湘教版数学九年级上册教学课件 3.2 平行线分线段成比例定理(共26张PPT)
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湘教版九年级上册数学课件3.2平行线分线段成比例(共37张PPT)
∵ l1//l2//l3,
AM EM CK 2 ∴ MB MF KD 3 ,
∵ EM=4, ∴ MF=6.
∵ CD=12,
24
36
∴ CK= 5 ,KD= 5 .
习题3.2
B组
4. 如图，在△ABC 的边 BC 上任取两点 D,E,过点 D 作 AB 的 平行线交 AC 于点 M,连接 AE,过点 M 作 AE 的平行线交 BC 于点 N.
∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，
∠BAA2=∠BCC2， 因此△BAA2≌△BCC2. 从而 BA2=BC2,
A2 A B
所以 A1B1=B1C1.
C C2
l1
A1 a B1 b
C1 c
l2
结论
两条直线被一组平行线所截，如果 在其中一条直线上截得的线段相等，那 么在另一条直线上截得的线段也相等.
OB O ,D
∵ OA=3，OB=1，OD=2,
31
∴ OC 2 ,
∴ OC=6.
练习
2.如图,点D，E分别在△ABC的边AB，AC 上，且DE∥BC，若AB=3，AD=2，EC=1.8,
求AC的长.
解：过 A 作 MN//DE，
∵ DE//BC，
∴ MN//DE//BC， M
N
AD AE ∴ DB EC ，
的结果是
什么呢？
A1B1 B1C 1
m n
探究
AB
类似地,进一步可证明,若
BC
k (其中 k 为无
理数),
A1B 1 B1C 1
k
AB
,从而
BC
=
A1B B1C
1 1
.
我们还可以得到
BC AB
AM EM CK 2 ∴ MB MF KD 3 ,
∵ EM=4, ∴ MF=6.
∵ CD=12,
24
36
∴ CK= 5 ,KD= 5 .
习题3.2
B组
4. 如图，在△ABC 的边 BC 上任取两点 D,E,过点 D 作 AB 的 平行线交 AC 于点 M,连接 AE,过点 M 作 AE 的平行线交 BC 于点 N.
∠ABA2=∠CBC2，BA=BC，
∠BAA2=∠BCC2， 因此△BAA2≌△BCC2. 从而 BA2=BC2,
A2 A B
所以 A1B1=B1C1.
C C2
l1
A1 a B1 b
C1 c
l2
结论
两条直线被一组平行线所截，如果 在其中一条直线上截得的线段相等，那 么在另一条直线上截得的线段也相等.
OB O ,D
∵ OA=3，OB=1，OD=2,
31
∴ OC 2 ,
∴ OC=6.
练习
2.如图,点D，E分别在△ABC的边AB，AC 上，且DE∥BC，若AB=3，AD=2，EC=1.8,
求AC的长.
解：过 A 作 MN//DE，
∵ DE//BC，
∴ MN//DE//BC， M
N
AD AE ∴ DB EC ，
的结果是
什么呢？
A1B1 B1C 1
m n
探究
AB
类似地,进一步可证明,若
BC
k (其中 k 为无
理数),
A1B 1 B1C 1
k
AB
,从而
BC
=
A1B B1C
1 1
.
我们还可以得到
BC AB
课件湘教版数学九上 平行线分线段成比例定理 优秀精美PPT课件
， 求证：
。
! 注意:应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!
（方关法键 二交要能解熟A：练C因地为找于出对E应线，段）如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，
AO的延长线和BC交于G。 已知：如图，
， 求证：
。
在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推出如下结论之一：
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
三 练习
已知：如图，l1
//l2
//l3
，
求证：
AB DE
BC。AC EF DF
证明：因为 l1 //l2 //l3
AB BC
DE EF
（平行线分线段成 比例定理）。
例1 已知：如图
，AB=3 ，DE=2 ，EF=4。
练习：已知：如图， l //l //l 平行线分线段成比例定理
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
1
2
3
EF=c. 求DE。 平行线分线段成比例定理：
已知：如图，
， 求证：
。
（关键要能熟练地找出对应线段）
（关键要能熟练地找出对应线段）
求证:AD是AB和AF的比例中项.
平行线分线段成比例定理：
平行线分线段成比例定理
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的线段对应成比例.
已知：如图，
， 求证：
。
A B B E 三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.
课件湘教版数学九上 平行线分线段成比例 优秀精美PPT课件
GC=( )
AE=( ) 4cm,那么EC的长是多少？ 你能利用横格纸，将一条绳子五等分吗？ （2）结论没变，所得的对应线段成比例。 5、定理的初步应用. 针对被平行线组所截的直线的不同位置情况，指出被相邻两条平行线截得的线段分别是哪些？ 3、定理的形象记忆法. 求：AB、OC的长. 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. （2）结论没变，所得的对应线段成比例。
？C1
针对被平行线组所截的直线的不同位置情况，
指出被相邻两条平行线截得的线段分别是哪些？
说出比例线段
GC=( ) 推论：平行于三角形一边的直线截其他两
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
猜想：⑴在图4、图5中，原题的条件（三条平行线）发生了什么变化？⑵结论有没有变？⑶猜一猜，你能发现什么规律？
GC=( )
A
A
D
A
D
结论：后者是前者的一种特殊情况！
（1）三条平行线剩下两条，且变为三角形的一边和截三角形另两边或两边延长线的线段。 3、定理的形象记忆法.
E（C2=）( 结论)没B变，所得的对应C线段成比例。
B
你能利用横格纸，将一条绳子分成2:3两部分吗？你是怎样做的？说说你这样做的道理。
（2）结论没变，所得的对应线段成比例。
（3）若l1 // l3， 说出比例线段
D
A
l1
EB
l2
O
C
F
l3
（4）若l1 // l2// l3，DE=3, EO=2, OF=4, OB=1,
求：AB、OC的长.
牛刀小试
6、如图，在△ABC的边BC上任取两点D,E,过点D作AB
的平行线交AC于点M,连接AE,过点M作AE的平行线交BC
AE=( ) 4cm,那么EC的长是多少？ 你能利用横格纸，将一条绳子五等分吗？ （2）结论没变，所得的对应线段成比例。 5、定理的初步应用. 针对被平行线组所截的直线的不同位置情况，指出被相邻两条平行线截得的线段分别是哪些？ 3、定理的形象记忆法. 求：AB、OC的长. 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. （2）结论没变，所得的对应线段成比例。
？C1
针对被平行线组所截的直线的不同位置情况，
指出被相邻两条平行线截得的线段分别是哪些？
说出比例线段
GC=( ) 推论：平行于三角形一边的直线截其他两
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
猜想：⑴在图4、图5中，原题的条件（三条平行线）发生了什么变化？⑵结论有没有变？⑶猜一猜，你能发现什么规律？
GC=( )
A
A
D
A
D
结论：后者是前者的一种特殊情况！
（1）三条平行线剩下两条，且变为三角形的一边和截三角形另两边或两边延长线的线段。 3、定理的形象记忆法.
E（C2=）( 结论)没B变，所得的对应C线段成比例。
B
你能利用横格纸，将一条绳子分成2:3两部分吗？你是怎样做的？说说你这样做的道理。
（2）结论没变，所得的对应线段成比例。
（3）若l1 // l3， 说出比例线段
D
A
l1
EB
l2
O
C
F
l3
（4）若l1 // l2// l3，DE=3, EO=2, OF=4, OB=1,
求：AB、OC的长.
牛刀小试
6、如图，在△ABC的边BC上任取两点D,E,过点D作AB
的平行线交AC于点M,连接AE,过点M作AE的平行线交BC
湘教版初中数学九年级上册平行线分线段成比例定理PPT精品课件
A
证明 在ABC中, DE//BC, AB AC
F
AD AE
D
E
在ADC中, EF//CD, AD AC AF AE
B
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
湘教版初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
湘教版初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
ab
A
D
L1
B
E
L2
C
平行线等分线段定理：
两条直线被三条平行线所 截，如果在一直线上所截 得的线段相等，那么在另 一直线上所截得的线段也 相等。
湘教版初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
F
L3
AB BE BC EF
湘教版初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
已知：如图
EF=4。求BC。
l1 // l2 // l3
，AB=3 ，DE=2 ，
AD BE
C
F
l1 l2
l3
练习：已知：如图， EF=c. 求DE。
l1 // l2
// l3
，AB= a, BC= b,
A B
C
D E
F
l1
l2
l3
湘教版初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
湘教版初中数学九年级上册 3.2 平行线分线段成比例定理 课件
A
D
L1
BM E
L2
C
N
F
L3
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
A
D
L1
❖ “对应”是数学的基本概念，】
湘教初中数学九上《3.2平行线分线段成比例》PPT课件 (1)
1．(4分)如图所示，直线 l1∥l2∥l3，若AB＝BC＝5 cm，DE ＝3 cm，则线段EF的长为__3__cm.
2．(4且AD＝DE＝EF＝FB，DM∥EN∥FP∥BC，若AC＝16 cm，则MN的长为____cm4.
知识点2 平行线分线段成比例定理
8．(4分)如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6， AE＝2，则AC＝____．6
9．(6分)如图，△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝3∶2， 求AB∶DB，AB∶AD的值．
解：AB∶DB＝52，AB∶AD＝53.
10．如图，直线l1∥l2，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A， B，C及点D，E，F，且AB＝3，DE＝4，EF＝2，则( D ) A．BC∶DE＝1∶2 B．BC∶DE＝2∶3
1112 A.2 B.3 C.4 D.3
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC 边上，且AE∶EC＝1∶2，BE交AD于点P，则AP∶PD等 于( A ) A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶3
14．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，F 是BC的中点，EF⊥BC交AB于E，若BD∶DC＝3∶2， 则BE∶AB＝_____5_∶__6_____．
3.2 平行线分线段成比例
1．两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截 得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也_相__等__． 2．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成__比__例__ ．
3．平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段 __成__比__例__．
知识点1 平行线等分线段定理
15．如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE＝5 cm，AF ＝4 cm，则菱形的边长为__2_0_____cm.
2．(4且AD＝DE＝EF＝FB，DM∥EN∥FP∥BC，若AC＝16 cm，则MN的长为____cm4.
知识点2 平行线分线段成比例定理
8．(4分)如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6， AE＝2，则AC＝____．6
9．(6分)如图，△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝3∶2， 求AB∶DB，AB∶AD的值．
解：AB∶DB＝52，AB∶AD＝53.
10．如图，直线l1∥l2，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A， B，C及点D，E，F，且AB＝3，DE＝4，EF＝2，则( D ) A．BC∶DE＝1∶2 B．BC∶DE＝2∶3
1112 A.2 B.3 C.4 D.3
13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC 边上，且AE∶EC＝1∶2，BE交AD于点P，则AP∶PD等 于( A ) A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．4∶3
14．如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，F 是BC的中点，EF⊥BC交AB于E，若BD∶DC＝3∶2， 则BE∶AB＝_____5_∶__6_____．
3.2 平行线分线段成比例
1．两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截 得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也_相__等__． 2．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成__比__例__ ．
3．平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段 __成__比__例__．
知识点1 平行线等分线段定理
15．如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE＝5 cm，AF ＝4 cm，则菱形的边长为__2_0_____cm.
湘教版九年级上册数学3.2《平行线分线段成比例》【 课件】 (共26张PPT)
第3章 · 图形的相似
平行线分线段成比例
在全县纠风、执法监察暨行政效能建 设工作 会议上 的发言 同志们:
县政府决定召开的这次全县纠风、执 法监察 暨行政 效能建 设工作 会议,主 要目的 是 深入贯彻全市纠风暨执法监察工作会 议精神,进一步 落实我 县的纠 风、执 法监察 和 行政效能建设工作任务。刚才,郭毅、 荣林同 志对今 年的纠 风、执 法监察 和行政 效 能建设工作进行了具体安排部署,教育 局、卫 生局、 环保局 对今年 纠风重 点专项 治 理工作提出了具体实施意见,我完全同 意,请大 家一并 抓好落 实。下 面,我 就做好 今
L5
L4
E
D
L1
A
L2
B
C
L3
数学符号语言
DE // BC E
D
A
AD AE
AB = AC
B
CL5 Βιβλιοθήκη 4L5 L4L1A
L1
L2
ED
D
E
L2 A
B
C
L3 B
C
L3
数学符号语言
∵ DE∥BC
∵
AD AB =
AE AC
数学符号语言
∵ DE∥BC
∵
AD AB =
AE AC
推论：
平行于三角形一边的直线 截其他两边(或两边的延长 线），所得的对应线段成 比例。
三个重点”就是重点对教育乱收费、医 药购销 和医疗 服务的 不 正之风、企业违法排污等损害群众利 益的问 题进行 治理。“ 四个坚 决纠正 ”就是 纠
正征收征用土地侵害
导入新课
• 1、比例的基本性质是什么？还有其它什么性质？ • 2、什么叫成比例线段？
导入新课
平行线分线段成比例
在全县纠风、执法监察暨行政效能建 设工作 会议上 的发言 同志们:
县政府决定召开的这次全县纠风、执 法监察 暨行政 效能建 设工作 会议,主 要目的 是 深入贯彻全市纠风暨执法监察工作会 议精神,进一步 落实我 县的纠 风、执 法监察 和 行政效能建设工作任务。刚才,郭毅、 荣林同 志对今 年的纠 风、执 法监察 和行政 效 能建设工作进行了具体安排部署,教育 局、卫 生局、 环保局 对今年 纠风重 点专项 治 理工作提出了具体实施意见,我完全同 意,请大 家一并 抓好落 实。下 面,我 就做好 今
L5
L4
E
D
L1
A
L2
B
C
L3
数学符号语言
DE // BC E
D
A
AD AE
AB = AC
B
CL5 Βιβλιοθήκη 4L5 L4L1A
L1
L2
ED
D
E
L2 A
B
C
L3 B
C
L3
数学符号语言
∵ DE∥BC
∵
AD AB =
AE AC
数学符号语言
∵ DE∥BC
∵
AD AB =
AE AC
推论：
平行于三角形一边的直线 截其他两边(或两边的延长 线），所得的对应线段成 比例。
三个重点”就是重点对教育乱收费、医 药购销 和医疗 服务的 不 正之风、企业违法排污等损害群众利 益的问 题进行 治理。“ 四个坚 决纠正 ”就是 纠
正征收征用土地侵害
导入新课
• 1、比例的基本性质是什么？还有其它什么性质？ • 2、什么叫成比例线段？
导入新课
新湘教版九年级上3.2平行线分线段成比例课件(共15张PPT)
(1) AB AE BC EF
ab
A
（D）
l1
B
E
l2
(2) AB AE
AC AF
C
F
l3
(3) BC EF AC AF
基本图形：“8”字形
(1) AB DB BC BF
a A
B
b
D （E）
l1
l2
(2) AB DB
AC DF
C
F
l3
(3) BC BF AC DF
例题1
A
D
(1 ) D/E /AB
3 D2 2
3k
E
2k
B
C
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的线段对应
成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形：
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ AB DE AC DF
(3) BC EF AC DF
ab
AD
l1
E
B
ab
A
（D）
l1
B
E
l2
(2) AB AE
AC AF
C
F
l3
(3) BC EF AC AF
基本图形：“8”字形
(1) AB DB BC BF
a A
B
b
D （E）
l1
l2
(2) AB DB
AC DF
C
F
l3
(3) BC BF AC DF
例题1
A
D
(1 ) D/E /AB
3 D2 2
3k
E
2k
B
C
课堂小结
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的线段对应
成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形：
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
(2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ AB DE AC DF
(3) BC EF AC DF
ab
AD
l1
E
B
最新湘教版九年级上数学课件 3.2 平行线分线段成比例
B C
D E
E F
2 3
.
我们已经得到：
若
l1/
/
l2
/
/
l3
,A B
B C
2， 3
DE 2
则 EF 3
AB DE
即 BC EF
A B C
D l1 E l2
F l3
平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。
除此之外，还有其它对应线段成比例吗？
A
D l1
AB DE
B
E
看
l2
谁 写
BC EF
反 比 更比
合比
C
F
l3
得 多 、 写 得
BC EF AB DE
AB BC DE EF
AC DF BC EF
快
！
合比
反比
怎样
AB BC
DE EF
AC DF AB DE
BC EF AC DF
得到其它比例式？
更 比 合比
？AB BC AC DE EF DF
BC AC AB DE EF DF AC DF
A
B C
其它比例式 仿此可记！
D
综上所述：若l1//l2 //l3 ,则：比
l1
AB DE BC EF
E l2 BC EF
F l AB DE
上上 下下
下下 上上
一 比 ： 看 谁 记 得 快 ！
3
AC
DE DF
上上 全 全
BC EF 下 下 AC DF 全 全
AB BC AC D...E DF D... F
.
A D l1
求证：DE DF
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AD AE 4 2 \ = = = AB AC 6 3
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF \ = AB CB
2 CF 16 \ = , 即CF = 3 8 3
16 8 \ BF = 8 - = 3 3
例5 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论
b
D
（E）
L1 L2 L3
C
F
AB BE = BC EF
基本图形：“x”字形
1、过平行四边形ABCD的一个顶点A作一 直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延 长线于点E、F、G。求证：EA2=EF•EG
A E
B D
F
G
C
2、如图，AC ∥EF ∥ BD
AE BE =1 （1）求证： AD BC 1 1 1 = （2）求证： AC BD EF
L1
L2
做一做：
（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ， 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 （2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成 的线段有何关系？
结
论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
E
D A
D C
符号语言
B
C
∵△ABC中，DE∥BC
∴AD:DB=AE:EC; AD:AB=AE:AC …
例1：如图，已知BC∥DE ，AB=15， AC=9，BD=4.求AE的长。
A
B
C E
D
例题2：如图，已知FG∥BC ， AE∥GH ∥ CD
AB ED = 求证： BF DH
E
A
F
H D
G C
问题 直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且 AB=BC则图中还有哪些线段相等？
A B C O D M l1
N
E
F
l2
l3 l6
l4
l5
填空题：
已知AD∥EF∥BC， 且AE=BE， 那么DF=
A E F D
CF
.
C
B
问题
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
F
C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2
A B C
A1
？B1 ？C1
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
l3
推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平 分另一腰。
A E D ？ F ？
A E D ？ F ？ B C B E A ？F ？ C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
符号语言：
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
∵在四边形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
!
注意:应用平行线分线段成比例定理得到的 比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的线段对应成比例. l l l l A D l E l
1 1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
平行线分线段成比例定理的推论：平行于 三角形一边的直线截其它两边（或两边的 延长线），所得对应线段成比例。
A B C D E F
AI
BI
CI DI EI FI
D F = DIFI= 2 AD AIDI 3
D F = DIFI= 2 AF AIFI 5
怎样用文字把以上发现表述出来？
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的 对应 线段成比例.
A B C
D
形象记忆
AB BC l2 E BC AB l3 AB F AC BC AC
B
3、已知：如图，l DE = 2, EF = 4. 1//l 2 //l 3，AB = 3, 求：BC.
解： Ql1//l 2 //l 3 AB DE \ = BC EF （平行线分线段成比例定理） 3 =2 即 BC 4 \ BC = 6
3
B
A
D
l1Βιβλιοθήκη 2E l2?
C
4
F l3
[例一]
例 4 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3， AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
B
C
符号语言：
∵在四边形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
推论2: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线， 必平分第三边。
A E F
B
C
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
F
D B
A E C
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的线段对应 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 二、要熟悉该定理的几种基本图形
小结
A B C
D E F C
D B
A E F
a A B
b （D） E
L1 L2 F L3
C
AB BE = BC EF
基本图形：“A”字形
a A B
A
B
C
BI CI
DI
2 = 则 CIFI 3
ACI
D E
EI FI
F
A B C D E F BI CI DI EI FI
A C = ACI = 2 CF CIFI 3
A B C D E F BI CI DI EI FI
B C = BICI= 1 CF CIFI 3
B C = BICI= 1 BF BIFI 4
（3）若AC=3，EF=2，求BD的值.
C
A E F
D
B
3、已知△ABC中，CD平分∠ACB， A AE⊥CD交BC于E， DF∥CB交AB于F， F D AF=4厘米， 则AB= 8 厘米.
B E C
l1
综上所述：若l 则： 1//l 2 //l 3,
上 上 = = 下 下 下 下 = = 上 上 上 上 = = 全 全 下 下 = = 全 全 AB BC 左 左 = = DE EF 右 右
DE EF EF DE DE DF EF DF
. . . .
. . . .
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的线段对应成比例. （常见变式图形） 上 下 全 M = = A D 上 下 全 A (D) B E 平移 C F 平移 B E C F A D A D 平移 B NE (E) B C F F C
D
B F
E
C
∵DF//AC
AD CF \ = AB CB
2 CF 16 \ = , 即CF = 3 8 3
16 8 \ BF = 8 - = 3 3
例5 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项. 分析: 分别在△ABC及△ADC中利 用平行线分线段成比例定理的推论
b
D
（E）
L1 L2 L3
C
F
AB BE = BC EF
基本图形：“x”字形
1、过平行四边形ABCD的一个顶点A作一 直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延 长线于点E、F、G。求证：EA2=EF•EG
A E
B D
F
G
C
2、如图，AC ∥EF ∥ BD
AE BE =1 （1）求证： AD BC 1 1 1 = （2）求证： AC BD EF
L1
L2
做一做：
（1）在横格纸上画直线L1，使得L1与横线垂 直 ， 观察L1被各条横线分成的线段是否相等。 （2）再画一条直线L2，那么L2被各条横线分成 的线段有何关系？
结
论：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如何来证明？
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
A
E
D A
D C
符号语言
B
C
∵△ABC中，DE∥BC
∴AD:DB=AE:EC; AD:AB=AE:AC …
例1：如图，已知BC∥DE ，AB=15， AC=9，BD=4.求AE的长。
A
B
C E
D
例题2：如图，已知FG∥BC ， AE∥GH ∥ CD
AB ED = 求证： BF DH
E
A
F
H D
G C
问题 直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且 AB=BC则图中还有哪些线段相等？
A B C O D M l1
N
E
F
l2
l3 l6
l4
l5
填空题：
已知AD∥EF∥BC， 且AE=BE， 那么DF=
A E F D
CF
.
C
B
问题
如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
F
C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2
A B C
A1
？B1 ？C1
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
l3
推论1: 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平 分另一腰。
A E D ？ F ？
A E D ？ F ？ B C B E A ？F ？ C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
符号语言：
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
∵在四边形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
!
注意:应用平行线分线段成比例定理得到的 比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的线段对应成比例. l l l l A D l E l
1 1
D B
E C
l2
A B
l2
l3
C
l3
平行线分线段成比例定理的推论：平行于 三角形一边的直线截其它两边（或两边的 延长线），所得对应线段成比例。
A B C D E F
AI
BI
CI DI EI FI
D F = DIFI= 2 AD AIDI 3
D F = DIFI= 2 AF AIFI 5
怎样用文字把以上发现表述出来？
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的 对应 线段成比例.
A B C
D
形象记忆
AB BC l2 E BC AB l3 AB F AC BC AC
B
3、已知：如图，l DE = 2, EF = 4. 1//l 2 //l 3，AB = 3, 求：BC.
解： Ql1//l 2 //l 3 AB DE \ = BC EF （平行线分线段成比例定理） 3 =2 即 BC 4 \ BC = 6
3
B
A
D
l1Βιβλιοθήκη 2E l2?
C
4
F l3
[例一]
例 4 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长. 分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分 A 别列出比例式求解. 解 ∵DE//BC
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3， AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
B
C
符号语言：
∵在四边形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
推论2: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线， 必平分第三边。
A E F
B
C
符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
F
D B
A E C
一、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的线段对应 成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 二、要熟悉该定理的几种基本图形
小结
A B C
D E F C
D B
A E F
a A B
b （D） E
L1 L2 F L3
C
AB BE = BC EF
基本图形：“A”字形
a A B
A
B
C
BI CI
DI
2 = 则 CIFI 3
ACI
D E
EI FI
F
A B C D E F BI CI DI EI FI
A C = ACI = 2 CF CIFI 3
A B C D E F BI CI DI EI FI
B C = BICI= 1 CF CIFI 3
B C = BICI= 1 BF BIFI 4
（3）若AC=3，EF=2，求BD的值.
C
A E F
D
B
3、已知△ABC中，CD平分∠ACB， A AE⊥CD交BC于E， DF∥CB交AB于F， F D AF=4厘米， 则AB= 8 厘米.
B E C
l1
综上所述：若l 则： 1//l 2 //l 3,
上 上 = = 下 下 下 下 = = 上 上 上 上 = = 全 全 下 下 = = 全 全 AB BC 左 左 = = DE EF 右 右
DE EF EF DE DE DF EF DF
. . . .
. . . .
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的线段对应成比例. （常见变式图形） 上 下 全 M = = A D 上 下 全 A (D) B E 平移 C F 平移 B E C F A D A D 平移 B NE (E) B C F F C