解析几何易错题分析

用两种解法对本题进行分析．
解 法 一 由 条 件 知 Ｆ１（ － ２， ０） ， Ｆ２（ ２， ０） ， 设 Ａ（ ｘ１， ｙ１） ，
Ｂ（ ｘ２， ｙ２） ．
（ Ⅰ） 设 Ｍ（ ｘ， ｙ） ， 则 "Ｆ１$Ｍ ＝（ ｘ＋２， ｙ） ， Ｆ"$１Ａ ＝（ ｘ１＋２， ｙ１） ， "Ｆ$１Ｂ ＝（ ｘ２＋２， ｙ２） ， Ｆ"１$Ｏ ＝（ ２， ０） ． 由 "Ｆ１$Ｍ ＝"Ｆ$１Ａ ＋Ｆ"$１Ｂ ＋Ｆ"$１Ｏ 得
得出曲线上的点与原点的最近距
离为 ２， 最近的点是（ － ２， ０） ． 此 外 ， ｙ２＝－ ４－ ２ｘ 可 化 为 ｙ２＝－ ２（ ｘ＋２） ， 可 以 看 出 是 由
ｙ２＝－ ２ｘ 左移了 ２ 个单位得到的， 所以新顶点（ － ２， ０） 到原
点的距离最近， 易知最近距离是 ２． 例 ５ 已知双曲线 ｘ２－ ｙ２ ＝１， 是否存在被点（ １， １） 平 ２
则
ｋ（ １－ ｋ） ２－ ｋ２
＝１．解 得
ｋ＝２
不满足上述
条件．故不存在被点（ １， １） 平分的双曲线的弦．
例 ６ 已知双曲线 ｘ２－ ｙ２＝２ 的 左 、右 焦 点 分 别 为 Ｆ１、
Ｆ２， 经过点 Ｆ２ 的动直线与双曲线相交于 Ａ、Ｂ 两点．
（ Ⅰ） 若动点 Ｍ 满足"Ｆ１#Ｍ ＝Ｆ"$１Ａ ＋Ｆ"$１Ｂ ＋"Ｆ$１Ｏ （ 其中 Ｏ 为
ｙ２
－１
＝
４ｙ（ ｘ－ ４） （ ｘ－ ４） ２－ ｙ２
．
整理得（ ｘ－ ６） ２－ ｙ２＝４．
当 ｋ＝０ 时， 点 Ｍ 的坐 标 为 （ ４， ０） ， 满 足 上 述 方 程 ．当
ＡＢ 与 ｘ 轴垂直时， ｘ１＝ｘ２＝２， 求得 Ｍ（ ８， ０） ， 也满足上述方 程．故点 Ｍ 的轨迹方程是（ ｘ－ ６） ２－ ｙ２＝４．
１， 此时"Ｃ$Ａ·Ｃ"$Ｂ ＝－ １．
当 ＡＢ 与 ｘ 轴垂直时， 点 Ａ、Ｂ 的坐标可分别设为（ ２，
& ２ ） 、（ ２， － & ２ ） ， 此时"Ｃ$Ａ·Ｃ"$Ｂ ＝（ １， & ２ ）·（ １， － & ２ ） ＝ － １．故在 ｘ 轴上存在定点 Ｃ（ １， ０） ， 使"Ｃ$Ａ·Ｃ"$Ｂ 为常数．
有考虑实际情况， 点 Ａ、Ｂ、Ｃ 在同一条直线 上 的 情 况 应 该限制．所以正确答案是 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１（ ｙ≠０） ．当然条 件 的
２５ １６ 限制方法不是唯一的．
例 ４ 求 曲 线 ｙ２＝－ ４－ ２ｘ 上 与 原 点 距 离 最 近 的 点 的 坐标．
错解 设曲线上的 任 意 一 点 Ｐ（ ｘ， ｙ） ， 则 Ｐ 与 原 点
的 距 离 ｄ＝ &ｘ２＋ｙ２ ＝ &ｘ２－ ２ｘ－ ４ ＝ &（ ｘ－ １） ２－ ５ ， 无法解 出最小值．
剖析 没有 ｘ 的具体范围， 无法得解．主要原因在
于没考虑条件， 没注意挖掘曲线 自 身 的 隐 含 条 件 ． 由 曲 线 ｙ２＝－ ４－
２ｘ≥０ 会 得 到 ｘ≤－ ２， 那 么 就 可 以
所以
ｘ１＋ｘ２＝
４ｋ２ ｋ２－ １
， ｙ１＋ｙ２＝ｋ（ ｘ１＋ｘ２－
４） ＝ｋ（
４ｋ２ ｋ２－ １
－
４）
＝
４ｋ ｋ２－ １
．
得
ｘ－
４＝
４ｋ２ ｋ２－ １
，
ｙ＝
４ｋ ｋ２－ １
．
当 ｋ≠０ 时， ｙ≠０， 得 ｘ－ ４ ｙ
＝ｋ， 将 其 代 入
ｙ＝
４ｋ ｋ２－ １
，
４×ｘ－ ４
有
ｙ＝
ｙ （ ｘ－ ４） ２
们 完 善 自 己 的 解 题 方 法 、解 题 思 路 和 解 题 能 力 ， 在 高 考
时取得理想的成绩．
例 １ 求过点 Ｐ（ ２， ３） 并且在两坐标轴上的截距相
等的直线方程．
错解 设 方 程 为 ｘ ＋ ｙ ＝１， 代 入 Ｐ（ ２， ３） ， 由 ａ＝ｂ 得 ａｂ
ａ＝ｂ＝５， 所以直线方程是 ｘ＋ｙ－ ５＝０．
剖 析 漏 掉 了 过 原 点 的 一 条 直 线 ： ３ｘ－ ２ｙ＝０．直 线 方
程的截距式方程不表示过原点和平行于坐标轴的直线．
设方程时应全面考虑所用方程的缺陷．
此题运用点斜式方程比较好， 原因是点斜式方程缺
陷只是不表示平行 ｙ 轴的直线， 不影响此题 ．设方程为
ｙ－ ３＝ｋ（ ｘ－ ２） ， 由 ｙ＝０ 得 ｘ＝２－ ３ ， 由 ｘ＝０ 得 ｙ＝３－ ２ｋ， 所 ｋ
专题递 送
,
文
史 忠 学
课本是高考的核心， 考生经常容易在基础知识、基本
方 法 的 应 用 时 出 错 。本 文 结 合 同 学 们 平 时 的 训 练 题 、
２００７ 年 高 考 题 以 及 相 关 模 拟 题 ， 紧 扣 课 本 和 《考 试 大
纲》， 用实际例子来分析一些易错题， 目的在于引导同学
＝
１， 解得 ｋ＝２， 所以弦所在的直线方程是 ２ｘ－ ｙ－ １＝０．
剖 析 此 题 的 结 果 ２ｘ－ ｙ－ １＝０ 联 立 双 曲 线 方 程 ｘ２－
ｙ２ ＝１ 不存在解， 所以肯定 是 错 误 的．导 致 错 误 的 具 体 原 ２
因是没考虑判别式．本题我们可以用下面两种方法来进
行解答．
（ 方 法 一 ） 验 证 ： 代 入 化 简 后 的 方 程 得 ２ｘ２－ ４ｘ＋３＝０，
%ｘ１＋ｘ２＝ｘ－ ４，
解法二 （ Ⅰ） 同解法一的（ Ⅰ） 有 ｙ１＋ｙ２＝ｙ．
当 ＡＢ 不与 ｘ 轴垂直时， 设直线 ＡＢ 的方程是 ｙ＝ｋ（ ｘ－
２） （ ｋ≠±１） ．
代入 ｘ２－ ｙ２＝２ 有 （ １－ ｋ２） ｘ２＋４ｋ２ｘ－ （ ４ｋ２＋２） ＝０．则 ｘ１、ｘ２ 是
上述方程的两个实根，
， 得 ａ＝ １ ６
．
剖 析 漏 掉 了 ａ＝０． 没 考 虑 直 线 斜 率 的 存 在 性 ， 即
ｌ１∥ｌ２"ｋ１＝ｋ２ 的 前 提 条 件 是 ｋ１ 与 ｋ２ 同 时 存 在．而 本 题 恰 好有斜率不存在的特殊情况．所以我们应该补充讨论当
ａ＝０ 的情况， 或者用两直线平行的乘积 表 达 形 式 ， 即 ： ｌ１：
例 ３ 已 知 Ｂ、Ｃ 是 两 个 定 点 ， ｜ ＢＣ｜ ＝６， 且△ＡＢＣ 的
周长等于 １６， 求顶点 Ａ 的轨迹方程．
错 解 以 ＢＣ 所 在 直 线 为 ｘ 轴 ， 中 点 为 坐 标 原 点 建
立直角坐标系， Ｂ （ － ３， ０） ， Ｃ （ ３， ０） ， ｜ ＢＣ｜ ＋｜ ＡＢ｜ ＋｜ ＡＣ｜ ＝
高考指导 ２７
分的双曲线的弦？若存在， 则求出弦所在直线方程； 若不
存在， 请说明理由．
错 解 当 直 线 垂 直 于 ｘ 轴 时 ， 即 直 线 为 ｘ＝１， 过 双
曲线的右顶点和双曲线相切， 直线和双曲线没有相交的
弦， 即不存在被点（ １， １） 平分的双曲线的弦．
２６ 高考指导
李伟ｔｏ周国平： 在挫折中可以学到很多东西， 你也会从中得到更多的成长机会。 真情留言
当 ＡＢ 与 ｘ 轴 垂 直 时 ， ｘ１＝ｘ２＝２， 求 得 Ｍ（ ８， ０） ， 也 满 足上述方程．所以点 Ｍ 的轨迹方程是（ ｘ－ ６） ２－ ｙ２＝４．
（ Ⅱ） 假设在 ｘ 轴上存在定点 Ｃ（ ｍ， ０） ， 使"Ｃ$Ａ·"Ｃ$Ｂ 为
常数．
当 ＡＢ 不与 ｘ 轴垂直时， 设直线 ＡＢ 的方程是 ｙ＝ｋ（ ｘ－
（
２ｋ２＋ｍ）
（
ｘ１＋ｘ２）
＋４ｋ２＋ｍ２＝
（
ｋ２＋１） （ ｋ２－
４ｋ２＋２） １
－
４ｋ２（ ２ｋ２＋ｍ） ｋ２－ １
＋
４ｋ２＋ｍ２＝
２（
１－ ２ｍ） ｋ２－ １
ｋ２＋２
＋ｍ２＝２（
１－
２ｍ）
＋
４－ ４ｍ ｋ２－ １
＋ｍ２．
因为"Ｃ$Ａ·"Ｃ$Ｂ 是与 ｋ 无关的常数， 所以 ４－ ４ｍ＝０， 即 ｍ＝
（ ｘ１－ ｘ２） ．
又因为
Ａ、Ｂ
两点在双曲线上，
所以
ｘ２ １
－
ｙ２ １
＝２，
ｘ２ ２
－
ｙ２ ２
＝２，
两 式 相 减 得 （ ｘ１－ ｘ２） （ ｘ１＋ｘ２） ＝（ ｙ１－ ｙ２） （ ｙ１＋ｙ２） ， 即 （ ｘ１－ ｘ２） （ ｘ－
４） ＝（ ｙ１－ ｙ２） ｙ．
将
ｙ１－
ｙ２＝
ｙ ｘ－ ８
（ ｘ１－ ｘ２） 代入上式， 化简得（ ｘ－ ６） ２－ ｙ２＝４．
１６， ｜ ＢＣ｜ ＝６， 得｜ ＡＢ｜ ＋｜ ＡＣ｜ ＝１０， 根 据 椭 圆 的 定 义 知 道 ： Ａ 的轨迹是以 Ｂ、Ｃ 为焦点， 长轴 ２ａ＝１０ 的椭圆， ｂ２＝ａ２－ ｃ２＝１６， 其方程是 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１．
２５ １６
剖析 没考虑构成△ＡＢＣ 的条件， 在同一条直线上 的 Ａ、Ｂ、Ｃ 三 点 不 能 构 成 三 角 形 ， 这 里 只 考 虑 运 算 而 没
专 题递送
当直线不垂直于 ｘ 轴时， 可设直线为： ｙ－ １＝ｋ（ ｘ－ １） ， 即
ｙ＝ｋｘ＋（ １－ ｋ） ， 联立 ｘ２－ ｙ２ ＝１， 并化简为： （ ２－ ｋ２） ｘ２－ ２ｋ（ １－ ｋ） ｘ－ ２
（ １－ ｋ） ２ － ２＝０，
依题意有（ １， １） 是中点，
所以有：
ｋ（ １－ ｋ） ２－ ｋ２
% % ｘ＋２＝ｘ１＋ｘ２＋６， 即
ｘ１＋ｘ２＝ｘ－ ４， 于 是 ＡＢ 的 中 点 坐 标 为