湖南省湘潭市2012届高三下学期第三次模拟考试试卷(文科数学)
2012年第三次高考模拟考试(文)
2012年第三次高考模拟考试数学试卷（文科）第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ⋂≠∅，则实数m 的值为（ ） A ．3或1- B ．3 C ．3或3- D ．1- 2． 复数iiz -+=23的虚部为 A ．i - B ．i C ． -1 D ． 1 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且316,4S a == 则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2-D ．34． ︒15sin ︒+165cos 的值为A ．22 B ．22- C ．26 D ． 26- 5.已知向量()()2,1,1,a b k ==-，若()//2a a b-，则k 等于（ ）A ．12-B ．12C ．12-D ．126．等差数列}{n a 的前5项和为25，且32=a ，则=7a （ ） A 10 B 11 C 12 D 137．已知,x y 满足线性约束条件1020410x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，若(,2)x =-a ，(1,)y =b ，则z =⋅a b 的最大值是（ ）A. 1-B. 5C. 52- D. 78.要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位9．已知等差数列{}n a 满足32=a ，)3( 513>=--n S S n n ，100=nS ，则n 的值为A ．10B ．11C ．12D ．1310、某几何体的三视图如图，则该几何体的体积的最大值为（ ）A ．16 B ．13 C ．23 D ．1211、设0,0),0,(),1,(),2,1(>>-=-=-=b a b a ，O 为坐标原点，若A 、B 、C三点共线，则ba 21+的最小值是（A ）2 （B ）4（C ）6（D ）812已知定义在R 上的函数)(x f 满足：)2()(+=x f x f ，当[]5,3∈x ,42)(--=x x f ．下列四个不等关系中正确的是 （ ） A ． )6(cos )6(sinππf f < B ．)1(cos )1(sin f f >C ．)32(sin )32(cos ππf f <D ．)2(sin )2(cos f f >第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 若0x >，则2x x+的最小值为 .14.设全集,U R =且{}|12A x x =->,{}2|680B x x x =-+<,则()U C A B = .15. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3184=S S ，则168S S 等于 .16. 在等差数列{}n a 中，若1592a a a π++=，则()46sin a a += .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分14分）已知函数21()cos cos 2f x x x x =--，.x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别,,,a b c 且3c =,()0f C =，若()sin 2sin A C A +=,求,a b 的值．18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC , ,AB BC D ⊥为AC 的中点,12AA AB ==.(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；(2) 若3BC =，求三棱锥1D BC C -的体积。
湖南省湘潭市数学高三文数第三次模拟测试试卷
湖南省湘潭市数学高三文数第三次模拟测试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 复数 z 满足:(|z|-2i)(2+i)=6-2i，则 z 是（ ）A . 2-2iB. C . 3+iD. 2. （2 分） 设 A，B 是全集 I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足 A⊆ B 的 B 的个数是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 3. （2 分） (2016·北京文) 从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）A.B.C.D.4. （2 分） 如图，矩形 ABCD，AB=2，AD=1，P 是对角线 AC 上一点，，过 P 的直线分别交 DA 的延长线，AB，DC 于 M，E，N，若，则 2m+3n 的最小值是（ ）第 1 页 共 16 页A.B.C.D.5. （2 分） (2016 高一上·揭阳期中) 设 f（x）是 R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则 f（﹣2）， f（3），f（﹣π）的大小顺序是（ ）A . f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）B . f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）C . f（﹣2）＞f（3）＞f（﹣π）D . f（3）＞f（﹣2）＞f（﹣π）6. （2 分） (2017 高二上·南昌月考) 抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）A.B.C. D.7. （2 分） 已知双曲线 离心率等于（ ）的两条渐近线均与圆相切,则该双曲线第 2 页 共 16 页A.B.C.D.8. （2 分） 函数是（ ）A . 奇函数B . 非奇非偶函数C . 常数函数D . 偶函数9. （2 分） 在正项等比数列{an}中，若 s2=7,s6=91,则 s4 的值为（ ）A . 28B . 32C . 35D . 4910. （2 分） 直线 A . (3,-3) B. C. D.(t 为参数）和圆交于 A,B 两点，则 AB 的中点坐标为（ ）第 3 页 共 16 页11. （2 分） (2020·鹤壁模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 12. （2 分） 当 0＜a＜1 时，在同一坐标系中，函数 y=a﹣x 与 y=logax 的图象是（ ） A. B. C.第 4 页 共 16 页D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高二上·扬州月考) 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取 了 150 分到 450 分之间的 1000 名学生的成绩，并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）， 则成绩在[300，350）内的学生人数共有________．14. （1 分） (2019 高一下·江东月考) 已知两个等差数列的前 n 项和分别为 和 ，且，则使得 为整数的正整数 n 有________个．15. （1 分） 如图，已知圆锥的母线长为 8，底面圆的圆心为 ，直径若点 是底面圆周上一点，且直线 与 所成的角为， 在线段与底面所成角的正弦值为________．，点 是母线 上且的中点. ，则16. （1 分） (2019 高二下·嘉兴期末) 若实数 ________，最大值是________．满足不等式组三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)第 5 页 共 16 页则的最小值是17. （10 分） (2017 高一下·仙桃期末) △ABC 的三个角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，．（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 为锐角三角形，求函数 y=2sin2B﹣2sinBcosC 的取值范围．18. （10 分） (2018 高二下·阿拉善左旗期末) 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀， 85 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.甲班 乙班 总计优秀 10非优秀 30总计 105已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 .参考公式：P(K2≥k0) k00.10 2.7060.05 3.8410.025 5.0240.010 6.635（1） 请完成上面的列联表；（2） 根据列联表的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？19. （10 分） (2018·榆林模拟) 如图所示，在直角梯形中，，，，，，底面， 是 的中点．第 6 页 共 16 页（1） 求证：平面平面；（2） 若，，求平面与平面所成角的正弦值．20. （10 分） (2020·银川模拟) 如图，点 为圆 ： 的垂线，垂足分别为 ， ，连接 延长至点 ，使得上一动点，过点 分别作 轴， 轴 ，点 的轨迹记为曲线 .（1） 求曲线 的方程；（2） 若点 ， 分别位于 轴与 轴的正半轴上，直线 与曲线 相交于 ， 两点，且，试问在曲线 不存在，说明理由.上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线 方程；若21. （10 分） (2019·滨海新模拟) 已知函数（I）若讨论的单调性；（Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点函数的图象在处的切线.求证：.22. （10 分） (2019·怀化模拟) 选修 4-4：坐标系与参数方程，存在，使得已知曲线 的参数方程为（ 为参数），以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程是：（1） 求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程.（2） 点 是曲线 上的动点，求点 到直线 距离的最大值与最小值.23. （10 分） 已知函数 f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．第 7 页 共 16 页（1） 当 a=﹣2 时，求不等式 f（x）＜g（x）的解集；（2） 设 a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求 a 的取值范围．第 8 页 共 16 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 9 页 共 16 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、18-1、18-2、第 10 页 共 16 页19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
湖南省湘潭市高考数学三模试卷(文科)解析版
高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x=x2}，B={1，m，2}，若A⊆B，则实数m的值为（）A. 2B. 0C. 0或2D. 12.已知复数z=（为虚数单位），则|z|=（ ）A. B. C. D.3.“x2＞1”是“-x2＜-4”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 既不充分也不必要条件D. 必要不充分条件4.已知向量=（2，m），=（3，1），若∥，则实数m的值为（ ）A. B. C. D.5.已知函数y=2x在区间[0，1]上的最大值为a，则抛物线=ax的准线方程是（ ）A. x=-3B. x=-6C. x=-9D. x=-126.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A. B. C. D.7.已知各项都为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3a7＝256，S4﹣S2＝12，则S6＝（）A. 31B. 32C. 63D. 648.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩（满分150分），根据戒绩分数依次分成六组：[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110，则以下说法正确的是（）①m=0.031；②n=800③100以下的人数为60；④分数在区间[120，140）的人数占大半A. B. C. D.9.已知实数x，y满足不等式组，则z=x-y+3的取值范围是（）A. B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 12πB. 14πC. 18πD. 24π11.某莲藕种植塘毎年的固定成本是1万元，毎年最大规模的种植是8万斤，毎种植一斤藕，成本增加0.5元，如果销售额函数是是莲藕种植量，单位：万斤；销售額的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，毎年种植莲藕（ ）A. 8万斤B. 6万斤C. 3万斤D. 5万斤12.在四棱维P-ABCD中，底面ABCD是正方形，顶点P在底面的射影是底面的中心，且各顶点都在同一球面上，若该四校锥的灯棱长为，体积为4，且四棱的高为整数，则此球的半径等于（参考公式：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2））（ ）A. 2B.C. 4D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4=8，a1=2，则S5-S3=______14.已知函f（x）=sin（ωx+φ）+（ω＞0，|φ|＜）的图象的相邻对称轴间的距离为，函数f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减，则函数f（x）的解析式为______．15.已知直线x=m与双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于A，B两点，若△AOB（O为坐标原点）的面积为，且双曲线C的离心率为，则m=______．16.已知函数，若在区间[-1，1]上方程f（x）=1只有一个解，则实数m的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2（+），BC=2，BF＜BC，梯形ABCD的高为+1，E是CD的中点，分别以C，D为圆心，CE，DE为半径作两条圆弧交AB于F，G两点．（1）求∠BFC的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积．18.如图，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，C是弧上的一个动点（不与端点A，B重合），E为PC上一点，且AE⊥PC，F是线段BP上的一个动点（不与端点B重合）．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）若C是弧的中点，∠BOF是锐角，且三棱锥F-BOC的体积为，求tan∠BOF的值．19.阿基米德是古希腊伟大的哲学家数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”少于三项的称为“不太了解”调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下2×2列联表并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生______ ______ ______文科生______ ______ ______合计______ ______ ______（2）抽取的100名高中生中按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本，（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii）从10人的样本中随机抽取两人，求两人都是文科生的概率参考数据：P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828K2=，n=a+b+c+d20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，且过点A（）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△AF1F2的外接圆的方程．21.设函数f（x）=（1-a）x2-（2+a2）x3（a∈R）．（1）求函数f（x）的零点；（2）若a＜1，关于x的不等式解集为（α，β），证明：[2ln（1-a）-2ln3+2]（β-α）≤1．22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆C1的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）求直线l的普通方程与圆C1的直角坐标方程；（2）设动点A在圆C1上，动段OA的中点P的轨迹为C2，C2与直线l交点为M、N，且直角坐标系中，M点的横坐标大于N点的横坐标，求点M、N的直角坐标23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|（a∈R）．（1）若函数f（x）的最小值为2，求实数a的值（2）若当x∈[0，1]时，不等式f（x）≤|5+x|恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．集合A={x|x=x2}={0，1}，B={1，m，2}，A⊆B，由此能求出实数m的值．【解答】解：∵集合A={x|x=x2}={0，1}，B={1，m，2}，A⊆B，∴m=0．∴实数m的值0．故选：B．2.【答案】A【解析】解：∵z=，∴|z|=||=．故选：A．直接利用商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由x2＞1，得-x2＜-1，不可推出-x2＜-4，当-x2＜-4时，能够推出x2＞4，因此可得x2＞1．∴“x2＞1”是“-x2＜-4”的必要不充分条件．故选：D．由基本不等式的性质结合充分必要条件的判定方法得答案．本题考查基本不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵向量=（2，m），=（3，1），若∥，则=，求出m=，故选：C．由题意利用两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值．本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数y=2x在区间[0，1]上是增函数，∴最大值为a=2，∴抛物线=2x化为标准方程是y2=24x，则2p=24，p=12，．∴抛物线=2x的准线方程是x=-6．故选：B．由已知求得a，得到抛物线标准方程，求得p，则抛物线直线方程可求．本题考查函数最值的求法，考查抛物线的简单性质，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得第1次运行时，T=-1，S=-1，n=3第2次运行时，T=-3，S=-4，n=5第3次运行时，T=-5，S=-9，n=7第4次运行时，T=-7，S=-16，n=9第5次运行时，T=-9，S=-25，n=11第6次运行时，T=-11，S=-36，此时满足n＞9，所以输出的S的值为-36．故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由等比数列的性质可得：=a3a7=256，a5＞0，解得a5，又S4-S2=12，可得a3+a4=+=12，q＞0，解得q．再利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：=a3a7=256，a5＞0，解得a5=16，又S4-S2=12，∴a3+a4=+=+=12，q＞0，解得q=2．∴由a5=16，得=16，解得a1=1．∴S6==63．故选：C．8.【答案】B【解析】解：对于①，由频率分布直方图的性质得，10（m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006）=1，解得m=0.031，所以①正确；对于②，由不低于140分的频率为0.011×10=0.11，所以n==1000，所以②错误；对于③，100分以下的频率为0.006×10=0.06，所以100分以下的人数为1000×0.06=60，所以③正确；对于④，分数在[120，140）的人数占0.031×10+0.01610=0.47，占小半，所以④错误；综上，正确的说法是①③．故选：B．根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．9.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：联立解得A（3，-2）．联立解得B（，），z=x-y+3，平移经过A时取得最大值：8；经过B时取得最小值：，则z=x-y+3的取值范围是：[，8]故选：B．作出不等式组对应的平面区域，平移目标函数，推出最优解，得到最值即可．本题主要考查线性规划的应用，作出平面区域，利用z的几何意义，是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为3的圆锥的一半组合体，∴该几何体的体积为：V=π×（）2×4+×π（）2×3=18π．故选：C．由几何体的三视图，知该几何体是一个底面直径为4高为4的圆柱和一个度面直径为4高为3的圆锥的组合体，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三视图的性质的合理运用．11.【答案】B【解析】解：设销售利润为g（x），得g（x）=x3+ax2+x-1-x=x3+ax2-1，当x=2时，g（2）=-+-1=2.5，解得a=2．∴g（x）=x3+x2-1，g′（x）=-x2+x=-x（x-6），∴函数g（x）在（0，6）上单调递增，在（6，8）上单调递减．∴x=6时，函数g（x）取得极大值即最大值，故选：B．设销售利润为g（x），得g（x）=x3+ax2+x-1-x=x3+ax2-1，当x=2时，g（2）=2.5，解得a=2．可得g（x）=x3+x2-1，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O，半径为R，设底面正方形ABCD的边长为a，正四棱锥的高为h（h∈N*），则O′D=，∵该正四棱锥的侧棱长为，∴，即，①又∵正四棱锥的体积为4，∴，②由①得a2=2（11-h2），代入②得h3-11h+6=0，即（h-3）（h2+3h-2）=0，解得h=3（h∈N*），把h=3代入①，得a=2，∴，则OO′=PO′-PO=3-R．在Rt△OO′D中，由勾股定理，得O′O2+O′D2=OD2，即，解得R=，即该球的半径为．故选：B．由题意画出图形，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P-ABCD的外接球的球心为O，半径为R，设底面正方形ABCD的边长为a，正四棱锥的高为h（h∈N*），由题意列式求得a与h，进一步由勾股定理列式求解R．本题考查多面体外接球的半径，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．13.【答案】18【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=8，a1=2，∴8=2+3d，解得d=2．则S5-S3=a4+a5=2a1+7d=2×2+7×2=18．故答案为：18．设等差数列{a n}的公差为d，利用通项公式及其已知可得d．再利用S5-S3=a4+a5及其通项公式即可得出．本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】f（x）=sin（4x-）+【解析】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+（ω＞0，|φ|＜）的图象的相邻对称轴间的距离为•=，∴ω=4．∵函数f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减，∴4•（-）+φ≥-，且 4•+φ≤，∴φ=-，则函数f（x）的解析式为f（x）=sin（4x-）+，故答案为：f（x）=sin（4x-）+．由题意利用正弦函数的图象和性质，求出函数f（x）的解析式．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．15.【答案】±1【解析】解：双曲线的渐近线方程是y=±x，联立，解得，联立，解得，故|AB|=|m|，因为双曲线的离心率为，所以==e2-1=2，得=，所以|AB|=|2m|，故S△AOB=×|2m|×|m|=，解得m=±1，故答案为：±1．由双曲线的渐近线方程，可得A，B的坐标，得到AB的距离，由离心率公式和a，b，c的关系得=，由三角形的面积公式，计算即可得到m的值．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查双曲线的性质，以及三角形的面积公式的计算，属于中档题16.【答案】{m|-1≤m＜或m=1}【解析】解：当0≤x≤1时，由f（x）=1，得到2x•（x3+m）=1，即：，当-1≤x＜0时，由f（x）=1，得到：2x+1-x2-m=1，令函数g（x）=，转换为：g（x）=与函数h（x）=x2+m的图象在区间[-1，1]上有且只有一个交点．在同一坐标系内画出，g（x）=与函数h（x）=x2+m的图象，结合函数的图象h（0）=1，即m=1，由于函数的图象只有一个交点，如图所示：故：，解得：．故函数有一个交点，则：m的取值范围是：{m|m=1或}．故答案为：{m|m=1或}．利用分类讨论思想对函数的关系式进行应用，进一步利用函数的图象的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：函数的图象的应用，函数的图象的交点的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）设梯形ABCD的高为h，因为sin∠BCD===，∠BCD+∠CBF=180°，所以sin∠CBF=sin（180°-∠BCD）=sin∠BCD=，在△CBF中，由正弦定理，可得=，即=，解得sin∠BFC=，又∠BFC∈（0°，180°），且CF＞BC，所以∠BFC=45°，（2）由（1）可得∠ECF=∠BFC=45°，在△BCF中，由余弦定理推理，可得cos∠BFC=，即BF2=2（）BF+4=0，解得BF=2，BF=2（舍去），因为S△CBF=S△DAG=BF×FC×sin∠BFC==+1，所以SΩ=S△CBF+S△DAG=2（+1）．【解析】（1）设梯形ABCD的高为h，可求sin∠BCD==，利用诱导公式可求sin∠CBF的值，在△CBF中，由正弦定理可得sin∠BFC=，结合范围∠BFC∈（0°，180°），可求∠BFC的值．（2）由（1）可得∠ECF=∠BFC=45°，在△BCF中，由余弦定理可解得BF的值，利用三角形的面积公式可得S△CBF，S△DAG的值，进而大角SΩ．本题主要考查了诱导公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．18.【答案】（1）证明：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB是直角，则BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE，又因为AE⊥PC，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，PC∩BC=C，所以AE⊥平面PBC；（2）解：当点F位于线段PB上时，如下图所示，作FG⊥AB，垂足为G，因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB；又因为FG⊥AB，所以PA∥FG；又因为PA⊥平面ABC，所以FG⊥平面ABC；所以FG是三棱锥F-BOC的底面BOC上的高；因为C是弧AB的中点，且PA=AB=2，所以OA=OB=OC=AB=1，且CO⊥AB，∠APB=∠PBA=45°；若三棱锥F-BOC的体积为，则V三棱锥F-BOC=××OB×OC×FG=××1×1×FG=，解得FG=；所以BG=FG=；所以OG=OB-BG=1-=；所以tan∠BOF===，即三棱锥F-BOC的体积为时，tan∠BOF=．【解析】（1）由题意知BC⊥AC，PA⊥BC，可证明BC⊥平面PAC，BC⊥AE，再由AE⊥PC ，证得AE⊥平面PBC；（2）作FG⊥AB于G，证明FG⊥平面ABC，得FG是三棱锥F-BOC的底面上的高；利用三棱锥F-BOC的体积求出FG，再求OG的值，从而求得tan∠BOF的值．本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了三棱锥体积计算问题，是中档题．19.【答案】42 28 70 12 18 30 54 46 100【解析】解：（1）根据题意填写列联表如下，比较了解不太了解合计理科生422870文科生121830合计5446100计算K2=≈3.382＜6.635，所以没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关；（2）（i）抽取的文科生人数是10×=3（人），理科生人数是10×=7（人）；（ii）记两人都是文科生为事件M，记样本中的3名文科生为A、B、C，7名理科生为a 、b、c、d、e、f、g；从这10人中随机抽取两人，基本事件分别为：AB、AC、Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、BC、Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、Ca、Cb、Cc、Cd、Ce、Cf、Cg、ab、ac、ad、ae、af、ag、bc、bd、be、bf、bg、cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共45种；两人都是文科生的基本事件为AB、AC、BC共3种，故所求的概率为P==．（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照数表得出结论；（2）（i）利用分层抽样法求出抽取的文科生、理科生人数；（ii）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样与古典概率的计算问题，是基础题．20.【答案】解：（1）椭圆的C的离心率e=，即，①将A（）代入椭圆方程，可得，②又b2+c2=a2，③由①②③解得a=，b=2，c=1，所以椭圆的方程为.（2）由（1）得F1，F2的坐标分别为（-1，0），（1，0），因为△AF1F2的外接圆的圆心一定在边F1F2的垂直平分线上，即△AF1F2的外接圆的圆心一定在y轴上，可设△AF1F2的外接圆的圆心为O′，半径为r，圆心O′的半径为（0，m），则由|O′A|=|O′F2|及两点之间的距离公式，得，得，解得m=，所以圆心O′的坐标为（0，），半径r=|O′F2|==，所以△AF1F2的外接圆的x2+（y-）2=（）2，即x2+（y-）2=.【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，将A代入椭圆方程及b2+c2=a2即可求得a和b 的值，求得椭圆方程；（2）根据三角形外接圆的性质，即可求得三角形外接圆的圆心及半径，即可求得外接圆的方程．本题考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点三角形的外接圆的求法，考查两点之间距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）=（1-a）x2-（2+a2）x3=x2[（1-a）-（2+a2）x]．令f（x）=0，可得：x=0，或x=，∴a≠1时，函数f（x）有两个零点：0，或；a=1时，函数f（x）有一个零点：0．（2）证明：设g（x）==（1-a）x-（2+a2）x2，令（1-a）x-（2+a2）x2=0，解得x1=0，x2=．∵a＜1，∴1-a＞0，∴x2=＞x1，∴关于x的不等式解集为{x|x1＜x＜x2}．要使得：[2ln（1-a）-2ln3+2]（β-α）≤1成立，只要证明：2ln（1-a）-2ln3+2≤成立，即证明：2ln（1-a）-≤2ln3-2对于a＜1成立，令1-a=t＞0，则h（t）=2ln t-=2ln t-t-+2，h′（t）=-1+==，可得h（t）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，∴t=3时，h（t）取得最大值，h（3）=2ln3-2，∴h（t）≤2ln3-2．即2ln（1-a）-≤2ln3-2对于a＜1成立，∴[2ln（1-a）-2ln3+2]（β-α）≤1成立．【解析】（1）f（x）=（1-a）x2-（2+a2）x3=x2[（1-a）-（2+a2）x]，令f（x）=0，对a 分类讨论即可得出函数的零点．（2）设g（x）==（1-a）x-（2+a2）x2，令（1-a）x-（2+a2）x2=0，解得x1=0，x2=．可得关于x的不等式解集为{x|x1＜x＜x2}．要使得：[2ln（1-a）-2ln3+2]（β-α）≤1成立，只要证明：2ln（1-a）-2ln3+2≤成立，即证明：2ln（1-a）-≤2ln3-2对于a＜1成立，令1-a=t＞0，h（t）=2ln t-=2ln t-t-+2，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、分析法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ可得圆C1的直角坐标方程为x2+y2-2y=0．由得y=+，即直线l的普通方程为：-y+=0（2）设点P（x，y），由中点坐标公式得曲线C2的直角坐标方程为x2+（y-）2=，联立解得或，故点M，N的直角坐标为（，+），（-，-+）．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．（1）由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ可得圆C1的直角坐标方程为x2+y2-2y=0．由得y=+，即直线l的普通方程为：-y+=0（2）根据代入法可得点P的轨迹方程，再联立方程组可解得M，N的直角坐标．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x-a|+|x+3|≥|（x-a）-（x+3）|=|a+3|，所以f（x）的最小值为f（x）min=|a+3|，令|a+3|=2，解得a+3=2或a+3=-2，即a=-1或a=-5；（2）当x∈[0，1]时，f（x）=|x-a|+x+3，|5+x|=5+x，所以不等式f（x）≤|5+x|可化为|x-a|+x+3≤5+x，即|x-a|≤2，所以a-2≤x≤a+2，由[0，1]⊆[a-2，a+2]，则，解得-1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[-1，2]．【解析】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．（1）利用绝对值不等式求出函数f（x）的最小值，列出方程f（x）min=2解得a的值；（2）x∈[0，1]时不等式f（x）≤|5+x|可化为|x-a|+x+3≤5+x，利用绝对值的定义求出x的取值范围，再由题意列出关于a的不等式组，从而求得a的取值范围．。
湖南省2012届高三数学入学模拟考试
2012届高三入学考试模拟试卷数学（试卷满分：150分 考试试卷：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数()sin()4f x x π=-图像的对称轴．．．方程可以是 A ．2x π=B ．4x π=C ．2x π=-D ．4x π=-2．设实数R a ∈且i i a ⋅-)(（其中i 是虚数单位）为正实数，则a 的值为A ．-1B ．0C ．0或-1D ．13．已知向量a 、b 满足6,8,a b ==且,a b a b +=-则a b += A ．10 B ．20 C ．21 D ．30 4．已知120201,cos 15sin 15M xdx N -==-⎰，由如右程序框图输出的=SA. 0B.12C. 1D. 325．给定下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④ 6．若不等式11x a x+>+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值X 围是 A. [-1,1] B. (1,1)- C. (-2,2) D.[-2,2]7．如图，已知双曲线2213y x -=，, A C 分别是虚轴的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是A．7B．7C．14D．148．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是：A ．γβα<<B ．βγα<<C ．βαγ<<D ．γαβ<< 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分． （一）必做题（9～13题）9．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合)(B A C U =。
湘潭市2012届高三第三次模拟考试试卷_2
湘潭市2012届高三第三次模拟考试试卷文科综合能力测试满分300分，考试时间150分钟本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
1至41题是必考题，42至48题为选考题。
第I卷（选择题，共140分）本卷共35小题，每小题4分，共计140分。
每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将答案字母代号填入答卷中的相应位置。
2011年-2012年冬季，横扫亚欧大陆的寒流使得欧洲大部分地区气温创下历史新低，形成“极寒天气”，造成航空、铁路和公路运输中断，电力、燃气供应紧张。
同期，加拿大许多地区出现少见的暖冬无雪的天气。
结合相关知识回答1～2题。
1．造成公路运输中断直接原因主要是由于寒流带来的A.能源紧张B.暴雪和冰冻天气C.大风天气D.暴雨洪涝2．根据材料分析，正确的叙述是A.“极寒天气”的出现，说明全球变暖已经结束B.加拿大的暖冬天气是由副热带高气压控制形成C.此次影响亚欧大陆的寒流主要来自极地地区D.极地高压增强导致北半球中高纬度地区普遍低温下图表示某山脉某段山坡不同海拔高度的作物和植被分布。
读图回答3～4题。
3．图中A处附近的年平均温度和粮食作物最有可能是A.5℃、小麦B.13℃、青稞C.20℃、水稻D.28℃、玉米4．该山坡属于A.安第斯山脉B.落基山脉C.阿尔卑斯山脉D.天山山脉读我国“人口总量、人均耕地、人均粮食产量”变化示意图，回答5～7题。
5．图中a、b、c三根折线依次表示A.人口总量、人均耕地、人均粮食B.人口总量、人均粮食、人均耕地C.人均耕地、人口总量、人均粮食D.人均粮食、人口总量、人均耕地6．与1953年比，2015年我国单位面积的产量的变化特点是A.是1953年的2倍多B.比1953年增加了约2倍C.是1953年的4倍多D.比1953年减少了约4倍7．单位面积的产量呈现上述这样变化，与之相关的因素是A.农业生产技术B.人口数量C.耕地面积D.自然因素读某区域图，回答8～9题。
2012年高考数学(文科)试卷湖南卷(含答案)最完美最高清word版
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1} D ．{0}2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i3．命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若π4α≠，则tan α≠1 B ．若π4α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则π4α≠ D ．若tan α≠1，则π4α=4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为 0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 6．已知双曲线C ：22221x y ab-=的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( ) A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020xy-= D ．2212080xy-=7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c c a b>；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32B ．332C ．362+ D ．3394+9．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 10．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________. 11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29～63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．(二)必做题(12～16题)12．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________．13．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差()()()2222121[]n s x xxxx xn=-+-++-…，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝4.5，则输出的数i ＝________.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP AC ⋅=________.16．对于n ∈N *，将n 表示为n ＝a k ³2k ＋a k －1³2k －1＋…＋a 1³21＋a 0³20，当i ＝k 时，a i ＝1，当0≤i ≤k －1时，a i 为0或1.定义b n 如下：在n 的上述表示中，当a 0，a 1，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n ＝1；否则b n ＝0.(1)b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝________；(2)记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m ＋1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1))确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(注：将频率视为概率)18．已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R，ω＞0，π2＜＜)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－π12)－f(x＋π12)的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．(1)证明：BD⊥PC；(2)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．(1)用d表示a1，a2，并写出a n＋1与a n的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．21．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E的一个焦点为圆C：x2＋y2－4x＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E的方程；(2)设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．22．已知函数f(x)＝e x－ax1，其中a＞0.(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．1． B 由N ＝{x |x 2＝x }，知x ＝0或x ＝1. 又∵M ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0,1}．2．A z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，∴1i z =--. 3． C 命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则π4α≠”．4． D 若为D 项，则主视图如图所示，故不可能是D 项．5． D D 项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重约为：0.85³170－85.71＝ 58．79(kg)．故D 项不正确． 6． A 由2c ＝10，得c ＝5， ∵点P (2,1)在直线b y x a=上，∴21b a=.又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5.故C 的方程为221205xy-=.7． D ①()c cc b a a bab--=，∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴()0c b a ab->.即0c c a b->.故①正确．②考察函数y ＝x c(c ＜0)，可知为单调减函数． 又∵a ＞b ＞1，∴a c ＜b c .故②正确．③∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴log b (a －c )＞0，log a (b －c )＞0， ∴log ()lg ()lg log ()lg lg ()b a ac a c a b c b b c --=--.∵lg ()1lg ()a cbc ->-，lg 1lg a b>，∴lg ()lg 1lg lg ()a c ab bc ->-，故③正确．8． B 在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2=AB 2+BC 2－2AB ²BC cos B ，即7=AB 2+4－2³2³AB ³12.整理得AB 2－2AB －3=0. 解得AB =－1(舍去)或AB =3.故BC 边上的高AD =AB ²sin B =3³sin60°=332.9． B 由x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0可知：当x ∈(0，π2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(π2，π)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．又∵x ∈[0，π]时，f (x )∈(0,1)，且f (x )是最小正周期为2π的偶函数，可画出f (x )的草图为：对于y ＝f (x )－sin x 的零点，可在同一坐标系中再作出y ＝sin x 的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.10．答案：22解析：把曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程，得2x ＋y ＝1； 把曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝a 2. ∵C 1与C 2的一个交点在极轴上， ∴2x ＋y ＝1与x 轴交点(22，0)在C 2上，即(22)2＋0＝a 2.又∵a ＞0，∴22a =.11．答案：7解析：由分数法计算可知最少实数次数为7. 12．答案：{x |2≤x ≤3}解析：∵x 2－5x ＋6≤0，∴(x －2)(x －3)≤0.∴2≤x ≤3. 13．答案：6.8 解析：∵89101315115x ++++==，∴222222(811)(911)(1011)(1311)(1511)6.85s -+-+-+-+-==.14．答案：4解析：i ＝1时，x ＝4.5－1＝3.5； i ＝1＋1＝2时，x ＝3.5－1＝2.5；i ＝2＋1＝3时，x ＝2.5－1＝1.5； i ＝3＋1＝4时，x ＝1.5－1＝0.5； 0．5＜1，输出i ＝4. 15．答案：18解析：∵过C 作BD 的平行线，延长AP 交该平行线于点Q ， 则AQ ＝2AP ＝6.故||||cos ,||||3618AP AC AP AC AP AC AP AQ ⋅=⋅=⋅=⨯=.16．答案：(1)3 (2)2解析：(1)由题意知2＝1³2，b 2＝1；4＝1³22，b 4＝1；6＝1³22＋1³2，b 6＝0；8＝1³23，b 8＝1， 所以b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝3.(2)①若n 为偶数，且b n ＝0，则n ＝a k ³2k ＋a k －1³2k －1＋…＋a 1³21＋a 0³20中a 0＝0，且a k ，a k －1，…a 1中有偶数个1，n ＋1＝a k ³2k ＋a k －1³2k －1＋…＋a 1³21＋1³20，b n ＋1＝1 n ＋2＝a m ′ ³2m ＋a m －1′³2m －1＋…＋a 1′ ³21＋0³20， 若b n ＋2＝0，此时c m ＝1；若b n ＋2＝1，则n ＋3＝a m ′³2m ＋a m －1′³2m －1＋…＋a 1′ ³21＋1³20， 则b n ＋3＝0，此时c m ＝2.②若n 为奇数，n ＝a k ³2k ＋…＋1³20，且b n ＝0，则n ＋1＝a m ′ ³2m ＋…＋a 1′ ³21＋0³20， 若b n ＋1＝0，此时c m ＝0.若b n ＋1＝1，则n ＋2＝a m ′³2m ＋…＋a 1′ ³21＋1³20，b n ＋2＝0. 此时，c m ＝1.综上所述，c m 的最大值为2.(注：也可列举连续的几项，作出猜测)17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得1153()10020P A ==，2303()10010P A ==，3251()1004P A ==.因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝33172010410++=.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.18．解：(1)由题设图象知，周期11π5π2()π1212T =-=，所以2π2T ω==，因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2³5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π5π4π663ϕ<+<，从而5π6＋φ＝π，即π6ϕ=.又点(0,1)在函数图象上， 所以πsin16A =，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)ππππ()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x =-+-++＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝132sin22(sin2cos2)22x x x -+＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，得π5πππ1212k x k -≤≤+，k ∈Z ，所以函数g (x )的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ， 所以PA ⊥BD ．又AC ⊥BD ，P A ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC 平面PAC ，所以BD ⊥PC ．(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面PAC ， 所以∠DPO 是直线PD 和平面PAC 所成的角， 从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面PAC ，PO 平面PAC 知，BD ⊥PO . 在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD ．因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为12AD＋12BC＝12³(4＋2)＝3，于是梯形ABCD的面积S＝12³(4＋2)³3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，2222O D AD==，所以PD＝2OD ＝42，224PA PD AD=-=. 故四棱锥P－ABCD的体积为V＝13³S³PA＝13³9³4＝12.20．解：(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4 500－52d.a n＋1＝a n(1＋50%)－d＝32a n－d.(2)由(1)得a n＝32a n－1－d＝32(32a n－2－d)－d＝(32)2a n－2－32d－d＝…＝(32)n－1a1－d[1＋32＋(32)2＋…＋(32)n－2]．整理得a n＝(32)n－1(3 000－d)－2d[(32)n－1－1]＝(32)n－1(3 000－3d)＋2d.由题意，a m＝4 000，即(32)m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000.解得1 3[()2]10001000(32) 2332()12mm mm mmd+-⨯-==--，故该企业每年上缴资金d的值为11000(32)32m mm m+--时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．21．解：(1)由x2＋y2－4x＋2＝0得(x－2)2＋y2＝2，故圆C的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E的方程为22221x ya b+=(a＞b＞0)，其焦距为2c.由题设知c＝2，12cea==，所以a＝2c＝4，b2＝a2－c2＝12.故椭圆E的方程为2211612x y+=.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，l1，l2的斜率分别为k1，k2.则l1，l2的方程分别为l1：y－y0＝k1(x－x0)，l2：y－y0＝k2(x－x0)，且1212k k=.由l1与圆C：(x－2)2＋y2＝2相切得101021|2|21k y k xk+-=+，即[(2－x0)2－2]k12＋2(2－x0)y0k1＋y02－2＝0.同理可得[(2－x0)2－2]k22＋2(2－x0)y0k2＋y02－2＝0.从而k1，k2是方程[(2－x0)2－2]k2＋2(2－x0)y0k＋y02－2＝0的两个实根．于是2(2)20,0,x⎧--≠⎨∆>⎩①且212221(2)22yk kx-==--.由2200221,161221(2)22x yyx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得5x02－8x0－36＝0，解得x0＝－2或185x=.由x0＝－2得y0＝±3；由185x=得575y=±，它们均满足①式，故点P的坐标为(－2,3)，故(－2，－3)，或1857(,)55，或1857(,)55-．22．解：(1)f′(x)＝e x－a.令f′(x)＝0得x＝ln a.当x＜ln a时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln a时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故当x＝ln a时，f(x)取最小值f(ln a)＝a－a ln a，于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－a ln a≥1.①令g(t)＝t－t ln t，则g′(t)＝－ln t.当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减．故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立．综上所述，a的取值集合为{1}．(2)由题意知，21212121()()eex x f x f x k a x x x x --==---.令φ(x )＝f ′(x )－k ＝e x－2121eex x x x --，则φ(x 1)＝121ex x x --[e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1]，φ(x 2)＝221ex x x -[e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1]，令F (t )＝e t－t －1，则F ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减； 当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增．故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1＞0，e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1＞0. 又121e0x x x >-，221e0x x x >-，所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0. 因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x 0∈(x 1，x 2)，使φ(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝k 成立．。
2012年湖南省高考数学试卷(文科)教师版
2012 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（共9 小题，每题 5 分，满分45 分）1．（ 5 分）（ 2012?湖南）设会合M={ ﹣ 1，0，1} ，N={ x| x2=x} ，则M∩N=（）A．{ ﹣1，0，1}B．{ 0，1}C．{ 1}D．{ 0}【剖析】会合 M 与会合 N 的公共元素，组成会合 M ∩N，由此利用会合 M={ ﹣ 1，0，1} ， N={ x| x2=x} ={ 0，1} ，能求出 M ∩ N．【解答】解：∵会合 M={ ﹣1，0，1} ， N={ x| x2=x} ={ 0，1} ，∴M∩N={ 0，1} ，应选： B．2．（5 分）（2012?湖南）复数z=i（i+1）（ i 为虚数单位）的共轭复数是（）A．﹣ 1﹣i B．﹣ 1+i C．1﹣i D．1+i【剖析】由 z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，能求出复数 z=i（ i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数．【解答】解：∵ z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，∴复数 z=i（i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣ i．应选： A．3．（5 分）（2012?湖南）命题“若α=，则A．若α≠，则tanα≠1tan α=1的”逆否命题是（B．若α=，则 tan α≠1）C．若 tan α≠1，则α≠ D．若 tan α≠1，则α=【剖析】原命题为：若 a，则 b．逆否命题为：若非 b，则非 a．【解答】解：命题：“若α=，则 tan α=1的”逆否命题为：若tan α≠1，则α≠ ．应选： C．4．（5 分）（2012?湖南）某几何体的正视图和侧视图均以下图，则该几何体的俯视图不行能是（）A．B．C．D．【剖析】由可知，此几何体合体，照分判断合体的构，能吻合的清除，不符合的正确【解答】解：依意，此几何体合体，若上下两个几何体均柱，俯A若上的几何体正四棱柱，下几何体柱，俯B；若俯 C，正中有虚，故几何体的俯不行能是C若上的几何体底面等腰直角三角形的直三棱柱，下边的几何体正四棱柱，俯 D；故： C．5．（ 5 分）（ 2012?湖南）某大学的女生体重 y（位：kg）与身高 x（位：cm）拥有性有关关系，依据一本数据（ x i， y i）（ i=1， 2，⋯， n），用最小二乘法成立的回方程=0.85x 85.71，以下中不正确的选项是（）A．y 与 x 拥有正的性有关关系B．回直本点的中心（，）C．若大学某女生身高增添1cm，其体重增添0.85kgD．若大学某女生身高170cm，可判定其体重必58.79kg【剖析】依据回方程=0.85x 85.71，0.85＞0，可知 A，B，C 均正确，于D回方程只好行，但不行判定．【解答】解：于 A，0.85＞0，所以 y 与 x 拥有正的性有关关系，故正确；于 B，回直本点的中心（，），故正确；于 C，∵回方程=0.85x 85.71，∴ 大学某女生身高增添 1cm，其体重增添 0.85kg，故正确；关于 D， x=170cm 时， =0.85× 170﹣85.71=58.79，但这是展望值，不行判定其体重为 58.79kg，故不正确应选： D．6．（ 5 分）（2012?湖南）已知双曲线 C：的焦距为10，点 P（2，1）在 C 的渐近线上，则 C 的方程为（）A．．BC．D．【剖析】利用双曲线 C：的焦距为10，点（，）在的渐近线P21C上，成立方程组，求出 a，b 的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线 C：的焦距为，点（，）在C 的渐近10P 21线上，∴ a2+b2，，=25=1∴ b=， a=2∴双曲线的方程为．应选： A．7．（5 分）（2012?湖南）设a＞b＞1，c＜0，给出以下三个结论：① ＞；②a c＜b c；③log b（a﹣c）＞ log a（b﹣c）．此中所有的正确结论的序（）A．①B．①②C．②③D．①②③【剖析】利用作差比较法可判断①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判断②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．【解答】解：①﹣=，∵ a＞b＞1，c＜0∴ ﹣=＞0，故＞正确；②考察幂函数y=x c，∵ c＜0∴y=x c在（ 0，+∞）上是减函数，而 a＞b＞0，则 a c＜b c正确；③当 a＞b＞1 时，有 log b（a﹣ c）＞ log b（b﹣c）＞ log a（ b﹣c）；正确．应选： D．8．（5 分）（2012?湖南）在△ ABC中， AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【剖析】在△ ABC中，由余弦定理可得， AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB可求 AB=3，作 AD⊥ BC，则在 Rt△ ABD中， AD=AB×sinB【解答】解：在△ ABC中，由余弦定理可得， AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB 把已知 AC= ，BC=2 B=60°代入可得， 7=AB2+4﹣4AB×整理可得， AB2﹣2AB﹣ 3=0∴AB=3作 AD⊥BC垂足为 DRt△ ABD中， AD=AB×sin60 =°，即 BC边上的高为应选： B．9．（ 5 分）（ 2012?湖南）设定义在 R 上的函数 f（ x）是最小正周期 2π的偶函数，f′（x）是函数 f（x）的导函数，当 x∈[ 0，π] 时， 0＜ f（x）＜ 1；当 x∈（ 0，π），且 x≠时，（x﹣）f ′（x）＞ 0，则函数 y=f（ x）﹣ sinx 在 [ ﹣ 2π，2π] 上的零点个数为（）A．2【剖析】依据B．4C．5D．8x∈（0，π），且 x≠时，（x﹣）f（′x）＞0，确立函数的单一性，利用函数的图形，即可获得结论．【解答】解：∵ x∈（ 0，π），且 x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，∴ x∈（ 0，），函数单一减，x∈（，π），函数单一增，∵ x∈[ 0，π] 时， 0＜f（ x）＜ 1，在 R 上的函数 f（x）是最小正周期为 2π的偶函数，在同一坐标系中作出 y=sinx 和y=f（ x）草图象以下，由图知 y=f（ x）﹣ sinx 在[ ﹣2π，2π] 上的零点个数为 4 个．应选： B．二、填空题（共7 小题，满分 30 分）（10-11为选做题，两题任选一题， 12-16为必做题）10．（ 5 分）（2012?湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sin θ）=1 与曲线C2：ρ=a（ a＞ 0）的一个交点在极轴上，则a=．22+y2将极坐标方程化成一般方程，利用交【剖析】依据ρcosθ，=xρsin θ，=yρ=x点在极轴长进行成立等式关系，从而求出 a 的值．【解答】解：∵曲线 C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sin θ）=1，∴曲线 C1的一般方程是x+y﹣1=0，∵曲线 C2的极坐标方程为ρ=a（ a＞ 0）∴曲线 C2的一般方程是 x2+y2=a2∵曲线 C1：ρ（cosθ+sin θ）=1 与曲线 C2：ρ=a（ a＞ 0）的一个交点在极轴上∴令 y=0 则 x=，点（， 0）在圆 x2+y2=a2上解得 a=故答案：11．（2012?湖南）某制企了某种用液体行生物定，需要培育温度，范定29℃～ 63℃．精准度要求± 1℃．用分数法行，能保找到最正确培育温度需要最少次数7．【剖析】由知范 [ 29，63] ，可得区度34，将其平分 34 段，共有 33 个分点，由分数法的最性定理可得．【解答】解：由已知范 [ 29，63] ，可得区度 34，将其平分 34 段，共有 33 个分点由分数法的最性定理可知 F8=33，即通 7 次可从 33 个分点中找出最正确点．故答案： 7．12．（ 5 分）（2012?湖南）不等式 x2 5x+6≤ 0 的解集 { x| 2≤x≤3} ．【剖析】把不等式的左分解因式后，依据两数相乘的取符法：同得正，异得，化两个一元一次不等式，求出不等式的解集即可获得原不等式的解集．【解答】解：不等式 x25x+6≤ 0，可化：或，解得： 2≤x≤3，原不等式的解集 { x| 2≤x≤ 3} ．故答案： { x| 2≤ x≤ 3} ．13．（ 5 分）（2012?湖南）如是某学校一名球运在五比中所得分数的茎叶，运在五比中得分的方差 6.8．（注：方差+⋯+，此中x1，x2，⋯， x n 的均匀数）【剖析】依据茎叶所的数据，做出数据的均匀数，把所的数据和均匀数代入求方差的个数，求出五个数据与均匀数的差的平方的均匀数就是数据的方差．【解答】解：∵依据茎叶图可知这组数据的均匀数是=11∴这组数据的方差是[ （8﹣ 11）2+（9﹣11）2 +（10﹣ 11）2+（ 13﹣11）2+（15﹣11）2]= [ 9+4+1+4+16]=6.8故答案为： 6.8．14．（ 5 分）（ 2012?湖南）假如履行以下图的程序框图，输入x=4.5，则输出的数 i= 4 ．【剖析】计算循环中 x，与 i 的值，当 x＜1 时知足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前 x=3.5，不知足判断框条件，第 1 次循环， i=2，x=2.5，第 2 次判断后循环， i=3，x=1.5，第 3 次判断并循环 i=4，x=0.5，知足判断框的条件退出循环，输出i=4．故答案为： 4．15．（ 5 分）（ 2012?湖南）如图，在平行四边形ABCD中， AP⊥BD，垂足为 P，且AP=3，则=18．【剖析】AC与 BD交于 O， AC=2AO，在 RtAPO中，由三角函数可得AO 与AP 的关系，代入向量的数目=|||| cos∠PAO可求【解答】解： AC与 BD 交于点 O， AC=2AO∵AP⊥BD，AP=3，在 Rt△APO中， AOcos∠OAP=AP=3∴ || cos∠ OAP=2|| × cos∠ OAP=2|由向量的数目的定可知，=|| =6，||| cos∠PAO=3×6=18故答案：18．（分）（湖南）于*，将 n 表示 n=+⋯+16 52012?n∈ N，当 i=k ， a i=1，当 0≤i≤k 1 ， a i 0或 1．定 b n以下：在 n 的上述表示中，当 a0，a1，a2，⋯，a k中等于 1 的个数奇数， b n=1；否 b n=0．（1） b2+b4+b6+b8= 3 ；（2） c m数列 { b n} 中第 m 个 0 的与第 m+1 个 0 的之的数，c m的最大是2．【剖析】（1）由定可知， 2=1×2，4=1×22， 6=1×22+1× 2， 8=1×23，从而 b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求 b2+b4+b6+b8的；（2）{ b n} 中第 m 个 0 的 b i，即 b i =0，结构二制数（ i）10=（a k a k﹣1⋯a10）2， a k a k﹣1⋯a10中 1 的个数偶数，再行分：当 a2a1a0=000 ，c m=2；当 a2a1a0=001 ，c m=0；当 a2a1a0 =010 ，c m=1；当 a2a1a0=011 ， c m=0；当a2a1a0=100 ， c m=2；当 a2a1a0=101 ， c m=0；当 a0=0，前面有奇数个 1 ，c m=1；当 a0=0，前面有偶数个 1 ， c m=2；当末位有奇数个 1 ， c m=1；当末位有偶数个 1 ， c m=0，由此可得 c m的最大．【解答】解：（1）由定可知， 2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0， b8=1∴b2+b4+b6+b8=3（ 2）{ b n} 中第 m 个 0 的 b i，即 b i =0，结构二制数（ i）10=（a k a k﹣1⋯a10）2，a k a k﹣1⋯a1a0 中1的个数偶数，当a2a1a0 =000，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当 a2a1a0=001 ，b i+1=0，c m=0；当 a2a1a0=010 ，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当 a2a1a0=011 ，b i+1=0，c m=0；当 a2a1a0 =100 ，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当 a2a1 a0=101 ，b i+1=0，c m=0；当 a0 =0，前面有奇数个 1 ，b i+1=1，b i+2 =0，c m=1；当 a0=0，前面有偶数个 1 ，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当末位有奇数个 1 ，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当末位有偶数个 1 ， b i+1=1， b i+2=0，c m=0；故 c m的最大2．三、解答（共 6 小，分 75 分）17．（ 12 分）（2012?湖南）某商场认识客的物量及算等信息，安排一名工随机采集了在商场物的100 位客的有关数据，如表所示．一次物量1至4件5至 8件9至12件 13至 16件17件以上客数（人）x3025y10算（分 / 人1 1.52 2.53已知 100 位客中的一次物量超8 件的客占 55%．（Ⅰ）确立 x，y 的，并估客一次物的算的均匀；（Ⅱ）求一位客一次物的算不超 2 分的概率．（将率概率）【剖析】（Ⅰ）由已知得 25+y+10=55，x+30=45，故可确立， y 的，而可求客一次物的算的均匀；（Ⅱ） A：一位客一次物的算不超2 分； A1：客一次物的算 1 分； A2：客一次物的算 1.5 分； A3：客一次物的算 2 分；将率概率求出相的概率，利用互斥事件的概率公式即可获得结论．【解答】解：（Ⅰ）由已知得 25+y+10=55，x+30=45，所以 x=15， y=20；顾客一次购物的结算时间的均匀值为=1.9（分钟）；（Ⅱ）记 A：一位顾客一次购物的结算时间不超出 2 分钟； A1：该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟； A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频次视为概率可得P（A1）；P（A2）=；P（A3）=∴P（ A） =P（A1）+P（A2）+P（ A3）=0.15+0.3+0.25=0.7∴一位顾客一次购物的结算时间不超出 2 分钟的概率为 0.7．18．（ 12 分）（2012?湖南）已知函数f（ x） =Asin（ωx+φ）（ x∈ R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象以下图．（Ⅰ）求函数 f （x）的分析式；（Ⅱ）求函数 g（x）=f（ x﹣）﹣f（x+）的单一递加区间．【剖析】（ I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（，0）和（0，1）代入分析式，分别解得φ和A 的值，最后写出函数分析式即可；（II）先利用三角变换公式将函数 g（ x）的分析式化为 y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单一增区间上，即可解得函数 g（x）的单一增区间【解答】解：（I）由图象可知，周期 T=2（﹣）=π，∴ ω= =2∵点（，0）在函数图象上，∴ Asin（2×+φ） =0∴sin（ +φ）=0，∴ +φ=π+kπ，即φ=kπ+ ， k∈ z∵0＜φ＜∴φ=∵点（ 0，1）在函数图象上，∴ Asin =1，A=2∴函数 f（x）的分析式为 f（ x） =2sin（ 2x+ ）（ II） g（x）=2sin[ 2（x﹣）+ ]﹣2sin[ 2（x+）+ ] =2sin2x﹣2sin（2x+）=2sin2x﹣ 2（ sin2x+ cos2x） =sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）由﹣+2kπ≤ 2x﹣≤+2kπ，k∈z得 kπ﹣≤x≤kπ+∴函数 g（x）=f（ x﹣）﹣f（x+）的单一递加区间为[ kπ﹣，kπ+] k∈z 19．（ 12 分）（ 2012?湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA⊥平面 ABCD，底面ABCD是等腰梯形， AD∥BC， AC⊥ BD．（Ⅰ）证明： BD⊥PC；（Ⅱ）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC所成的角为 30°，求四棱锥 P﹣ABCD 的体积．【剖析】（1）由 PA⊥平面 ABCD，AC⊥ BD 可证得 BD⊥平面 PAC，从而证得BD ⊥PC；（ 2）设 AC∩ BD=O，连结 PO，由 BD⊥平面 PAC可得∠ DPO是直线 PD和平面 PAC所成的角，于是∠ DPO=30°，从而有 PD=2OD，于是可证得△ AOD，△ BOC均为等腰直角三角形，从而可求得梯形 ABCD的高，既而可求 S ABCD，V P﹣ABCD．【解答】解：（Ⅰ）∵ PA⊥平面 ABCD， BD? 平面 ABCD，∴PA⊥BD；又 AC⊥ BD， PA，AC 是平面 PAC内的两条订交直线，∴BD⊥平面 PAC，而 PC? 平面 PAC，∴ BD⊥PC；（Ⅱ）设 AC∩ BD=O，连结 PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面 PAC，∴∠ DPO是直线 PD 和平面 PAC所成的角，∴∠ DPO=30°，由 BD⊥平面 PAC，PO? 平面 PAC知， BD⊥ PO．在 Rt△ POD中，由∠ DPO=30°得PD=2OD．∵四边形 ABCD是等腰梯形， AC⊥ BD，∴△ AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形 ABCD的高为A D+ BC= ×（ 4+2）=3，于是 S ABCD= ×（ 4+2）× 3=9．在等腰三角形 AOD 中， OD= AD=2，∴ PD=2OD=4 ，PA=，=4∴V P﹣ABCD= S ABCD× PA= × 9× 4=12．20．（ 13 分）（2012?湖南）某公司一部下公司从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资本2000 万元，将其投入生产，到当年年末资本增添了50%．估计此后每年年增添率与第一年的同样．公司要求公司从第一年开始，每年年末上缴资本 d 万元，并将节余资本所有投入下一年生产．设第n 年年底企上金后的节余金a n万元．（Ⅰ）用 d 表示 a1，a2，并写出 a n+1与 a n的关系式；（Ⅱ）若公司希望m（m≥3）年使企的节余金 4000 万元，确立企每年上金 d 的（用 m 表示）．【剖析】（Ⅰ）由意可求得a1=2000（ 1+50%） d，a2=a1（ 1+50%） d=，⋯从而出 a n+1= a n d．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 a n n ﹣ 1d= （n ﹣ 2d ） d=⋯=1=a a a d[ 1+ ++⋯+] ，利用等比数列的乞降公式可求得 a n=（ 3000 3d） +2d，再合意 a m=4000，即可确立企每年上金 d 的．【解答】解：（Ⅰ）由意得： a1=2000（ 1+50%） d=3000 d，a2=a1（1+50%） d= a1d=4500d，⋯a n+1=a n（1+50%） d= a n d．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n= a n﹣1d=（ a n﹣2 d） d=a n﹣2 d d=⋯=a1 d[ 1+ ++⋯+]整理得： a n=（3000 d） 2d[1]=（ 3000 3d）+2d．由意， a m=4000，即（30003d） +2d=4000．解得 d==，故企每年上金 d 的，m（m≥ 3）年企的节余资本为 4000 万元．21．（13 分）（2012?湖南）在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为的椭圆 E 的一个焦点为圆 C：x2+y2﹣4x+2=0 的圆心．（Ⅱ）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆 C 相切时，求 P 的坐标．【剖析】（Ⅰ）确立 x2+y2﹣ 4x+2=0 的圆心 C（2， 0），设椭圆 E 的方程为：＞＞，其焦距为 2c，则 c=2，利用离心率为，即可求得椭圆 E 的方程；（Ⅱ）设 P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1k2= ，由 l1与圆 C：x2+y2﹣4x+2=0 相切，可得，同理可得，从而k1， k2是方程的两个实根，从而，利用，即可求得点 P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由 x2+y2﹣4x+2=0 得（ x﹣ 2）2+y2=2，∴圆心 C（ 2， 0）设椭圆 E的方程为：＞＞，其焦距为2c，则c=2，∵，∴ a=4，∴b2=a2﹣ c2=12∴椭圆 E的方程为：（Ⅱ）设 P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为 k1， k2，则 l1： y﹣ y0=k1（ x﹣ x0）l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且 k1k2=由 l1与圆 C：x2+y2﹣ 4x+2=0 相切得∴同理可得从而 k1， k2是方程的两个实根所以①，且＞∵，∴，∴x0=﹣ 2 或由 x0﹣得0±；由得知足①= 2y = 3故点 P 的坐标为（﹣ 2，3）或（﹣ 2，﹣ 3），或（，）或（，）22．（ 13 分）（ 2012?湖南）已知函数 f （x）=e x﹣ax，此中 a＞0．（1）若对全部 x∈R，f（ x）≥ 1 恒成立，求 a 的取值会合；（2）在函数 f（ x）的图象上取定点 A（x1，f （x1））， B（ x2，f（ x2））（x1＜ x2），记直线 AB 的斜率为 K，证明：存在 x0∈（ x1，x2），使 f ′（x0）=K 恒成立．【剖析】（1）依据题意，对 f（x）求导可得 f （′x）=0，令 f（′x）=0，解可得 x=lna，分x＜lna 与x＞lna 两种状况议论可得f（x）取最小值为f（lna）=a﹣alna，令g（t）=t﹣tlnt ，对其求导可得 g′（ t）=﹣lnt ，剖析可适当 t=1 时，g（t ）获得最大值 1，所以当且仅当 a=1 时， a﹣alna≥1 成立，即可得答案；（ 2）依据题意，由直线的斜率公式可得k=﹣a，令φ（x）=f（′x）﹣k=e x ﹣，能够求出φ（ x1）与φ（ x2）的值，令 F（t ）=e t﹣t﹣ 1，求导可得 F′（t） =e t﹣ 1，分 t＞ 0 与 t ＜0 议论可得 F（ t ）的最小值为 F（0）=0，则当 t ≠0 时， F（t ）＞F （0）=0，即 e t﹣t﹣ 1＞ 0，从而议论可得φ（x1）＜ 0、φ（x2）＞ 0，联合函数的连续性剖析可得答案．【解答】解：（1）f （′ x） =e x﹣ a，令 f ′（x） =0，解可得 x=lna；当 x＜lna，f ′（x）＜ 0，f（x）单一递减，当 x＞lna，f ′（x）＞ 0，f （x）单一递加，故当 x=lna 时， f（ x）取最小值， f（lna）=a﹣alna，对全部 x∈R，f （x）≥ 1 恒成立，当且仅当a﹣alna≥ 1，①令 g（t ） =t﹣tlnt ，则 g′（t） =﹣ lnt ，当 0＜t＜ 1 时， g′（t ）＞0，g（t ）单一递加，当 t ＞1 时， g′（ t）＜ 0， g （ t）单一递减，故当 t=1 时， g（t）获得最大值，且g（1）=1，所以当且仅当 a=1 时，①式成立，综上所述， a 的取值的会合为 { 1} ．（ 2）依据题意， k==﹣a，令φ（x）=f ′（ x）﹣ k=e x﹣，则φ（x1）=﹣[﹣（x2﹣x1）﹣1]，φ（x2） =[﹣（x1﹣x2）﹣1]，令 F（t） =e t﹣t ﹣1，则 F′（t） =e t﹣ 1，当 t＜ 0 时， F′（ t）＜ 0， F（ t）单一递减；当 t＞0 时， F′（t ）＞ 0，F（t ）单一递加，则 F（t）的最小值为 F（0）=0，故当 t ≠0 时， F（ t）＞ F（0） =0，即 e t﹣t﹣ 1＞ 0，从而﹣（ x2﹣x1）﹣ 1＞ 0，且＞0，则φ（x1）＜0，﹣（ x1﹣ x2）﹣ 1＞0，＞0，则φ（x2）＞0，由于函数 y=φ（x）在区间 [ x1，x2] 上的图象是连续不停的一条曲线，所以存在x0∈（ x1，x2），使φ（ x0）=0，即 f ′（x0）=K 成立．。
湖南省湘潭市2012届高三第三次模拟试题理
湖南省湘潭市2012届高三第三次模拟试题 数学 （理）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合{}A x x x =<->1或1，2{log 0}B x x =>，则AB =A ． {}|x x <-1B ．{}|x x >0C ．{}|x x >1D ．{}|x x x <->1或12. 10(1)i -(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为A ．120 i -B ．210C ．210-D ．120 i3. 已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为 A ．2524-B ．2512-C ．54- D ．2524 4.在数列{}n a 中，*111001,,(),n n a a a n n N a +=-=∈则的值为A ．5050B ．5051C ．4950D ．49515. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则A ．（2，4）B ．（3，5）C ．（—2，—4）D ．（—1，—1）6. 定积分ln 2x e dx ⎰的值为A ．1-B ． 2eC ．2e 1-D ．17．在约束条件0024x y x y S y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35S ≤≤时，目标函数32Z x y =+的最大值的变化范围是（ ）A. [6,8]B. [7,8]C. [6,15]D. [7,15]8． 已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()()()()()0''g x f x g x f x g x ≠>，，且()()(0xf x ag x a =>且1)a ≠，()()()()115112f f g g -+=-，对于有穷数列()()(1,2,f n n g n =,10)，任取正整数()110k k ≤≤，则前k 项和大于1516的概率是 （ ）A ．310B ． 25C ．12 D ． 35由()()()()()()()()()'2''0,f x f x g x g x f x f x g x g x g x ⎡⎤-=<∴⎢⎥⎣⎦单调递减， 又()()x f x a g x =，故01a <<，所以由()()()()115112f fg g -+=-，得12a =()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是首项为()()1112f g =，公比为12的等比数列，其前n 项和1151216nn S ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ 5n ⇒≥，所以，63105P ==二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分。
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A 30
………6 分
1 由余弦定理有16 b c 2bc ? - - - - - - - 8分 2
2 2
即
b c 3bc 16 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -10分
2
把 b+c=5 代入得 bc=3
9.（坐标系与参数方程）已知曲线 C 的参数方程是 程为
x 2 2 cos ( 为参数)，则该曲线的普通方 y 2 sin
10． （优选法选做题）用最小刻度为 1 的量筒量取液体进行试验，试验范围为（0，21） ，如果采用分 数法则第二个试点为
（二）必做题 11．函数 y
22.（本题满分 13 分） 已知函数 f ( x ) ( m
1 1 ) ln x x ， m x
（Ⅰ）当 m 2 时，求 f ( x ) 的极大值； （Ⅱ）当 m 0 时，
（1）试讨论 f ( x ) 在区间 (0, 1) 上的单调性； （2）当 m 3, 时，曲线 y f ( x) 上总存在相异两点 P ( x1 , f ( x1 )) 、 Q ( x2 , f ( x2 )) ，使得 曲线 y f ( x) 在点 P 、 Q 处的切线互相平行，求 x1 x2 的取值范围.
M {(a, b) a ※ b 12, a N , b N} 中的元素个数是
A．10 个 B．15 个 C．16 个 D．18 个
二、填空题：(本大题共 8 小题，其中 9,10 小题为选做题，11-16 小题为必做题，每小题 5 分，共
35 分．) （一）选做题（从 9、10 两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题给分）
频率 组距 0.38 0.32
.
开始 输入 a、b
a b?
是 否 输 出 a 1
b
0.16
输 出 b 1
0.08 0.06 O
a
13
14
15
16
17
18
秒
结束
第 14 题图
第 15 题图
1 2 n 1 * 16.若 {a n } 满足 a1 1 ， an an 1 （ n N ） ，设 S n a1 4a2 4 a3 4 an ， 4
故上述抽取的６人中选２人，恰有一名女生的概率概率为 P （Ⅱ）∵ K 8.333 ，且 P(k 2 7.879) 0.005 0.5% ， 那么，我们有 99.5% 的把握认为是否喜欢打篮球是与性别有关系的 ………12 分
2
8 . …………………８分 15
19. （Ⅰ）设 DF 的中点为 N ，则 MN //
则 5S
2
n
4 a
2 2
；类比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法，可求得
5S n 4 n an ________________．
湘潭市2012届高三第三次模拟考试试卷
数
题号 得分 一 二 三 17 18 19
学（文科）
20 21 22 总分 合分人 复分人
得分
评卷人
复评人
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 5，共 40 分）
k
19. (本题满分 12 分)
如图， AB 为圆 O 的直径，点 E 、 F 在圆 O 上， AB // EF ， 矩形 ABCD 的边 BC 垂直于圆 O 所在的平面，且 AB 2 ， AD EF 1 . （Ⅰ）设 FC 的中点为 M ，求证： OM // 平面 DAF ； （Ⅱ）求三棱锥 F ABC 的体积 V F ABC ；
1 1 CD ，又 AO // CD ， 2 2
… … … … … … … … … 2分 4分
则 MN // AO ，∴ MNAO 为平行四边形
∴ OM // AN ， 又 AN 平面 DAF ， OM 平面 DAF
2i ，则复数 z 为 1 i
B． 1 i C． 1 i D． 1 i
2.在空间直角坐标系中，点 A（-3，4，0）与 B（2，-1，6）的距离是 A． 2 43 3. “ x 1 ”是“ x 2 B． 2 21 C．9 D． 86
2 x 1 0 ”的
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 4. 要得到函数 y sin( 2 x
3
) 的图象，只需将函数 y sin 2 x 的图象
B．向右平移 D．向左平移
C．向左平移
A．向右平移
5.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ，腰和上底均为 1 的等腰梯形，则原平 面图形的面积为
D
C
B
M E
O
A
F
20.（本小题满分 13 分）
国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习 期间所需的学费、住宿费及生活费 . 每一年度申请总额不超过 6000 元 . 某大学 2010 届毕业生王 某在本科期间共申请了 24000 元助学贷款，并承诺在毕业后 3 年内（按 36 个月计）全部还清 . 签约的单位提供的工资标准为第一年内每月 1500 元，第 13 个月开始，每月工资比前一个 月增加 5% 直到 4000 元 . 王某计划前 12 个月每个月还款额为 500 ，第 13 个月开始，每月还款额 比前一月多 x 元 . （Ⅰ）用 x 和 n 表示王某第 n 个月的还款额 an ,若王某恰好在第 36 个月（即毕业后三年）还清贷款， 求 x 的值； （Ⅱ）当 x 40 时，王某将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月 3000 元的基本生活费？ （参考数据： 1.05 2.406,1.05 2.526,1.05
18 19 20
2.653,1.0521 2.786 ）
21.(本题满分 13 分) 已知椭圆
1 x2 y2 2 1(a b 0) 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 2， 2 2 a b
（Ⅰ）试求椭圆 M 的方程； （Ⅱ）若斜率为
1 3 的直线 l 与椭圆 M 交于 C 、 D 两点，点 P(1， ) 为椭圆 M 上一点，记直线 PC 的斜 2 2 率为 k1 ，直线 PD 的斜率为 k2 ，试问： k1 k2 是否为定值？请证明你的结论．
2
2
10、 8(或填 13)
（二）必做题 11. 1 12、 -2 13、 10
14、
27
15、 5 2
16、 2
； n
三、解答题： （本大题共 6 小题，满分 75 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ） a b 1 17．解： （Ⅰ）由正弦定理 ，可得 sin A ，………3 分 sin A sin B 2
湖南省湘潭市 2012 年 3 月三模文科数学
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 A 5 C 6 B 7 A 8 B
二、填空题（本大题共 8 小题，其中 9，10 任选一题，满分 35 分） （一）选做题 9、
( x 2) y 2
所以S
ABC
1 3 3 bc sin A - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -12分 2 4
18.解： （Ⅰ）在喜欢打篮球的学生中抽６人，则抽取比例为 ∴男生应该抽取 20
6 1 30 5
1 4 人…………………ห้องสมุดไป่ตู้…………….４分 5
从抽取的 6 名学生中, 女生有 2 人，男生 4 人。女生 2 人记为 A, B ；男生 4 人记为 c, d , e, f ， 则
( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c ) 、 ( B, d ) 、 ( B , e) 、 从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: ( A, B ) 、 ( B, f ) 、 (c, d ) 、 (c, e) 、 (c, f ) 、 (d , e) 、 (d , f ) 、 (e, f ) 共 15 种情况，其中恰有 1 名女生情况有： ( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) ，共 8 种情况，
湖南省湘潭市 2012 届高三下学期第三次模拟考试试卷 文科数学
本试卷分第一卷（选择题、填空题）和第二卷（解答题）两部分，共 150 分，考试时量 120 分 钟.
第Ⅰ卷（选择题 40 分，填空题 35 分，共 75 分）
注意事项：请将选择题、填空题答案填在第Ⅱ卷解答题前的答题卡内． 一、 选择题：(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．) 1. 已知复数 z A． 1 i
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
8.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数时, m ※ n = m n ; 当 m, n 中 一 个 为 正 偶 数 , 另 一 个 为 正 奇 数 时 , m ※ n = mn ． 则 在 此 定 义 下 , 集 合
（Ⅰ） 用分层抽样的方法在喜欢打篮球的学生中抽６人， 其中男生抽多少人？若从抽取的６人中选２人， 求恰有一名女生的概率. （Ⅱ）为了研究喜欢打篮球是否与性别有关，计算出 K 8.333 ，你有多大的把握认为是否喜欢打篮 球与性别有关？
P( K k )