2016春八年级数学下册(北师大版)PPT课件：第五章 分式与分式方程 5.4 分式方程
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八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
分式方程 去分母 整式方程
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
北师大版八年级数学下册第5章《5.3.2 通分》课件
1
分式
2 ，a 1 ，2 3a 2a2 4a3
的最简公分母是(
C)
A．24a2
B．24a3
C．12a3
D．6a3
2
分式
1 ， 1 ，1 a＋1 a2－2a＋1 a－1
的最简公分母是
( B)
A．(a＋1)2(a－1)
B．(a－1)2(a＋1)
C．(a－1)2(a2－1)
D．(a－1)(a＋1)
3 下列说法错误的是( D )
本性质通分．
解：因为最简公分母是4a2b2c，
所以
3 4a2b
3 bc 4a2b bc
3bc ； 4a2b2c
5 2ab2c
5 2a 2ab2c 2a
10a 4a2b2c
.
总结
确定分母是单项式的分式的最简公分母的方法是： ①系数取各分母系数的最小公倍数； ②同底数幂取次数最高的作为最简公分母的一个
2. 通分的关键是确定几个分式的最简公分母.
要点精析： (1)通分的依据是分式的基本性质． (2)通分的关键是确定几个分式的最简公分母． (3) 分式 同除 约分；分式 同乘 通分．
即：A M 约分 分式 通分 A M M 0 ．
BM
BM
例3
通分
3与 5 4a2b 2ab2c
.
导引：先确定各分母的最简公分母，再利用分式的基
＝
a＋3 (a＋3)(a＋3)(a－3)
，
a
2 2＋6a＋9
＝
2(a－3) (a＋3)(a＋3)(a－3)
.
(4)
1＝ x 2－4
2(
2 x＋2)(
，x x－2) 4－2x
＝
－x( x＋2) 2( x－2)( x＋2)
最新北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.4分式方程第3课时PPT课件
练习 〈湘西州〉如图，吉首城区某中学组织学生到距学 校20 km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学 生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余 学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达(两 条道路路程相同)，已知汽车速度是自行车速度的2 倍，求骑自行车学生的速度．
题中的等量关系：骑自行车行20 km所用时间－汽 导引：
随堂练习
1 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一 种科普书，又用15元买了一 种文学书. 科普书的价 格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的 文学书 少1本. 是多少？ 这种科普书和这种文学书的价格各
设这种文学书的价格为x元/本，则这种科普书的 解：
价格为1.5x元/本． 15 15 －1＝ . 根据题意，得 x 1.5 x 解这个方程，得x＝5.
再由甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文
章所用的时间相同，可列出方程，解方程即可得出 答案．
设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字， 解：
1 000 900 = ， 由题意得 x+ 5 x 解得x＝45.
经检验，x＝45是所列方程的解． x＋5＝45＋5＝50.
答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．
(1)审；
(2)设； (3)列； (4)解； (5)验；
(6)答.
2.分式方程的应用题主要涉及的类型： (1)利润问题：利润＝售价－进价，
60 ； (4)解：解分式方程，得________ (5)检：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验 分式方程的解是否符合问题的实际意义． 经检验：_________ x＝60 是原方程的解，且符合题意； (6)答：写出答案(不要忘记单位)． 60 km/h ． 答：原计划的行驶速度为__________
北师大版八年级数学初二下册第5章《分式与分式方程》5.1认识分式5.2分式的乘除法优秀PPT课件
a 1 11 解:(1)当a=1时, 2. 2a 1 2 1 a 1 2 1 1. 当a=2时, 2a 1 4 1 a 1 1 1 0. 当a=-1时, 2a 1 2 1
(2)当分母的值为零时,分式没有 意义,除此以外,分式都有意义.
b by (1) (y≠0); 2 x 2 xy
〔解析〕
(2)
ax a . bx b
据分式的基本性质,分子b 也要乘y,才能得到 2 xy .(2)
b (1) 的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根 2x by
得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知 解:(1)因为y≠0,所以
ax 的分子ax除以x bx ax
的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.
无意义.试求m,n的值.
x m n1 4.对于分式 ，已知当x=-3时,分式的值为0；当x=2时,分式 m 2n 3m
解:∵当x=-3时，分式的值为0,
3 m n 0， m+n -3， 即 m 2n 9 0， m 2n 9.
问题2
如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影
部分的面积是多少?
问题3 这两块阴影部分的面积相等吗?
请看下面的问题:
问题1
如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形
的宽怎么表示呢? 问题2 如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起, 它的宽怎么表示呢? 问题3 两图中长方形的宽相等吗?
2.若分式
2x 1 有意义,则x的取值范围是 3x 5
5 3
.
5 解析:依题意得3x+5≠0,解得x≠- 5 ,因此x的取值范围是x≠5 填x≠- . 3 3
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程PPT
分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用符号语言表达：
分数与分式的乘除法法则类似
分数的乘除法法则: 两个分数相乘,把分子相 乘的积作为积的分子,把 分母相乘的积作为积的
分式的乘除法法则: 两个分式相乘,把分子相乘
的积作为积的分子,把分母
相乘的积作为积的分母;
分母;
两个分式相除,把除式的分
子分母颠倒位置后,再与被 除式相乘.
a2 4 12ab (1) 2 8a b 3a 6
a 1 a2 1 (2) 2 2 a 4a 4 a 4
当分子或分母是多项式时,怎么办？
能分解因式的要进行分解因式.
练习
a2 1 (1) a 2 a2 2a
a2 6a 9 12-4a (3) 2 1 4a 4a 2a 1
第五章 分式与分式方程
5.1认识分式
第1课时
1. 知道分式的概念 , 明确分式和整式的区别 .
2. 掌握分式有意义、无意义的条件及分式的值为 0
的条件 .
小明在做练习题时遇到这样一道题目:下列式子中哪些是整式? ① 3x+4y,② 4a,③
������+������ ������������
,④ 8m ,⑤
2
������
������-������
,⑥ x-2,⑦
������+������ ������
.
小明能很快判断出①②④⑥是整式,并能很快地分辨出①⑥是多 项式,②④是单项式,因为单项式和多项式统称为整式.可对于③⑤⑦ 这样的式子小明很好奇:它们不是整式,是什么呢?你知道吗?
1.若分式������+������的值为正整数,小组讨论整数 x 的值有多少种可能.
北师版八年级下册第五章分式和分式方程复习课件(28张PPT)
解分式方程一定要 验根 。
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
【 例5】2019年中国设计了第一条采用我国自主研发的 北斗卫星导航系统的智能化高速铁路﹣﹣京张高铁， 作为2022年北京冬奥会重要交通保障设施。已知北京 至张家口铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁 列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通 快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．
1
2 2x x 1
)
x2 x
x
1
x的值从﹣2＜x＜3的整数值中选取。
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x 1)(x 1) 2 2x x 2 x
x 1
x 1 x 1
x2
1 2 2x x 1
x 1 x2 x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则：先通分，化为同分母的分 式，然后按照同分母分式的加减法法则进行计算。
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
3.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号 的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
解：(x
1
2
x
2x
1
)
x2 x
x
1
(x
1)(x x 1
1)
2 2x
x
1
x2 x
x
1
x2
1 2 2x x 1
x x2
1
x
x 2 2x 1 x 1 x 1 x2 x
满足﹣2＜x＜3的整数有 ﹣1，0，1，2， ∵分母x≠0，x+1≠0，x﹣1≠0
北师大八年级数学下册第五章《分式方程 5》公开课课件
•
问题1、求出租的房屋总间数；
第一年每间房屋的租金=第二年每间房屋的租金－500元 解:设出租的房屋总间数为x间，依题意，得
96000102000
500 得到结果记
x
x
住要检验。
解得 x=12
经检验x=12是所列方程的根。
所以出租的房屋总间数为12间。
问题2、分别求这两年每间房屋的租金。 解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
x
2240
2240 x 20
X+20
2240
实际工作时间+2=原计划工作时间
时间
工作效率
工作总量
y
2240 y
2240
y -2
2240 y2
2240
实际每天加固长度+20=原价划每天加固长度
.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租 金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租 金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.
在南水北调工程中，某施工单位 对运河一段长2240m 的河堤进 行加固，由于采用了新的技术， 实际每天加固的长度比原计划 增加了20m，因而实际工程所 需天数比原计划缩短了2天。实 际每天加固多少米？
原计划 实际 等量关系 列方程
原计划 实际 等量关系 列方程
问题1、求出租的房屋总间数；
第一年每间房屋的租金=第二年每间房屋的租金－500元 解:设出租的房屋总间数为x间，依题意，得
96000102000
500 得到结果记
x
x
住要检验。
解得 x=12
经检验x=12是所列方程的根。
所以出租的房屋总间数为12间。
问题2、分别求这两年每间房屋的租金。 解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
x
2240
2240 x 20
X+20
2240
实际工作时间+2=原计划工作时间
时间
工作效率
工作总量
y
2240 y
2240
y -2
2240 y2
2240
实际每天加固长度+20=原价划每天加固长度
.某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租 金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租 金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元.
在南水北调工程中，某施工单位 对运河一段长2240m 的河堤进 行加固，由于采用了新的技术， 实际每天加固的长度比原计划 增加了20m，因而实际工程所 需天数比原计划缩短了2天。实 际每天加固多少米？
原计划 实际 等量关系 列方程
原计划 实际 等量关系 列方程
北师大版数学八年级下册5.分式方程课件
足怎样的方程？ (3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需y h，那么y满
足怎样的方程？
新课讲授
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号令 同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4 800元， 八年级同学捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七 年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果 设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
A. 120 ＝ 90
v＋35 v－35
C. 120 ＝ 90
v－35 v＋35
B. 120 ＝ 90
35－v 35＋v
D. 120 ＝ 90
35＋v 35－v
课堂小结
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程． 2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程．
2
D.
5－x 2＋x
＝1
拓展与延伸
甲、乙二人做某机械零件，甲每时比乙多做6个，甲做 90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每 时做x个零件，下面所列方程正确的是( A )
A. 90＝ 60
x x－6
C. 90 ＝60
x－6 x
B. 90＝ 60
x x＋6
D. 90 ＝60
x＋6 x
布置作业
当堂小练
1 下列说法中，正确的是( C ) A．分母中含有未知数的式子就是分式方程 B．含有字母的方程叫做分式方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分式方程就是含有分母的方程
当堂小练
2.下列关于x的方程是分式方程的是( D )
A.
3＋x ＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x
2
3
B. 5x＋＋a1＝2＋x
足怎样的方程？
新课讲授
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号令 同学们自愿捐款.已知七年级同学捐款总额为4 800元， 八年级同学捐款总额为5 000元，八年级捐款人数比七 年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果 设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
A. 120 ＝ 90
v＋35 v－35
C. 120 ＝ 90
v－35 v＋35
B. 120 ＝ 90
35－v 35＋v
D. 120 ＝ 90
35＋v 35－v
课堂小结
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程． 2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程．
2
D.
5－x 2＋x
＝1
拓展与延伸
甲、乙二人做某机械零件，甲每时比乙多做6个，甲做 90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每 时做x个零件，下面所列方程正确的是( A )
A. 90＝ 60
x x－6
C. 90 ＝60
x－6 x
B. 90＝ 60
x x＋6
D. 90 ＝60
x＋6 x
布置作业
当堂小练
1 下列说法中，正确的是( C ) A．分母中含有未知数的式子就是分式方程 B．含有字母的方程叫做分式方程 C．分式方程中，分母中一定含有未知数 D．分式方程就是含有分母的方程
当堂小练
2.下列关于x的方程是分式方程的是( D )
A.
3＋x ＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x
2
3
B. 5x＋＋a1＝2＋x