从测量的角度引入分数真的可取吗——对特级教师华应龙“分数的初

U测量的甬度目N I B数員的51取吗—对特级教师华应龙“分数的初步认识”教学的再评析□白改平李红红【摘要】按照弗赖登塔尔的观点，当数学科学的逻辑顺序与儿童发展的顺序正好一致 时，数学教学就应当遵循数学知识的历史脉络，让学生在经历“再创造”的过程中获得新知，发展思维。

从这一理论来看，特级教师华应龙在教学“分数的初步认识”时，通过测量引入分 数的恰当性需要探究和思考。

【关键词】分数分物测量序数学史一、问题的提出美国著名心理学家波斯纳(Posner)提出了一 个教师成长的公式:经验+反思=成长，这里的经验 既包括直接经验也包括间接经验，两种经验并驾齐 驱，互为羽翼。

对于年轻教师和准教师而言“听课、评课、反思、实践、再反思”的学习过程是获得经验 并能快速内化成教学能力的主要途径。

特级教师是 优秀教师的标签，是一线教师学习的楷模。

然而教 师们存在着这样的误区:特级教师的课一定是高效 的、完美无缺的。

因此，在学习的过程中常常会带着 一种敬仰的心态欣赏着特级教师的课堂教学，忽视 了教学是一门艺术。

所以，“如何围绕数学或者数学 教学的本质来评析一节课的优缺点”，是数学教师 首要解决的问题，只有这样才能扬长避短，快速成 长。

笔者选取小学数学教材的经典课“分数”为研究 对象，抛砖引玉，以期年轻教师和准教师学会思考 和反思。

“分数”是小学数学中的一个核心概念，各个版 本的小学数学教材都把分数的学习分为两个阶段，分别是三年级“分数的初步认识”和五年级“分数的 意义”(见表1，人教版），那么这两个阶段的侧重点 和核心内容是什么？《人民教育》在2011年第6期 就《分数的初步认识》刊发了华应龙老师的《分数：先分后数一一“分数的意义”教学新路径》引发了 广大读者的热议，教师们给了很高的评价。

如刘加 霞老师在《教学内容的价值分析与判断决定教学行 为一兼评华应龙老师分数的初步认识》一文中指 出:从测量引入分数凸显分数的计数单位与分数的 构成，有助于学生理解分数是个“数”。

[1]但是从 分数的发展史和儿童的认知规律视角来看，这种教 学方式值得我们思考和探究。

导入环节在时间和精 力的花费上都比较少，表面上看无足轻重，但是导 入的设计指向性和目标性很强，反映了教师的教学 理念和对教学内容理解的深度和广度，对整个教学 起到定海神针的作用。

因此，笔者撷取华应龙老师 《分数的初步认识》的导入片段，从数学史的视角对 其进行重新认识。

表1人教版小学数学教材分数的编排及其主要内容二、导入环节教学片段(PPT出示大头儿子和小头爸爸的图片）师:认识吗?现在大头儿子碰到这样一个难题，什么难题呢？你听听，看看能不能帮他解决,多媒体播放:天热了，小头爸爸到商店里去买 凉席。

到了卖凉席的柜台，他遇到了麻烦，于是给他 的大头儿子打电话。

“儿子，我忘了量床的长了。

你找尺子量一量床 有多长。

”大头儿子在家里找来找去，就是没找到一把尺 子，怎么办呢？突然，大头儿子想到了 一个好主意。

“爸爸，你今天打领带了吗？”“打领带？哦，真是个聪明的大头！快量吧。

”大头儿子拿了一根爸爸的领带，他用领带一 量，嘿，巧了！“爸爸，床是两个领带长。

”“儿子真有办法！我知道了。

儿子，再量一下沙 发的长吧！”大头儿子再用这根领带去量沙发，“哎，沙发没 有一个领带长，怎么办呢？”(暂停播放）生:只要把多余的领带剪掉就可以了。

师:还有其他的想法吗？现在沙发不到一个领 带长。

生:可以不用剪，可以折一下师:哦，折一下，还有不同的想法吗？生:只要把多余的那部分不算，然后再计算那 一段正好的领带。

师:看来你们两个英雄所见略同。

怎么说？继 续听。

大头儿子把领带对折来量，哎，沙发又比对折 后的领带长了一些。

大头儿子再想办法，他将领带 再对折，这样一量，巧了，沙发正好有三个这么长！大头儿子真高兴啊！可是，他却遇到了难题。

“床是两个领带长，现在我怎么和爸爸说，沙发 是多少个领带长呢？”师:难题知道了吧。

他刚才怎么量的?把领带对 折再对折，对折了两次，然后再去量，正好量了几 个？对三个。

那现在沙发是多少个领带长呢？师:他把领带对折再对折，那就把这个领带的 长平均分成几份呢?来，不清楚，把红领巾解开。

（同 时解下领带)好，你对折一下，对折一次，你就把红领巾的长，平均分成几份？生:两份。

师:再对折一次呢？生:三份，四份。

师:有几份啦？生:四份。

师:用这个长度去量，量了几次？生:三次。

师:哦，这么看的话，是不是就相当于把这个领 带的长平均分成四份，然后，去量沙发，是这样的几 份啊，三份。

那怎么表示这四份中的三份呢？生:我可以这样表示，是四分之三。

师:来，你过来写一下。

有跟他想的不一样的，你觉得应该怎么表示？生:我可以用画图表示。

师:怎么画？还有不同的吗？（四名同学分别走上讲台，在黑板上写+，画图）师:怎么样?三位同学都画了图，表示多少个领 带长？生:四分之三。

（指着第二幅图）师:那这一个呢？这是一个，有四分之三吗？生:因为他把其中的一个涂了，表示这个不算，其他的三个算。

师：这个呢？这表示1、2、3、4,四份中间有三 份。

不过你想，大头儿子是打电话给老爸的，他能不 能用画图来表示？生:不能。

师:嗯，看不见。

那你想，刚才有个同学说用这 个告诉他，多少？生:四分之三。

师:就这么写？还有没有不同的想法？生:可以在电话里面跟爸爸说，沙发的长度是，你领带里面平均分成四份，其中三份的长度。

师:可以不可以?也可以。

这么来说是完全可以的，不过你比较一下，用这样一个（指着3)，这是什么？JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN生:四分之三。

师:都认识吗?认识的举手。

（几平都举手)真厉 害，你们学过啦？生:没有。

师:这叫什么数？生:这个数叫分母。

（用手指着整个数画圏）师:这叫什么数？生:这叫四分之三。

师:这叫四分之三也没错吧。

她刚才说，这个叫？生:分母。

师:整个这个数叫？生:分数。

（师板书）三、案例评析:从数学史的角度评析从数学知识的整体性和系统性来看，华老师的 课堂有许多值得我们学习之处，这里就不再叙述 了，仅从数学史的视角对导入进行分析。

华老师在导入环节没有循规蹈矩地按照教材 “分物”进行教学，而是通过大头儿子测量沙发的长 度引入分数，这种导入对于三年级“分数的初步认 识”而言并不妥当。

按照弗赖登塔尔的观点，个体 (学生）的认知过程与人类知识的发展过程是相似 的:一方面，学生学习的过程在一定程度上遵循知 识发展的过程;另一方面，在学习过程中也会出现 相似的问题，并用类似的办法进行解决。

这种观念 在教育界已经达成了共识，既然如此，就有必要追 溯分数的发展，从其发展轨迹来说明这种导入的瑕 疵和不足。

为此，我们必须搞清楚以下几个问题。

(—)“分物”和“测量”的产生顺序孰“前”孰“后”分数产生的途径之一是生产生活实践的需要，即分物和度量。

1.物的现实背景远古时期的集体劳动中平均分配猎物及果实，当所分配的物品少于需要分配的对象时，就无法得 到整数，于是便产生了用分数表示分配结果的需 要，也就是说当整数不再能完全满足生活实践需求 的前提下，分数就产生了。

2.测量的现实背景随着数学的发展，度量的需求也促进了分数的产生。

土地计算、水利工程等测量过程中，当用一个作为标准的物体去度量另一个量，总有多出一部分或者少了一部分的情况。

若是把度量的标准平均分成若干份，用其中的一份去度量，恰好量尽。

这就需要一个新的数来表示这一度量结果，即分数。

那么，分数概念的这两种现实背景出现的先后顺序究竟“谁”在前“谁”在后呢？上溯其源，即可下探其究，我们从不同国家对分数的意义教学中来探究其先后顺序。

《说文解字》将“分”解释为“分，别 也。

从八从刀，刀以分别物也”；在英文中，分数是 “fraction”，其意为部分或打碎，表本整数的一部分；法文的分数表示“折断的数”;俄文的分数意为“被分割的数”。

可见，分数在世界各国不同文化背景下的思维起源是相同的，都是指一种事物不能够均分为几份了，那么一个整体就要被“打破了”来分[3]。

由此可知“分物”先于“测量”，这也符合按照人类的发展史和脉络。

分数知识的发展是沿不同脉络演进的，这些线索在教材中已经很好地体现出来了。

(二) 在教学中如何处理数学科学的逻辑顺序与儿童发展的顺序分数几平和自然数一样古老，但它的产生轨迹不像自然数那么单一，经历了分物、测量以及数学本身发展的背景，具有多层意义，这决定了分数的教学相比自然数而言具有阶段性。

数学史反映了数学的发展轨迹，描绘了人类对数学的认知过程，这个过程也往往是学生获得新知的过程。

在教学中虽然应遵循数学科学的逻辑顺序与儿童发展的顺序并不完全一致的规律，但是，当这两种序正好一致时就不应该打破。

庞加莱也曾指出:“教育工作者的任务就是让孩子的思维经历先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。

”[4]从这一意义来看，“分数的初步认识”应该从“分物”开始导入，这正好与分数的发展轨迹相吻合。

(三) 分数意义的多层性对教学有何影响分数产生的不同路径，必然导致分数的意义具有多层性，由于产生的目的不同，差异也必然存在。

刘加霞在《通过“分”与“数(shG)”，分数是个“数 (shO)”》一文中提出，在度量过程中，通过数(sh俪）分数单位的个数得到分数，体现出分数是个度量 数;而在分物过程中体现部分与整体之间的比率关 系，即分数以比率数的含义存在。

[5]王永则认为，在 分物中，分数体现出两种意义:表示量和量数即两 个量(部分与整体)的倍比关系；在测量活动中，分 数由量与分数单位的倍比关系产生。

[6]厘清了上述关系，分数的教学就一目了然了。

分数意义的多重性意味着教学过程的层次性和教 学的阶段性“分数的初步认识”是分数教学的起 点，核心内容一是让学生感受到平均分，以及几分 之一的意义;二是从数学知识的系统性来看必须让 学生认识到分数和自然数一样，是一个实实在在的 数。

沿承数学史的轨迹“分物”引入分数，既符合历 史的发展，又能实现上述目标，也符合学生的认知基 础和经验，何乐而不为?对于学三年级的学生而言，通过下列“分物”的问题串引入分数是最恰当的。

问题1:把4个月饼平均分给2个小朋友，每 个人分到几个？用几表示？问题2:把2个月饼平均分给2个小朋友，每 个人分到几个？用几表示？问题3:把1个月饼平均分给2个小朋友，每 个人分到几个？用几表示？3个问题环环相扣，问题1、看似很简单，但 作用不容忽视。

一是通过学生耳熟能详、生活中处 处可见的实际问题激活了学生的思维和旧知，二是 为问题3做了铺垫，使学生认识到分数和自然数 2,1 一样是个数;三是也让学生初步体会“分物”的 过程，理解分数产生的价值、必要性并加深对平均 分的印象。

这种教学方式不正是分数产生的最早起 源吗？不就是数学教学的“返璞归真”吗？还原分数 产生的历史轨迹不就是“再创造”吗?常规的教学也 可以成为经典。