
3.行列式中任一行(列)与另一行(列)的代数余子式乘积的和=0；
4.克拉默法则
5.n个未知数,n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式=0。
重点练习内容
1.行列式中元素的余子式和代数余子式的计算；
2.行列式的计算及重点例题
（1）二、三阶行列式的计算；方法：利用行列式的性质降阶。
（2）各行元素之和为常数的情况(重点例题：1.3节中例5及其扩展)；
（3）特殊的高阶行列式。