高考复习易做易错题精选解析几何
高考复习资料-数学解析几何错题精选
高考复习易做易错题优选分析几何1. 若直线 yk(x 1) 与抛物线 yx 2 4x 3 的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________. 解答： (-3, 0)易错原由：找不到确当的解答方法。
此题最好用数形联合法。
2. 若双曲线x2y 21 的离心率为5，则两条渐近线的方程为a 2b 24XY 0 BX Y CX Y 0 DX Y 0A16160 344 399解答： C易错原由：审题不仔细，混杂双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的a 的意义。
3. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆的中心到其准线的距离是85B4C8 D4 3A5 335答： D 53 解易错原由：短轴长误以为是b4．过定点（ 1， 2）作两直线与圆 x 2y 2 kx 2 yk 2150 相切，则 k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3 或 k>2 D以上皆不对解答： D易错原由：忽视题中方程一定是圆的方程，有些学生不考虑D 2E 24F 05．设双曲线x 2 y 2 1(a b 0) 的半焦距为 C ，直线 L 过 (a,0),(0, b) 两点，已知原点到a2b2直线 L 的距离为3C ，则双曲线的离心率为4A2B2或2 3C2 D2 333解答： D易错原由：忽视条件a b 0 对离心率范围的限制。
6．已知二面角l的平面角为，PA， PB ， A ， B 为垂足，且 PA=4， PB=5，A B到二面角的棱 l 的距离为别为 x, y，当变化时，点 ( x, y) 的轨迹是以下图形中设 、的A B C D解答： D易错原由：只注意找寻x, y 的关系式，而未考虑实质问题中x, y 的范围。
7．已知点 P 是抛物线y22x 上的动点，点P 在 y 轴上的射影为M，点 A的8．若曲线y x2 4 与直线y k ( x2) +3有两个不一样的公共点，则实数k的取值范围是A0 k 1 B0 k 3C 1 k3D 1 k 0 44解答： C易错原由：将曲线y x2 4 转变为x2y24时不考虑纵坐标的范围；此外没有看清过点 (2,-3)且与渐近线 y x 平行的直线与双曲线的地点关系。
详解十五道高中立体几何典型易错题
例1 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如图所示，平行六面体1111-D C B A ABCD 中所有对角线相等，对角面11BDD B 是平行四边形，对角线D B BD 11=，所以四边形11BDD B 是矩形，即BD BB ⊥1，同理四边形11ACC A 是矩形，所以AC AA ⊥1，由11//BB AA 知⊥1BB 底面ABCD ，即该平行六面体是直平行六面体．故选A ．说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的．见表表例2 如图，正四棱柱1111-D C B A ABCD 中，对角线81=BD ，1BD 与侧面C C BB 11所成角为 30，求：（1）1BD 与底面ABCD 所成角；（2）异面直线1BD 与AD 所成角；（3）正四棱柱的全面积．分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面ABCD 、1111D C B A 是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件．题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系．异面直线1BD 与AD 所成角通过11//D A AD ，落实为具体的B D A 11∠．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式． 解：（1）在正四棱柱C A 1中，∵⊥11C D 面C C BB 11，∴11BC D ∠是B D 1与侧面C C BB 11所成角，即 3011=∠BC D ．∵ 81=BD ，∴ 411=C D ，341=BC ，∵ 1111D C B A 是正方形，∴41111==C D C B ，⊥D D 1平面ABCD ，∴ BD D 1∠是B D 1与底面ABCD 所成角，在Rt △DB D 1中，2411==D B BD ，81=BD ， ∴22cos 11==∠BD BD BD D ，∴ 451=∠BD D ， 即1BD 与底面ABCD 所成角为 45．（2）∵11//D A AD ，∴B D A 11∠是1BD 与AD 所成角（或补角）．∵⊥11A D 平面B B AA 11，∴ B A A D 111⊥，Rt △B D A 11中，411=D A ，81=BD ， ∴21cos 11=∠B D A ，∴ 6011=∠B D A ，即异面直线AD 与1BD 所成角为 60．（3）Rt △11C BB 中，411=C B ，341=BC ．∴ 241=BB ，∴ ()()12232244244442+=⨯+⨯+⨯=全S ．说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件．典型例题三例3 如图，已知长方体1111-D C B A ABCD 中，棱长51=AA ，12=AB ，求直线11C B 与平面11BCD A 的距离．分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有⊥CB 平面11BB AA ，这样，只要作B A H B 11⊥，又有CB H B ⊥1，得到⊥H B 1平面11A BC D ． 解：长方体1AC 中，有⊥BC 平面11BB AA ，过1B 作B A H B 11⊥于H ，又有H B BC1⊥，∴ ⊥H B 1平11A BCD ，即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离．在Rt △11A BB 中，由已知可得，51=BB ，1211=B A ，∴ 131=B A ，∴13601=H B ． 即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离为1360． 说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体1AC 中，11C A 与面BD C 1所成角．这里，要找11C A 与BD C 1所成角，必须找1A 到平面BD C 1的垂线，因为⊥BD 面C C AA 11，在对角面1AC 内，过1A 作11OC H A ⊥于H ，则H A BD 1⊥，所以⊥H A 1面BD C 1，可以得到O C A 11∠为11C A 与面BD C 1所成角，在对角面C C AA 11中可计算2arctan 11=∠O C A ．典型例题四例4 如图，已知直三棱柱1111-D C B A ABCD 中，AC AB =，F 为侧棱1BB 上一点，a BC BF 2==，a FB =1．（1）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任一点，求证：1FC EF ⊥；（2）若a B A 311=，求1FC 与平面B B AA 11所成角的大小． 分析：E 点在AD 上变化，EF 为平面ADF 内变化的一组相交直线（都过定点F ），要证明F C 1与EF 垂直，必有⊥F C 1平面ADF ．求1FC 与平面11A ABB 所成角的关键是找1C 到面11A ABB 的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧棱⊥1AA 平面111C B A 给找点1C 到面1AB 的垂线创造了方便的条件．解：（1）∵AC AB =，且D 是BC 的中点，∴BC AD ⊥，又∵ 直三棱柱中⊥1BB 平面ABC ，∴1BB AD ⊥，∴ ⊥AD 平面C C BB 11，∴F C AD 1⊥．在矩形C C BB 11中，a BC BF 2==，a F B =1， ∴a DF 5=，a FC 51=，a DC 101=，∴21212DC FC DF =+，∴ 901=∠DFC ，即DF FC ⊥1，∴⊥1FC 平面ADF ，∴EF FC ⊥1．（2）过1C 作111B A H C ⊥于H ，∵⊥1AA 平面C B A 11，∴H C AA 11⊥，∴⊥H C 1平面B B AA 11，连接FH ，FH C 1∠是F C 1与平面1AB 所成角．在等腰△ABC 中，a AC AB 3==，a BC 2=，∴a AD 22=，在等腰△111C B A 中，由面积相等可得，a a H C 22231⨯=⨯， ∴a H C 3241=，又a F C 51=， 在Rt △HF C 1中，15104sin 1=∠FH C ， ∴15104arcsin1=∠FH C ， 即F C 1与平面1AB 所成角为15104arcsin ． 说明：由于点E 在AD 上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的突破口，使得线线垂直成为了1CF 与一组直线垂直．本题的证明还有一个可行的思路，虽然E 在AD 上变化，但是由于⊥AD 平面C C BB 11，所以E 点在平面1BC 上的射影是定点D ，EF 在平面1BC 上射影为定直线DF ，使用三垂线定理，可由DF F C ⊥1，直接证明EF F C ⊥1．三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，正方体1AC 中，O 是底面ABCD的中心，E 是11B A 上动点，F 是1DD 中点，求AF 与OE 所成角．我们取AD 中点G ，虽然E 点变化，但OE 在面1AD 上射影为定直线G A 1，在正方形D D AA 11中，易证AF B A ⊥1，所以，OE AF ⊥，即AF 与OE 所成角为 90．典型例题五例5 如图，正三棱柱111-C B A ABC 的底面边长为4，侧棱长为a ，过BC的截面与底面成 30的二面角，分别就（1）3=a ；（2）1=a 计算截面的面积．分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底面成 30的二面角，如果a 较大，此时截面是三角形；但是如果a 较小，此时截面与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形．解：截面与侧棱1AA 所在直线交于D 点，取BC 中点E ，连AE 、DE ，△ABC 是等边三角形，∴BC AE ⊥，∵⊥1AA 平面ABC ，∴BC DE ⊥．∴DEA ∠为截面与底面所成二面角的平面角，∴ 30=∠DEA ．∵等边△ABC 边长为4，∴32=AE ．在Rt △DAE 中，2tan =∠=DEA AE DA ．（1）当3=a 时，D 点在侧棱1AA 上，截面为△BCD ，在Rt △DAE 中，422=+=AE AD DE ， ∴8442121=⨯⨯=⋅=∆DE BC S BCD ． （2）当1=a 时，D 点在1AA 延长线上，截面为梯形BCMN ，∵2=AD ，11=AA ∴MN 是△DBC 的中位线， ∴684343=⨯==∆DBC BCMN S S 梯形． 说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问题的过程，本例通过改变侧棱长而改变了截面形状，我们也可以通过确定侧棱长，改变截面与底面成角而改变截面形状．典型例题六例6 斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面⊥C C AA 11底面ABC ，2=BC ，32=AC ，90=∠ABC ，C A AA 11⊥，且C A AA 11=．（1）求1AA 与平面ABC 所成角；（2）求平面11ABB A 与平面ABC 所成二面角的大小；（3）求侧棱1BB 到侧面C C AA 11的距离．分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系，由C A A A 11=，取AC 的中点D ，连D A 1，则有AC D A ⊥1，从而有⊥D A 1平面ABC ，在此基础上，A A 1与底面所成角以及平面11ABB A 与底面所成二面角都能方便地找到，同时⊥D A 1底面ABC 也为寻找B 点到面C C AA 11的垂线创造了条件．解：（1）取AC 的中点D ，连接D A 1，∵C A A A 11=，∴AC D A ⊥1，∵平面⊥C C AA 11底面ABC ，∴⊥D A 1底面ABC ，∴AC A 1∠为A A 1与底面ABC 所成角．∵C A AA 11=且C A AA 11⊥，∴ 451=∠AC A ．（2）取AB 中点E ，则BC DE //，∵ 90=∠ABC ，∴AB CB ⊥，∴AB DE ⊥．连E A 1，∵⊥D A 1底面ABC ，∴E A 1在平面ABC 上射影为DE ，∴AB E A ⊥1，∴ED A 1∠为侧面B A 1与底面ABC 所成二面角的平面角． 在等腰Rt △AC A 1中，32=AC ，∴31=D A ．在Rt △ABC 中，2=BC ，∴1=DE ．在Rt △DE A 1中，3tan 11==∠DED A ED A ， ∴ 601=∠ED A ，即侧面B B AA 11与底面ABC 所成二面角的大小为 60．（3）过B 作AC BH ⊥于H ，∵⊥D A 1底面ABC ，∴BH D A ⊥1，∴⊥BH 平面C C AA 11，在Rt △ABC 中，32=AC ，2=BC ，∴22=AB ， ∴632=⋅=AD BC AB BH ，即1BB 到平面C C AA 11的距离为632． 说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种关系中最重要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键．典型例题七例7 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形， 90=∠C ，cm 2=BC ，1B 在底面上的射影D 恰好是BC 的中点，侧棱与底面成 60角，侧面B B AA 11与侧面C C BB 11所成角为 30，求斜棱柱的侧面积与体积．分析：1B 在底面ABC 上射影D 为BC 中点，提供了线面垂直⊥D B 1平面ABC ，另外又有 90=∠C ，即BC AC ⊥，又可以得到⊥AC 平面C C BB 11，利用这两个线面垂直关系，可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角．解：∵1B 在底面ABC 上，射影D 为BC 中点．∴⊥D B 1平面ABC ．∴BD B 1∠为侧棱B B 1与底面ABC 所成角，即 601=∠BD B ，∵ 90=∠C ，即BC AC ⊥，又D B AC 1⊥，∴⊥AC 平面C C BB 11，过A 作B B AE 1⊥于E ，连接CE ，则B B CE 1⊥． ∴AEC ∠是侧面B B AA 11与侧面B B CC 11所成二面角的平面角，∴ 30=∠AEC ，在直角△CEB 中，∵ 60=∠CEB ，2=BC ，∴3=CE ，在直角△ACE 中，∵ 30=∠CEA ，3=CE ，∴130tan == EC AC ，22==AC AE ，在直角△DB B 1中， 601=∠BD B ，121==BC BD ， ∴221==BD BB ，360sin 11== BB D B ．∴侧面积为111AA AC BB AE BB CE S ⋅+⋅+⋅=侧()()()2cm 3322332123+=⨯+=⨯++=． 体积为311cm 33212121=⨯⨯⨯=⋅⋅=⋅=∆D B BC AC D B S V ABC ．说明：本例中△ACE 是斜棱柱的一个截面，而且有侧棱与该截面垂直，这个截面称为斜棱柱的直截面，我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分，并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱，斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长，体积为该截面面积乘以侧棱长．典型例题八例8 如图所示，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，已知a AD AB 2==，a AA =1，又︒=∠=∠=∠6011AB A DAB AD A ．(1)求证：1AA ⊥截面C D B 11；(2)求对角面11ACC A 的面积．分析：(1)由题设易证111D B AA ⊥，再只需证C B AA 11⊥，即证11CD CC ⊥．而由对称性知，若C B CC 11⊥，则11CD CC ⊥，故不必证111D B AA ⊥．(2)关键在于求对角面的高．证明：(1)∵a AD C B 211==，a A A CC ==11，︒=∠=∠60111AD A C C B ，∴在C C B 11∆中，由余弦定理，得2213a C B =．再由勾股定理的逆定理，得C B C C 11⊥．同理可证：11CD C C ⊥．∴C C 1⊥平面C D B 11．又A A C C 11//，∴1AA ⊥平面C D B 11．解：(2)∵AD AB =，∴平行四边形ABCD 为菱形．AC 为BAD ∠的平分线． 作O A 1∴⊥平面AC 于O ，由AB A AD A 11∠=∠，知AC O ∈．作AB M A ⊥1于M ，连OM ，则AB OM ⊥． 在AM A Rt 1∆中，a A A AM 2160cos 1=︒⋅=， 在AOM Rt ∆中，330sec a AM AO =︒⋅=．在AO A Rt 1∆中，a AO A A O A 322211=-=． 又在ABC ∆中，由余弦定理，得a AC 32=． ∴212211a O A AC S ACC A =⋅=．说明：本题解答中用到了教材习题中的一个结论——经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线．如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线．另外，还有一个值得注意的结论就是：如果一个角所在平面外一点到角的两边所在直线的距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上．典型例题九例9 如图所示，已知：直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90ACB ，︒=∠30BAC ，1=BC ，61=AA ，M 是1CC 的中点．求证：M A AB 11⊥．分析：根据条件，正三棱柱形状和大小及M 点的位置都是确定的，故可通过计算求出M A 1与1AB 两异面直线所成的角．因为C C C B 111⊥，1111C A C B ⊥，所以11C B ⊥侧面C C AA 11．1AC 是斜线1AB 在平面C C AA 11的射影，设1AC 与M A 1的交点为D ，只需证得︒=∠901MDC 即可．证明：∵C C C B 111⊥，1111C A C B ⊥，C C 1与11C A 交于点1C ，∴11C B ⊥面C C AA 11．∵M 为1CC 的中点，∴262111==C C MC ． 在111B C A Rt ∆中，︒=∠30111C A B ，∴221111==C B B A ，311=C A ．在M C A Rt 11∆中， ()22332622211211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=C A MC M A ． 在11C AA Rt ∆中，33622211211=+=+=C A AA AC ． 又1MDC ∆∽DA A 1∆且21=MC AA ∶， ∴22122331311=⨯==M A MD ， 13313111=⨯==AC D C ． 在1MDC ∆中，23122122212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+D C MD ， 2326221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=M C ， ∴︒=∠901DM C ，11AC M A ⊥，∴11AB M A ⊥．说明：证明两直线垂直，应用三垂线定理或逆定理是重要方法之一．证明过程中的有关计算要求快捷准确，不可忽视．本题证明两异面直线垂直，也可用异面直线所成的角，在侧面C C AA 11的一侧或上方一个与之全等的矩形，平移M A 1或1AB ，确定两异面直线所成的角，然后在有关三角形中通过计算可获得证明．典型例题十例10 长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．分析：要求长方体对角线长，只要求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可． 解：设此长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，对角线长为l ，则由题意得：⎩⎨⎧=++=++②①24)(411)(2z y x zx yz xy由②得：6=++z y x ，从而由长方体对角线性质得：5116)(2)(22222=-=++-++=++=zx yz xy z y x z y x l ．∴长方体一条对角线长为5．说明：(1)本题考查长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力．在求解过程中，并不需要把x 、y 、z 单个都求出来，而要由方程组的①②从整体上导出222z y x ++，这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性．(2)本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作出整体处理．典型例题十一例11 如图，长方体1111D C B A ABCD -中，a AB =，b BC =，c BB =1，并且0>>>c b a ．求沿着长方体的表面自A 到1C 的最短线路的长．分析：解本题可将长方体表面展开，可利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答．解：将长方体相邻两个展开有下列三种可能，如图．三个图形甲、乙、丙中1AC 的长分别为：ab c b a c b a 2)(22222+++=++bc c b a c b a 2)(22222+++=++ac c b a b c a 2)(22222+++=++∵0>>>c b a ，∴0>>>bc ab ab ． 故最短线路的长为bc c b a 2222+++．说明：(1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线2221c b a AC ++=是最短线路．(2)解答多面体表面上两点间，最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．典型例题十二例12 设直平行六面体的底面是菱形，经下底面的一边及与它相对的上义面的一边的截面与底面成︒60的二面角，面积为Q ，求直平行六面体的全面积．分析：如图，由于⊥'DD 面AC ．作出截面与底面所成的二面角的平面角HD D '∠后，因DH D Rt '∆中︒=∠60'HD D ，可分别求出D D '、DH 和H D '的值．又上下底面的边长是相等的，便可进一步求出全面积．解：设平行六面体为''''D C B A ABCD -，过D 作AB DH ⊥，H 为垂足，连结H D '．∵⊥'DD 平面ABCD ，∴AB H D ⊥'，︒=∠60'HD D ， ∴H D D D ''23=，H D DH '21=． 又在菱形ABCD 中，有CD BC AB AD ===，∴截面''D ABC 的面积为：Q AB H D S =⋅='1．侧面''DCC D 的面积为：Q AB H D AB D D DC D D S 2323'''2=⋅=⋅=⋅= 底面ABCD 的面积为：Q AB H D AB DH S 2121'3=⋅=⋅=． 所以Q S S S )132(2432+=+=全．典型例题十三例13 设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中，真命题的个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3解：甲命题是真命题，因为它就是平行六面体的定义；乙命题不是真命题，因为平行六面体的侧棱不一定垂直于底面；丙命题也不是真命题，因为四棱柱的底面不一定是平行四边形．∴应选B ．说明：要认真搞清平行六面体、直平行六面体、长方体等特殊四棱柱的有关概念及性质．典型例题十四例14 如图，ABC C B A -111是直三棱柱，︒=∠90BCA ，点1D 、1F 分别是11B A 、11C A 的中点．若1CC CA BC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）．A ．1030B ．21 C ．1530 D ．1015 解：可将异面直线所成角转化为相交直线的角，取BC 的中点E ，并连结1EF 、EA ．∵11F D BC 21BE =， ∴11//BD EF ，∴A EF 1∠是1BD 与1AF 所成角．设a BC 2=，则a CC 21=，a CA 2=．∴a AB 22=，a AF 51=，a AE 5=，a D B B B BD EF 62112111=+==． ∴1030652)5()6()5(2cos 22211221211=⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠a a a a a EF AF AE EF AF A EF ∴应选A ．说明：本题主要考查棱柱的性质，以及两条异面直线所成的角、勾股定理、余弦定理等内容：对运算能力和空间想象能力也有较高的要求．典型例题十五例15 如图，已知ABC C B A -111是正三棱柱，D 是AC 的中点．(1)证明：//1AB 平面1DBC ；(2)假设11BC AB ⊥，求以1BC 为棱，1DBC 与1CBC 为面的二面角α的度数．(1)证明：∵ABC C B A -111是正三棱柱，∴四边形11BCC B 是矩形．连结C B 1交1BC 于E ，则E 是C B 1的中点．连结DE ．∵D 、E 分别是AC 、C B 1的中点，∴1//AB DE ．又⊄1AB 平面1DBC ，⊂DE 平面1DBC ，．∴//1AB 平面1DBC ．(2)解：作BC DF ⊥于F ，则⊥DF 平面C C BB 11，连结EF 则EF 是ED 在平面C C BB 11上的射影．∵11BC AB ⊥又ED AB //1．∴1BC ED ⊥．根据三垂线定理的逆定理，得1BC EF ⊥．从而DEF ∠是二面角C BC D --1的平面角，即α=∠DEF ，设1=AC ，则21=DC ∵ABC ∆是正三角形，∴在DCF Rt ∆中，有4360sin =︒=DC DF ，4160cos =︒=DC CF 取BC 的中点G ，∵EC EB =，∴BC EG ⊥．在BEF Rt ∆中，FG BF EF ⋅=2 而43=-=FC BC BF ，41=GF ， ∴41432⋅=EF ，∴43=EF ， ∴在DEF Rt ∆中，14343tan ===∠EF DF DEF ． ∴︒=∠45DEF ，即︒=45α．从而所求二面角的大小为︒45．说明：(1)纵观近十年高考题，其中解答题大多都是以多面体进行专利权查，解答此类题，有些同学往往忽略或忘记了多面体的性质，从而解题时，思维受阻．今后要引以为戒．(2)本题考查空间的线面关系，正棱柱的概念和性质，空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．本题涉及到的知识面宽，有一定的深度，但入手不难，逐渐加深；逻辑推理和几何计算交织为一体；正三棱柱放倒，与课本习题不同，加强了对空间想象能力的考查；在解答过程中，必须添加适当的辅助线，不仅考查了识图，而且考查了作图．本题是一道综合性试题，较深入和全面地考查了各种数学能力，正确解答本题，要求同学们有较高的数学素质．。
解析几何易做易错题
高考解析几何易做易错题选一、选择题： 1. 若双曲线22221x y ab-=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为A916X Y ±= B0169X Y ±= C 034X Y ±= D43X Y ±=解 答：C易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。
2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对 解 答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑2240D E F +->4．设双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 4，则双曲线的离心率为A 2B 23解 答：D 易错原因：忽略条件0a b >>对离心率范围的限制。
5．已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D解 答： D易错原因：只注意寻找,x y 的关系式，而未考虑实际问题中,x y 的范围。
6．若曲线y =(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01k≤≤ B 304k ≤≤C 314k-<≤D 10k -<≤解 答：C易错原因：将曲线y =转化为224x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。
7． P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR ︱＋︱RQ ︱最小，则m=（ ）A 21 B 0 C –1 D -34正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法，借助对称来解题。
解析几何易错题3
二填空题：1．若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.解 答： (-3, 0)易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
2．双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到点(0,5-)的距离_______。
错解 设双曲线的两个焦点分别为)0,5(1-F ,)0,5(2F ,由双曲线定义知8||||||21=-PF PF所以5.16||1=PF 或5.0||1=PF剖析 由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以5.0||1=PF 不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P 的存在情况，然后再求解。
如本题中，因左顶点到右焦点的距离为9>8.5，故点P 只能在右支上，所求5.16||1=PF3．直线xCosx+y —1=0的倾斜角θ的取值范围为__________。
正确答案：θ∈[0，4π]∪[43π，π] 错误原因：由斜率范围求倾角范围在三角知识上出现错误；或忽视直线倾角的定义范围而得出其它错误答案。
4．已知直线l 1：x+y —2=0 l 2：7x —y+4=0 则l 1与l 2夹角的平分线方程为______。
正确答案：6x+2y —3=0错语原因：忽视两直线夹角的概念多求了夹角的邻补角的平分线方程。
5．过点(3，—3)且与圆(x —1)2+y 2=4相切的直线方程是：___________。
正确答案：5x+12y+21=0或x=3错误原因：遗漏了斜率不存在的情形造成漏解。
6．已知双曲线的右准线为x=4，右焦点F(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为______。
正确答案：14816)2(22=--y x 错误原因：误认为双曲线中心在原点，因此求出双曲线的标准方程而出现错误。
7．过点(0，2)与抛物线y 2=8x 只有一个共点的直线有______条。
高考数学易错题训练：解析几何
过 B，D 两点 （1）若正方形中心 M 为（2，2）时，求点 N(b,c)的轨迹方程。 （2）求证方程 f ( x) x 的两实根 x1 ， x 2 满足 | x1 x 2 | 2 24．直线 l 经过 P（2,3）,且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 25．自点 A(-3，3)发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射 光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7＝0 相切，求光线 L 所在的直线方程. 26．如图所示，已知 P(4， 0)是圆 x2+y2=36 内的一点， A、 B 是圆上两动点，且满足∠ APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.
三、解答题 15．设点 P(x,y)在椭圆 4 x y 4 上，求 x y 的最大、最小值.
2 2
16．已知双曲线的右准线为 x 4 ，右焦点 F (10, 0) ,离心率 e 2 ,求双曲线方程.
17．设椭圆的中心是坐标原点，长轴 x 在轴上，离心率 e 个椭圆上的最远距离是 7 ，求这个椭圆的方程. 18．已知曲线 C： y 围. 19．已知双曲线 C
F1 PF2 90 ，则 F1 PF2 的面积是（
A.1 B.
5 2
C.2
D. 5
7． 直 线 y kx 1 ， 当 k 变 化 时 ， 直 线 被 椭 圆 （ ）
x2 y2 1截 得 的 最 大 弦 长 是 4
A.4
B.2
C.
4 3 3
D.不能确定
8．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y
3 3 ，已知点 P (0, ) 到这 2 2
20 x 2 与 直线 L： y x m 仅有一个公共点，求 m 的范 2
解析几何易错题
解析几何易错题1．经过点A(1,2)，并且在2个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有_____条2．已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 以及倾斜角α 的取值范围。
3．求过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程。
4．判断下列命题是否正确(1)y -y 1x -x 1=k 表示过点(x 1,y 1)且斜率为k 的直线方程 (2)直线y=kx+b 与y 轴交于点P(0,b)，其中截距b=|OP|(3)在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a +y b =1(4)方程(x 2-x 1) (y-y 1) =(y 2-y 1) (x-x 1)表示过两点P 1(x 1,y 1) 与P 2(x 1,y 1)的直线5．已知直线l 经过点P(3,1)，且被两平行直线l 1:x+y+1=0和 l 2:x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l 的方程。
6．a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行的_____条件。
7．a 1a 2b 1b 2=-1是两条直线a 1x+b 1y+c 1=0和 a 2x+b 2y+c 1=0垂直的_____条件 8．定义在 R 上的函数 f (x ) = 13 x 3 + 12 ax 2 + 2bx + c ，在(0,1) 内有一个极大值点，在(1,2)内有一个极小值点，则 b －2a －1的范围是______ 9．在坐标平面内，由不等式组 ⎩⎨⎧ y ≥| x －2 | y ≤－| x | + a所确定的平面区域的面积为 52 ，则a = 。
10．已知直线l 过点(-2,0)，当直线l 与圆x 2+y 2=2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是______11．若曲线y=1+4-x 2 (-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点，求实数k 的取值范围。
高考解析几何复习易做易错题选
高考解析几何复习易做易错题选直线注意倾斜角范围、设直线方程时注意斜率是否存在、注意截距的概念以及直线的方向向量概念；注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离；判断二元一次不等式表示的平面区域常采用“选点法”：线定界、点定域；注意：①最优解唯一时，一定是可行域的某一个顶点；②有无数个最优解时落在区域某边上；利用平移法求目标函数的最值，并不是线性目标函数所在的直线与原点距离最大（小）时所经过的可行域上的点为取得最大（小）值的点，应注意应用在y x 、轴上的截距大小判断；记住焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时22tan 21θ∆b S PF F =、P 在双曲线上时22cot 21θ∆b S PF F =（其中θ=∠21PF F ，||||4||||2122221cos PF PF c PF PF -+=θ，θcos ||||2121PF PF PF PF =∙）熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题； 注意双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上时为x y ab ±=，焦点在y 轴上时为x y ba ±=； 注意椭圆离心率体现扁平程度（e →0，椭圆→圆）、双曲线离心率越大越开阔；记住抛物线的一些性质：①过焦点的弦长公式（焦点在x 正半轴上时p x x ++21，焦点在x 负半轴上时p x x ++||21，；焦点在y 正半轴上时p y y ++21，焦点在y 负半轴上时p y y ++||21，当焦点在x轴上时也可用θ2sin 2p ，焦点在y 轴上时用θ2cos 2p（θ为倾斜角）；②通径长为p 2；③以过焦点的弦长为直径的圆与准线相切、以此弦端点在准线上射影间线段为直径的圆与此弦相切、当焦点在x 轴上时，以焦半径为直径的圆与y 轴相切、以抛物线上一点为圆心的圆与准线相切时一定过焦点，反之也成立；记住焦半径公式（注意曲线上的点到焦点的距离与到相应准线距离的转化）：①椭圆焦点在x 轴上时为0ex a ±、焦点在y 轴上时为0ey a ±；②双曲线焦点在x 轴上时为a x e ±||0；③抛物线焦点在x 轴上时为21||px +，抛物线焦点在y 轴上时为21||py +；注意利用数形结合思想以及极限的观点解决一些问题； 注意对焦点位置的分类讨论； 注意利用向量方法（向量的坐标运算、几何意义）解决解析几何问题； 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；在涉及直线与圆锥曲线的位置关系：若仅涉及弦的中点或弦所在直线的斜率时，可用“点差法”得到同前面的的系数为曲线、的系数的系数22(200212121212121y x k k x y OP AB y y y y y y y =∙=∙=∙-+-；若涉及弦长时（弦长公式为2122112112122122124)(1||14)(1||122y y y y y y x x x x k x x k kk-++=-+=-++=-+，一般联立方程组，利用韦达定理、根的判别式解题（注意得到的一元二次方程的二次项系数为0时，若曲线为抛物线时直线与其对称轴平行；是双曲线方程时，直线与其渐近线平行），另外设立直线方程时注意讨论直线斜率是否存在。
高中数学高考复习易错题分类《解析几何》易错题专项测试同步训练
高中数学高考复习易错题分类《解析几何》易错题专项测试同步训练2020.031,已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为x y = .抛物线c bx x x f ++=2)(过B ，D 两点（1）若正方形中心M 为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。
（2）求证方程x x f =)(的两实根1x ，2x 满足2||21>-x x2,已知二面角βα--l 的平面角为θ，PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且PA=4，PB=5，设A 、B 到二面角的棱l 的距离为别为y x ,，当θ变化时，点),(y x 的轨迹是下列图形中的A B C D3,若曲线24y x =-与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是A 01k ≤≤B 304k ≤≤ C314k -<≤ D 10k -<≤4,设双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点，已知原点到直线L 的距离为，则双曲线的离心率为A 2B 2或5,已知双曲线两焦点12,F F ，其中1F 为21(1)14y x =-++的焦点，两点A (-3,2)B (1,2)都在双曲线上，（1）求点1F 的坐标；（2）求点2F 的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线y x t =+与2F 的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。
6,椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是7,若直线(1)y k x =-与抛物线243y x x =++的两个交点都在第二象，则k 的取值范围是______________.8,若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043X Y ±=9,过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是A k>2B -3<k<2C k<-3或k>2D 以上皆不对答案1, 解答：（1）设(2,2),(2,2),0B s s D s s s +--+≠因为 B,D 在抛物线上 所以222(2)(2)2(2)(2)s S b S c S S b S c ⎧+=-+-+⎨-=++++⎩两式相减得 282s s sb =-- 则5b =-代入（1）得2244105s s s s c +=-+-++288c s ∴=-< 故点(,)N b c 的方程5(8)x y =-<是一条射线。
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高考复习易做易错题精选
解析几何
1.（如中）若直线 y =k （x -1）与抛物线y = x 2，4x ・3的两个交点都在第二象，则
k 的
取值范围是 ________________ . 解 答：（-3, 0）
易错原因：找不到确当的解答方法。
本题最好用数形结合法。
答：C
易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的 a 和题目中方程的a 的意义。
3.（如中）椭圆的短轴长为
2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是
A 8.5
B 4.5
C 铁3
5 5 3
解 答：D
易错原因：短轴长误认为是 b 范围是
A k>2
B -3<k<2
C k<-3 或 k>2
D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑
D 2
E 2 -4
F 0
2 2
5.（如中）设双曲线 笃-每=1（a b 0）的半焦距为C ,直线L 过（a,0）,（0, b ）两点，已
a b
、2
解 答：D
易错原因：忽略条件 a b 0对离心率范围的限制。
6. （如中）已知二面角〉-| - -的平面角为二，PA — ： • , PB_ 1 , A , B 为垂足，且PA=4 , PB=5，设A 、B 到二面角的棱I 的距离为别为x, y ，当二变化时，点（X,y ）的轨迹是下 列图形中的
2. （如中）若双曲线
2
十j 的离心率为
5
5
，则两条渐近线的方程为
4
^_Y = o
9 16
^_Y =o
16 9
A_r = o
D 3=0
D 4-
4.（如中）过定点（1, 2）作两直线与圆 2 2 2
x y kx 2y k -15 = 0相切，则k 的取值
知原点到直线 L 的距离为
则双曲线的离心率为
2
7. (如中)已知点 P 是抛物线y =2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影为 M ,点A 的 8 (如中)若曲线 Y
-4与直线y =k(x-2)+3有两个不同的公共点，则实数
k 的
取值范围是
3
3
A 0 冬 k 乞 1
B 0 空 k
C 一1 ：： k
D —1 ：： k 岂 0
4
4
解 答：C
易错原因：将曲线 y = • x 2 -4转化为x 2 -y 2 =4时不考虑纵坐标的范围；另外没有看 清过点(2,-3)且与渐近线y = x 平行的直线与双曲线的位置关系。
9.(如中)已知正方形ABCD 对角线AC 所在直线方程为y=X .抛物线
2
f (x) = X bx c 过 B , D 两点
(1) 若正方形中心 M 为(2, 2)时，求点N(b,c)的轨迹方程。
(2) 求证方程f (x)二x 的两实根为,x 2满足|为- x 2 | • 2 解答：(1 )设 B(2
s,2 -s), D(2 - s,2 s), s = 0
l 2 + s = (2 — S)2 + b(2 — S) + c
因为B,D 在抛物线上 所以
两式相减得
、2—S = (2 + S)2 + b(2 + S) + c
2s -七s -2sb 则 b - -5 代入(1)
2 2
得 2 s = s -4s 4「10 5s c c = 8「s ：： 8 故点N(b,c)的方程x - -5(y =8)是一条射线。
(2)设 B(t s,t 「s), D(t 「s,t s)s = 0
同上 ”+s =(t —s)2+b(t —s)+cll 川丨(1)
[t _s =(t +s)2 +b(t +s) +cMIH(2)
(1) - (2)得 t = -山 I 川 11(3)
2
解 答：D
易错原因：只注意寻找 x, y 的关系式，而未考虑实际问题中 X, y 的范围。
(1) + (2)得s2 (b—1)t t2 c = 0l川II⑷
(x 1)2 2(x t-2)2 =8 整理得：3x 2 (4t-6)x 2t 2_8t 1=0
当L =0时 得t=3-2=3 从图可知：t (-：：,3-2・3) -(3 • 2・3,=)，
（3）代入（4）消去t 得s
2
2 2 b -1 (b 1) _
2
_
4
-c 0
得(b -1)
2
-4c 4
2
又 f (x)二 X 即 x - (b -1)x • c = 0 的两根 X i ,X 2 满足
X x 2 =1 -b % ・x 2 二 c
| X 1 - X 2 | =(X 1 ■'' X 2) - 4 x ( X 2 = (b _ 1) - 4c4
故 | X 1 - X 21 2。
易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。
1 2
10.（如中）已知双曲线两焦点 F 「F 2，其中F 1为y （X 1）
1的焦点，两点A （-
3,2）
4
（3）若直线y 二x • t 与F 2的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t 的取值范围。
1 2 2
解答：（1）由 y （x • 1）
1 得：（x • 1） = -4（y-1）
4
故斤（-1,0） （2）设点 F
（X , y ）
则又双曲线的定义得||AF 1 | - | AF 2 |冃| BFJ - I BF 2 IF 0
1 t L 又
・|AF 2|=|AF 1 |=2,2
|F 2A| |F 2B|=|AF 1| |BF 1|=4「2
■点F 2的轨迹是以A, B 为焦点的椭圆
x ，1=0 除去点(-1,0)厂(1,或) (-1,0),-( 1,4 图略。
y = x t
(3)联列：(x 1)2 (y-2) 消去y 得
1
8 4
| AF 2 h|BF 2|
或
(x 1)2 . (y-2)2
除去点
又因为轨迹除去点（-1,0）,（-1,4）所以当直线过点（_1,0）,（一1,4）时也只有一个交点，即t =1或5
.t （ - ：,：3 -2一3）一（3厂2 3, ：：）_. {1, 5}
易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点F2的轨迹时易少一
种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。