【高斯数学思维训练】第08讲 数论综合一.初稿.杨巍
【高斯数学思维训练】第19讲：工程问题.杨巍.初稿
第19讲工程问题内容概述掌握工作总量、工作效率、工作时间的基本概念和关系；理解“单位1”的概念并灵活应用；熟悉多人、多工程、效率变化等各种形式的问题；学会处理“水池注水”形式的问题。
典型问题兴趣篇1.甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，15小时可以运完；如果只用乙车运，10小时可以运完。
请问：（1）如果两车一起运，多少小时可以运完？（2）如果甲车从早上8点开始运煤，乙车下午1点才开始运，那么几点的时候可以把煤运完？【详解】（1）甲车的效率为115，乙车的效率为110，合作的话111()61510÷+=（2）111(15)()4151510-⨯÷+=，所以下午5点才能运完2.一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成。
现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天。
请问：乙休息了多少天？【详解】甲的工作量为17142010⨯=，乙的工作时间为71(1)91030-÷=，1697-=天。
3.如果甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，全部工程才完成了一半。
请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？【详解】两人合作的效率为124，所以乙队的效率为111(10)522460-⨯÷=，那么甲队效率为111246040-=，甲单独完成这项工程需要40天4.一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。
如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？【详解】每一个周期效率和为11461015+=，需要3个周期，还剩下15的工作量，甲工作完后乙还要1111()56103-÷=小时，所以总时间为173小时。
5.有一批工人做某项工程，原计划4天完成。
如果增加6人，只需要3天就能完成。
现在人数不仅没有增加，反而减少了9人，求完成这项工程需要的天数。
六年级数学思维能力拓展专题突破系列(一)数论专题(中)
六年级数学思维能力拓展专题突破系列（一）数论专题（中）------奇偶问题（一）熟练解翻硬币问题与求和问题1.翻硬币问题如何解？2.求和问题如何解？3.写出规范简洁的解答过程例题1：有三枚五分硬币，国徽面朝上放桌上，规定每次必定翻两枚，若干次之后，能否全部变为国徽面朝下？例题2：桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76枚，第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚。
按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。
例题3：小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（1~192）。
小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。
试问，小丽所加得的和数能否为2000？例题4：有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。
试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
（即是课程的课后测试）1、从三个1、三个3、三个5、三个7、三个9这15个数字中能否选出5个数，使它们的和等于30？为什么？2、任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？3、一串数排成一行，它们的规律是：前两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和。
如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…试问：这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？4、能不能将1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。
5、能否将1至25这25个自然数分成若干组，使得每一组中的最大数都等于组内其余各数的和？1、解：不能。
因为这15个数都是奇数，从中选出5个数，5个奇数的和还是奇数，不可能为30。
2、解：奇数。
从最小开始两个分一组，可以分成1234÷2=617组，每一组里都是相邻两个数，相邻两个数的和是奇数，617个奇数的和还是奇数。
高斯求和的数学故事
高斯求和的数学故事1785年，8岁的小高斯在德国农村的一所小学里念一年级。
数学老师是城里来的。
他有一个偏见，总觉得农村孩子不如城里孩子聪明。
不过，他对孩子们的学习，还是严格要求的。
他最讨厌在课堂上不专心听讲、爱做小动作的学生，常常用鞭子敲打他们。
孩子们很爱听他的课，因为他经常讲一些非常有趣的东西。
有一天，他出了一道算术题。
他说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100等于多少?谁算不出来，就不准回家吃饭。
”说完，他就坐在椅子上，用目光巡视着趴在桌上演算的学生。
不到一分钟的工夫，小高斯站了起来，手里举着小石板，说：“老师，我算出来了……”没等小高斯说完，老师就不耐烦的说:“不对!重新再算！”小高斯很快的检查了一遍，高声说:“老师，没错！”说着走下座位，把小石板伸到老师面前。
老师低头一看，只见上面端端正正的写着“5050"，不禁大吃一惊。
他简直不敢相信，这样复杂的数学题，一个8岁的孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数。
要知道，他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。
他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。
就问小高斯:“你是怎么算的?”小高斯回答说：“我不是按照1,2,3的次序一个一个往上加的。
老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的:1加100是101,2加99时101,3加98也是101.....一前一后的数相加，一共有50个101,101乘50，得到5050。
”小高斯的回答使老师感到吃惊。
因为他还是第一次知道有这种算法。
他惊喜的看着小高斯，好像刚刚才认识这个穿着破烂不堪的，砌砖工人的儿子。
不久，老师专门买了一本数学书送给小高斯，鼓励他继续努力，还把小高斯推荐给当地教育局，使他得到免费教育的待遇。
后来，小高斯成T世界著名的数学家。
人们为了纪念他，把他的这种计算方法称为“高斯定理”。
这个计算题相信大家在数学学习中都有所涉猎了，这还只是高斯其中一个较小的成就，他在数学上的成就颇多。
高斯小学奥数四年级上册含答案第08讲_数列规律计算
第八讲数列规律计算【漫画修改】原图中从小高出发的是等差数列：1，2，3，4，5，…．现改为双重数列：1，1，2，1，3，1，4，1，5，1，6，1，7，1，…．我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通过找规律、应用等差数列和周期性解决问题．本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多．例如：1，1，1，2，1，3，1，4，…这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看．又如：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…奇数项和偶数项的规律不是特别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了．对于规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析．首先让我们来寻找以下数列的规律．找规律（1）40，2，37，4，34，6，31，8，________，________，25，12；（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，________，________，64，7．观察数列的规律：10，1，10，2，10，3，10，4，10，5，10，6， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是10？（2）这个数列中所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习1观察数列的规律：1，4，2，4，3，4，4，4，5，4，6，4，…，30，4．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是4？（2）这个数列中所有项的总和是多少？例题2观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，1，14，2，16，3，18， (50)请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是2？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？练习2观察数列的规律：1，30，3，28，1，26，3，24，1，22，3，20，1，18，3，16，1，14，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列中有多少项是3？（2）这个数列所有项的总和是多少？观察数列的规律：1，2，2，4，3，6，4，8，5，10，6，12，7，14，8，16，9，18， (19)请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？「分析」这是一个双重数列，试着拆开看看，这两重分别是什么数列呢？根据哪一重求项数呢？最后一个数19是属于哪一重的呢？练习3观察数列的规律：40，1，38，2，36，3，34，4，32，5，30，6，28，7，26，8，24，9，…，2．请回答以下问题：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列所有项的总和是多少？例题4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第10组中三个数的和；（2）前10组中所有数的和．「分析」解决数组问题，我们可以把数组竖着对齐写，观察一下，每列分别有什么规律呢？练习4观察数组（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…的规律．求：（1）第15组中三个数的和；（2）前20组中所有数的和．解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中，最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能确定两重的项数是否相等．例题5观察数列的规律：2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，12，18，14，21，16，24，18，27，…，60．请问：这个数列一共可能有多少项？「分析」这是一个几重数列？试着拆开看看，这两重分别是一个什么数列呢？最后一个60到底是属于哪一重的呢？例题6一列由两个数组成的数组：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），…．请问：（1）第70组内的两个数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数．出现了多少次？「分析」（1，□）有1组，（2，□）有2组，（3，□）有3组，（4，□）有4组，……，发现这个数组的规律了吗？第70组的第一个数是几呢？你能根据等差数列的和估算出来吗？课堂内外斐波那契数列斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个数都是由前面两个数相加．如下：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，…（一）兔子数列在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律：①第一个月有一对刚诞生的兔子②第二个月他们可以生育③每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子④兔子永不死去⑤每个月兔子对数为：1，2，3，5，8，13，…（二）神奇的自然现象百合花的花瓣是3枚，梅花是5枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花瓣也都是5枚，飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊有的是34枚、55枚或89枚．这些花瓣数正好就是“斐波那契数”．作业1.已知一个数列：1，30，1，27，1，24，1，…，1，6，1，3．请问：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列中所有数的和是多少？2.1，2，2，4，3，6，1，8，2，10，3，12，…，42．观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列中有多少个1？（2）这个数列中所有数的总和是多少？3.2，3，4，6，6，9，8，12，10，15，…，33．观察上面数列的规律，请问：（1）这个数列共有多少项？（2）这个数列中所有数的和是多少？4.观察数列：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…．三个数为一组，请问：10第一次出现在第几组？该组的三个数之和是多少？5.观察数列的规律：1，3，1，7，1，11，1，15，1，19，1，23，…，39．观察上面数列的规律，请问：（1）数列中有多少个1？（2）数列中所有数的总和是多少？第八讲数列规律计算1.例题1答案：51项；1775详解：（1）奇数项是由常数10组成的，偶数项是从1开始连续的自然数．偶数项有50项，所以奇数项也有50项，那么在奇数项中有50个10，在偶数项中还有1个，所以有51项是10；（2）奇数项的和是5010500⨯=，偶数项的和是()+⨯÷=，所以所有项的总和是1505021275+=．500127517752.例题2答案：9项；699（1）奇数项是由1、2、3组成的周期数列，偶数项是从2开始连续的偶数．偶数项有50225详解：÷=项，所以奇数项也有25项，25381÷=L L，那么在奇数项有8个完整周期还多余1个数，每个周期中有1个2，多出来的1项是1，所以奇数项一共有8个2，在偶数项中还有1个，所以有9项是2；（2）奇数项的和是()250252650+⨯÷=，所⨯+++=，偶数项的和是()8123149以所有项的总和是49650699+=．3.例题3答案：37项；532详解：（1）奇数项是由从1开始连续的自然数组成，偶数项是从2开始连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有19项，偶数项有18项．共有37项；（2）奇数项之和是()+⨯÷=；119192190偶数项的最后一项是18236⨯=，所以偶数项之和是()+⨯÷=，所有项的总和是236182342+=．1903425324.例题4答案：33；195详解：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第10组三个数是（10，11，12），三个数的和是11333⨯=；（2）第1组三个数的和是23⨯，第2组三个数的和是33⨯，依次类推，前10组所有数的和是()L．323411195⨯++++=5.例题5答案：59项或40项详解：奇数项是从2开始连续的偶数组成，偶数项是从3开始公差为3的等差数列组成．60可能是奇数项也可能是偶数项．当60是奇数项的时候，奇数项有60230÷=项，所以偶数项有29项，共有59项；当60是偶数项的时候，偶数项有60320÷=项，所以奇数项也有20项，共有40项．6.例题6答案：16；11次详解：（1）观察数组的规律，第一个数是1的有1组，第一个数是2的有2组，第一个数是3的有3组，因为12341166L组，所以从第67组开始，每组的第一个数是12，第67 +++++=组是（12，1），依此类推第70组是（12，4），两个数的和是12416L+=；（2）因为1231055++++=组，所以第55组恰好是（10，10），第一个数是5的有5组，即（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）．第二个数是5的只能是（5，5），（6，5），（7，5），（8，5），（9，5），（10，5），出现了6次，所以“5”这个数出现了11次．7.练习1答案：31；585详解：（1）偶数项是由常数4组成的，奇数项是从1开始连续的自然数．奇数项有30项，所以偶数项也有30项，那么在偶数项中有30个4，在奇数项中还有1个，所以有31项是4；（2）偶数项的和是304120⨯=，奇数项的和是()+⨯÷=，所以所有项的总和是130302465+=．1204655858.练习2答案：7项；269详解：（1）奇数项是由1、3组成的周期数列，偶数项是30~2连续的偶数．偶数项有30215÷=项，所以奇数项也有15项，15271÷=L L，那么在奇数项有7个周期还多余1个数，每个周期中有1个3，多出来的1项是1，所以奇数项一共有7个3，在偶数项中没有3，所以共有7项是3；（2）奇数项的和是()713129230152240+⨯÷=，所以所有项⨯++=，偶数项的和是()的总和是29240269+=．9.练习3答案：39项；610简答：（1）偶数项是由从1开始连续的自然数组成，奇数项是40~2连续的偶数．最后一项是奇数项，奇数项有40220÷=项，偶数项有19项，共有39项；（2）奇数项之和是()+⨯÷=；240202420偶数项的最后一项是19，所以偶数项之和是()+⨯÷=，所有项的总和是119192190+=．42019061010.练习4答案：48；690简答：（1）观察数组的规律，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数，而且每组的第一个数组成了从1开始连续的自然数，所以第15组三个数是（15，16，17），三个数的和是16348⨯=；（2）第1组三个数的和是23⨯，第2组三个数的和是33⨯，依次类推，前20组所有数的和是()L．⨯++++=32342169011.作业1答案：20；175简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为3的等差数列，偶数项有10项，整个数列有20项；（2）奇数项之和为10，偶数项之和为()303102165+⨯÷=，所有数之和为175．12. 作业2答案：7；504简答：（1）偶数项是2，4，6，…，42，有21项；奇数项也有21项，是1，2，3这三个数为一个周期的循环数列，21个数包含7个完整周期．偶数项中没有1，奇数项中有7个1，因此一共有7个1；（2）偶数项总和为24642462++++=L ，奇数项总和为()123742++⨯=，所有数之和为504．13. 作业3答案：22；330简答：（1）偶数项是3，6，9，…，33，有11项；奇数项也有11项，整个数列有22项；（2）奇数项是2，4，6，8，…共11项，所以第11项是22，所以奇数项之和是()222112132+⨯÷=，所有偶数项之和是()333112198+⨯÷=，所有数之和为330．14. 作业4答案：8；27简答：先看第一个问题，每组第1个数分别为1，2，3，…，第8组的三个数为（8，9，10），第9组的三个数为（9，10，11），10第一次出现在第8组．再看第二个问题，第8组三个数之和为27．15. 作业5答案：10；220简答：（1）奇数项都是1，偶数项是公差为4的等差数列，偶数项是3，7，11，15，…，39，共有()3934110-÷+=项，所以奇数项也有10项，所以共有10个1；（2）奇数项之和是10，偶数项之和是()339102210+⨯÷=，所有数之和是220．。
六年级数学专题思维训练—数论综合(含答案及解析)
六年级数学专题思维训练—数论综合1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．2 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？4宫格 9宫格5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．6 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出种不同的挑法来（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）．7 能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有 个8 不大于2009的自然数中，被3整除且恰有一个数码是6的有 个9 试说明，将1+21+31+。
+401的和写成一个最简分数nm 时，m 不会是5的倍数10 数89之数码和为17．请问1、2、3、…、2008这2008个数之数码和的总和为多少？11 21ab 是一个四位数，由四个阿拉伯数字a 、b ，1，2组成的其他23个四位数的和等于 90669，求a 和6的值．12 N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是13 在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3_』-6=9，9可以整除3×6；再如，6__-30=36，36可以整除6×30）．请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．4、_ ___、____、____、314 N为自然数，且N+l、N+2、…、N+9与690都有大于1的公因数.N的最小值为15 写一个首位数字比末位数字大2的n位数（n大于或等于3）A，交换首位数字和末尾数字，得n位数B，A、B相减（大数减小数），所得的差为n位数C，把C的首位数字和末尾数字互换得D，C和D的和是S，不论写怎样的符合要求的数A，所得S都是一个常数K的倍数，则K的最大值是参考答案及解析1 公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．【答案】68097【分析】17+4×20+10×202+8×203=680972 一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．【答案】36126或54189【分析】这个五位数为abcde，由题意abcde= 2007 (a+b+c+d +e）由于9¦ 2007，可得9¦abcde，则有9¦(a+b+c+d+e)， 2007×9=18063，这个五位数是18063的倍数，只可能为：18063,36126,54189,7225290315.经检验，36126和54189符合题意．3 (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？【答案】 (1)999个，(2)999个．【分析】(l)由于每连续4个自然数中必有一个能被4整除，3998÷4=999……2．因此从1到3998这3998个自然数中能被4整除的一共有999个‘(2)为了方便，将0到3999这4000个整数都看成四位数abcd（不是四位则在前面补零，如12=0012）．由于b.c，d各有10种数字可任意选择，而且当b.c.d选定后．为满足a+b+c+d 能被4整除，千位数字“必唯一确定．事实上，若b+c+d=4K时，则a=o；若b+c+d=4K+l 时．则a=3 ：若b+c+d=4K+2时，则a=2；若b+C+d=4K+3，则a=1．（K为整数）综上所述，在o到3999这4000个整数中有1×10 ×10×10=1000（个）数的各位数字之和能被4整除．因此，从1到3998这3998个自然数中有1ooo-1=999(个）数的各位数字之和能被4整除，4 如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？76田4宫格 9宫格【答案】25【分析】m2向的火柴棒有m+1列，每列有m根，也共有m(m+1)根．所以，摆放”，m2宫格”共用了2m( m+1) 根火柴棒．由2m(m+ l) =1300，得到m(m+1)=650=2×52×13=25×26．因此m=25 ．5 二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．【答案】24【分析】情况一：．．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友不报数而是拍手．再下一个小朋友报8．此时，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数（报出来或者拍手跳过）之间的差等于总人数．小明本次应当拍手，而不是报出91．所以”总人数是91—19=72的约数．有72．36．24，18，……，其中是“二十多”的只有24．情况二：，．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友直接报8．此时．把所有i 的倍数和带有数字7的数去掉之后，剩余的数排成一列，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数在这个数列中的位置号之差等于总人数．从19到90这72个数中，含有数字7的有27,37,47,57,67,70到79.87．共16个．是i 的倍数且不含有数字7的有21,28,35,42,49,56,63,84共8令，所以排除掉之后剩下48个．总人数应当是48的约数，有48,24,16，……，其中是“二十多”的也只有24。
高思数学思维训练
高思数学思维训练
1.数学思维培养：通过一系列的习题和思维训练，帮助学生形成系统、逻辑和批判性的数学思维能力，从而提高解决数学问题的能力。
2. 创新思维训练：通过多元化的思维训练，激发学生的创新思维，培养学生在解决数学问题时的创意和独立思考能力。
3. 逻辑推理训练：通过数学证明和逻辑推理等训练，提高学生的逻辑思维水平，从而使学生能够更好地理解和应用数学知识。
4. 数学思维实例：通过实例分析，让学生了解数学思维在实际问题中的应用，提高学生在解决实际问题时的数学思维能力。
本书适用于中高年级的学生和一些对数学感兴趣的读者。
通过本书的学习和实践，学生将会获得更加丰富和深入的数学思维能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
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高斯小学奥数四年级下册含答案第08讲_复杂数阵图
第八讲 复杂数阵图较复杂的数阵图往往给人感觉可能性太多，不知道该怎么去试．而寻找特殊对象可以帮助我们从纷繁复杂的条件中找到最关键的环节进行突破．那什么样的对象在数阵图中可以算特殊呢？比如数阵图要填的若干数中最大或者最小的就算特殊；奇偶性与别的数不同的也算特殊；数阵图中重数最多或最少的空格也算特殊……一个对象只要有与众不同的地方就是特殊．至于什么样的特殊对解题有用，那还得看题目本身．但只要你有一双发现特殊的慧眼，总可以找到那个对解题最有用的“特殊”．例题1请将1～10填入图中的10个圆圈中（其中两个数已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．「分析」根据已有的数字9，图中哪两个圆圈已经可以填出来了？剩下的数中，谁最特殊？请将1~8填入下图的8个方格中，使得a 、b 、c 、d 四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b 填7．那么d 填几？接下来我们重点学习一下数阵图分析中与“重数分析”有关的一些方法．在已知全部填入数字的情况下，我们通常是把所有相同的和相加，通过对每一个数字的重复次数来找出其中的特殊重数，是解题的关键．例题2将1~9填入图中的九个圆圈内，使四条直线上三个圆圈内所填数之和都是15．「分析」如果把四条直线的和加起来，每个圆圈各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个圆圈的重数比较特殊？这个重数特殊的位置必须填几？ 练习2把1~8这八个数填入下边的圆圈内，使得每条直线上的数之和都等于14．例题3把1~7这七个数填入下图中的方框中，使得每条直线上的三个数之和都相等．如果中心方框内填的数相等，那么就视为同一种填法．请填出所有的可能性．「分析」如果把三条直线的和加起来，每个方框各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个方框的重数比较特殊？这个重数特殊的位置可以填几？有几种可能？把1~9这九个数填入图中的圆圈内，使得三条直线上的所有数之和都是相等．请至少填出两种情况．例题4将数字1，2，3，4，5，6，7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．「分析」如果把两个圆周的和与三条直线的和加起来，每个圆圈各加了多少次？它们的重数一样吗？哪个圆圈的重数比较特殊？这个重数特殊的位置必须填几？练习4如图所示，将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9填入图中的小圆圈内，使得圆周上的4个数之和与每条直线上的3个数之和都相等，那么这个和是多少？前面几个例题只有一个特殊格，那么接下来我们来看一下有多个特殊格、多个重数的题目．例题5图中一共有10个方格，现在把10个连续的自然数填到里面（9是这10个自然数中第三大的），每个方格填一个．如果要求图中的3个22的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最小可能是多少？请给出一种填法．「分析」如果把三个正方形“加起来”，共12个数相加，相当于把每个方格各加了几次？由此你能得到什么结论？下图中有三个圆环，将1～8填入图中的8个圆圈内，使得每个圆环上4个顶点的数字之和都相等．那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．「分析」把三个圆周和加起来，图中的8个○有几种不同的重数？由此你能得到什么结论？课堂内外阵中国古代作战是非常讲究阵法即作战队形的，称之为“布阵”．布阵得法就能充分发挥军队的战斗力，克敌制胜．中国古代军事史上有名的作战阵法有三种：八阵：战国时大军事家孙膑创造，据说是受了《易经》八卦图的启发，所以又称八卦阵．具体阵势是大将居中，四面各布一队正兵，正兵之间再派出四队机动作战的奇兵，构成八阵．八阵散布成八，复而为一，分合变化，又可组成六十四阵．当年诸葛亮还用石头在四川奉节布设过八阵的方位，作为教练将士演习阵法之用，名为“八阵图”．撒星阵：南宋名将岳飞破金兵“拐子马”的阵法．撒星阵的队形布列如星，连成一排的“拐子马”冲来时士兵散而不聚，使敌人扑空．等敌人后撤时散开的士兵再聚拢过来，猛力扑击敌人，并用刀专砍马腿，以破“拐子马”．鸳鸯阵：明代将领戚继光为抗击倭寇而创设的一种阵法．他把士兵分为三队，当敌人进到百步时第一队士兵发射火器；敌人进到六十步时士兵发射弩箭；敌人进到十步时第三队士兵用刀矛向敌人冲杀．这些变化反映了中国作战阵法从传统的方阵向多兵种的集团阵法演变的过程．作业1.请将2~9填入下图的8个方格中，使得a、b、c、d四个方格中的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格中所填数的差．其中b填7．2.将数字1，3，5，7，9，11，13填入右上图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等．3.把1至10填入右图的圆圈内，使得每条直线上的4个数之和都等于23．4.将2至8填入右上图的圆圈中，使得每条直线上的所有数字之和都相等．5.图中一共有10个方格，现在把10个连续的自然数填到里面（9是这10个自然数中第三大的），每个方格填一个．如果要求图中的3个22的正方形中的4个数加起来的和都相等，那么这个和最大可能是多少？请给出一种填法．第八讲 复杂数阵图1. 例题1答案：详解：20是这里面最大的数，应该在最下端，其中20812=+，再一层的往上推即可．2. 例题2答案：详解：有两种重数，中间的圆圈是特殊格，重数是4，43⨯=+⨯公共和所有和中间数，公共和是15，所有和是45，所以中间数就是5，那么同一条直线上的另外两个数的和就是10，即1、9；2、8；3、7；4、6．3. 例题3答案：其中三种：详解：31272⨯=++++⨯L 公共和中 3282⨯=+⨯公共和中，有三种情况：（1）中=1，公共和=10；（2）中=4，公共和=12；（3）中=7，公共和=14．答案：详解：()51272⨯=+++⨯+L 公共和中556⨯=+公共和中，所以中间数只能为4，公共和=12．直线上除最里面的4，剩下两个数之和为8，分别是17+、26+和35+，然后尝试调整使得圆周的和也都等于12．5. 例题5答案：答案不唯一，中间两数和是7，公共和是24．详解：10个数是2、3、…、10、11，2341165++++=L ．这个相等的和是2×2正方形中4个数之和，365A B⨯=++和，则A 和B 的和可以是4、7、… 要使得和最小，这个和只能是7，所以A 、B 可以填2、5；3、4．而这个相等的和是24．经过尝试后其他格均可以填出，答案是其中两种填法．6. 例题6答案：答案不唯一，2A B C ++⨯必须满足27，公共和是21． 详解：重数有三种，A 、B 格的重数是2，C 格的重数是3，其他格都是1；所以A 、B 、C 是特殊格．()32A B C ⨯=++⨯+公共和所有和．所有和是36，所以 2A B C ++⨯可能是9、12、15、… 要这个和最大，所以2A B C ++⨯只能是27，此时公共和是21．A 、B 、C 可以是4、7、8．答案不唯一．4 7 11 8 2 35 9 106 10 9 2 11 3 8 4 6 57 A B答案：详解：b为7，只可能：781=-，而8最大，所以只能在边上，最中间填1．然后注意尝试即可得答案．8.练习2答案：详解：有两种重数，中间的圆圈是特殊格，重数是3，32⨯=+⨯公共和所有和中间数，公共和是14，所有和是36，所以中间数就是3，那么同一条直线上的另外两个数的和就是11，即1、2、8；4、7；5、6．9.练习3答案：其中三种情况：简答：31292⨯=++++⨯L公共和尖3452⨯=+⨯公共和尖，有三种情况：（1）尖=3，公共和=17；（2）中=6，公共和=19；（3）中=9，公共和=21．10.练习4答案：简答：()公共和中L⨯=+++⨯+⨯612922公共和中，所以中间数可以为3、6、9．6902⨯=+⨯（1）如果中=3，则公共和=16，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为13，题目数据无法满足，排除；（2）如果中=6，则公共和=17，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为11，题目数据无法满足，排除；（3）如果中=9，则公共和=18，此时直线上除最里面的3，剩下的两个数之和为9，则分别为18+．+和45+、36+、27然后尝试调整使得圆周的和也都等于18即可．11.作业1答案：见图简答：7只能是92a=．剩下3、4、5、6、8，-，而9最大，所以2c和d只能是3和4，剩下的根据题中条件依次填出．12.作业2答案：见图简答：将三条直线、两个圆上的数字都加起来，圆上的每个数字都算了2次，而中间的数字算了3次．即1至13这7个数的和的2倍加上中间的数字等于和的5倍．计算可得，这个和为21，中间数字是7．13.作业3答案：见图简答：将三条直线上的数字相加，中间的数字加了3次，其他数字分别加了1次；1至10的和为55，55加上中间数字的两倍等于直线和的3倍，所以中间数字可以4或7或10．直线和为23，所以中间数为7；如图给出了填法．是1或14.作业4答案：见图简答：把每条直线上的数字都加起来，每个上下的六个数字都分别算了两次，中间的数字算了3次．所以70加上中间的数字就等于直线和的5倍，所以中间数字是5，直线和是15．15.作业5答案：28简答：10个数是2、3、4、…、11，2341165+++=L．这个相等的和是22⨯正方形中4个数之和，365A B⨯=++和，则A和B的和可以是1、4、7、…要使得和最大，则A和B分别填8、11或9、10．而这个相等的和是28．经过尝试后其他格均可以填出，答案是其中一种填法．A B3511294107 86。
高思竞赛数学导引-五年级第八讲-直线型计算二学生版上课讲义
第8讲直线形计算二内容概述进一步学习直线形面积公式酌运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T 七；初步学习添加辅助线酌分析方法．典型问题兴趣篇1．如图8-1，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC= 15（厘米），且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等，阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？2．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？3．如图8-3，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三角形DEC的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？4．如图8-4，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三角形ABC的面积为36平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米？5．如图8-5所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？6．如图8-6，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8．三角形BOC 的面积为多少？7．如图8-7，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F 是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？8．如图8-8，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的5倍．三角形ABE的边BE的长是多少？9．如图8-9，把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米，结果面积增加了71平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？10．如图8-10，四边形ABCD内有一点D，D点到四条边的垂线都是4厘米，四边形的周长是36厘米，四边形的面积是多少平方厘米？拓展篇1．如图8-11，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平方米．其余4个长方形的面积分别是多少平方米？2．图8-12中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的3倍，三角形ABE的面积是多少平方厘米？3．如图8-13，在四边形ABCD中，已知CD=3DF，AE=3ED，而且三角形BFC的面积为6平方厘米，四边形BEDF的面积为7平方厘米．大四边形ABCD的面积是多少？4．如图8-14，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？5．如图8-15，E是AB边上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍．请问：梯形的下底长是上底长的几倍？6．如图8-16，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？7．图8-17中，正方形ABCD的面积为1．把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方形内部的某一点P相连接，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形，阴影部分的总面积是多少？8．如图8-18，在梯形ABCD中，E是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，三角形ABD的面积为13平方厘米．三角形BCE的面积为多少平方厘米？9．在图8-19中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？10．图8-20是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成，有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两部分，那么BF的长度为多少厘米？11．(1)如8-21中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？(2)如8-21中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米，结果面积减少了65平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？12.如图8-22，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF，E点恰好在AB边上，直角边AC长20厘米，BC长12厘米．正方形的边长为多少厘米？超越篇1．如图8-23，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．请求出CE和CF的长度之和．2．如图8 -24，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH.如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？3．图8-25中ABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）．过，点的线段IM 将五边形EFGHI分成面积相等的两部分．线段BM的长度是多少厘米？4．如图8 -26，在钝角三角形ABC中，M为AB边的中点，MD、EC都垂直于BC边．若三角形BDE的面积是3平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？5．在图8 -27中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米，大正方形面积是多少平方厘米？6．如图8-28，直角三角形ABC的三边长分别为AC= 30（分米），AB=18（分米），BC= 24（分米），ED垂直于AC，且ED= 95（厘米）．问正方形BFEG的边长是多少厘米？7．菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位，三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖，说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“瞠”的一声，飞镖被劈成了两半，如图8-29，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？8．如图8-30，将三个边长为l的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外两个正方形的中心．请问：图中阴影部分的面积是多少？。
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第8讲：数论综合一兴趣篇1.如果某整数同时具备如下三个性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5。
那么我们称这个整数为“幸运数”。
求出所有的两位幸运数。
【答案】14【分析】方法一：从条件③入手，则概数应为5、14、23,而该数为2的倍数，所以应为偶数，所以应为14、32、50、68、86中的一组，满足条件的只有1个，14。
方法二：题目给出了所谓幸运数具备的三个条件，要求的是所有的两位幸运数．这就使求解的范围缩小在两位数之内．可以先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的两位幸运数．设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为2p，则p的所有可能取值为5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是21p-的所有可能取值为9、13、21、25、33、37、45、57、61、73、81、85、93．根据条件①，21p-应为质数，因此21p-除以9所得余数p-只可能为13、37、61或73．再由条件③知21应为4，于是21p-只能等于13，从而这个幸运数只能是214p=．2.一个五位数825W W，空格中的数未知。
请问：（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？【答案】（1）86256；（2）85250【分析】（1）从8，9整除特征考虑，8需要个位填6；9千位填6。
（2）从5，11的特征考虑，5个位填5或0，a+，则不符合当个位为5时，该数为a8255，奇数位数字和为：15；偶数位数字和为：5情况；a+，则千位当个位为0时，该数为a8250，奇数位数字之和为：10，偶数位数字之和为5可填5。
3.在小于5000的自然数中，能被11整除、并且所有数字之和为13的数共有多少个？【答案】18个【分析】令为abcd，数位不够高位补0，和为奇数有①()()11a cb d+-+=，且13a b c d+++=+=7×2=14个b d+=，1a c12②()()11+-+=，且13b d a c+++=a cb d+=7×2=14个a cb d12+=，1共28个4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）。
已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数，原来的三位数是多少？【答案】656【分析】有个5，5作十位考虑7的倍数：56⇒656考虑6的倍数：54⇒154只有656是8的倍数。
5、26460的所有的约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？【答案】36个；6个【分析】26460÷6=4410=2×32×5×72约数个数（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=3626460除去2与3的因数，剩下为5×72，约数个数6个，这6个均与6互质。
6、一个自然数N共有9个约数，而N-1恰有8个约数。
满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？【答案】196，256【分析】9=3×3 8=2×4=2×2×2考虑到N是个完全平方数，从最小的平方数开始尝试。
7、一个自然数，它最大的约数和次大的约数之和是111，这个自然数是多少？【答案】74【分析】最大约数就是本身，是次大约数的倍数。
所以111是次大约数的倍数。
111=3×37，次大约数为1，3，37三种，尝试得为37。
111-37=748、有一个算式6×5×4×3×2×1。
小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？【答案】5【分析】6×5÷4÷3×2×1=59、一个两位数分别处以7、8、9，所得余数的和为20。
问：这个两位数是多少？【答案】62【分析】20=8+7+5=7+7+6=8+6+6余数分布就3种情况，只有第3种有两位数满足。
10、信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。
对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用。
有一天我军截获了敌军的一串密文：A B C378421，字母表示还没有被破译出来的数字。
如果知道密码满足如下条件：①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同且不全是奇数。
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数。
你能破解此密文吗？【答案】437854219【分析】8B4余数必为2，得B=5；C是奇数，所以A是偶数。
≡C=9余3或C=1余7（重复数字）C C219 (mod12)≡A=2余9；A=4余5；A=6余1；A=8余93701 (mod12)A A拓展篇1、已知a b c370是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字。
请问：三位数abc是⨯多少？【答案】865【分析】495=5×9×11，特征考虑，0b c是5和11的倍数。
所以b=6，c=5，37a是9倍数。
a=8。
2、11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？【答案】220【分析】11个连续两位数，至多3个5的倍数，那么还有1个25的倍数。
把25放最后一个是最小，这八个数为15～25。
3、有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×1。
小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？【答案】70【分析】7和5前面的没法改，2的因子个数奇数个，除不完。
4、有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号。
1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被他的编号数整除。
1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对。
问：（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？【答案】（1）出错的是8号和9号同学；（2）60060【分析】（1）都列出后发现，肯定是1，2，3，4，5，6，7，10，12，14，15的倍数。
（2）600605、有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关。
现在有编号为1至2008的2008 个人来按动这些开关。
已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有的开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数。
如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？【答案】1964盏【分析】约数个数为奇数个的灯灭了，所以完全平方数都灭了。
剩下的为亮的，2008-44=19646、狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次。
在比赛道路上，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱。
请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？【答案】40.5米 【分析】99999,282⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 狐狸跳11次掉进 119999=484⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 黄鼠狼跳9次掉进7、 一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数。
请问：当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？【答案】1350【分析】这个偶数含2，3，5的因子，分别设为a 、b 、c 个。
不是3的倍数有（a+1）·（c+1）……个，显然无法有别的质因子，()()()()121116132118143a a a c c c ab b b +==⎧⎧++=⎪⎪⇒+==⎨⎨++=⎪⎪⎩+==⎩ 原数为2×33×52=13508、一个合数，其最大的两个约数之和为1164。
求所有满足要求的合数。
【答案】776、873、1067【分析】最大约数为本身，是次大约数的倍数，1164是次大的倍数。
1164=22×3×97 次大为97， 原数97×11=1067 √次大为97×2，原数194×5=970 ×次大为97×3，原数97×3×3=873 √次大为97×4，原数97×4×2=776 √9、已知a 与b 是两个正整数，且a ＞b 。
请问：（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？【答案】（1）12种；（2）31种36=22×323681821212191a a a a =⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪=⎭, ,,种种种种种 ⎫⎪⎬⎪⎭（2）120=23×3×51201560340631302244151a a a a a a =⎫⎪=⎪⎪=⎪⎬=⎪⎪=⎪=⎪⎭种种种种种种种10、已知a 与b 的最大公约数是14，a 与c 的最小公倍数是350，b 与c 的最小公倍数也是350。
满足上述条件的正整数a 、b 、c 共有多少组？【答案】20组a 、b 均为14的倍数。
350=14×25 ∴a 、b 只能是14的1，5或25倍。
①a =25×14⇒b =14c =25或50或25×7或25×14 4种②a =5×14⇒b =14c =25或50或25×7或25×14 4种③a =14，b =14c =25或50或25×7或25×14 4种④b =14×5⇒a =14 同② 4种⑤b =14×25⇒a =14 同① 4种共20组。
11、已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，余数6的余数之和是5，除以7的余数之和是1。
求这两个两位数。
【答案】77和78【分析】①大数716353⎧⎪⇒⎨⎪⎩L L L 除以除以太大除以②大数71607853⎧⎪⇒⎨⎪⎩L L L 除以除以除以12、如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）。
小明像玩跳棋那样从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A 孔。
他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B 孔。
他又试着每隔4个孔跳一步，也只能跳到B 孔。
最后，他每隔6个孔跳一步，正好回到A 孔。