仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
仿射变换理论及其在几何中的应用
(1.14)
证以 为原点 为坐标向量建立仿射坐标系如图五
若令 则根据定比分点公式,有关点的坐标为
,
共线的充要条件是 ,而
所以 的充要条件是
化简得 ,(1.14)式成立.
古希腊亚历山大里亚的数学家、天文学家梅内劳斯(公元98年左右),在其幸运的保留下来的三卷≤球面几何≥( )[4]中提出了着个定理.
1平面上的仿射坐标系与仿射变换
我们引进仿射坐标系：在平面上任取一点 及两个不共线的向量
(不一定是单位向量，且 不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系
如图1
对于平面上任一点 ，则向量 可唯一地表示为
数组 称为关于仿射坐标系 的仿射坐标.
定理1.0 在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程
故
推论1 两个平行四边形面积之比是仿射不变量.
推论2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
例1 求椭圆的面积(图4).
方法一:解 在直线坐标系下,
椭圆
经仿射变换 (1.13)
变为圆
如图4,椭圆内 经(1.13)对应为 ,其中 , , , 从而
即
于是,椭圆的面积为
方法二[2]:解 化椭圆为参数方程
求得椭圆所围面积为
,
即 共线.
定义1.1在平面上点之间的一个线性变换
（1.05）
叫做仿射变换，其中 分别是 的仿射坐标.
从仿射变换的代数表示可知平面内不共线的三对对应点（原像不共线，像也不共线）唯一决定一个仿射变换，称为仿射几何的基本定理.
例1 有公式所确定的变换表示分别沿轴与轴两个压缩变换的乘积，显然是一个仿射变换.
仿射变换在椭圆中的应用—以2道高考试题为例
仿射变换在椭圆中的应用—以2道高考试题为例发布时间：2021-08-18T10:53:56.857Z 来源：《教学与研究》2021年11期作者：马慧燕李三平[导读] 椭圆是高中圆锥曲线中的主要内容之一，在高中数学中占据重要的地位，同时也是高考的重要考点以及学生学习的重难点。
马慧燕李三平陕西师范大学数学与统计学院西安 710062摘要：椭圆是高中圆锥曲线中的主要内容之一，在高中数学中占据重要的地位，同时也是高考的重要考点以及学生学习的重难点。
本文主要通过仿射变换，来解决与椭圆相关直线斜率、面积等问题，发现应用仿射变换比常规的解析几何方法运算更加简便，最重要的是可以大大减少运算量，这为学生在考试或高考中，节省了一定的时间。
关键词：仿射变换高考椭圆应用1.仿射变换的定义[1]如果平面上的一个点变换，把共线的任意三点变成共线的三点，并且保持三点的单比不变，则可以称该点变换为仿射变换。
仿射变换是几何学中一个基本的变换，图形在变换中保持许多不变的性质和不变量。
其中包括：同素性不变，即把直线变成直线、点变成点；平行不变性是把平行直线变成平行直线。
一般地，在仿射平面上，仿射变换的代数表达式为注：下面两个性质可以根据上述代数表达式进行相关证明，但为了后面能更好地将仿射变换应用到椭圆的具体事例中，故直接采用椭圆的代数仿射表达式进行相关的证明，以便于读者更直观的理解和应用。
2.仿射变换的性质[1]仿射变换在椭圆中的应用，主要涉及直线的斜率、图形的面积等，故下面的研究都是基于椭圆和直线，它们的方程分别为：2.1椭圆的仿射变换像是圆证明：由方程（2.1）可作如下的仿射变换x1=x/a,y1=y/b。
椭圆方程变为：x21+y21=1，该方程是坐标为原点，半径为1的单位圆。
因此，通过仿射变换可以将椭圆变换为圆，同理，也可以将圆通过仿射变换转化为椭圆，这也是本节为什么将椭圆和仿射变换结合的目的。
2.2直线在仿射变换后还是直线证明:由上述仿射变换将直线方程变为y1=ak/b x1+1，因为所做的变换是非退化的，所以a,b均不为0，故上述方程还是一个直线方程。
基于仿射变换的椭圆若干性质的研究
基于仿射变换的椭圆若干性质的研究
本文主要研究以仿射变换为基础的椭圆的性质，探讨其在图像处理、几何分析、结构数学等领域中的应用，以期深入理解其特性和潜力。
:
仿射变换是一种用来将几何图形从一个空间移动到另一个空间的一种
变换方式。
因此，研究仿射变换下椭圆的若干性质是有必要的。
椭圆
是仿射变换下直线的曲线，它具有仿射性，当其中一系列参数改变时，它也将随之改变。
然而，椭圆也具有自身的具象属性，如长短轴比例、偏心率等，所以在仿射变换之后，这些特性也会产生影响。
此外，椭
圆的两个焦点的位置也会随着变换而改变，当椭圆受到压缩和拉伸等
转换时，也会改变其焦点的位置。
总之，基于仿射变换的椭圆若干性
质研究仍然是一个重要课题，它可以深入探究几何图形在空间移动过
程中的转变规律，从而为我们展示更完整的几何图形研究背景。
椭圆的仿射变换与应用 专题-2023届高三数学二轮复习
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
Y
Y
P
X
P 1' P2
X
B
图３ 椭圆仿射变换图
C 1
Pห้องสมุดไป่ตู้
A
图2 圆及外切三角形示意图
3
有关椭圆某部分面积的问题 对于求有关圆的扇形面积是较容易办到 的，但对于椭圆来说，要求其面积很不方便， 通过仿射变换将椭圆变成圆再来解决问题则简 捷很多。 例:求椭圆 x + y = 1 两点 P1 ( 3 2, 5 2) ，
cos θ =
sin θ =
1 [a 22 ( x'− a13 ) − a12 ( y '− a 23 )] r (a11 a 22 − a12 a 21 )
1 [ a11 ( y '− a 23 ) − a 21 ( x '−a13 )] r ( a11 a 22 − a12 a 21 )
将以上二式平方相加得圆的象的方程为： (x1’-a13’)(a212+a222)-2(x’-a13)(y’-a23)(a11a21+ a12a22)+(y’-a232)(a112+a122)=r2(a11a22-a21a12)2 可以证明这是一个椭圆的方程，因此得知 圆的仿射对应图形是椭圆。 由于圆的仿射对应图形是椭圆，所以可以 从圆的性质推导出椭圆的一些性质：已知三角 形 ABC 的顶点与其内切圆的切点的连线共点， 因为圆的仿射对应图形是椭圆，三角形的仿射 对应图形也是三角形，且仿射对应图形保持结 合性不变，所以圆的切线的仿射对应图形是椭 圆的切线，因此图 1 的仿射对应图形是图 2。 解决有关椭圆的问题就可以简化为解决圆 的问题，主要应用如下： (1)求椭圆的面积 利用仿射变换求椭圆的面积见图 1：
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用
浅谈仿射变换在解决椭圆问题中的应用文[1]介绍了在解决椭圆的某些综合问题时，可以利用仿射变换的办法，把椭圆变换为圆来进行研究，会使得问题的解决过程变得简化.笔者也结合自身的教学与解题实践，通过几道例题，浅谈一下仿射变换在解决椭圆综合问题中的一些用法.例1 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，O 为坐标原点，A 为椭圆右顶点，若椭圆上存在点P (异于点A )，使得PO PA ⊥，则椭圆离心率的取值范围为________.分析 此题中的点P 满足PO PA ⊥，即点P 在以AO 为直径的圆上，也即椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与以AO 为直径的圆有不同于点A 的公共点.利用仿射变换将椭圆变换为圆，点P 变换为点'P ，则点P 与点'P 的纵坐标之比即为椭圆短半轴与长半轴之比.解 作仿射变换，令','a x x y y b==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，原坐标系中以AO 为直径的圆的方程为220x ax y -+=，则0'b y a y ⎛=== ⎝⎭，不难求得椭圆离心率,12e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 说明 此题解法较多，用别的方法也不难求得本题的结果,但由上述过程我们看到，仿射变换也为我们提供了一种方便简洁的求解思路.例2 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12F F 、分别为椭圆左右焦点，过12F F 、作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于M N P Q 、、、四点，若当两条弦垂直于x 轴时，点M N P Q 、、、所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为________.分析 利用仿射变换将椭圆变换为圆，此时M N P Q 、、、四点分别变换为''''M N P Q 、、、四点，由仿射变换时变换前后对应图形的面积比不变这个性质，故将上述题目中的椭圆变换为圆时，''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积最大值仍在两条弦与x 轴垂直时取到，故只需研究在圆的一条直径上，取关于圆心对称的两点12F F 、，当1OF 为多少时，能使得过12F F 、的两条互相平行的弦与此直径垂直时刻，与圆的四个交点所形成的面积最大.解 作仿射变换，令','a x x y y b ==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点12F F 、坐标分别为(,0)(,0)c c -、，过12F F 、作两条平行的弦分别与圆交于''''M N P Q 、、、四点.由平行四边形性质易知，三角形'''O P Q 的面积为''''M N P Q 、、、四点所形成的平行四边形面积的14，故只需令三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到即可.由文[2]中的结论，易得当0,2c ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，三角形'''O P Q 面积的最大值在弦''P Q 与x 轴垂直时取到.故此题离心率的取值范围为02⎛ ⎝⎦，.说明 此题的一般解法也较多，但按照常规解法则较为繁琐.而上述解法利用仿射变换把椭圆变换为圆后，由于圆中三角形面积的计算较为简便，故使得本题的解答过程大大简化.本题以面积的求解为载体，在此载体下可以有多种变式，笔者给出一种，有兴趣的读者不妨用仿射变换的办法尝试求解.例2变式 已知椭圆22143x y +=，(1,)A m 为椭圆内一定点，过点A 的弦与椭圆交于P Q 、两点，若使得三角形OPQ 面积为3的弦PQ 存在两条，则m 取值范围为________.例3 （2014年常州期末第18题）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线(0,0)y kx m k m =+<>交椭圆于A B 、两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于点P Q 、，如图，当A B 、两点分别是椭圆E 的右顶点及上顶点时，点Q 的纵坐标为1e （其中e 为椭圆的离心率），且5OQ OM =.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM OQ 、的等比中项，那么m k是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由.分析 此题按照常规解法较为繁琐，但利用仿射变换会使得问题的解决变得简单.仿射变换后，点A B M P Q 、、、、分别变换为点'''''A B M P Q 、、、、，对应直线的斜率变换为原来的a b倍，且根据圆的性质，可得''''A B O Q ⊥，利用此性质可较容易求得m 与k 的比值关系.解 作仿射变换，令','a x x y y b==，可得仿射坐标系'''x O y ，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆222''x y a +=，点A B M P Q 、、、、分别变换为点'''''A B M P Q 、、、、，由'M 为''A B 中点，可得''''A B O Q ⊥.（1）当A B 、两点分别是原坐标系中椭圆E 的右顶点及上顶点时，经仿射变换得到()()22',0,'0,,,,,22a a a a A a B a Q M c bc ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时线段''A B所在直线斜率为1-，则''O Q 斜率为1，即22=1a a b c bc ⇒=,22a a c =，计算易得2a c ==，即椭圆E 的标准方程为2215x y +=. （2）经仿射变换后，''O P 是''''O M O Q 、的等比中项''A B 所在直线斜率变换为a kb ，则根据''''A B O Q ⊥，可得''O Q 斜率为，2222''1''2a b O Q O P c a k k=+==-，因为2''''('')O Q O M O P =，即求得''O M =，又因为tan '''=ak M O y b-∠=，则222''1a k b m O M b a =+，化简计算易得222''12a k b m O M k b a=+=-，即m k 为定值2-.说明 本题原答案是利用直线AB 与椭圆联立求得M 点坐标，进而求得直线OQ 后，继续令直线OQ 与椭圆联立，求得P 点坐标，再利用三条线段成等比中项求得m 与k 的比值，运算量较大.但利用仿射变换的办法，把椭圆仿射变换为圆后，各线段间几何关系明显且使得问题简洁易解，运算量大大简化.。
仿射变换在椭圆中的应用
仿射变换在椭圆中的应用仿射变换在椭圆中的应用仿射变换是一种将图像在平面上进行旋转、伸缩、平移和斜切等操作。
在计算机视觉和图像处理中，仿射变换被广泛应用于图像的几何变换和纹理映射等方面。
而在椭圆方面，仿射变换也有着广泛的应用。
一、椭圆的表示椭圆通常用以下标准方程进行表示：aa2+aa2=1其中，a为椭圆长轴的一半，b为椭圆短轴的一半。
通常情况下，我们可以将椭圆沿着x轴旋转一个角度θ来表示，得到以下方程：(aaaaa+aaaaa)2a2+(−aaaaa+aaaaa)2a2=1二、椭圆的仿射变换对于椭圆的仿射变换，我们首先需要明确仿射变换的定义：仿射变换是指保持两条直线的交点和两线段比例不变的线性变换。
对于椭圆的仿射变换，我们可以通过将椭圆变换为单位圆，进行仿射变换后再变回原椭圆来实现。
例如，我们要将一椭圆沿着任意角度旋转，我们可以通过矩阵运算进行仿射变换，即：变换前：(aaaaa+aaaaa)2a2+(−aaaaa+aaaaa)2a2=1 变换后：[a′a′][a′a′]=a[aa]其中，M为2x2的矩阵，其表示旋转和缩放的变换，a’和b’为旋转后的长轴和短轴。
三、椭圆的应用1. 物体跟踪物体跟踪是指在视频中跟踪物体的位置和运动轨迹。
在物体跟踪中，椭圆被广泛应用于表示物体的位置和姿态。
通过椭圆的长轴和短轴可以确定物体的大小和方向，在跟踪过程中可以根据椭圆的变化来实时更新物体的位置和姿态。
2. 图像去畸变图像畸变是指图像在拍摄或扫描过程中由于光学等原因造成的形变。
对于图像去畸变，可以通过将畸变的图像拟合为椭圆，进行仿射变换后将图像变换为正常的图像。
这种方法被广泛应用于摄像机等设备中。
总之，仿射变换在椭圆中有着广泛的应用，可以用于物体跟踪、图像去畸变等方面。
在实际应用中，需要结合具体场景和问题进行变换及其参数的优化和调整，以达到最佳效果。
仿射变换在椭圆中的应用
仿射变换在椭圆中的应用椭圆是数学中一种具有特殊形状的曲线，它在许多领域中都有广泛的应用。
而仿射变换是一种能够保持平行线性质的变换，它在几何学和图像处理中也有着重要的作用。
本文将探讨仿射变换在椭圆中的应用，并介绍其中的原理和实际应用。
我们来了解一下椭圆的基本性质。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和为常数2a的点的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，a称为椭圆的半长轴。
椭圆还具有对称性，其对称轴是连接两个焦点的直线。
椭圆的形状由半长轴a和半短轴b决定，其中b是使得椭圆到两个焦点距离之和为常数2a的点的轨迹。
在几何学中，我们常常需要对椭圆进行变换，以便更好地研究其性质。
而仿射变换正是其中一种常用的变换方法。
仿射变换可以保持直线的平行性质，因此可以将椭圆变换为其他形状的曲线，同时保持其重要的几何性质。
那么，如何进行仿射变换呢？在平面几何中，仿射变换可以通过矩阵乘法来表示。
具体地说，对于平面上的一个点(x,y)，其仿射变换可以表示为：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中，a、b、c、d、e、f是仿射变换的参数，它们决定了变换的具体效果。
通过调整这些参数，我们可以实现对椭圆的平移、旋转、缩放等变换操作。
接下来，我们将介绍仿射变换在椭圆中的具体应用。
首先是平移变换。
通过平移变换，我们可以将椭圆沿着平面上的任意方向移动一定的距离。
这在图形处理中非常有用，可以实现图像的平移和移动效果。
其次是旋转变换。
通过旋转变换，我们可以将椭圆绕着某个点旋转一定的角度。
这可以用于图像的旋转和扭曲效果，使得图像更具艺术效果。
仿射变换还可以用于椭圆的缩放和拉伸。
通过调整仿射变换的参数，我们可以改变椭圆的大小和形状，从而实现图像的缩放和形变效果。
仿射变换在椭圆中具有广泛的应用。
通过对椭圆进行平移、旋转、缩放等变换操作，我们可以改变椭圆的位置、形状和大小，从而实现各种图像处理效果。
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2 2
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通过以上例题可以看出，我们不但能够求 出圆的扇形面积，也能求出椭圆的扇形面积， 只要给出椭圆上的两点即可，这个结论在初等 几何中是没有的。综上，椭圆的有关仿射性质 的问题可转化为圆的问题来解决，为解题或证 明带来极大的方便。
参考文献 [1]梅向明,刘增贤,王汇淳等.高等几何.北京:高等教 育出版社,1983. [2] 朱 德 祥 . 初 等 几 何 研 究 . 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,1985.
cos θ =
sin θ =
1 [a 22 ( x'− a13 ) − a12 ( y '− a 23 )] r (a11 a 22 − a12 a 21 )
1 [ a11 ( y '− a 23 ) − a 21 ( x '−a13 )] r ( a11 a 22 − a12 a 21 )
将以上二式平方相加得圆的象的方程为： (x1’-a13’)(a212+a222)-2(x’-a13)(y’-a23)(a11a21+ a12a22)+(y’-a232)(a112+a122)=r2(a11a22-a21a12)2 可以证明这是一个椭圆的方程，因此得知 圆的仿射对应图形是椭圆。 由于圆的仿射对应图形是椭圆，所以可以 从圆的性质推导出椭圆的一些性质：已知三角 形 ABC 的顶点与其内切圆的切点的连线共点， 因为圆的仿射对应图形是椭圆，三角形的仿射 对应图形也是三角形，且仿射对应图形保持结 合性不变，所以圆的切线的仿射对应图形是椭 圆的切线，因此图 1 的仿射对应图形是图 2。 解决有关椭圆的问题就可以简化为解决圆 的问题，主要应用如下： (1)求椭圆的面积 利用仿射变换求椭圆的面积见图 1：
3 5 3 5 相应的点 P 2, 2) ，p 2 ( 2 ,− 2) 分 1(
面积） ∴
π
s
=
1 ，即：椭圆的面积 S=πab。 ab
别变为 p1 ' ( 2 2 ,2 2 ) ， p2 ' (2 2 ,−2 2 ) 在 O’中，
P1 ' P2 ' = 4 2 ，又因为：
P1 ' P2 '
(2)有关椭圆内接三角形和外切三角形的 问题 例：在椭圆的内接三角形的顶点作切线构 成外切三角形，如果这两个三角形有两对对应 边平行，则第三对对应边也平行。 证明：因为命题的条件和结论都是仿射性 质的，故可证明命题对圆成立。 （即：仿射变换 保持结合性、直线的平行性）所以命题对椭圆 也成立。 设△ABC 是圆的内接三角形，以其顶点作 圆的切线所构成外切三角形为△ A1B1C1 ， 且 AB//A1B1，BC//B1C1 如图 2。 ∵ BC//B1C1 ∴ ∠1=∠3 又 ∵ AB//A1B1 ∴∠2=∠4 而∠3=∠4 , ∠2=∠5 故 AC//A1C1 A
p2 (
3 5 2 ,− 2 ) 和中心的连线以及椭圆弧 P1P2 2 2
所围成的面积 Soppo。
x' = x 解：如图 3 仿射变换 ⎪ ⎪ 3 ⎧ 4
⎨ ⎪ y' = 4 y ⎪ 5 ⎩
把椭圆
x2 y2 2 2 + 2 = 1 变圆 x’ +y’ =16 2 a b
2 2
2 2
S' 1 （S’为圆的面积，S 为椭圆的 = Δ = S ab
sin α =
2 R
=
2 2 2 = 4 2
∴α =
π
4
圆 O’中的扇形面积
S oppo =
S O 'P1 'P2 π × 2α × R 2 = × 16 = 4π 2 4
=
而
15 5 4 4 16 ∴ S S O ' P1 ' P2 'O ' = π × = OP1 P2 O = 16 4 3 5 15
⎧ x' = a11 x + a12 y + a13 则由仿射变换成： ⎨ ⎩ y ' = a 21 x + a 22 y + a 23
知此圆的象的参数方程为：
L
⎧ x'−a13 = r (a11 cos θ + a12 sin θ ) ⎨ ⎩ y '−a 23 = r (a 21 cosθ + a 22 sin θ )
得出 cosθ，sinθ为：
图1 仿射变换求椭圆图
解：设在笛式直角坐标系下椭圆的方程为
.
70
.
电大理工
总第 230 期
x2 y2 + = 1 对其进行仿射变换 a2 b2 x 1 ⎧ 0 ⎪ x' = a ⎪ a Δ= ≠ 0 则椭圆的仿射对应图 ⎨ 1 y ⎪ y' = 0 ⎪ b b ⎩
形为圆 x2+y2=1 由于仿射变换保持两个封闭凸曲线的面积 的比不变，且等于变换系数行列式的绝对值， 即：
圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆 比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有 关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身 的定义要比圆复杂， 椭圆的性质和定理就很少， 解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆 有关的相应的问题困难得多。在初等几何中， 有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的 方法来解决， 这就给我们解题带来了不少麻烦。 因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有 关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而 由仿射变换性质可知：椭圆通过适当的仿射变 换可变成圆。因此，只要考虑的有关椭圆的问 题纯属仿射性质的问题，就可以先转化为有关 圆相应的问题来解决，再把所得的结果推广到 椭圆中去，即可达到我们解题的目的。 为实现上述目的，我们还应该明确，为什 么椭圆通过适当的仿射变换可变成圆？ 命题 圆的仿射对应图形是椭圆 y=rsinθ 证明：设有以原点为中心，r 为半径的一 个圆，它的参数方程为：x =rcosθ
2007 年 3 月
电大理工 Dianda Ligong
第 1 期 总第 230 期
仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质问题中的应用
谭长明 汝春雷 鞍山师范学院 （ 鞍山 114007）
摘
要
仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射
变换，能使一些初等几何问题由繁到简。论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质 的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。 关键词 仿射变换 不变性 不变量 椭圆
Y
Y
P
X
P 1' P2
X
B
图３ 椭圆仿射变换图
C 1
P
A
图2 圆及外切三角形示意图
3
有关椭圆某部分面积的问题 对于求有关圆的扇形面积是较容易办到 的，但对于椭圆来说，要求其面积很不方便， 通过仿射变换将椭圆变成圆再来解决问题则简 捷很多。 例:求椭圆 x + y = 1 两点 P1 ( 3 2, 5 2) ，