误差理论与测量平差基础
1.误差理论与测量平差基础第一章-绪论
➢ 在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二 乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法,显著的提高了测量的精度。
➢ 高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测,夜晩计算。五六年间,经他亲自计算过的大地测 量数据,超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后,高斯就把主要精力 转移到处理观测成果的计算上来,并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。
1.3 测量平差的简史和发展
1.3 测量平差的简史和发展
•采用适当的观测方法校正 仪器 •计算加改正
尺长误差 i角误差
粗差 Gross error 即大的偏差或错误
•重复观测 •严格检核 •发现舍弃或重测
大数读错 输入错误 照错目标
1.1 观测误差 1.2 测量平差学科的研究对象 1.3 测量平差的简史和发展 1.4 本课程的任务和内容
1.2 测量平差学科的研究对象
系统误差处理 1.利用系统误差的规律性建立函数模 型，对观测中的误差进行改正。 2.采用相应的观测手段。 3.现代系统误差处理理论
1.1 观测误差
偶然误差—在相同的观测条件下进行的一系列观测，如果误差在大小、 符号上 都表现出偶然性，从单个误差上看没有任何规律，但从大量误差上看有一定的 统计规律，这种误差称为偶然误差。
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差, 或两种兼有。
误差理论与测量平差基础知识点的不完全归纳
第一章绪论1、误差理论与测量平差基础是一门专业、基础、理论、核心课程。
2、测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其他实体的空间分布有关信息的数据。
3、任何观测数据总是包含信息和干扰两部分（有效信息和干扰信息）。
采集数据就是为了获取有用的信息，干扰也称为误差。
4、观测数据总是不可避免带有误差。
5、误差即测量值与真值之差。
6、当对某个量进行重复观测时就会发现，这些观测值之间往往存在差异，这是由于观测值中包含有观测误差。
7、误差来源于观测条件，观测条件包括测量仪器、观测者、外界条件。
8、偶然误差即总是假定含粗差的观测值已被剔除；含系统误差的观测值已经过适当改正。
在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。
9、在测量中产生误差是不可避免的。
10、根据观测误差对测量结果的影响性质，可分为偶然误差（Δ）、系统误差和粗差（）三类。
【】11、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而然，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。
（如估读不准确）12、系统误差包括常差、规律差、随机性系统误差。
13、在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在个过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差就称为系统误差。
（如视准轴与水准管轴不平行、仪器下沉、水准尺下沉、水准尺竖立不垂直）14、系统误差的存在必然影响观测结果，具有一定的累加性，是影响巨大的。
15、粗差即粗大误差，是指比在正常观测条件下所能出现的最大误差还要大的误差。
（误差=错误，消除粗差的方法：多余观测进行发现、剔除粗差。
测量数据中一旦发现粗差，需要舍弃或重测）16、属于经典测量平差范畴。
17、如何处理由于多余观测引起观测值之间的不符值或闭合差，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度是测量平差的基本任务（研究路线）。
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
误差理论与测量平差基础
0
令
N bb
BT
N
1 aa
B
误差理论与测量平差基础
则
xˆ
N
1 bb
(C
T
K
S
We )
(5)
将(5)式代入(1)式的第二式，得
CN bb1C T K S
CN
W 1
bb e
Wx
0
因为
Ncc
CN
C 1
bb
T
为满秩方阵，所以
KS
N
1 cc
(Wx
CN
W 1
bb e
)
将（6）式代入（5）式，得
（6）
xˆ
(
N
1 bb
N bb1C T
N
cc1CN
1 bb
)We
N bb1C T
N
W 1
cc x
（7）
按（7）式求出参数估值后，将（4）式代入（2）式，得
V
P
1
AT
N
1 aa
(W
Bxˆ)
误差理论与测量平差基础
三、精度评定
LL
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV cus
N
cc1CN
1 bb
B
T
N
1 aa
A
QLL
AT
N
cc1CN
1 bb
B
T
QKS Xˆ
N
cc1CN
1 bb
BT
N
1 aa
AQLL
误差理论与测量平差基础
误差理论与测量平差基础
错误理论是测量平差中的重要理论，主要作用是分析测量数据的误差特性，确定数据
的可信性以及求解测量平差参数。
测量平差把原始测量数据通过数学模型进行优化，以消
除测量数据中的误差，得到更靠近实际状况的测量结果，了解测量数据中误差特性，对测
量平差有利也是非常有必要的。
误差理论的研究可以分为两个主要方面：一是潜在误差分析，即测量误差的性质及其
影响；二是测量误差的匹配，即推算出影响测量结果的误差幅度，同时考虑测量误差和设
计误差的叠加效应。
若测量误差在某种程度上已知，为了有效地求解平差过程，相应的应
该选择平差方法，也就是要精确解算测量误差。
因此，利用错误理论，可以分解原始的测量数据，以及测量误差的不同影响因素。
为
复杂的测量问题提出更适当的解法，从而减少测量平差中可能引起的误差，提高测量精度。
此外，错误理论还研究多参数的优化方案，及其偏差的估计，以便于设计更具拟合力的测
量数据优化方案。
误差理论是测量平差基础技术中不可缺少的一环，测量前对误差作出足够重视，测量
过程也应精确，意义重大。
正确掌握误差理论及其应用，对测量精度有非常重要的意义。
《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)
《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案)一、名词解释（每题2分，共10分）1、偶然误差——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。
即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。
这种误差称为偶然误差。
2、函数模型线性化——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。
在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。
这一转换过程，称之为函数模型的线性化。
3、点位误差椭圆——以点位差的极大值方向为横轴轴方向，以位差的极值分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。
4、协方差传播律——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。
如，若观测向量的协方差阵为，则按协方差传播律，应有。
5、权——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，。
二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分）参考答案：X √X √X X X √√X三、选择题（每题3分，共15分）参考答案：CCDCC四．填空题（每空3分，共15分）参考答案：1. 6个2. 13个3.1/n4. 0.45. ,其中五、问答题（每题4分，共12分）1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分）⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。
实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，X F E 、0K KL Z +=LL D T LL ZZ K KD D =220ii P σσ=0)()()()(4320020=''+∆+∆+-''+-''-W y SX X x SY Y C ACA C C ACA C ρρABAC AC X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan其类型是由必要元素所决定的，其数量，必须等于必要元素的个数。
测量平差误差理论的基本知识
5
0.014
2
0.006
0
0
177
0.495
误差绝对值
个数 （k）
相对个数（k/n）
91
0.254
81
0.226
66
0.184
44
0.123
33
0.092
26
0.073
11
0.031
6
0.017
0
0
358
1.000
①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度;（有界性）
②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性）
极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。
第四节 误差传播定律及应用
在实际工作中，有许多未知量 不是直接观测的，而是通过观测值 计算出来的，观测值中误差与观测 函数中误差之间的关系定律，称为 误差传播定律。
倍数函数
函数形式：
Z=kx
式中Z为观测值的函数，k为常数（无误差），x为观测值
中误差关系式：
3.2
m1 ，m2说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值m与相应 观测值D之比，通常以分子为1的分式 来表
示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
1
D
D
m
一般情况 :角度测量没有相对误差，只有距 离测量才用相对误差来评定。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
因为A、B两点间的高差等于各测站的观测 高差之和，即：hAB=h1+h2+…+hn
误差理论与测量平差基础
2.3精度及其衡量精度指标
精度、准确度和精确度的形象描述
准确度
31
精度
精确度
编辑ppt
2.3精度及其衡量精度指标
4、衡量精度的指标
精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描
述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡
量其高低。为此，人们希望通过一个数字来偶然误差
的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为
二乘法
L AX
❖ 1806年，A.M. 二乘法
Legendre从代E(数) 角lim度提出了0, E最(L小)
n n
AX
❖1809年，Gauss在《天体运动的 02理Q 论 02》P一1 文中发
表，称为Gauss- Legendre方 法
❖1912年，A.A. Markov，对最X小二( A乘T P原A理)1进AT行P了L
武汉大学出版社
编辑ppt
3
❖ 怎样学好测量平差
Ch1 绪论
预习、复习加习题练习 独立思考并推导公式 平差思想和解题思路 高数 线代 概率
习题练习
习题练习
公式推导
公式推导
平差思想
平差思想
数学基础
数学基础
编辑ppt
4
Ch1 绪论
❖ 为什么要学测量平差？ 1. 测量过程中可能会出现
照错目标 读错数
如何避免错误或及时发现错误？ 解决方法：增加多余观测。
系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差
来描述M ，即( ：L ) E ( S L L ~ ) 2 E L 2 ( E ( L ) L ~ ) 2
E(L)L~
当
，即观测值中不存在系统误差和粗差时，
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10 /2
6
偶然误差: 采用测量平差的方法
绪论
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1.2 测量平差学科的研究对象
1
2 3
测量平差理论和方法是测绘学科中测量数据处
4 5
理和质量控制方面重要的组成部分，并在现代GPS(全
6
球定位系统)、GIS（地理信息系统）、RS（遥感）及
7 8
其集成的高新测量技术以及高精度数字化数据采集和
8 9
年代后广泛应用
10
方差—协方差估计理论研究、应用（80年代）
统计假设检验理论的研究、应用；
粗差探测法和可靠性理论：60年代后期，荷兰巴
13 /2
尔达（W.Baarda）教授提出，近年形成粗差定位、估
6
计等理论。
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3.平差计算模式的发展
1
(1)手工计算模式阶段（上世纪70年代末之前）
1
计算工具: 能够上网的各种通讯工具和相应的网络
2 测绘数据处理平台
计算方法: 采用基于DOS系统下的程序计算。
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(3)全自动计算模式阶段（上世纪90年代中期至今）
1
计算工具: 能满足现代智能化数据处理和管理的386、
2 486、586，以及运算速度更快、内存容量更大和显卡质量
3 4
更高的各种型号的计算机。
5 6
计算方法: 采用智能化数据处理程序进行计算
6
7
技术水平
精密度
8 9
工作态度
误差
温度、湿度 风力 等
10
观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差
观测条件较好则观测质量较高，观测条件较差则观测质
7 /2 量较低，观测条件相同则观测质量相同。
6
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3、如何发现观测误差
1
2 3
两点间距离：
4
B
5
6 7
必要观测：S1
8 9
89°08'48" 358.170m
B
7
8
40°38'36"
9
10
40°38'42"
290.118m
C
290.121m
边长、天顶距和方向值双观测间
6 /2
均存在差异,其差异来源于观测误差
6
A
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2、产生观测误差的原因
1
观测值如何获取?
2
观测条件
3
4 5
观测者 采用一定的 仪器 在一定的 外界环境 中测取
。 １７９４年，高斯提出最小二乘法理论
7 8 9
１８０１年，高斯用最小二乘法解决了确定谷神星轨 道的问题。
10
１８０９年，高斯在《天体运动的理论》一文中，从
概率论观点，详细地叙述了他所提出的最小二乘原理。
12 /2 6
马尔柯夫（Ａ、Ａ、Ｍａｒｋｏｖ）确立高斯-----马尔柯夫平差模型的（1912年）
绪论
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2. 近代平差理论的发展
1 2
相关平差：1947年，铁斯特拉（T.M.Tienstra） 提出，70年代后广泛应用
3
顾及随机参数的最小二乘滤渡、推估和配置:
4 5
1969年，克拉鲁普（T.Krarup）提出，70年代后
6
广泛应用
7
秩亏平差：1962年，迈塞尔（P.Meiss）提出，70
L~1
L~2
L~n T
9 /2 6
L
n,1
L1
L2
Ln T
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5、观测误差的分类和处理源自1 分类g s n2 3
误差
粗差 系统误差
偶然误差
4 5 6
处 理 粗 差 : 重复观测
严格检核
发现后舍弃或重测
7
计算中发现
8
9
系统误差：采用适当的观测方法
10
校正仪器
计算加改正
系统误差补偿
7
8
9
10
16 /2 6
控制测量数据处理系统主界面
绪论
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
17 /2 6
控制网名输入界面
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控制网观测数据输入界面
绪论
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
18 /2 6
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平差项目选择界面 平差参数设置界面
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
9
10
重 点、难 点: 误差分类及其处理方法 。
4 /2 6
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1
本章主要内容
2
3
4 5
观测误差
6
7
测量平差学科的研究对象
8
9
10
测量平差的简史和发展
本课程的任务和内容
5 /2 6
绪论
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1.1 观测误差
1 1 、测量差异与观测误差
2
3
4 5 6
89°08'42" 358.168m
2 3
计算工具: 计算尺、对数表、三角函数表、手摇计算
4 机、计算用表等
5
6
7
8
9
10
14 /2
6
计算方法: 采用上述计算工具手工计算
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(2)半自动计算模式阶段（上世纪80年代初
1 至90年代初）
2
计算工具: PC1500机、E500机、苹果机、286等。
3
4
5
6
7
8
9
10
15 /2 6
9
处理中得到广泛应用。其研究对象是含有观测误差的
10
观测值，其任务是研究由一系列带有观测误差的测量
数据，依据某种最优化准则，求定未知量的最佳估值，
11 /2
及其精度。
6
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1.3 测量平差的简史和发展
1 2
1. 经典平差理论的发展
3 4
高斯（Ｃ、Ｆ、Ｇａｕｓｓ）创立最小二乘法
5 6
10
多余观测：S2
差异=S1-S2
A
只有有了多余观测才能产生测量差异，从而发现观测误差。
8 /2 6
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4、观测误差的计算
1 2
i L~i Li , i 1,2, , n
3 4
向量形式：
5
L~ L
6 7
其中
n,1 n,1 n,1
8
9
10
n,1
1
2
n T
L~
n,1
绪论
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
主讲： 黑志坚教授
1 /2 6
绪论
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
2 /2 6
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武汉大学测绘学院 测量 平 差 学 科组 编著 武汉大学出版社出版
2003年1月第1版 书号: ISBN 7-307-03709-2/p·55 定价: 21元
绪绪 论论
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
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观测数据总是不可避 免地带有误差。
测量平差研究误差处 理的基本理论、基本知识 和基本方法。
绪论
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第一章 绪论
1
2
3
4 5
授课目的要求：明确观测误差产生的原因,
6 7
掌握误差分类及其处理方法,了解测量平差的发
8 展简史和基本内容。
10
19 /2 6
平差略图﹑观测精度及相关信息显示界面
绪论
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
20 /2 6
控制点点位精度显示界面 打印项目选择界面
绪论
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
21 /2 6
平差坐标成果报表格式界面
绪论
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(4)网络计算模式阶段（今后的发展方向）