解析几何易错题(教师版)
人教版数学-备课资料解析几何易错点大剖析
解析几何易错点大剖析在解析几何的测试题中，为了考察同学们的思维能力和认知水平，往往在题目中设置一些“陷阱”。
这些陷阱极具迷惑性，如果不加以小心，便会跌入其中，不能自拔。
为了使同学们不再被其误导，故将常见的几种陷阱列举出来，希望引起大家的注意。
一、概念模糊而误入陷阱例、已知抛物线的方程为)0a (ax 2y 2<=，则它的焦点坐标为 A. )0,2a (-B. )2a ,0(-C. )a81,0( D. )a81,0(-错解：由抛物线方程为2ax 2y =，知抛物线的对称轴为y 轴，a 2p 2-=，所以a p -=，2a 2p -=，所以它的焦点坐标为（0，2a-），所以应选B 。
错因剖析：首先要准确理解概念，正确识记抛物线的标准方程为px 2y 2=、px 2y 2-=、py 2x 2=、py 2x 2-=，其中若一次项的变量是x （或y ），则对称轴为x 轴（或y 轴），一次项系数的正负决定其开口方向。
正解：原方程可化为py x 22=的标准形式，其焦点坐标为（0，2p ）。
求出a p 41=，从而可得焦点坐标为（0，a81）。
解题策略：对于考试中的概念性问题，紧紧抓住概念的本质是解题的关键。
抓住关键词，吃透其外延、内涵，平时做适当的练习，在应用中去理解体会。
二、 忽视判别式的应用条件而误入陷阱例、直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则k 的取值是A 、1或-1B 、C 、-1或D 、1±或错解：直线1y kx =-与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，则方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩有惟一解，消去y 得22(1)220k x kx -+-=，此方程应有两个相等的实根，由0∆=，即2248(1)0k k +-=，解之可得k=，故选B ；错因剖析：忽略了根的判别式只能对一元二次方程适用。
一元一次方程不存在根的判别式。
对于方程22(1)220k x kx -+-=，当k=1±时，它是x 的一元一次方程不是二次方程，此时不能用根的判别式来判断实根的个数。
高考数学复习易做易错题精选 解析几何
高考数学复习易做易错题精选 解析几何1. 若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
2. 若双曲线22221x y a b-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
3. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A B C D 解 答：D易错原因：短轴长误认为是b4．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +-> 5．设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离，则双曲线的离心率为A 2B 2或3 C D 解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
6．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
7．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影为M ，点A 的8．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤D 10k -<≤ 解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
高考数学易错题集 解析几何 人教版
高考数学易错题集 解析几何 人教版一、选择题：1. （如中）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y±= 解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. （如中）椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是A855 B 455 C 833 D 433解 答：D易错原因：短轴长误认为是b3．（如中）过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．（如中）设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为34C ，则双曲线的离心率为 A 2 B 2或233 C 2 D 233解 答：D易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．（如中）已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D 解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．（如中）若曲线24y x =-(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤C 314k -<≤ D 10k -<≤ 解 答：C 易错原因：将曲线24y x =-转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
易错点09 解析几何(解析版)-备战2021年高考数学一轮复习易错题
易错点09解析几何—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =±，此时曲线C表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.例2 （2020C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F∴直线AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+ 的故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.例3 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析. 【解析】 【分析】(1)由题意得到关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.(2)设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】(1)由题意可得：222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=. (2)设点()()1122,,,M x y N x y .因为AM ⊥AN ，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=,① 当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+,如图1. 代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k4260xkmx m +++-=2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++ ②, 根据1122,y kx m y kx m =+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x 2140x km k x x m ++--++-+=将②代入，()()()22222264k 121401212m km km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=,∵2,1A（）不在直线MN 上，∴210k m +-≠， ∴23101k m k ++=≠，， 于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点直线过定点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -,如图2.代入()()()()121222110x x y y --+--=得()2212210x y -+-=,,结合2211163x y +=,解得()1122,3x x ==舍,此时直线MN 过点21,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值（AE 3=）. 由于()21,32,13,A E ⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.【易错警示】易错点1．忽视斜率不存在致误例1 已知直线方程为3x ＋my －6＝0，求此直线的斜率与此直线在y 轴上的截距． 【错解】由3x ＋my －6＝0，得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m ，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m.【错因】忘记讨论当m ＝0时，直线的斜率并不存在．【正解】当m ＝0时，直线可化为x ＝2，此时直线的斜率不存在，在y 轴上的截距也不存在； 当m ≠0时，可得my ＝－3x ＋6，即直线的斜截式方程为y ＝－3m x ＋6m ，得出此直线的斜率为－3m ，在y 轴上的截距为6m . 易错点2.忽视截距为0致误例3 求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为0的直线方程． 【错解】设直线的方程为x a ＋y－a＝1.因为直线过点(2,4)，所以2a ＋4－a ＝1，解得a ＝－2.故所求的直线方程为x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0.【错因】直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求解时没有考虑截距为0的情形，导致漏解． 【正解】当直线的截距均不为0时，同错解； 当直线的截距均为0时，直线过原点， 此时直线的斜率为k ＝2， 直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.故所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋2＝0. 易错点3.忽视隐含条件致错例3 若过点A (4,2)可以作两条直线与圆C ：(x －3m )2＋(y －4m )2＝25(m ＋4)2相切，则点A 在圆C 的________(填“外部”、“内部”、“上面”)，m 的取值范围是________．【错解】因为过点A 与圆有两条切线，可见点A 必在圆的外部．因为点A 在圆的外部，则有(4－3m )2＋(2－4m )2>25(m ＋4)2，因此有240m <－380，解得m <－1912.故填外部，m <－1912.【错因】此题的错解在于忽视了圆方程的半径一定要大于0的隐含条件．应注意条件25(m ＋4)2>0.【正解】因为过点A 与圆有两条切线，可见点A 必在圆的外部．因为点A 在圆的外部，则有(4－3m )2＋(2－4m )2>25(m ＋4)2，因此有240m <－380，解得m <－1912.再结合圆的条件中半径必须大于0，即有25(m ＋4)2>0，所以m ≠－4，因此m 的取值范围是m <－1912且m ≠－4.易错点4.忽视多解过程致错例4：圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点的圆的方程是________________________． 【错解】因为圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)．因此圆的方程为(x －5)2＋y 2＝25.【错因】造成以上错解的原因是在解题过程中忽视了多种情况的存在性．【正解】因为圆心在x 轴上，半径等于5，且经过原点，所以圆心为(5,0)或(－5,0)．因此圆的方程有两个，即(x －5)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋y 2＝25. 易错点5.忽视检验结论致错例5：已知Rt △ABC 的斜边为AB ，点A (－2,0)，B (4,0)，求点C 满足的方程． 【错解】设C (x ，y )，由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半，如图，这 样直角三角形斜边上的中点为M (1,0)， 则半径为12(4＋2)2＋(0－0)2＝3，即得所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9.【错因】因为忽视结论的检验，没有注意到点C 是直角三角形的顶点，即C 点不能在直线AB 上，因此造成错解．【正解】设C (x ，y )，由于直角三角形斜边上的中点为M (1,0)，如图所示，则半径为12(4＋2)2＋(0－0)2＝3，即得圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9.但是顶点C 不能在直线AB 上，因此y ≠0，也就是要除去两个点，即(－2,0)，(4,0)，因此C 点满足的方程为(x －1)2＋y 2＝9(除去点(－2,0)，(4,0))．易错点6.忽视前提条件致误例6：已知动点P 到点F （0,1）的距离是到直线l ：y=1距离的2倍，则点P 的轨迹为（ ） A 、直线 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线 【错解】设d 表示点P 到直线l 的距离，由已知条件得离心率21PFe d==>，故点P 的轨迹为双曲线，选C【错因】上述解法看上去“天衣无缝”，实际上却犯了一个错误。
解析几何易错题
解析几何易错题1．经过点A(1,2)，并且在2个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有_____条2．已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 以及倾斜角α 的取值范围。
3．求过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程。
4．判断下列命题是否正确(1)y -y 1x -x 1=k 表示过点(x 1,y 1)且斜率为k 的直线方程 (2)直线y=kx+b 与y 轴交于点P(0,b)，其中截距b=|OP|(3)在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a +y b =1(4)方程(x 2-x 1) (y-y 1) =(y 2-y 1) (x-x 1)表示过两点P 1(x 1,y 1) 与P 2(x 1,y 1)的直线5．已知直线l 经过点P(3,1)，且被两平行直线l 1:x+y+1=0和 l 2:x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l 的方程。
6．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行的_____条件。
7．a 1a 2b 1b 2=-1是两条直线a 1x+b 1y+c 1=0和 a 2x+b 2y+c 1=0垂直的_____条件 8．定义在 R 上的函数 f (x ) = 13 x 3 + 12 ax 2 + 2bx + c ，在(0,1) 内有一个极大值点，在(1,2)内有一个极小值点，则 b －2a －1的范围是______ 9．在坐标平面内，由不等式组 ⎩⎨⎧ y ≥| x －2 | y ≤－| x | + a所确定的平面区域的面积为 52 ，则a = 。
10．已知直线l 过点(-2,0)，当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是______11．若曲线y=1+4-x 2 (-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点，求实数k 的取值范围。
易错题(解析几何)
高三数学易错题练习卷（解析几何）一． 填空题1. 圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是2. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是3. 圆1122=+y x 的过点)7,2(-的切线方程为4. 过点P(4,2)作圆422=+y x 的两条切线,切点分别为A 、B,O 为坐标原点，则OAB ∆的外接圆方程为5. 若椭圆221(,0)x y m n m n+=>的离心率为12，一个焦点恰好是抛物线28y x =的焦点，则椭圆的标准方程为6. 在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦 距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆做圆M ，若过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c a ，所作圆M 的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为7. 抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C上的点，若三角形OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 的值为8. 已知双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为P F F 又点,,21是双曲线上一点，且ab PF PF PF PF 4,2121=⋅⊥,则双曲线的离心率是9. 若双曲线22221y x a b-=(0,0)a b >>的渐近线与方程的圆相切，则此双曲线的离心率为10. 已知M 是抛物线x y=2上一点，N 是圆1)3(22=+-y x 上的动点，则MN 的最小值是11. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于,P Q 两点.若P 恰为线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率是12.已知抛物线上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a 等于二．解答题13. 设和分别是椭圆的左、右焦点，（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（2）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.14. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>，设直线:210AB x y --=切抛物线于点A ，交y 轴于点B ，且D 为AB 中点。
解析几何错题集锦
解析几何错题集锦1.经过椭圆x2/2+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线L，交椭圆于A、B两点。
设O为坐标原点，则·OB等于2.在平面直角坐标系中,椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点(a2/c,0)作圆的两切线互相垂直,则离心率e等于3.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则实数k的值为4.若椭圆x2/m+y2/n=1(m>n>0)和双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1、F2，P是椭圆和双曲线的一个交点，则｜PF1｜·｜PF2｜等于5.已知F是双曲线x2/4-y2/12=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则｜PF｜+|PA|的最小值为6.设双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF2的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为7.过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为8．双曲线x2/9-y2/16=1的左、右焦点分别为F1、F2.给定四条直线：①5x-3y=0;②x-y-4=0;③5x-3y-52=0;④4x-3y+15=0.如果上述直线上存在点P，使|PF2|＝|PF1|+6，则满足这样条件的直线对应的序号是9.过抛物线y2=4x的焦点作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于10.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x+1/2=0的距离为11.已知过点P（4，0）的直线与抛物线y2=4x相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)两点，则y12+y22 的最小值为12.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是13.已知F为抛物线y2=4x的焦点，过F的直线与抛物线交于A、B两点，且满足AF=3FB，则弦AB的中点到准线的距离为14.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F倾斜角为θ的直线，交抛物线于A、B两点.设△AOB的面积为S（O为原点），若S的最小值为8，求此时的抛物线方程.15.已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t）.（1）求t的值；（2）若点P，Q是抛物线C上的两个动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由.16.方程x+|y-1|=0表示的曲线是17.a、b为任意实数，若点（a,b）在曲线f(x,y)=0上，则点（b,a）也在曲线f(x,y)=0上，那么曲线f(x,y)=0的几何特征是A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称18.方程x2/|x|+y2/|y|=1表示的图形是A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形（除去四个顶点）19．若曲线y2－xy－2x－k=0通过点（a,-a）(a∈R)，则实数k的取值范围是20．与圆x2+y2=1 及圆(x-4)2+y2=4都外切的圆的圆心在( )A.一个椭圆上B.双曲线一支上C.一条抛物线上D.一个圆上21．已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线l:x=1且动圆P和圆A外切并与直线l相切，则动圆的圆心P的轨迹方程为22．设双曲线x2/a2-y2/b2=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过（a,0）和(0,b)两点，已知原点到直线l的距离为√3/4 c,则双曲线的离心率为( )A.2B.√3C.√2D.2√3/328，过点P（4，2）作圆O：x2+y2=1的切线，切点为A、B。
解析几何(教师版)高考数学一轮复习易错点分类汇总
解析几何易错导图易错详讲易错点1直线平行与重合区别【例1】已知直线210x ay +-=与直线(2)20a x ay --+=平行，则a 的值是（）A ．23-B ．23-或0C ．0或32D ．32【答案】D【解析】由题设可得1()2(2)a a a ⨯-=⨯-，∴32a =或0a =，当0a =时两直线重合，故应舍去，故选：D.【易错总结】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②2112210A A l B B l +⇔=⊥；【举一反三】1．若直线260ax y +-=与2(1)10x a y a +-+-=平行，则a =（）A ．1-或0B ．0或1C ．1或2D ．1-或2【答案】D【解析】因为两直线平行，所以226111a a a -=≠--，即220a a --=且2340a a +-≠，解得1a =-或2a =，故选：D2．（2020·江西省奉新县第一中学）已知直线1:210l ax y +-=，直线2:820l x ay a ++-=，若12//l l ，则实数a 的值为（）A ．4±B ．－4C ．4D ．2±【答案】B【解析】因为12//l l ，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±.当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去.当4a =-时，符合题意.所以4a =-.故选：B3．（2020·首都师范大学附属中学）已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（）A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或5【答案】C【解析】 直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行.因此，0k =或5.故选:C.易错点2斜率与倾斜角勿忘范围【例2】（2020·邯郸市永年区第一中学）设某直线的斜率为k ，且3k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则该直线的倾斜角α的取值范围是()A ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．50,,36πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D ．20,,63πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】D【解析】直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若k 33），tan α＜33所以20,,63ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ .【举一反三】1．（2020·天津和平·耀华中学）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(0,1)C -，过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率k 的取值范围是（）A ．[2,3]-B ．[2,0)(0,3]-⋃C ．(,2][3,)-∞-⋃+∞D ．以上都不对【答案】C【解析】如图所示：∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k ≥k BC 或AC k k ≤，∴直线l 的斜率3k ≥BC k k ≥或2k ≤-，∴直线l 斜率k 的取值范围：(,2][3,)-∞-⋃+∞，故选：C ．2（2020·湖北省天门中学）直线cos 20x α+=的倾斜角范围是（）A ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5,26ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B ．50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ【答案】B【解析】由题意，设直线的倾斜角为θ直线cos 20x α+=的斜率为33[]33k =-，即tan 33θ-≤≤，又由[0,)θπ∈，所以50,,66πθππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故选B.3．（2020·天津市武清区天和城实验中）直线cos 0x y b α++=（a 、b R ∈）的倾斜角范围是（）A ．[]0,πB ．3,,4224ππππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【解析】由题意，直线方程可化为：cos y x b α=--∴直线的斜率为cos α-∴cos [1,1]α∈-设直线cos 0x y b α++=的倾斜角为βtan [1,1]β∴∈-][3044πβππ⎡⎫∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，，故选：D易错点3圆锥曲线的定义【例3】（1）（2020·全国高二单元测试）到两定点()()12,,,0330F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为（）A ．椭圆B ．两条射线C ．双曲线D ．线段（2）（2020·浙江温州中学）双曲线221412x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．9C ．1或9D ．7【答案】（1）B （2）B【解析】（1）1∵到两定点F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F 1F 2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B ．（2）双曲线221412x y -=的2,4a b c ====，点在P 双曲线的右支上，可得16PF a c ≥+=，点在P 双曲线的左支上，可得12PF c a ≥-=，由15PF =可得P 在双曲线的左支上，可得2124PF PF a -==，即有2549PF =+=.故选：B.【举一反三】1．（2019·海口市第四中学）设1(4,0)F -，()24,0F 为定点，动点M 满足1210MF MF +=，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．直线C ．双曲线D ．线段【答案】A【解析】根据椭圆的定义知，M 到两定点1F ，2F 的距离之和为10＞12F F ＝8，动点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆．故选：A ．2．（2020·南京师范大学附属实验学校）（多选）已知方程221mx ny +=(),m n R ∈，则（）A ．当0mn >时，方程表示椭圆B ．当0mn <时，方程表示双曲线C ．当0m =，n ＞0时，方程表示两条直线D ．方程表示的曲线不可能为抛物线【答案】BCD【解析】A ：取1m n ==，此时表示圆，故A 错误；B ：当0mn <时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，故B 正确；C ：当0m =，y n=±，方程表示两条直线，故C 正确；D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，故D 正确；故选：B C D.易错点4直线与曲线相交【例4-1】（2018·广东湛江·高二期末（理））已知直线2y kx =+与椭圆2219x y m+=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥B ．09m <<C ．49m ≤<D ．4m ≥且9m ≠【答案】D【解析】因为直线2y kx =+恒过(0,2)点，为使直线1y kx =+与椭圆2219x y m +=恒有公共点，只需点(0,2)在椭圆2219x y m +=上或椭圆内，所以220219m+≤，即4m ≥.又9m ≠，所以4m ≥且9m ≠.故选：D.【例4-2】（2019·广东佛山）过点()2,1-引直线与抛物线2y x =只有一个公共点，这样的直线共有（）条．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】（1）当过点(2)1-，的直线斜率不存在时，显然2x =与抛物线2y x =有且只有一个交点，（2）当直线过点(2)1-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为()12y k x +=-，代入到抛物线方程2y x =，消y 得：2210x kx k -++=，则()24210k k ∆=-+=，解得：4k =±(2)1-，的切线有2条，综上可得：过点(2)1-，与抛物线2y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条.故选：C.【举一反三】1．（2020·金华市曙光学校）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A ．没有公共点B ．一个公共点C ．两个公共点D ．有公共点【答案】D【解析】因为2y kx =+过定点()0,2，且椭圆22194x y +=的上顶点也为()0,2，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个，故选：D.2．（2020·江西南昌二中高三其他模拟（文））已知双曲线22:1x C y m -=的离心率为2，过点(2,0)P 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（）A ．22(,0)(0,22-B ．5(5-，0)(0⋃，55C ．22(,,)22-∞-+∞ D ．(,,)55-∞-+∞ 【答案】A【解析】由题意双曲线22:1x C y m -=的离心率为2，62=，解得2m =，双曲线22:12x C y -=，设直线:2l x ty =+，与双曲线C 联立得：22(2)420t y ty -++=，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12222y y t =-，12224y y t t =--+221212122282()42t x x t y y t y y t --=+++=-，又因为AOB ∠为钝角，则0OA OB ⋅<，所以12120y y x x +<，即222228022t t t --+<--得出220t ->，即22t >，所以直线l 的斜率22112k t =<，又且,,A O B 三点不可能共线，则必有0k ≠，即直线l 斜率的取值范围是(,0)(0,22- ，故选：A ．3．（2019·海口市第四中学）过点()3,2M 作直线l 与抛物线28y x =只有一个交点，这样的直线共有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】B【解析】经验证点()3,2M 在抛物线开口内部，结合函数图像，可知过点()3,2M 与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M 平行与x 轴的直线，即2y =.故选：B.避错强化1．（2020·湖北宜昌）若直线1:260l ax y ++=与直线()22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a 的值为（）A ．2a =-或1a =B ．2a =C ．2a =或1a =-D ．1a =-【答案】D【解析】由1l 与2l 平行得：()()()21202161a a a a ⎧--=⎪⎨-≠-⎪⎩，解得：1a =-故选：D 2．（2020·上海杨浦·复旦附中）“1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直，可得：11()0m m ⨯+-=，即21m =，解的1m =±，所以1m =是直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直的充分不必要条件.故选：A.3．（2020·安徽六安一中）已知两条直线1l ：()1210a x y -++=，2l ：10x ay ++=平行，则1l 与2l 的距离为（）A．B ．2C．4D．2【答案】C【解析】因为12l l //，所以()1210a a --⨯=，所以2a =或1a =-，当2a =时，12,l l 均为210x y ++=，此时两直线重合不符合条件，当1a =-时，1:2210l x y -++=即11:02l x y --=，2:10l x y -+=，此时符合，所以12,l l324=，故选：C.4．（2020·重庆北碚·西南大学附中高三月考）设m R ∈，则“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直，则()()()11210m m m m -+-+=，解得1m =±，所以由1m =-能推出直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直；反之不能推出；因此“1m =-”是“直线()1:130l mx m y +--=与直线()()2:1212=0l m x m y -++-垂直”的充分不必要条件.故选：A.5．（2019·巢湖市第四中学）直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：()2320a x ay a -++=.若12//l l ，则a 的值为（）A ．0或5B ．0C ．5D ．非上述答案【答案】A【解析】当0a =时，1l ：60x +=，2l ：0x =，满足12//l l ；当0a ≠且20a -≠时，16232a a a a=≠-，解得5a =，综上，0a =或5.故选：A.6．（2020·上海徐汇·位育中学高三月考）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．,33⎛⎫-⎪⎝⎭B ．3⎛⎫⎪⎝⎭C ．3⎛⎫-⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为22:6(0)C x y x -=>表示双曲线226x y -=的右支，由2226y kx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得()2226x kx -+=，整理得()2214100k x kx ---=，设直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>的两交点为()11,x y ，()22,x y ，其中1>0x ，20x >，则1221221001401x x k k x x k ⎧=->⎪⎪-⎨⎪+=>⎪-⎩，解得1k <-，又()22164010k k ∆=+->，解得33k -<<，综上，13k -<<-.故选：D.7．（2020·河北衡水中学高三一模（理））已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)x y m m+=>的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】当焦点在x 轴上时，2a m =，21b =，1m >，当M 为上下顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅= 坐标，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=，即11≥，解得2m ≥；当焦点在y 轴上时，21a =，2b m =，01m <<，当M 为左右顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅= ，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=1≥，解得102m <≤，故选：C.8．（2020·涡阳县育萃高级中学）已知两条直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，则a =______．【答案】1-【解析】因为直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=互相平行，所以110a a ⋅-⋅=，解得1a =±当1a =时直线1:10l ax y ++=与2:10l x ay ++=重合，应舍去当1a =-时满足题意故答案为：1-9．（2020·辽源市第五中学校）已知直线1:20l x ay ++=和2:(2)360l a x y a -++=，若12l l //，则a =___________．【答案】3【解析】∵12l l //，有(2)3a a -=，∴(1)(3)0a a +-=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，1:20l x y -+=，2:3(2)0l x y --+=，即1l 、2l 为同一条直线；当3a =时，1:320l x y ++=，2:3180l x y ++=，即12l l //；∴3a =，故答案为：311．（2020·上海浦东新·华师大二附中）直线xcos y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．【答案】50,[,)66πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【解析】由题知k ＝－33cos θ，故k ∈33,33⎡-⎢⎣⎦，结合正切函数的图象，当k ∈30,3⎡⎢⎣⎦时，直线倾斜角α∈0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当k ∈3,03⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭时，直线倾斜角α∈5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故直线的倾斜角的范围是0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.12．（2020·江西南昌二中）若过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点，则这样的直线l 共有_____条.【答案】3【解析】（1）当过点(01)-，的直线斜率不存在时，显然0x =与抛物线22y x =有且只有一个交点，（2）①当过点(01)-，且直线抛物线22y x =的对称轴平行，即斜率为0时，显然1y =-与抛物线22y x =有且只有一个交点，②当直线过点(01)-，且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为1y kx =-，代入到抛物线方程22y x =，消y 得：222(1)10k x k x -++=，由已知有0k ≠，则224(1)40k k ∆=+-=，解得：12k =-，即直线线方程为112y x =--，综上可得：过点(01)-，的直线l 与抛物线22y x =有且只有一个交点的直线l 共有3条故答案为：3。
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解析几何易错题练习例1 求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。
错解：设所求直线方程为1=+bya x 。
∵（2，1）在直线上，∴112=+ba ， ①又4ab 21＝，即ab = 8 ， ② 由①、②得a = 4，b = 2。
故所求直线方程为x + 2 y = 4 。
剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。
上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x 轴和y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。
事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为21b a ，而不是21ab 。
故所求直线方程应为：x + 2 y = 4，或（2+1）x - 2（2-1）y – 4 = 0，或（2- 1）x - 2（2+1）y +4 = 0。
例2 已知三角形的三个顶点为A （6，3），B （9，3），C （3，6），求∠A 。
错解：∵ k AB = 0 ，k AC =6336-- = -1，∴ tan ∠A=AB AC AC k k k k ⋅+-1AB =)1(01)1(0-⋅+--=1.又0＜∠A ＜1800，∴ ∠A=450。
剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。
事实上，所求角应是直线AB 到AC （注意：AC 到AB ）的角。
因此，∴ tan ∠A=ABAC ABAC k k k k ⋅+-1= - 1，∠A=1350。
例3 求过点A （-4，2）且与x 轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。
错解：设直线斜率为k ，其方程为y – 2 = k （x + 4），则与x 轴的交点为（-4-k2，0）， ∴5124=---k ，解得k = -51。
故所求直线的方程为x + 5y – 6 = 0 。
剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A 且垂直于x 轴的直线，落入“陷阱”。
其实x = - 4也符合题意。
例4 求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。
错解：设所求方程为1=+aya x ，将（1，1）代入得a = 2， 从而得所求直线方程为x + y – 2 = 0。
剖析：上述错解所设方程为1=+aya x ，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y = x 也符合条件。
例5 已知圆的方程为x 2 + y 2 + ax + 2y + a 2 = 0 ，一定点为A （1，2），要使过A 点作圆的切线有两条，求a 的取值范围。
错解：将圆的方程配方得： ( x + 2a )2 + ( y + 1 )2= 4342a -。
∵其圆心坐标为C （－2a，－1），半径r ＝4342a -。
当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，则AC ＞ r 。
即22)12()21(+++a ＞4342a -。
即a 2 + a + 9 ＞ 0，解得a ∈R 。
剖析：本题的“陷阱”是方程x 2 + y 2 + ax + 2y + a 2= 0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出AC ＞ r ，即a 2 + a + 9 ＞ 0，却忽视了a 的另一制约条件4 – 3 a 2 ＞ 0。
事实上，由a 2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a 2 ＞ 0可得a 的取值范围是（332,332-）。
例6 已知直线L ：y = x + b 与曲线C ：y =21x -有两个公共点，求实线b 的取值范围。
错解：由⎪⎩⎪⎨⎧21,x y b x y -=+=消去x 得：2y 2 - 2by + b 2 – 1 = 0。
（ * ）∵ L 与曲线C 有两个公共点， ∴ ∆= 4b 2 – 8 ( b 2 －1 ) > 0，解得－2＜b ＜2 剖析：上述解法忽视了方程y =21x -中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1这一限制条件，得出了错误的结论。
事实上，曲线C 和直线L 有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-=>=+>=∆021022b --y y 0 1)-8(b -4b 2212221b y y 解得1≤ b ≤2。
例7 等腰三角形顶点是A （4，2），底边的一个端点是B （3，5），求另一个端点C 的轨迹方程。
错解：设另一个端点的坐标为（ x ，y ），依题意有：AC =AB ，即：22)2()4(-+-y x =22)52()34(-+-∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即为C 点的轨迹方程。
这是以A （4，2）为圆心、以为半径的圆。
剖析：因为A 、B 、C 三点为三角形三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线，即B 、C 不能重合，且不能为圆A 一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。
事实上，C 点的坐标须满足⎩⎨⎧≠≠53y x ，且⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠+225423y x ，故端点C 的轨迹方程应为（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x ≠3,y ≠5；x ≠5,y ≠－1)。
它表示以（4，2）为圆心，以10为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。
例8 已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为x y = .抛物线c bx x x f ++=2)(过B ，D 两点（1）若正方形中心M 为（2，2）时，求点N (b,c)的轨迹方程。
（2）求证方程x x f =)(的两实根1x ，2x 满足2||21>-x x 解答：（1）设(2,2),(2,2),0B s s D s s s +--+≠因为 B,D 在抛物线上 所以222(2)(2)2(2)(2)s S b S c S S b S c ⎧+=-+-+⎨-=++++⎩两式相减得 282s s sb =-- 则5b =-代入（1）得2244105s s s s c +=-+-++ 288c s ∴=-< 故点(,)N b c 的方程5(8)x y =-<是一条射线。
（2）设(,),(,)0B t s t s D t s t s s +--+≠同上22()()(1)()()(2)t s t s b t s c t s t s b t s c ⎧+=-+-+⎨-=++++⎩ （1）-（2）得12b t +=-(3) （1）+（2）得22(1)0(4)s b t t c +-++=（3）代入（4）消去t 得2221(1)024b b sc -+=-->得2(1)44b c --> 又()f x x =即2(1)0x b x c +-+=的两根12,x x 满足121x x b +=- 12x x c ∙=222121212||()4(1)44x x x x x x b c ∴-=+-=--> 故12||2x x ->。
易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。
例9 已知双曲线两焦点12,F F ，其中1F 为21(1)14y x =-++的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，（1）求点1F 的坐标；（2）求点2F 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线y x t =+与2F 的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。
解答：（1）由21(1)14y x =-++得：2(1)4(1)x y +=--，故1(1,0)F - （2）设点2(,)F x y ，则又双曲线的定义得1212||||||||||||0AF AF BF BF -=-≠又21||||AF AF ==22||||AF BF ∴=或2211||||||||F A F B AF BF +=+= ∴ 点2F 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆∴10x += 除去点(1,0),(1,4)--或22(1)(2)184x y +-+=除去点 (1,0),(1,4)-- 图略。
（3）联列：2(1)(2)184y x t x y =+⎧⎪⎨+-+=⎪⎩消去y 得22(1)2(2)8x x t +++-= 整理得：223(46)2810x t x t t +-+-+= 当0= 时得3t =±从图可知：(,3(3)t ∈-∞-⋃++∞， 又因为轨迹除去点(1,0),(1,4)-- 所以当直线过点(1,0),(1,4)--时也只有一个交点，即1t =或5(,33)(3,){1,5}t ∴∈-∞⋃+∞⋃ 易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点2F 的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。
例10 已知圆1:221=+y x O ，圆:2O 091022=+-+x y x 都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。
错解：圆O 2：091022=+-+x y x ，即为16)5(22=+-y x 所以圆O 2的圆心为)0,5(2O ,半径42=r ,而圆1:221=+y x O 的圆心为)0,0(1O ,半径11=r , 设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y),半径为r则1||1+=M O r 且4||2+=M O r ，所以3||||21=-M O M O 即3)5(2222=+--+y x y x ，化简得0649801622=+--y x x 即1449)25(22=--y x 为所求动圆圆心的轨迹方程。
剖析：上述解法将||||21M O M O -=3看成3||||||21=-M O M O ,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。
事实上，|3|||21=-M O M O 表示动点M 到定点1O 及2O 的距离差为一常数3。
且35||21>=O O ,点M 的轨迹为双曲线右支，方程为)4(1449)25(22≥=--x y x例11 点P 与定点F （2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P 与定点)3,45(1P 距离的最值。
错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d ，则,31||=d PF 即31|8|)2(22=-+-x y x两边平方、整理得29)49()45(222y x +-=1 （1） 由此式可得：222)49()921()45(⨯-=-y x因为221)3()45(||-+-=y x PP 222)3()49()921(-+⨯-=y y161377)24(812++-=y 所以||1PP 15343161377max ==剖析 由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了223223≤≤-y 这一取值范围，由以上解题过程知，||1P P 的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决 即：当223-=y 时，2233||m ax 1+=PP 例12 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率e=332, 过点A （b -,0）和B(a,0)的直线与原点的距离为23,直线y=kx+m )0,0(≠≠m k 与该双曲线交于不同两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。