安徽省师大附中2017～2018学年高二第一学期期中考试题数学(理)
安徽师范大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考
安徽师范大学附属中学第2017-2018学年第一学期期中考查高 一 数 学 试 卷命题教师： 审题教师：一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1、设集合{}1|14,282x A x x B x⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则)(B C A R =（ ） A.（1，4）B.（1，3）C.（3，4）D.)4,3()2,1(2、下列函数中，与x y =相同函数的是（ ）A.2x y =B.xx y 2=C.xa ay log = D.xa a y log =3、若函数12x f(x)=x -+，则12f ()-的值为（ ） A.5 B. -5 C.14D. 44、已知方程33x x =-，下列说法正确的是（ ）A.方程33x x =-的解在（0，1）内B.方程33x x =-的解在（1，2）内C.方程33x x =-的解在（2，3）内D.方程33x x =-的解在（3，4）内5、若函数0a y log x(a ,=>且a 1≠）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（ ）6、设函数f (x )是定义在R 上的函数，下列函数①y f (x )=- ②2y xf (x )=③)(x f y --= ④)()(x f x f y --=中是奇函数的个数（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个7、下列说法正确的为（ ）A.幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点B.c b a ,,均为不等于1的正实数，则c b a b log log a log c ⋅=C.23f(x)x =是偶函数D.若14a<41a =- 8、有一组试验数据如下表所示下列所给函数模型较适合的是（ ） A.)1(log >=a x y a B.)1(>+=a b ax y C.)0(2>+=a b ax yD.)1(log >+=a b x y a9、已知x a f x =e -()在+(2,∞)上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.(]0,-∞ B.(]2,-∞ C.[]02, D. (2,+∞)10、已知奇函数)(x f 在R 上为减函数，)()(x xf x g -=，若0823.a g -,b g ,c g =(2)=()=()则c b a ,,的大小关系为（ ） A.c b a << B.a b c <<C.a c b <<D.c a b <<11、设函数2424g(x )x x g(x )g(x )x x R ,f (x )g(x )x g(x )++<⎧=-(∈)=⎨-≥⎩，则)(x f 的值域是（ ）A.),2(]2,6[+∞--B. 628,,[--](+∞)C.],6[+∞-D.),2(+∞12、已知函数x x x h x x g x x x f x ln )(,2)(,1)(+=+=--=的零点分别为321,,x x x ，则（ ）A.321x x x <<B.132x x x <<C.213x x x <<D.312x x x <<二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上） 13、若幂函数y=f x ()的图像过点（4，2），则f (8)的值是 。
2017-2018学年安徽省师范大学附属中学高一数学上期中考查试题
安徽师范大学附属中学第2017-2018 学年第一学期期中考
查高一数学试卷
命题教师：审题教师: 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1、设集合A ={x |1 <x <：4},B =£x 1 x
—< 2 兰8^，则A CI(C R B)=() 2 J
A. (1, 4)
B. ( 1, 3)
C. ( 3, 4)
D.(1,2)U(3,4)
2、下列函数中，与y = x相同函数的是（)
A. y =拧
2
x
B. y =—小log a x
C. y = a x
D. y = log a a
x
X —1
3、若函数f（x ）= ，贝V f ~（2）的值为（）
x +2
1
A.5
B. -5
C.
D. 4
4
4、已知方程x =3 _3X，下列说法正确的是（）
A.方程x =3 _3x的解在（0, 1）内B•方程x =3 _3x的解在（1 , 2）内
C•方程x =3 -3x的解在（2, 3）内D•方程x =3 -3x的解在（3, 4）内
5、若函数y =log a x（a ■ 0,且a =1 ）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（
）
6、设函数f （x ）是定义在R上的函数，下列函数① y = — f （ x ）②y = xf （ x2）
③y - - f （ -x）④y = f （ x） - f （ -x）中是奇函数的个数（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个7、下列说法正确的为（。
2017-2018学年安徽师大附中高二(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）A．s2B．2s2C．4s2D．s22．（3分）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0 5．（3分）有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．8．（3分）已知圆C：x2+y2=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为（）A．4B．1C．3D．39．（3分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α10．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个11．（3分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++ 12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．14．（3分）已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．16．（3分）点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=3，BC=2，将直角△ABC 沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）下表数据是退水温度x（℃）对黄铜延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点G，使得CG与AF所成的角为30°？若存在，求出BG的长度；若不存在，请说明理由．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．2017-2018学年安徽师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）A．s2B．2s2C．4s2D．s2【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都乘以a，所以平均数变，方差也变．【解答】解：由题意知，原来的平均数为，新数据的平均数变为a，（a=2）原来的方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2]，现在的方差S′2=[（ax1﹣a）2+（ax2﹣a）2+（ax3﹣a）2]=[a2（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=a2s2，∴求得新数据的方差为4s2．故选：C．【点评】本题说明了当数据都乘以一个数a时，方差变为原来的a2倍．2．（3分）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则（）A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同【分析】根据抽样的原理知道，不管采用哪一种抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，被抽到的概率不随着抽样方法变化．【解答】解：有抽样的原理知道，不管采用哪一种抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，被抽到的概率不随着抽样方法变化，将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是，故选：A．【点评】本题考查三种抽样方法和函数的值域，本题解题的关键是理解三种抽样方法在抽样过程中，每个个体被抽到的概率是相等的，这和选择的方法无关，只与样本容量和总体个数有关．3．（3分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选：B．【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．4．（3分）圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0B．2x﹣y﹣5=0C．3x﹣y﹣9=0D．4x﹣3y+7=0【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．【点评】本题是基础题，考查两个圆的位置关系，弦的中垂线方程的求法，考查计算能力，转化思想的应用．5．（3分）有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据2个人离开的方法种数为92=81，2个人在不同层离开的方法数为9×8=72，由此2个人在不同层离开的概率．【解答】解：2个人离开的方法种数为92=81，2个人在不同层离开的方法数为9×8=72，则2个人在不同层离开的概率为=，故选：D．【点评】本题主要考查等可能事件的概率，求出2个人在不同层离开的方法数为9×8，是解题的关键，属于中档题．6．（3分）一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π【分析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．【解答】解：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：．所以球的表面积为：4πR2==3π．故选：A．【点评】本题是中档题，考查正四面体的外接球的表面积的求法，注意正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球是本题解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．7．（3分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为（）A．B．C．D．【分析】一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，设出底面半径和母线与轴所成角为θ，表示出圆锥的高，根据圆锥体积公式V=，和球的体积公式V=πR3，代入即可求得圆锥的母线与轴所成角正弦值．【解答】解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高H=R•ctgθ圆锥的体积，V1==ctgθ半球的体积V2=∵V1=V2解得ctgθ=2，∵ctgθ==2，sin2θ+cos2θ=1解得sinθ=．故选：C．【点评】考查圆锥和球的体积公式，及线线角的问题，在计算过程中注意公式的灵活应用，属基础题．8．（3分）已知圆C：x2+y2=1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为（）A．4B．1C．3D．3【分析】根据题意画出相应的图形，连接CN，由PQ与圆C相切，利用切线的性质得到CN垂直于PQ，且CN等于圆C半径，可得出CN为CP的一半，得到∠CPQ为30°，进而求出直线PQ的斜率，确定出直线PQ的解析式，由M 为直线PQ上的点，将M（m，n）代入直线方程，用m表示出n，将所求式子利用基本不等式变形后，得到取等号时m与n的关系，将表示出的n代入求出m的值，进而得到n的值，即可确定出所求式子的最小值．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：连接CN，∵PQ与圆C相切，∴CN⊥PQ，且CN=1，又P（0，2），即CP=2，∴在Rt△PCN中，CN=PC，∴∠CPN=30°，∴直线PQ的倾斜角为120°，即斜率k=﹣，故直线PQ解析式为y=﹣x+2，∴M（m，﹣m+2），又≥2，当且仅当，即m=n时取等号，∴m=（﹣m+2）=﹣3m+2，即m=，n=，则的最小值为2=4．故选：A．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查直线方程、圆等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（3分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α【分析】解：画出图形，分AC=BC，AC≠BC两种情况讨论即可．【解答】解：①当AC=BC时，∠A′DB=α；②当AC≠BC时，如图，点A′投影在AE上，α=∠A′OE，连结AA′，易得∠ADA′＜∠AOA′，∴∠A′DB＞∠A′OE，即∠A′DB＞α综上所述，∠A′DB≥α，故选：B．【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．10．（3分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形，故①正确，②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x ﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③正确；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=±1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=±1}，集合是两条平行线，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．【点评】本题主要考查了“折线距离”的定义，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．11．（3分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+B．10+C．6+2+D．6++【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA ⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．PC=2，PB=，BC=．∴S==．△PBC该几何体的表面积S=++++=6+．故选：C．【点评】本题考查了四棱锥的三视图及其表面积的计算公式、勾股定理，考查了计算能力，属于基础题．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M 和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．【解答】解：解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•（1﹣b）•|x N﹣x P|=，即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．两边开方可得（1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，故选：B．解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故选：B．【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上）13．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【分析】根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．14．（3分）已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可．【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2 由半径是，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，可得出圆心到AB的距离是，再由（﹣1，0），（1，0）和D点构成的直角三角形中可知过（﹣1，0）的直线与x轴成45°当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°所以概率为：．故答案为：．【点评】本题主要考查集合概型，属于基础题．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=﹣x+2与圆x2+y2=r2交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足=+则r=．【分析】设，由=+两边同时平方可求cosθ，结合θ的范围及公式可求，结合三角函数及点到直线的距离公式可求圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，进而可求r【解答】解：由题意可得，=r设，θ∈[0，π]则==r2cosθ∵=+两边同时平方可得，=即×∴cosθ=∵，∴且cos∴=设圆心O到直线x+y﹣2=0的距离为d，则d=rcos=即∴r=故答案为：．【点评】本题主要考查了直线与圆心的位置关系，三角函数知识的灵活的应用是求解本题的关键．16．（3分）点D是直角△ABC斜边AB上一动点，AC=3，BC=2，将直角△ABC 沿着CD翻折，使△B'DC与△ADC构成直二面角，则翻折后AB'的最小值是．【分析】过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD=∠B′CD=α，则有B′E=2sinα，CE=2cosα，，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当时，AB′取得最小值．【解答】解：过点B′作B′E⊥CD于E，连结BE，AE，设∠BCD=∠B′CD=α，则有B′E=2sinα，CE=2cosα，，在△AEC中，由余弦定理得：=9+4cos2α﹣12sinαcosα，在Rt△AEB′中，由勾股定理得：AB'2=AE2+B′E2=9+4cos2α﹣12sinαcosα+4sin2α=13﹣6sin2α，∴当时，AB′取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理、勾股定理、直二面角等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）下表数据是退水温度x（℃）对黄铜延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．．【分析】（1）根据所给数据，可得散点图．（2）利用公式，计算出b，a，即可得出y对x的线性回归方程．【解答】解：（1）散点图如下：由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近．（2）列出下表并用科学计算器进行有关计算．=550，57于是可得b==≈0.05886．a=﹣b=57﹣0.05886×550=27.57．因此所求的回归直线的方程为：=0.05886x+27.57．【点评】本题考查散点图，考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（9分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【分析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．【解答】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【点评】本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．19．（10分）若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．【分析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9，由此能求出t的取值范围．（2）r==，由此能求出r max=，此时圆的面积最大，并能求出对应的圆的方程．（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，由此能求出0＜t＜．【解答】解：（1）已知方程可化为：（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，r max=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，，EF=1，，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣B的大小；（3）在线段EB上是否存在一点G，使得CG与AF所成的角为30°？若存在，求出BG的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取AD的中点N，连结MN、NF，推导出四边形MNFE是平行四边形，从而EM∥FN，由此能证明EM∥平面ADF．（2）设AB、AF的中点分别为P，Q，则FP=EB=，AP=1，AF=2，△ABF是正三角形，由BD⊥AB，BD⊥EB，得BD⊥平面ABF，从而∠BQD是二面角D﹣AF ﹣B的平面角，由此能求出二面角D﹣AF﹣B的大小．（3）在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．只需验算点G和端点B、E重合时，CG与AF所成角即∠DAQ和∠CEP的大小即可．【解答】证明：（1）取AD的中点N，连结MN、NF，在△DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴MN∥AB，MN=AB，又∵EF∥AB，EF=AB，∴MN EF，∴四边形MNFE是平行四边形，∴EM∥FN，∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，∴EM∥平面ADF．解：（2）设AB、AF的中点分别为P，Q，则FP=EB=，AP=1，AF=2，△ABF是正三角形，∵BD⊥AB，BD⊥EB，∴BD⊥平面ABF，BQ是DQ在平面ABF内的射影，∴DQ⊥AF，∴∠BQD是二面角D﹣AF﹣B的平面角，在△BQD中，QD==，BQ=，∴cos，∴∠BQD=60°，∴二面角D﹣AF﹣B的大小为60°．（3）在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．理由如下：只需验算点G和端点B、E重合时，CG与AF所成角即∠DAQ和∠CEP的大小即可．在△DAQ和△CEP中，cos，cos，∵，，∴∠DAQ和∠CEP都大于30°，∴在线段EB上不存在一点G，使得CG与AF所成角为30°．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．21．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4和圆C2：（x+3）2+（y﹣1）2=4（1）若直线l1过点A（2，0），且与圆C1相切，求直线l1的方程；（2）若直线l2过点B（4，0），且被圆C2截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）直线l3的方程是x=，证明：直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求直线l1的方程；（2）设直线l的方程为y=k（x﹣4），再利用圆C2的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（3）设出过P点的直线l4与l5的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，可得⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】（1）解：由题意，直线的斜率存在时，设方程为y=k（x﹣2），即kx﹣y ﹣2k=0．圆心到直线的距离为=2，∴k=，∴直线l1的方程y=（x﹣2）；直线的斜率不存在时，方程为x=2也满足题意，综上所述，直线l1的方程为y=（x﹣2）或x=2；（2）解：设直线l2的方程为y=k（x﹣4），被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的圆心到l的距离为1．由点到直线l的距离公式得d==1，解得k=0或﹣，所以直线l的方程为y=0或y=﹣（x﹣4）；（3）证明：设点P（a，b），由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l4的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0则直线l5方程为：y﹣b=﹣（x﹣a），∵⊙C1的圆心坐标为（4，5），半径r1=2，⊙C2的圆心坐标为（﹣3，1），半径为r2=2，圆心距O102=3，∵直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等，∴⊙C1的圆心到直线l4的距离与圆C2的圆心到直线l5的距离相等，∴=整理得k（3﹣a+b）+b+a﹣2=0或（5﹣b﹣a）k﹣a+b﹣8=0，∵k的取值有无穷多个，∴或∴或∴直线l3的方程是x=，直线l3上存在点P，满足过P的无穷多对互相垂直的l4和l5，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l4被圆C1截得的弦长与直线l5被圆C2截得的弦长相等．【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．。
安徽省安师大附中高二数学上学期期中试题 理
安师大附中2014～2015学年度第一学期期中考查高 二 数 学 试 题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A .对立事件B .互斥但不对立事件C .不可能事件D .必然事件 2、在下列四个命题中，其中正确命题的是（ ） A . 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B . 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 C . 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D . 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.3、如图给出的是计算201614121++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A .8i >?B .9i >?C .10i >?D .11i >?4、从2 014名学生中抽取50名组成参观团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2 014人中剔除14人，剩下的2 000 人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率是( )A .不全相等 B .均不相等C .都相等，且为251007D .都相等，且为1405、如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，ABC ∠等于（ ）A . 45°B . 60°C . 90°D . 120°6、从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A . 70.09B . 70.12C . 70.55D . 71.057、已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,则此几何体的体积为第3题图3311俯视图侧视图主视图5（ ）A .163B .103C .D 8、甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ ）A .318 B .418 C .518 D .6189、甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a ，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（ ）A . a 34B .a 362 C . a 27 D . a 938 10、三棱柱111ABC-A B C 的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,所有棱长都是6,则四面体111A ABC, B ABC, C ABC的公共部分的体积等于（ ）A .B .C .D . 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11、117,182的最大公约数是 ．12、若空间某条直线与某长方体的十二条棱所在直线成角均为α,则cos α= ．13、在某次综合素质测试中，共设有40个考场，每个考场30名考生．在考试结束后， 统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．这40个考场成绩的众数是 , 中位数是 .14、已知正三棱锥ABC P -，点C B A P ,,,都在半径为4的球面上，若PC PB PA ,,两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________.15、如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,P,Q,R 分别是棱BC,CD,DD 1的中点.下列命题：①过A 1C 1且与CD 1平行的平面有且只有一个； ②平面PQR 截正方体所得截面图形是等腰梯形； ③AC 1与QR 所成的角为60°;④线段EF 与GH 分别在棱A 1B 1和CC 1上运动，且EF+GH =1，则三棱锥E-FGH 体积的最大值是121； ⑤线段MN 是该正方体内切球的一条直径，点O 在正方体表面上运动，则OM ON 的取值范围是[0，2].其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共5小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、 （本小题满分6分）如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，CD =2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积17、（本小题满分6分）斜三棱柱111ABC-A B C 的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长等于b ，一条侧棱1AA 与底面相邻两边AB AC 、都成450角，求这个三棱柱的侧面积。
2017-2018学年安徽师大附中高二(下)期中数学试卷(理科)-教师用卷
2017-2018学年安徽师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 复数1−2+i +11−2i 的虚部是( )A. 15iB. 15C. −15iD. −15【答案】B【解析】解：依题：1−2+i +11−2i =−15+15i .∴虚部为15． 故选：B ．本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念． 本题是对基本概念的考查．2. 下列求导运算正确的是( )A. (cos x )′=sin xB. (ln2x )′=1xC. (3x )′=3x log 3eD.(x 2e x )′=2xe x 【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，(cos x )′=−sin x ，A 错误；对于B ，(ln2x )′=(2x )′×12x =1x ，B 正确；对于C ，(3x )′=3x ln3，C 错误；对于D ，(x 2e x )′=(x 2)′e x +x 2(e x )′=(2x +x 2)e x ，D 错误； 故选：B ．根据题意，依次分析选项，计算选项中函数的导数，综合即可得答案． 本题考查导数的计算，关键是掌握函数的导数计算公式．3. 函数y =f (x )在点(x 0,y 0)处的切线方程y =2x +1，则△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x等于()A. −4B. −2C. 2D. 4【答案】D【解析】解：∵f ′(x 0)=2，f ′(x 0)=△x →0limf (x 0)−f (x 0−△x )=2∴△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x =2△x →0lim f (x 0)−f (x 0−2△x )2△x=4故选：D ．根据导数几何意义得f ′(x 0)=2，由导数的定义知f ′(x 0)=△x →0limf (x 0)−f (x 0−△x )△x，由此配出分母上的数字2能够求出△x →0limf (x 0)−f (x 0−2△x )△x的值．本题考查导数的概念和极限的运算，解题时要认真审题，解题的关键是凑出符合导数定义的极限形式，属于基础题．4. 由曲线y =e x ，y =e −x 以及x =1所围成的图形的面积等于( )A. 2B. 2e −2C. 2−1eD. e +1e −2【答案】D【解析】解：曲线y =e x ，y =e −x 的交点坐标为(0,1) 由曲线y =e x ，y =e −x 以及x =1所围成的图形的面积就是： 01(e x −e −x )dx =(e x +e −x )|01=e +1e −1−1=e +1e −2故选：D ．先求出曲线y =e x ，y =e −x 的交点，得到积分下限，利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．本题考查指数函数的图象，定积分，考查计算能力，是基础题．5. 直线y =12x +b 是曲线y =ln x 的一条切线，则实数b 的值为( )A. 2B. ln2+1C. ln2−1D. ln2【答案】C【解析】解：y ′=(ln x )′=1x ，令1x =12得x =2， ∴切点为(2,ln2)，代入直线方程y =12x +b ， ∴ln2=12×2+b ，∴b =ln2−1．故选：C ．欲实数b 的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．6. 用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12−1<n (n ∈N 且n >1)，第二步证明中从“k 到k +1”时，左端增加的项数是( ) A. 2k +1 B. 2k −1 C. 2kD. 2k−1【答案】C【解析】解：当n =k 时，左端=1+12+13+⋯+12−1，那么当n =k +1时 左端=1+12+13+⋯+12−1+12+⋯+12−1=1+12+13+⋯+12k −1+12k +⋯+12k +2k −1，∴左端增加的项为12k +12k+1+⋯+12k+2k−1，所以项数为：2k．故选：C．当n=k时，写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．7.已知x∈(0,+∞)有下列各式：x+1x ≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+27x3=x3+x3+x 3+27x3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x+ax4≥5，则正数a=()A. 4B. 5C. 44D. 55【答案】C【解析】解：由已知中：x∈(0,+∞)时，x+1x≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+273=x+x+x+273≥4…归纳推理得：x+n nx n≥n+1，若x+ax≥5，则n+1=5，即n=4，此时a=n n=44，故选：C．由已知中的不等式x+1x ≥2，x+4x2=x2+x2+4x2≥3，x+27x3=x3+x3+x3+27x3≥4，归纳推理得：x+n nx≥n+1，进而根据n+1=5，求出n值，进而得到a值．本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知归纳推理得：x+n nx≥n+1，是解答的关键．8.设函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)在R上可导，其导函数f′(x)，且函数f(x)在x=−2处取得极小值，∴当x>−2时，f′(x)>0；当x=−2时，f′(x)=0；当x<−2时，f′(x)<0．∴当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)>0．故选：A．由题设条件知：当x>−2时，xf′(x)<0；当x=−2时，xf′(x)=0；当x<−2时，xf′(x)>0.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．9.若a=ln33，b=ln55，c=ln66，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c 【答案】B【解析】解：令f(x)=ln xx (x≥e)，则f′(x)=1−ln xx2≤0，∴函数f(x)在[e,+∞)上单调递减，∴a=ln33>b=ln55>c=ln66，即a>b>c．故选：B．令f(x)=ln xx (x≥e)，则f′(x)=1−ln xx≤0，可得函数f(x)在[e,+∞)上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.若函数f(x)=2x2−ln x在其定义域内的一个子区间(k−1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()A. [1,+∞)B. [1,32) C. [1,2) D. [32,2)【答案】B【解析】解：因为f(x)定义域为(0,+∞)，又f′(x)=4x−1x，由，得x=12．当x∈(0,12)时，，当x∈(12,+∞)时，0'/>据题意，k−1<12<k+1 k−1≥0，解得1≤k<32．故选：B．先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x)，在函数的定义域内解方程fˊ(x)=0，使方程的解在定义域内的一个子区间(k−1,k+1)内，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了对数函数的导数，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力，属于基础题．11.若点P(a,b)在函数y=x2+3ln x的图象上，点Q(c,d)在函数y=x+2的图象上，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为()A. B. 8 C. 2 D. 2【答案】B【解析】解：设直线y=x+m与曲线y=−x2+3ln x相切于P(x0,y0)，由函数y=−x2+3ln x，∴y′=−2x+3x，令−2x0+3x=1，又x0>0，解得x0=1．∴y0=−1+3ln1=−1，可得切点P(1,−1)．代入−1=1+m，解得m=−2．可得与直线y=x+2平行且与曲线y=−x2+3ln x相切的直线y=x−2．而两条平行线y=x+2与y=x−2的距离d=2=22．∴(a−c)2+(b−d)2的最小值=(22=8．故选：B．先求出与直线y=x+2平行且与曲线y=−x2+3ln x相切的直线y=x+m.再求出此两条平行线之间的距离(的平方)即可得出．本题考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离、最小值的转化问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题．12.若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】解：f′(x)=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3(f(x))2+2af(x)+b=0，得x=x1，或x=x2，即3(f(x))2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x2)=x2的解．如图所示，由图象可知f(x)=x1有2个解，f(x)=x2有1个解，因此3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3．故选：A．求导数f′(x)，由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f(x)的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.设复数z=2−i1+i，则z的共轭复数为______．【答案】12+32i【解析】解：∵z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i2=12−32i.∴z=12+32i.故答案为：12+32i．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．14.学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C 作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．【答案】B【解析】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．本题考查了合情推理的问题，属于基础题．15.如图所示的数阵中，第15行第2个数字是______．【答案】1106【解析】解：不妨令a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，……，则a3−a2=2，a4−a3=3，a5−a4=4，…a15−a14=14，将以上各式相加得a15−a2=2+3+4+⋯+14=(2+14)×132=104，∴a15=104+2=106，即15行第2个数字是1106，故答案为：1106．观察这个数列每一行第二个数的倒数，然后相邻两项作差，然后利用叠加法求出第15行第2个数的倒数，从而求出所求．本题主要考查归纳推理的应用，观察分母，利用作差法以及累加法进行求解是解决本题的关键．16.以下判断正确的序号是______．(1)集合M={1,2，zi}，i为虚数单位，N={3,4}，M∩N={4}，则复数z=−4i；(2)04(|x−1|+|x−3|)dx=10；(3)已知函数f(x)=x3+x，对任意的m∈[−2,2]，f(mx−2)+f(x)<0恒成立，则x的取值范围为(−2,23)；(4)设f1(x)=cos x，定义f n+1(x)为f n(x)的导数，即，n∈N若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+⋯+f2018(A)=13，则sin2A=89．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】解：(1)集合M={1,2，zi}，N={3,4}，M∩N={4}，可得zi=4，解得z=−4i，故(1)正确；(2)04(|x−1|+|x−3|)dx=1004(|x−1|+|x−3|)dx=01(4−2x)dx+132dx+34(2x−4)dx=(4x−x2)| 01+(2x)| 13+(x2−4x)| 34=4−1+6−2+16−16−9+12=10，故(2)正确；(3)函数f(x)=x3+x，f(x)为奇函数，且为R上的增函数，对任意的m∈[−2,2]，f(mx−2)+f(x)<0恒成立，可得f(mx−2)<−f(x)=f(−x)，即为mx−2<−x，可得mx−2+x<0，即−2x−2+x<0，且2x−2+x<0，解得−2<x<23，故(3)正确；(4)设f1(x)=cos x，定义f n+1(x)为f n(x)的导数，可得f2(x)=−sin x，f3(x)=−cos x，f4(x)=sin x，f5(x)=cos x，f6(x)=−sin x，…，若△ABC的内角A满足f1(A)+f2(A)+⋯+f2018(A)=13，可得cos A−sin A−cos A+sin A+cos A−sin A+⋯+cos A−sin A=13，即有504×(cos A−sin A−cos A+sin A)+cos A−sin A=13，可得cos A−sin A=13，两边平方可得1−2cos A sin A=19，则sin2A=89，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(3)(4)．(1)由集合的交集定义和复数的运算，可得z；(2)讨论x的范围，去绝对值，求得原函数，运用定积分公式计算可得；(3)判断f(x)为奇函数，且为R上的增函数，由一次函数的单调性，计算可得所求范围；(4)运用导数的运算性质，求得周期性，再由同角的基本关系式可得所求值．本题考查命题的真假判断，考查集合与复数的概念、定积分的求法、函数的奇偶性和单调性的运用和导数的运用、周期性的运用和同角基本关系式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共52.0分）17.已知函数f(x)=(ax+b)ln x−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．【答案】解：(1)因为f(1)=−b+3=2，所以b=1，又f′(x)=bx +a ln x+a−b=1x+a ln x+a−1，而函数f(x)=(ax+b)ln x−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2，所以，所以a=0；(2)由(1)得f(x)=ln x−x+3,f′(x)=1x−1，当0<x<1时，0'/>；当x>1时，；所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有极大值f(1)=2，无极小值．【解析】(1)利用切线方程，转化求解a，b即可．(2)利用函数的导数，判断函数的单调性然后求解函数的极值即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查计算能力．18.由下列不等式：1>12，1+12+13>1,1+12+13+⋯+17>32,1+12+13+⋯115>2,…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【答案】解：根据给出的几个不等式1+12+13>1,1+12+13+⋯+17>32,1+12+13+⋯+115>2,…可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：1+12+13+⋯+12n−1>n2,n∈Z．用数学归纳法证明如下：①当n=1时，1>12，猜想正确．②假设n=k时猜想成立，即1+12+13+⋯+12−1>k2，则n=k+1时，1+12+13+⋯+12k−1+12k+12k+1+⋯+12k+1−1>k2+12k+12k+1+⋯+12k+1−1>k2+12k+1+12k+1+⋯+12k+1=k2+2k2k+1=k+12，即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的n∈N+，不等式成立．【解析】根据已知不等式猜想第n个不等式，然后利用数学归纳法证明即可．本题考查数学猜想，以及数学归纳法的证明，注意n=k+1时必须用上假设，考查逻辑思维能力，计算能力．19.(1)已知a>0，b>0且a+b>2，求证：1+b2,1+ab中至少有一个小于2；(2)已知a>0,1b −1a>1，求证：1+a>1−b．【答案】证明：(1)假设1+ba ,1+ab都不小于2，则1+ba≥2,1+ab≥2，∵a>0，b>0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，两式相加得：2+a+b≥2(a+b)，解得a+b≤2，这与已知a+b>2矛盾，故假设不成立，∴1+ba ,1+ab中至少有一个小于2；(2)∵1b −1a>1,a>0，∴0<b<1，要证1+a>1−b，只需证1+a⋅1−b>1，只需证1+a−b−ab>1，只需证a−b−ab>0，即a−bab>1，即1b −1a>1，这是已知条件，所以原不等式成立．【解析】(1)利用反证法，推出a+b≤2，与已知a+b>2矛盾，从而证明不等式．(2)利用分析法的证明步骤，逐步证明推出不等式成立的充分条件即可．本题考查不等式的证明，分析法以及反证法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．20.已知函数f(x)=ax+ax−3ln x．(1)当a=2时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在(1,e]上为单调函数，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=2x+2x −3ln x，∴f′(x)=2−2x−3x=2x2−3x−2x．令，得x=2或x=−12(舍)．又当x=2时，f(x)极小=f(2)=5−3ln2，∴当a=2时，函数f(x)的最小值为5−3ln2．(2)∵f(x)=ax+ax −3ln x，∴f′(x)=ax2−3x−ax2，又f(x)在(1,e]上为单调函数，∴当x∈(1,e]时，或恒成立，也就是ax2−3x−a≥0或ax2−3x−a≤0对∀x∈(1,e]恒成立，即a≥3xx−1或a≤3xx−1对∀x∈(1,e]恒成立．令G(x)=3xx2−1，则G′(x)=−3(x2+1)(x2−1)2．∴当x∈(1,e]时，在(1,e]上单调递减，又当x→1时，G(x)→+∞；当x=e时，G(x)=3ee−1，∴a≤3ee2−1，故f(x)在(1,e]上为单调函数时，实数a的取值范围为(−∞,3ee2−1]．【解析】(1)当a=2时，代入函数的解析式，求出函数的导数，因为定义域为开区间，求得极值即为最值．(2)先求，再由“f(x)在[1,e]上为单调函数”转化为“或在[1,e]上恒成立”，最后转化为最值法求解．本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．21.已知函数f(x)=e x−ax,a∈R．(1)若f(x)在定义域内无极值点，求实数a的取值范围；(2)求证：当0<a<1，x>0时，f(x)>1恒成立．【答案】解：(1)由题意知f′(x)=e x(x−1)+ax2，令g(x)=e x(x−1)+a，(x≠0)，则，当x<0时，，g(x)在(−∞,0)上单调递减，当x>0时，0'/>，g(x)在(0,+∞)上单调递增，又g(0)=a−1，∵f(x)在定义域内无极值点，∴a >1，又当a =1时，f (x )在(−∞,0)和(0,+∞)上都单调递增也满足题意， 所以a ≥1； (2)证明：f ′(x )=e x (x−1)+ax 2，令g (x )=e x (x −1)+a ，由(1)可知g (x )在(0,+∞)上单调递増， 又 g (1)=a >0g (0)=a−1<0，所以存在唯一的零点x 0∈(0,1)，故f (x )在(0,x 0)上单调递减， 在(x 0,+∞)上单调递増， ∴f (x )≥f (x 0)，由e x 0(x 0−1)+a =0知f (x 0)=e x 0>1， 即当0<a <1，x >0时，f (x )>1恒成立．【解析】(1)求出导函数，构造函数g (x )=e x (x −1)+a ，(x ≠0)，求出，通过当x <0时，当x >0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解即可． (2)求出f ′(x )=e x (x−1)+ax 2，令g (x )=e x (x −1)+a ，求出函数的最值，证明结论即可．本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，考查转化思想以及计算能力．22. 已知函数f (x )=x (ln x +1)．(1)求函数f (x )的最小值；(2)设，讨论函数F (x )的单调性；(3)若斜率为k 的直线与曲线交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点，求证：x 1<1k<x 2．【答案】解：(1)定义域为(0,+∞)， 0)'/>，令，得x =1e ，当x ∈(0,1e 2)时，；当x ∈(1e 2,+∞)时，0'/>，则f (x )在(0,1e 2)上递减，在(1e 2,+∞)上递增， ∴当x =1e 2时，f (x )min =1e 2(ln 1e 2+1)=−1e 2； (2)F (x )=ax 2+ln x +2,F ′(x )=2ax +1x=2ax 2+1x(x >0)，①当a ≥0时，恒有 0'/>，F (x )在(0,+∞)上是增函； ②当a <0时，令0'/>，即2ax 2+1>0，解得0<x < −12a；令，即2ax 2+1<0，解得x > −12a；综上，当a ≥0时，F (x )在(0,+∞)上是增函数； 当a <0时，F (x )在(0, −12a)上单调递增，在( −12a ,+∞)上单调递减； (3)由题目可知，直线的斜率k =f ′(x 2)−f ′(x 1)x 2−x 1=ln x 2−ln x 1x 2−x 1，要证：x 1<1k <x 2，即证：x 1<x 2−x1ln x 2−ln x 1<x 2，由于涉及到两个变量，不太好处理，所以考虑变量集中，给双连不等式的左中右同除以x1，等价转化为1<x21−1ln x21<x2x1，令t=x2x1，则只要证：1<t−1ln t<t，由t>1，知ln t>0，故等价于证：ln t<t−1<t ln t(t>1)(∗)，①设g(t)=t−1−ln t(t>1)，则g′(t)=1−1t>0(t>1)，∴g(t)在(1,+∞)上是增函数，当t>1时，g(t)=t−1−ln t>g(1)=0，∴t−1>ln t；②设ℎ(t)=t ln t−(t−1)(t>1)，则0(t> 1)'/>，∴ℎ(t)在(1,+∞)上是增函数，∴当t>1时，ℎ(t)=t ln t−(t−1)>ℎ(1)=0，∴t ln t>t−1(t>1)，由①②知(∗)成立，∴x1<1k<x2．【解析】(1)数字系数的函数的最值求解，用常规方法即可．(2)转化为含参函数不等式的求解，通过解不等式判断单调性．(3)先利用题目条件，将k和导函数建立联系，然后将待证命题等价转化，再利用变量集中思路，转化为一元不等式的证明，接下来作差法构造函数证明即可．(1)第一问是常规问题，(2)第二问是含参不等式的求解，有点难度．(3)注意将命题做等价转化的思维的灵活性，同时注意变量集中思想的运用，以及作差构造新函数来证明不等式的常用思路．。
数学-高二-安徽师大附中高二上学期期中考试理科数学试题1
安徽师范大学附属中学 期中考查 高 二 理 科 数 学 试 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、下列说法正确的是（ ）A ．任意三点可确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 2、某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）第2题图A ．B ．C ．D ．3、已知水平放置的ΔABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中3''''1,''2B O C O A O ===， 那么原ΔABC 是一个（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．仅有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形 4、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．35、在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π 6、对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）A ．平行B ．相交C ．垂直D ．互为异面直线7、若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，α⊂m ，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，α⊄m ，则//m α'O 'B 'A 'C 'x8、如图正方体中,o,1o为底面中心,以1 oo所在直线为旋转轴,线段1BC形成的几何体的正视图为（）第8题图9、给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足l=⊥⊥βαγβγα,,,则γ⊥l②若直线l上有无数个点不在平面α内，则α//l③已知a,b是异面直线，βα,为两个平面，若αββα//,,//,bbaa⊂⊂，则βα//④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个10、在棱长为2的正方体内有一四面体A－BCD，其中B，C分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体A－BCD的体积为( )A.83B．2 C.43D．111、设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面α （）A．不存在 B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个12、如图，正方体1111ABCD A B C D-，则下列四个命题：①P在直线1BC上运动时，三棱锥1A D PC-的体积不变；②P在直线1BC上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线1BC上运动时，二面角1P AD C--的大小不变；④M是平面1111A B C D上到点D和1C距离相等的点，则M点必在直线11A D上其中真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.）(A)(B)(C)(D)AA1B1C1D1BCDOO113、如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则 AB 与平面β所成的角的正弦值是 . 14、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标 出的尺寸，可得这个几何体的全面积为 ．15、底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一 个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan(α＋β)的值是_____ _．16、一个半径为1的小球在一个内壁棱长为64的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17、（8分）如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图（2）（3）所示(单位：cm)。
安徽省安师大附中2017-2018学年高二上学期测考数学(理)试题
安师大附中2017-2018学年度上学期测考卷高二数学（理科）试题 第I 卷（选择题）一、选择题1.直线1L ：3)1(=-+y a ax 与2L ：2)32()1(=++-y a x a 互相垂直，则a 的值为 A.3- B.1 C.230-或 D.31-或 2.已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A ．1016⎛⎫⎪⎝⎭ ， B ．1016⎛⎫⎪⎝⎭， C ．（1,0） D ．（0,1） 3.点()y x M ,在函数82+-=x y 的图象上，当x ∈[2，5]时，11++x y 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,61 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-35,61 D ．[]4,2 4.过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若0120AMB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．3D ．25.已知圆22(1)(1)4x y -+-=上到直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有2个，则b 的取值范围是（ ）A ．(B ．(-C ．(-D ．(-6.设两圆12C C 、都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C 等于（ ）A. 4B.C. 8D. 7.已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上任意一点作与夹角为的直线交于，则的最小值为（ ）A. B. C.D.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距）A. 223144x y -=B. 221124x y -=C. 221412x y -=D. 223144x y -= 9.过双曲线2221(0)y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E , O 为坐标原点，若2,OFE EOF ∠=∠则b =（ ）A.12B. C. 2 D.10.已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A.13 B. 12 C. 23 D. 3211.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A.B. C.D.12. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）A. B.C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题13. “0.20.2log log a b <”是“a b >”的（ ）条件．14. 椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120 的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于2MF ，则椭圆的离心率为 ． 15.圆22221x y +=与直线10mx y +-=的位置关系是相离，则m 的取值范围是__________． 16. 给出下列命题：①直线10x -=的倾斜角是23π； ②已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则有221212,4p x x y y p ==-； ③已知1F 、2F 为双曲线C ： 22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为12，且原点到过椭圆C 的上顶点与右顶点的直线的距离为7． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0,,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ．18.已知:p 2228200,:210(0)x x q x x a a --<-+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）与直线l ： x m=（R m ∈），四点3,1（）， 3,1-（），()-，中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ， N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ： ()22116x y ++=，点()1,0A ，点(),0B a （3a >），以B 为圆心， BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点Q.（1）当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；（2）已知直线l 过点 C ，且与曲线τ交于 ,M N 两点，记OCM ∆面积为1S ， OCN ∆ 面积为0,02πρα><<，求12S S 的取值范围. 21.已知圆C:x 2+y 2-8y+12=0,直线l 经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程. (2)若直线l 与圆C 相离,求k 的取值范围.22.已知229x y +=的内接三角形ABC 中， A 点的坐标是()3,0-，重心G 的坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求 （1）直线BC 的方程；（2）弦BC的长度.参考答案1.D2.A3.C4.D5.C6.C7.D8.B9.D10.D11.D12.C 13 .充分不必要条件14.115.11m -<< 16. ②③ 17.（1）由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===，即2243a b =．① 取过两端的直线1x ya b +=，即0bx ay ab +-=7= ①入②，224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()224{ 143y k x x y =-+=， 得()2222433264120k x k x k +-+-=，①设点()()1122,,,B x y E x y ，则()11,A x y -， 直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，令0y =得， ()221221y x x x x y y -=-+．将()()11224,4y k x y k x =-=-代入整理得， 得()121212248x x x x x x x -+=+-，②由①得22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++，代入②整理得1x =，所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0Q ． 18.222:8200210,:21011p x x x q x x a a x a --<⇔-<<-+-≤⇔-≤≤+， ∵,p q q p ⇒≠，∴{|210}{|11}x x x a x a -<<⊄-≤≤+，故有12{110 0a a a -≤-+≥>，解得9a ≥，因此，所求实数的取值范围是[)9,+∞． 19.（Ⅰ）解：由题意有3个点在椭圆C 上，根据椭圆的对称性，则点()3,1， ()3,1-一定在椭圆C 上， 即22911a b +=，①若点()0-在椭圆C 上，则点()0-必为椭圆C 的左顶点，而3＞()0-一定不在椭圆C 上，故点在椭圆C上，点()0-在直线l 上， 所以22331a b+=，② 联立①②可解得212a =， 24b =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得直线l的方程为x =-设()0P y -，0y ⎛∈ ⎝⎭， 当00y ≠时，设()11M x y ，， ()22N x y ，，显然12x x ≠，联立221122221124{1124x y x y+=+=，， 则222212120124x x y y --+=，即121212121·3y y x xx x y y -+=--+， 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN的斜率为0013-=， 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即y x ⎛=⎭， 显然l '恒过定点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 当00y =时，直线MN即x =-l '为x轴亦过点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述， l '恒过定点03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 20.（1）∵BA BP =， BQ BQ =， PBQ ABQ ∠=∠， ∴QAB ∆≌QPB ∆，∴QA QP =，∵,4CP CQ QP QC QA QC QA =+=++=，由椭圆的定义可知， Q 点的轨迹是以C ， A 为焦点， 24a =的椭圆，故点Q 的轨迹方程为22143x y +=. （2）由题可知，设直线 l ： 1x my =-，不妨设 ()11,M x y ， ()22,N x y ∵112211,,22OMC ONC S S OC y S S OC y ∆∆==⨯⨯==⨯⨯111222y S y S y y ==-， ∵221{ 143x my x y =-+=，∴()2234690m y my +--=， 21441440m ∆+>， ∴122122634{934my y m y y m +=+=-+， ∵()221221244,0343y y m y y m +-⎛⎤=∈- ⎥+⎝⎦，即122142,03y y y y ⎛⎤++∈- ⎥⎝⎦， ∴1213,3y y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， ∴12S S 121,33y y ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.21.(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=4, 所以圆心为C(0,4),半径为2，所以CD 的中点坐标为E(-1,2),且所以圆E 的半径故所求圆E 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.(2)由题意得直线l 的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0. 因为直线l 与圆C 相离, 所以有圆心C 到直线l2>,解得3k 4<. 所以k 的取值范围3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
安徽省安师大附中2017-2018学年高二上学期测考数学理
安师大附中2017-2018学年度上学期测考卷高二数学（理科）试题 第I 卷（选择题）一、选择题1.直线1L ：3)1(=-+y a ax 与2L ：2)32()1(=++-y a x a 互相垂直，则a 的值为 A.3- B.1 C.230-或 D.31-或 2.已知抛物线的方程为y ＝2ax 2，且过点（1,4），则焦点坐标为 A ．1016⎛⎫⎪⎝⎭ ， B ．1016⎛⎫⎪⎝⎭， C ．（1,0） D ．（0,1） 3.点()y x M ,在函数82+-=x y 的图象上，当x ∈[2，5]时，11++x y 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,61 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,0 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-35,61 D ．[]4,2 4.过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，双曲线左顶点为M ，若0120AMB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．3D ．25.已知圆22(1)(1)4x y -+-=上到直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有2个，则b 的取值范围是（ ）A ．((0,2)B ．(-C ．((2,32)-D ．((2,32]-6.设两圆12C C 、都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C 等于（ ）A. 4B.C. 8D. 7.已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上任意一点作与夹角为的直线交于，则的最小值为（ ）A. B. C.D.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距）A. 223144x y -=B. 221124x y -=C. 221412x y -=D. 223144x y -= 9.过双曲线2221(0)y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E , O 为坐标原点，若2,OFE EOF ∠=∠则b =（ ）A.12B. C. 2 D.10.已知F 是双曲线C ：x 2-23y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A.13 B. 12 C. 23 D. 3211.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A.B. C.D.12. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）A. B.C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题13. “0.20.2log log a b <”是“a b >”的（ ）条件．14. 椭圆22221x y a b+=（a >0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过2F 作倾斜角为120的直线与椭圆的一个交点为M ，若1MF 垂直于2MF ，则椭圆的离心率为 ． 15.圆22221x y +=与直线10mx y +-=的位置关系是相离，则m 的取值范围是__________． 16. 给出下列命题：①直线10x -=的倾斜角是23π； ②已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则有221212,4p x x y y p ==-； ③已知1F 、2F 为双曲线C ： 22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上．其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为12，且原点到过椭圆C 的上顶点与右顶点的直线的距离为7． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0,,P A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q ．18.已知:p 2228200,:210(0)x x q x x a a --<-+-≤>，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）与直线l ： x m=（R m ∈），四点3,1（）， 3,1-（），()-，中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ， N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，证明：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ： ()22116x y ++=，点()1,0A ，点(),0B a （3a >），以B 为圆心， BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点Q.（1）当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；（2）已知直线l 过点 C ，且与曲线τ交于 ,M N 两点，记OCM ∆面积为1S ， OCN ∆ 面积为0,02πρα><<，求12S S 的取值范围. 21.已知圆C:x 2+y 2-8y+12=0,直线l 经过点D(-2,0),且斜率为k. (1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程. (2)若直线l 与圆C 相离,求k 的取值范围.22.已知229x y +=的内接三角形ABC 中， A 点的坐标是()3,0-，重心G 的坐标是1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求 （1）直线BC 的方程；（2）弦BC的长度.参考答案1.D2.A3.C4.D5.C6.C7.D8.B9.D10.D11.D12.C 13 .充分不必要条件14.115.11m -<< 16. ②③ 17.（1）由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===，即2243a b =．① 取过两端的直线1x ya b +=，即0bx ay ab +-=7= ①入②，224,3a b ==．故椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为()4y k x =-，由()224{ 143y k x x y =-+=， 得()2222433264120k x k x k +-+-=，①设点()()1122,,,B x y E x y ，则()11,A x y -， 直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--，令0y =得， ()221221y x x x x y y -=-+．将()()11224,4y k x y k x =-=-代入整理得， 得()121212248x x x x x x x -+=+-，②由①得22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++，代入②整理得1x =，所以直线AE 与x 轴相交于定点()1,0Q ． 18.222:8200210,:21011p x x x q x x a a x a --<⇔-<<-+-≤⇔-≤≤+， ∵,p q q p ⇒≠，∴{|210}{|11}x x x a x a -<<⊄-≤≤+，故有12{110 0a a a -≤-+≥>，解得9a ≥，因此，所求实数的取值范围是[)9,+∞． 19.（Ⅰ）解：由题意有3个点在椭圆C 上，根据椭圆的对称性，则点()3,1， ()3,1-一定在椭圆C 上， 即22911a b +=，①若点()0-在椭圆C 上，则点()0-必为椭圆C 的左顶点，而3＞()0-一定不在椭圆C 上，故点在椭圆C上，点()0-在直线l 上， 所以22331a b+=，② 联立①②可解得212a =， 24b =，所以椭圆C 的方程为221124x y +=． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得直线l的方程为x =-设()0P y -，0y ⎛∈ ⎝⎭， 当00y ≠时，设()11M x y ，， ()22N x y ，，显然12x x ≠，联立221122221124{1124x y x y+=+=，， 则222212120124x x y y --+=，即121212121·3y y x xx x y y -+=--+， 又PM PN =，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN的斜率为0013-=， 又l MN '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即y x ⎛=⎭， 显然l '恒过定点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 当00y =时，直线MN即x =-l '为x轴亦过点0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 综上所述， l '恒过定点03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 20.（1）∵BA BP =， BQ BQ =， PBQ ABQ ∠=∠， ∴QAB ∆≌QPB ∆，∴QA QP =，∵,4CP CQ QP QC QA QC QA =+=++=，由椭圆的定义可知， Q 点的轨迹是以C ， A 为焦点， 24a =的椭圆，故点Q 的轨迹方程为22143x y +=. （2）由题可知，设直线 l ： 1x my =-，不妨设 ()11,M x y ， ()22,N x y ∵112211,,22OMC ONC S S OC y S S OC y ∆∆==⨯⨯==⨯⨯111222y S y S y y ==-， ∵221{ 143x my x y =-+=，∴()2234690m y my +--=， 21441440m ∆+>， ∴122122634{934my y m y y m +=+=-+， ∵()221221244,0343y y m y y m +-⎛⎤=∈- ⎥+⎝⎦，即122142,03y y y y ⎛⎤++∈- ⎥⎝⎦， ∴1213,3y y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， ∴12S S 121,33y y ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.21.(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=4, 所以圆心为C(0,4),半径为2，所以CD 的中点坐标为E(-1,2),且所以圆E 的半径故所求圆E 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.(2)由题意得直线l 的方程为y-0=k(x+2),即kx-y+2k=0. 因为直线l 与圆C 相离, 所以有圆心C 到直线l2>,解得3k 4<. 所以k 的取值范围3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
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安徽师范大学附属中学 期中考查高二数学试卷（理）命题教师：曹多保 审题教师：张家武时间120分钟，满分100分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2所得到的一组新数据的方差为( )A ．212s B ．22s C ．24s D ．2s 2．在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中抽取20个作为样本．①将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下面说法正确的是( )A ．不论采用哪一种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都是15B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为15，③并非如此C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为15，②并非如此D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 3．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝05．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )A ．19 B ．29 C ．49 D ．896( )A ．3πB ．4πC ．D ．6π7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为( )A ．45B ．35C ．5 D ．58．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，过点P （0，2）作圆C 的切线，交x 轴正半轴于点Q ．若M （m ，n ）为线段PQ 上的动点（不含端点），则1m n+的最小值为( )A ．2B ．1C ．3D ．3 9．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆翻折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α ( ) A ．A DB α'∠≤ B ．A DB α'∠≥ C ．A CB α'∠≤ D ．A CB α'∠≥10．在平面直角坐标系中，定义d （P ，Q ）＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为点P （x 1，y 1）到点Q （x 2，y 2）的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；③到M （－1，0），N （1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x ＝0； ④到M （－1，0），N （1，0）两点的“折线距离”之差的绝对值为1的点的轨迹是两条平行线. 其中真命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．10B ．10C ．6＋D ．612．已知点()1,0A -，()1,0B ，()0,1C ，直线()0y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )A ．()0,1B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上)13．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，若圆C的面积最小，则圆C 的方程为________．14．已知直线l 过点(－1,0)，l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝3相交于A 、B 两点，则弦长|AB |≥2的概率为________．15．在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于A ，B 两点，O为坐标原点，若圆上有一个C 满足5344OC OA OB →→→=+，则r = ．16．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3AC =，2BC =，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后AB '的最小值是________．三、解答题(本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分8分)下表数据是退水温度x(℃ )对黄硐延长性y(%)效应的试验结果，y 是以延长度计算的，且对于给定的x ，y 为正态变量，其方差与x 无关.(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程．18．(本题满分9分)如图所示，在直四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1AA 1＝3，点E 在棱B 1B 上运动．(1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)当三棱锥B 1A 1D 1E 的体积为23时，求异面直线AD ，D 1E 所成的角．19．(本小题满分10分)已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．20．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，090ABD ∠=，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，2AB =，EB =1EF =，BC =且M是BD的中点．（1）求证：EM ∥平面ADF ； （2）求二面角D AF B --的大小；（3）在线段EB 上是否存在一点G ，使得 CG 与AF 所成的角为030？若存在，求出BG 的长度；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1C ：()()22454x y -+-=和圆2C ：()()22314x y ++-=．（1）若直线1l 过点()2,0A ，且与圆1C 相切，求直线1l 的方程；（2）若直线2l 过点()4,0B ，且被圆2C 截得的弦长为2l 的方程； （3）直线3l 的方程是52x =，证明：直线3l 上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线4l 和5l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线4l 被圆1C 截得的弦长与直线5l 被圆2C 截得的弦长相等．高二上学期期中考试数学试卷答案一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)13．[答案] (x －2)2＋(y －1)2＝5[解析] 由题易知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，能覆盖它且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ 为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径为|PQ |2＝5，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.14．[答案]33[解析] 设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入(x －1)2＋y 2＝3中得，(k 2＋1)x 2＋2(k 2－1)x ＋k 2－1＝0，∵l 与⊙C 相交于A 、B 两点，∴Δ＝4(k 2－1)2－4(k 2＋1)(k 2－2)>0，∴k 2<3，∴－3<k <3，又当弦长|AB |≥2时，∵圆半径r ＝3，∴圆心到直线的距离d ≤2，即|2k |1＋k2≤2，∴k 2≤1，∴－1≤k ≤1. 由几何概型知，事件M ：“直线l 与圆C 相交弦长|AB |≥2”的概率P (M )＝1－(－1)3－(－3)＝33.15．[答案] r16．（文）[答案（理）[答案]三、解答题(本大题共6个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．[解析] (1)散点图如下：由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近． (2)列出下表并用科学计算器进行有关计算．于是可得b ＝∑i ＝16x i y i －6x y ∑i ＝16x 2i －6x2＝198400－6×550×571990000－6×5502≈0.05886. a ＝y －－b x －＝57－0.05886×550＝27.57.因此所求的回归直线的方程为：y ^＝0.05886x ＋27.57.18．[解析](1)证明：连接BD ， 因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， 因为B 1B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以B 1B ⊥AC .又因为B 1B ∩BD ＝B ， 所以AC ⊥平面B 1BDD 1. 因为D 1E ⊂平面B 1BDD 1， 所以AC ⊥D 1E .(2)因为V 三棱锥B 1A 1D 1E ＝V 三棱锥E -A 1B 1D 1，EB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1.所以V 三棱锥E -A 1B 1D 1＝13S △A 1B 1D 1·EB 1.又因为S △A 1B 1D 1＝12A 1B 1·A 1D 1＝1，所以V 三棱锥E -A 1B 1D 1＝13EB 1＝23，所以EB 1＝2.因为AD ∥A 1D 1，所以∠A 1D 1B 1为异面直线AD ，D 1E 所成的角． 在Rt △EB 1D 1中，可求得ED 1＝2 2.因为D 1A 1⊥平面A 1ABB 1，所以D 1A 1⊥A 1E .在Rt △EA 1D 1中，cos ∠A 1D 1E ＝222＝12，所以∠A 1D 1E ＝60°，所以异面直线AD ，D 1E所成的角为60°.19．[解析] (1)方程即(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝－7t 2＋6t ＋1，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0.∴－17<t <1.(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴t ＝37时，r max ＝477，此时圆面积最大，所对应的圆的方程得⎝⎛⎭⎫x －2472＋⎝⎛⎭⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 在圆内． ∴8t 2－6t <0，即0<t <34.20．解析：21．解析：。